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GEOMETRÍA

Durante la primavera de 1953, Paul Halmos, un matemático de la Universidad de Chicago, recibió la siguiente carta de su viejo amigo Warren Ambrose, que era colega de Nash:

Como de costumbre, por aquí no hay novedades significativas. Martin le ha ofrecido a Nash una plaza de profesor auxiliar (no al Nash de Illinois, sino al que vino de Princeton enviado por Steenrod), lo cual me molesta bastante. Nash es un tipo brillante e infantil que quiere ser «esencialmente original», algo que supongo que está bien para quienes poseen alguna originalidad esencial. Por otra parte, Nash hace el ridículo de varias formas que contradicen esa filosofía. No hace mucho, oyó hablar de un problema no resuelto referente a la inmersión isométrica de una variedad riemanniana en un espacio euclidiano, y consideró que era algo adecuado para él, a condición de que el problema fuera lo suficientemente importante como para justificar sus esfuerzos. De modo que se puso a escribir a toda la comunidad matemática para comprobar si era así, le dijeron que probablemente lo era y, seguidamente, anunció que lo había resuelto, detalles aparte, y le dijo a Mackey que le gustaría hablar del tema en el coloquio de Harvard. Mientras tanto, fue a ver a Levinson para preguntarle sobre una ecuación diferencial que interviene en el problema y Levinson le dijo que se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales con derivadas parciales y que bastaba con que consiguiera [pasar] al caso esencialmente análogo, pero más simple, de una sola ecuación diferencial ordinaria, para que ya fuera un trabajo rematadamente bueno; y Nash no tenía más que nociones extremadamente vagas de todo el asunto. De modo que, en general, se da por supuesto que no va a llegar a ninguna parte y que está haciendo el ridículo incluso más de lo que suponían previamente quienes tienen menos intuición que yo. Sin embargo, aquí lo tenemos, y nos hemos privado de la oportunidad de contratar un matemático de verdad. Es un tipo brillante, pero engreído como el demonio, infantil como Wiener, irreflexivo como X e indisciplinado como Y, sean quienes sean X e Y.^[1]

Ambrose tenía todas las razones para sentirse escéptico y molesto.

Ambrose era un matemático de casi cuarenta años, irascible, nervioso y hasta cierto punto frustrado, que, como indica la carta, rebosaba humor negro.^[2] Era radical e inconformista, se casó tres veces y, en una ocasión, pronunció una conferencia sobre el tema «Por qué soy ateo». Una vez, en Argentina, trató de defender de la policía a unos manifestantes de izquierdas, y acabó siendo golpeado y encarcelado. También era un fanático del jazz, amigo personal de Charlie Parker y buen trompetista.^[3] Bien parecido, robusto y con nariz de boxeador —se la había roto en un accidente en un ascensor—, era uno de los miembros más populares del departamento. Nash y él chocaron desde el principio.

Nash convirtió a Ambrose en el blanco de varias bromas pesadas. Un día, Nash colgó un cartel que decía: «Seminario sobre las verdaderas matemáticas. El seminario se reunirá semanalmente, los jueves a las dos de la tarde, en la sala común»; era el día y la hora en que Ambrose impartía su asignatura de doctorado sobre análisis matemático.^[4] En otra ocasión, después de que Ambrose pronunciara una conferencia en el coloquio de matemáticos de Harvard, Nash hizo que le entregaran un gran ramo de rosas rojas en el estrado, como si Ambrose fuera una bailarina aclamada por el público.^[5]

Ambrose respondía a las provocaciones. En la lista de tareas pendientes que Nash tenía colgada en un tablón junto a su escritorio, escribió: «Irme a tomar por culo»,^[6] y fue él quien bautizó a Nash con el apodo de Gnash por su costumbre de hacer constantemente comentarios despectivos sobre otros matemáticos.^[7] Durante una discusión en la sala común, después de una de las diatribas de Nash sobre mediocres y parásitos, Ambrose le dijo con disgusto: «Si eres tan listo, ¿por qué no resuelves el problema de la inmersión de las variedades?». Se trataba de un problema notablemente difícil que seguía pendiente desde que Riemann lo planteó.^[8] Nash lo resolvió.

Dos años más tarde, en la Universidad de Chicago, Nash empezaría una conferencia sobre su primer teorema verdaderamente importante diciendo: «Lo hice por una apuesta».^[9] Esa afirmación inicial de Nash dice mucho de él: era un matemático que no consideraba su disciplina como una gran estructura, sino como una colección de problemas desafiantes. En la taxonomía de los matemáticos, hay especialistas en resolver problemas y hay teóricos, y Nash, por temperamento, pertenecía al primer grupo. No era un especialista en teoría de juegos, un analista, un algebrista, un geómetra, un experto en topología ni un físico matemático, pero concentró todos sus esfuerzos en áreas de esas especialidades en las cuales prácticamente nadie había conseguido nada: la cuestión era encontrar una pregunta interesante sobre la cual pudiera decir algo.

Antes de aceptar el reto de Ambrose, Nash quiso cerciorarse de que resolver el problema le cubriría de gloria, y no se limitó a interrogar a varios expertos acerca de la importancia del problema, sino que, según Felix Browder —otro profesor auxiliar dotado con una beca Moore—, aseguró que había obtenido la solución mucho antes de haberla conseguido realmente.^[10] Según Browder, cuando un matemático de Harvard le pidió explicaciones, «Nash explicó que quería averiguar si valía la pena trabajar en aquello».^[11]

—La discusión sobre las variedades era omnipresente —diría en 1995 Joseph Kohn, gesticulando en el aire—. La pregunta exacta que Ambrose le planteó aquel día a Nash en la sala común fue la siguiente: ¿es posible realizar la inmersión de cualquier variedad riemanniana en un espacio euclidiano?^[12]

Se trata de una «pregunta profundamente filosófica» que afecta a los fundamentos de la geometría y que se habían planteado prácticamente todos los matemáticos —de Riemann a Hilbert y de Elie-Joseph Cartan a Hermann Weyl— que trabajaron en el campo de la geometría diferencial desde el siglo XIX.^[13] La pregunta, formulada explícitamente por primera vez por Ludwig Schläfli en la década de 1870, surgió de forma natural a partir de una progresión de otros interrogantes que se habían planteado y resuelto parcialmente a partir de mediados del siglo XIX.^[14] Primero, los matemáticos estudiaron las curvas ordinarias, luego las superficies y, finalmente, gracias a Riemann —un genio alemán de salud quebradiza y una de las máximas figuras de las matemáticas del siglo XIX—, objetos geométricos de más dimensiones. Riemann descubrió muchos ejemplos de variedades en el interior de los espacios euclidianos, pero, a principios de la década de 1950, el incremento del interés por las variedades se debía, en parte, al importante papel que desempeñaba la distorsión del tiempo y el espacio en la teoría de la relatividad de Einstein.

La descripción del problema de la inmersión que ofrece el propio Nash en su texto autobiográfico escrito en 1995 con ocasión del Nobel proporciona indicios de la razón por la cual deseaba asegurarse de que resolver el problema merecería el esfuerzo: «A pesar de tratarse de un problema clásico, no se hablaba mucho de él como un problema pendiente y relevante. No era, por ejemplo, como la conjetura de los cuatro colores».^[15]

La inmersión comporta representar un objeto geométrico como un espacio de alguna dimensión o, para ser un poco más precisos, como un subconjunto de dicho espacio. Tómese como ejemplo la superficie de una esfera: no se puede poner en una pizarra, que es un espacio de dos dimensiones, pero sí se puede convertir en un subconjunto de espacios de tres o más dimensiones. Pensemos ahora en un objeto un poco más complicado, por ejemplo, una botella de Klein: una botella de Klein tiene el aspecto de una lata a la cual se le han quitado la tapa y el fondo y cuya parte superior se ha estirado hasta unirla, atravesando la zona lateral, con la parte inferior. Si se piensa en ello, resulta obvio que, si se intenta realizar esa operación en un espacio tridimensional, el objeto se interseca a sí mismo, lo cual no resulta muy bueno desde el punto de vista matemático, ya que el área más cercana a la intersección presenta un aspecto extraño e irregular, y los intentos de calcular varias propiedades de esa parte del objeto, como la distancia o la velocidad de cambio, tienden a fracasar. Sin embargo, si se coloca la misma botella de Klein en un espacio de cuatro dimensiones, el objeto ya no se interseca a sí mismo: al igual que una esfera inmersa en tres dimensiones, una botella de Klein en un espacio de cuatro dimensiones se convierte en una variedad que se deja manejar a la perfección.

El teorema de Nash afirma que, en realidad, cualquier tipo de superficie que comporte una noción especial de regularidad es susceptible de inmersión en un espacio euclidiano. Nash mostró que se puede plegar la variedad como si fuera un pañuelo de seda, sin que por ello se le cause distorsión. Nadie hubiera esperado que el teorema de Nash fuera cierto; en realidad, todo el mundo habría esperado lo contrario.

—Era de una originalidad increíble —dice Mijail Gromov, el geómetra cuyo libro Partial Differential Relations se basa en el trabajo de Nash—. Muchos de nosotros poseemos la capacidad de desarrollar ideas ya existentes: seguimos caminos que otros han preparado. Sin embargo, la mayoría no podremos producir nunca nada que sea comparable a lo que produjo Nash. Es como el impacto de un rayo. Desde el punto de vista psicológico, la barrera que rompió es absolutamente fantástica: cambió por completo la perspectiva sobre las ecuaciones diferenciales con derivadas parciales. En décadas recientes, ha habido cierta tendencia a desplazarse de la armonía hacia el caos; Nash dice que el caos está justo a la vuelta de la esquina.^[16]

John Conway, el matemático de Princeton que descubrió los números surreales e ideó el juego Life, define el resultado de Nash como «una de las obras de análisis matemático más importantes del siglo».^[17]

Habría que añadir que también constituyó un golpe deliberado a los métodos que entonces estaban de moda para abordar las variedades riemannianas, de la misma forma en que el enfoque adoptado por Nash sobre la teoría de los juegos había constituido un desafío directo al de Von Neumann. El propio Ambrose, por ejemplo, estaba empeñado, en aquella época, en realizar una descripción extremadamente abstracta y conceptual de aquellas mismas variedades. En palabras de Jürgen Moser, un joven matemático alemán que llegó a conocer bien a Nash a mediados de los cincuenta, «a Nash no le gustaba nada aquel estilo de matemáticas, y estaba dispuesto a mostrar que aquella metodología —que a él le parecía exótica— era completamente innecesaria, dado que todas aquellas variedades eran, simplemente, subvariedades de un espacio euclidiano de más dimensiones».^[18]

Quizá el logro más importante de Nash fuera la poderosa técnica que ideó para obtener el resultado, ya que, para demostrar su teorema, tuvo que hacer frente a un obstáculo aparentemente insuperable: resolver cierto grupo de ecuaciones diferenciales con derivadas parciales que eran imposibles de solucionar con los métodos existentes.

Aquel obstáculo surgía en numerosos problemas matemáticos y físicos: es la dificultad que, según la carta de Ambrose, Levinson le había indicado a Nash, y aparece en muchísimos problemas, especialmente en los no lineales.^[19] Cuando se resuelve una ecuación, lo habitual es que se disponga de una función y se busquen estimaciones de las derivadas de una solución en términos de derivadas de la función dada. La solución de Nash era singular debido a que las estimaciones a priori perdían las derivadas. Nadie sabía cómo tratar aquellas ecuaciones, pero Nash ideó un nuevo método iterativo —un hábil procedimiento consistente en formular una serie de estimaciones aproximadas— para hallar las raíces de las ecuaciones y lo combinó con una técnica de regularización para compensar la pérdida de derivadas.^[20]

Newman describe a Nash como «un pensador muy poético, diferente a los demás».^[21] En el caso que nos ocupa, Nash empleó el cálculo diferencial en lugar de representaciones geométricas o manipulaciones algebraicas, unos métodos que eran prolongaciones clásicas del análisis matemático del siglo XIX. Actualmente, esa técnica se conoce como teorema de Nash-Moser, aunque está fuera de discusión que fue Nash quién la ideó.^[22] Jürgen Moser mostraría que la técnica de Nash se podía modificar para aplicarla a la mecánica celeste —el movimiento de los planetas—, particularmente con el fin de determinar la estabilidad de las órbitas periódicas.^[23]

Nash resolvió el problema mediante dos pasos. Descubrió que se podía realizar la inmersión de una variedad riemanniana en un espacio de tres dimensiones si se ignoraba la regularidad:^[24] por así decirlo, había que arrugarla. Se trataba de un resultado original, extraño e interesante, pero era una simple curiosidad matemática o, por lo menos, eso parecía;^[25] los matemáticos tenían interés en la inmersión sin pliegues, en la cual se pudiera preservar el carácter liso de la variedad.

En su nota autobiográfica, Nash escribe lo siguiente:

Así, tan pronto como oí hablar en el MIT de que la cuestión de la posibilidad de la inmersión seguía abierta, empecé a estudiarla. La primera incursión en el tema me llevó a un resultado curioso: la posibilidad de inmersión se podía realizar en espacios de dimensiones sorprendentemente escasas, a condición de que se aceptara que dicha inmersión poseería solamente una regularidad limitada. Luego, mediante el «análisis pesado», el problema se resolvió en términos de una inmersión con un grado de regularidad más apropiado.^[26]

Nash presentó su «curioso» resultado inicial en un seminario celebrado en Princeton, muy probablemente en la primavera de 1953, aproximadamente al mismo tiempo que Ambrose escribía su mordaz carta a Halmos. Emil Artin se encontraba entre los asistentes y no ocultó sus dudas:

—Bueno, eso está muy bien, pero ¿y el teorema sobre la inmersión? —dijo—. No lo resolverás nunca.

—Lo tendré la semana que viene —respondió en el acto Nash.^[27]

Una noche, posiblemente de camino hacia aquella cita, Nash conducía a toda velocidad por la carretera de Merritt,^[28] y Poldy Flatto iba con él hasta el Bronx. Flatto, al igual que el resto de doctorandos, sabía que Nash se estaba dedicando al problema de la inmersión y, muy probablemente para sacar de quicio a Nash y tener el placer de observar su reacción, le comentó que Jacob Schwartz, un matemático joven y brillante de Yale a quien Nash conocía superficialmente, también estaba trabajando en aquel problema.

Nash se alteró considerablemente y, agarrando con fuerza el volante, le preguntó a Flatto, casi a gritos, si quería decir que Schwartz había resuelto ya el problema.

—No he dicho eso —le corrigió Flatto—, sino que he oído decir que estaba trabajando en ello.

—¿Trabajando en ello? —repuso Nash, relajando todo el cuerpo—. Bueno, entonces no hay razón para preocuparse: él no tiene las intuiciones que tengo yo.

Efectivamente, Schwartz estaba trabajando en el mismo problema y, más adelante, después de que Nash hubiera ofrecido su solución, escribiría un libro sobre los teoremas de las funciones implícitas. En 1996, Schwartz recordaría:

—Tuve la mitad de la idea de forma independiente, pero no conseguí tener la otra mitad. Resulta fácil llegar a una afirmación aproximativa ya que, si bien no se puede realizar con exactitud la inmersión de todas las superficies, sí es posible acercarse a ello de forma arbitraria. Tuve la idea y pude obtener la demostración de la mitad fácil en un día. Luego, sin embargo, me di cuenta de que había un problema técnico; trabajé en él durante un mes y no fui capaz de descubrir ningún modo de avanzar: me encontré con un muro infranqueable y no supe qué hacer. Nash trabajó en aquel problema durante dos años con una especie de tenacidad feroz y fantástica, hasta que consiguió atravesar el muro.^[29]

Una semana tras otra Nash se presentaba en el despacho de Levinson, igual que había hecho en Princeton con Spencer. Le explicaba lo que había logrado y Levinson le demostraba por qué no servía. Isadore Singer, otro profesor auxiliar con una beca Moore, relata lo siguiente:

—Le enseñaba las soluciones a Levinson; las primeras veces, eran completamente erróneas, pero él no se rendía. A medida que veía que el problema se volvía más y más complicado, se volcaba cada vez más en él. Es cierto que su única motivación era demostrar a todo el mundo lo bueno que era, pero, por otra parte, no se rindió ni siquiera cuando el problema resultó mucho más difícil de lo esperado: se implicó todavía más en él.^[30]

No hay modo de saber qué es lo que capacita a alguien para resolver un gran problema, mientras que otra persona, igualmente brillante, no lo consigue. Algunos grandes genios han sido velocistas que han resuelto los problemas rápidamente, pero Nash era un corredor de fondo. Si con su enfoque de la teoría de juegos había desafiado a Von Neumann, ahora se había enfrentado a las certidumbres establecidas durante casi un siglo: entró en un terreno clásico donde todo el mundo creía entender lo que era posible y lo que no lo era.

—Requería un enorme valor abordar aquellos problemas —afirma Paul Cohen, matemático de la Universidad de Stanford y ganador de una medalla Fields.^[31]

La capacidad de Nash para soportar la soledad, su gran confianza en sus propias intuiciones y su indiferencia ante las críticas —unas características que ya se detectaban cuando era más joven, pero que ahora se habían convertido en rasgos destacados e impermeables de su personalidad— le fueron de gran utilidad. Estaba acostumbrado a trabajar duramente; lo hacía en su despacho del MIT, principalmente de noche —a partir de las diez y hasta las tres de la madrugada—, fines de semana incluidos, «sin más referencias que su propia mente» y su «suprema confianza en sí mismo», según cuenta un observador. Schwartz lo resume todo en «la capacidad de seguir golpeando el muro hasta que la piedra se rompe».

La inesperada propuesta de Martin, a principios de 1953, de ofrecer a Nash un puesto permanente de profesor desencadenó una tormentosa controversia entre los dieciocho titulares del cuerpo docente del departamento de matemáticas.^[32] Levinson y Wiener se contaban entre los que apoyaban firmemente a Nash, pero otros, como Warren Ambrose y George Whitehead, el destacado especialista en topología, se oponían a él: los puestos de profesor auxiliar de las becas Moore no estaban pensados como plazas con posibilidad de convertirse en permanentes. Nash se había granjeado una gran cantidad de enemigos y pocos amigos en el año y medio que llevaba en el MIT, ya que su actitud de desdén respecto a sus colegas y su historial poco brillante como profesor le habían reportado la antipatía de muchos.

Sin embargo, la objeción más importante de los oponentes de Nash era que consideraban que no había demostrado que fuera capaz de producir resultados tangibles. Según Whitehead, «se daba mucha importancia, y algunos no estábamos seguros de que pudiera estar verdaderamente a la altura de lo que pretendía»;^[33] como podía esperarse, Ambrose era del mismo parecer. Ni siquiera los defensores de Nash estaban plenamente seguros de él. Flatto recuerda una ocasión en que Nash acudió al despacho de Levinson para preguntarle si había leído un borrador de su texto sobre inmersiones, y Levinson le dijo:

—Si quieres que te diga la verdad, no tengo suficientes conocimientos sobre el tema para emitir un juicio.^[34]

Cuando, finalmente, Nash logró resolver el problema, Ambrose hizo lo que correspondía a un buen matemático y a una persona honesta: su aplauso fue tanto o más caluroso que el de los demás. Las bromas pesadas se convirtieron en amistosas y, entre otras cosas, Ambrose empezó a decirles a sus amigos amantes de la música que Nash silbaba con el tono más puro y hermoso que jamás había oído.^[35]