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LA IDEA POCO CONVENCIONAL DE NASH
Princeton, 1949-1950

En verano de 1949, Albert Tucker contrajo unas paperas por contagio de uno de sus hijos.^[1] Había planeado que, a fines de agosto, estaría ya en Palo Alto, California, donde pensaba pasar su año sabático, pero, en lugar de eso, estaba en su despacho del Fine, recogiendo algunos libros y documentos, cuando entró Nash y le preguntó si querría dirigir su tesis.

La petición tomó por sorpresa a Tucker,^[2] quien, durante el primer curso de Nash en Princeton, había tenido escaso contacto con él y creía que probablemente realizaría la tesis con Steenrod. Sin embargo, Nash, que no ofreció ninguna explicación real, se limitó a decirle a Tucker que creía haber hallado algunos «buenos resultados relacionados con la teoría de juegos». Tucker, que aún no se encontraba bien del todo y ardía en deseos de llegar a casa, aceptó dirigir la tesis de Nash por la simple razón de que estaba seguro de que, al verano siguiente, cuando él volviera a Princeton, el doctorando estaría todavía en las etapas iniciales de la investigación.

Seis semanas más tarde, Nash y otro estudiante compraban cervezas para una multitud de doctorandos y profesores en el bar situado en los bajos del hostal Nassau, según exigía la tradición a quienes acababan de aprobar los exámenes generales.^[3] A cada minuto que pasaba, los matemáticos se hallaban más alborotados y más bebidos; se estaba desarrollando un concurso de poemas satíricos, cuyo objetivo era inventar la rima más ingeniosa y grosera posible sobre un miembro del departamento de matemáticas de Princeton, preferentemente uno de los presentes, y vociferarla con toda la fuerza que permitieran los pulmones.^[4] En un determinado momento, un escocés muy peludo —adecuadamente llamado Macbeath— se puso de pie de un salto y, con una botella de cerveza en la mano, empezó a cantar a voz en grito una estrofa tras otra de una canción de taberna popular y salaz, a cuyo estribillo se unieron los demás:

Aquella noche, con su rito de paso masculino y pintoresco, marcó el final de la época de estudiante de Nash. Había pasado todo un verano caluroso y húmedo encerrado en Princeton y obligado a dejar de lado los problemas interesantes en los cuales había estado pensando hasta entonces, para preparar a toda prisa el examen general.^[6] Afortunadamente, Lefschetz había designado un trío de examinadores bien dispuestos —Church, Steenrod y un profesor visitante de Stanford, Donald Spencer—^[7] y la desagradable experiencia transcurrió sin mayores contratiempos.

Muchos matemáticos han dado testimonio de lo provechoso que resulta dejar de lado durante un tiempo un problema parcialmente resuelto y dejar que el subconsciente trabaje entre bastidores.

El verano «perdido» de Nash, con el abandono forzoso de su investigación, resultó inesperadamente fructífero y permitió que varias corazonadas vagas de la primavera cristalizaran y maduraran. En octubre, empezó a experimentar algo parecido a una tormenta de ideas, entre las cuales estaba su brillante intuición sobre el comportamiento humano: el equilibrio de Nash.

Pocos días después de pasar los exámenes generales, Nash fue a ver a Von Neumann;^[8] según le dijo presuntuosamente a la secretaria, quería exponer una idea que quizá fuera del interés del profesor Von Neumann. Era una audacia que un doctorando hiciera una cosa semejante:^[9] Von Neumann era una figura pública, tenía muy poco contacto con los estudiantes de doctorado de Princeton fuera de sus ocasionales conferencias y, en general, los disuadía de que acudieran a él con sus problemas de investigación. Sin embargo, aquél fue un acto típico de Nash, que ya el año anterior había ido a ver a Einstein con el germen de una idea.

Von Neumann estaba sentado en un enorme escritorio, vestido con un traje de tres piezas, corbata de seda y un elegante pañuelo en el bolsillo,^[10] que le daban una apariencia más propia de un próspero presidente de banco que de un académico; tenía el aire preocupado de un ejecutivo muy atareado. Le hizo una seña a Nash para que se sentara; por supuesto, sabía quién era, aunque parecía un poco desconcertado por su visita.

Escuchó atentamente, con la cabeza ligeramente ladeada y tamborileando en la mesa con los dedos, mientras Nash empezaba a describir la prueba que tenía en mente para demostrar un equilibrio en juegos de más de dos participantes. Sin embargo, antes de que Nash hubiera pronunciado algo más que unas cuantas frases inconexas, Von Neumann le interrumpió, saltó a la conclusión —aún no expuesta— de la argumentación del joven y le dijo abruptamente:

—Mire, eso es una trivialidad. No es más que un teorema de punto fijo.^[11]

No resulta en absoluto sorprendente que ambos genios chocaran entre sí, ya que habían llegado a la teoría de juegos a partir de dos visiones opuestas sobre la forma en que interacciona la gente. Von Neumann, que se había hecho adulto discutiendo en cafés europeos y colaboraba en la construcción de la bomba atómica y de los ordenadores, consideraba a las personas como seres sociales que están en permanente comunicación, y por ello le resultaba perfectamente natural poner el acento en la importancia central que tenían en la sociedad las coaliciones y la acción conjunta. Nash tendía a pensar en las personas como seres que estaban aislados de sus semejantes y que actuaban por su cuenta, razón por la cual le parecía mucho más natural una perspectiva basada en los modos en que la gente reacciona a los incentivos individuales.

Aun así, el rechazo de Von Neumann al intento de Nash de conseguir su atención y su aprobación debió de herir al segundo, y cabe suponer que aquella actitud le resultó todavía más dolorosa que la falta de interés que, de forma más amable, le había demostrado anteriormente Einstein. Nash no volvió a acercarse jamás a Von Neumann, y más tarde consideró la reacción de aquél como la postura defensiva natural de un pensador establecido frente a la idea de un rival más joven, una visión que quizá dice más acerca de lo que Nash tenía en su mente cuando acudió a Von Neumann que sobre éste. Con toda seguridad, Nash era consciente de que, implícitamente, estaba desafiando a Von Neumann; en su autobiografía a propósito del Nobel, Nash observa que sus ideas «se desviaban, en cierta medida, de la “línea” (en el sentido de la “línea política del partido”) del libro de Von Neumann y Morgenstern».^[12]

En una carta a Robert Leonard, Nash le daba un nuevo giro a la historia: «En lugar de tratar simplemente de unirme a la coalición de Von Neumann, estaba jugando a un juego no cooperativo con él y, por supuesto, es natural, desde un punto de vista psicológico, que no le complaciera mucho un enfoque teórico rival».^[13] En su opinión, Von Neumann nunca se comportó de forma deshonesta. Nash se compara a sí mismo con un joven físico que desafió a Einstein, y señala que, inicialmente, éste se mostró crítico con la teoría unificada pentadimensional de los campos gravitacionales y eléctricos de Kaluza, pero luego apoyó su publicación.^[14] En aquel caso, Nash, que con tanta frecuencia menospreciaba los sentimientos y las motivaciones de los demás, logró advertir rápidamente ciertas tendencias emocionales ocultas, especialmente la envidia y los celos; en cierto modo, consideró el rechazo como el precio que debía pagar el genio.

Pocos días después de la desastrosa reunión con Von Neumann, Nash abordó a David Gale.

—Creo que he encontrado una forma de generalizar el teorema del minimax de Von Neumann —le dijo impulsivamente—. La idea fundamental es que, en una solución para el caso de dos personas y suma cero, la mejor estrategia para ambas es […] Toda la teoría se basa en ello; funciona con cualquier número de personas y no es preciso que sea un juego de suma cero.^[15]

Gale recuerda que Nash dijo: «Creo que lo llamaré punto de equilibrio». El concepto de equilibrio consiste en la existencia de un punto natural de inmovilidad que tiende a persistir. A diferencia de Von Neumann, Gale comprendió el argumento principal de Nash:

—Vaya —dijo—, es una buena tesis.

Gale se dio cuenta de que la idea de Nash era aplicable a una serie de situaciones reales mucho más amplia que la noción de juegos de suma cero de Von Neumann. Más adelante diría:

—Tenía un concepto que se podía aplicar incluso al desarme. —Sin embargo, a Gale no lo sedujeron tanto las posibles aplicaciones de la idea de Nash como su elegancia y su generalidad—: El contenido matemático era enormemente hermoso. Todo era extremadamente correcto desde el punto de vista matemático […] Desde luego, me di cuenta de inmediato que era una tesis sólida, aunque no de que merecería un Nobel.^[16]

Casi cincuenta años más tarde, dos meses antes de su muerte, Tucker no podía recordar haber recibido un primer borrador de la tesis de Nash, que éste le envió a Stanford, ni su reacción al leerlo, a excepción de su sorpresa por el hecho de que Nash hubiera obtenido resultados con tanta rapidez. Sin embargo, estaba seguro de que no le había causado asombro:

—No estaba claro si sería o no de algún interés para los economistas.^[17]

Tucker, que era canadiense, poseía, a pesar de la rigidez metodista, una rara propensión a defender ideas y personas nada convencionales. Fue un profesor competente como pocos y creía firmemente que los estudiantes debían escoger los temas de investigación por los cuales sintieran pasión, y no los que simplemente creyeran que les gustarían a sus profesores. Fue el mismo Tucker quien, unos años más tarde, convenció a otro joven y excéntrico genio, Marvin L. Minsky, que llegaría a ser uno de los padres de la inteligencia artificial, de que abandonara el problema matemático —importante pero aburrido— que había elegido como tema de su tesis, para escribir sobre su auténtica pasión, que era la estructura del cerebro.^[18] Tucker siempre aseguró que él hizo poco más que dar el visto bueno a la breve tesis de Nash, que sólo tenía veintisiete páginas —«no desempeñé ningún papel esencial», decía—, pero alentó al joven para que la presentara rápidamente y defendió sus méritos en el departamento.^[19] Kuhn, que en aquella época tenía mucha relación con Tucker, recordaría más tarde:

—La tesis se completó y presentó gracias a la insistencia y los consejos del profesor Tucker; John siempre quería añadir más material, y Tucker tuvo el acierto de decirle: «Publica pronto los resultados».^[20]

Tucker respondió al primer borrador de Nash pidiéndole que incluyera un ejemplo concreto de su idea de equilibrio y también le sugirió una serie de cambios de presentación:

—Insistí en que tratara un caso particular, en lugar de uno general.^[21]

La recomendación era, para él, principalmente estética; según decía, «cuando se trata el caso general, hay que enfrentarse con una notación sofisticada que es muy complicada de leer».^[22] Nash respondió con un prolongado silencio que era, en realidad, una muestra de su enfado.

—Reaccionó de una forma desfavorable que consistió, principalmente, en no expresar nada: no supe de él durante mucho tiempo —recordó Tucker.^[23]

En realidad, Nash estuvo considerando la posibilidad de abandonar su tesis con Tucker y dedicarse a otro tema, un ambicioso problema de geometría algebraica, con Steenrod.^[24] Había optado por interpretar las propuestas de revisión de Tucker —junto con la fría reacción de rechazo de Von Neumann— como señales de que el departamento no aceptaría como tesis su trabajo sobre la teoría de juegos. Sin embargo, Tucker, que podía ser sorprendentemente enérgico, le convenció finalmente para que siguiera adelante con su idea original, y también para que realizara las modificaciones que le había pedido.

—Nash tenía respuesta para todo —decía—. Era imposible atraparlo en un error matemático.^[25]

En una carta a Lefschetz del 10 de mayo de 1950, Tucker dice: «No es preciso que vea el borrador revisado, pues me ha mantenido informado (casi diariamente) de los progresos de la revisión. —Y añade—: Me ha alegrado enormemente percibir en Nash un agradable cambio de actitud en el curso de nuestra larga correspondencia sobre su trabajo; hacia el final, se ha mostrado mucho más atento y dispuesto a cooperar. Yo le envié por escrito una buena reprimenda, pero sospecho que tú o alguna otra persona de Princeton habéis tenido alguna influencia en el cambio».^[26]

Todo el edificio de la teoría de juegos reposa sobre dos teoremas: el teorema del minimax de Von Neumann, de 1928, y el teorema del equilibrio de Nash, de 1950.^[27] Se puede considerar, como hacía el propio Nash, que el teorema de Nash es una generalización del de Von Neumann, pero también que constituye una desviación radical del mismo. El teorema de Von Neumann era la piedra angular de su teoría de juegos de oposición pura, llamados juegos de dos personas y suma cero. Sin embargo, esos juegos no tienen prácticamente ninguna relevancia en el mundo real:^[28] incluso en la guerra, la cooperación casi siempre proporciona alguna ganancia. Nash introdujo la distinción entre juegos cooperativos y juegos no cooperativos.^[29] En los juegos cooperativos, los participantes pueden llegar a acuerdos aplicables con otros jugadores; en otras palabras, pueden comprometerse por completo, como grupo, en estrategias específicas. Por el contrario, en un juego no cooperativo, ese tipo de compromiso colectivo es imposible: no existen acuerdos aplicables. Al ampliar la teoría para que incluyera juegos que implican una combinación de cooperación y competencia, Nash consiguió abrir la puerta a las aplicaciones de la teoría de juegos a la economía, la ciencia política, la sociología y, en última instancia, a la biología evolutiva.^[30]

A pesar de que Nash utilizó la misma forma estratégica propuesta por Von Neumann, su enfoque es radicalmente distinto. Más de la mitad del libro de Von Neumann y Morgenstern trata de la teoría cooperativa y, además, su concepto de solución —algo que llaman conjunto estable— no existe en ningún juego. En cambio, Nash demuestra en la sexta página de su tesis que cualquier juego no cooperativo con cualquier número de jugadores tiene, por lo menos, un punto de equilibrio.

Para comprender la belleza del resultado de Nash, según escriben Avinash Dixit y Barry Nalebuff en Pensar estratégicamente: un arma decisiva en los negocios, hay que empezar por la noción de que la interdependencia es el rasgo distintivo de los juegos de estrategia:^[31] el resultado que un jugador obtenga de un juego depende de lo que decidan hacer todos los demás, y viceversa. Los juegos como el tres en raya y el ajedrez comportan un tipo de interdependencia: los jugadores realizan sus movimientos de forma sucesiva, y el uno conoce los movimientos del otro. El principio fundamental para un participante en un juego de movimiento secuencial es mirar adelante y razonar hacia atrás. Cada jugador trata de calcular la forma en que los demás responderán a su movimiento presente, cómo responderá él a su vez, y así sucesivamente. El jugador prevé adonde lleva, en último término, su decisión inicial, y usa la información para realizar la mejor elección en cada momento. En principio, es posible resolver por completo cualquier juego que termine después de una secuencia finita de movimientos: la mejor estrategia del jugador puede establecerse previendo todos los resultados posibles. En el caso del ajedrez, a diferencia del tres en raya, los cálculos son demasiado complicados para el cerebro humano e incluso para los programas informáticos confeccionados por seres humanos, por lo cual los jugadores prevén unos cuantos movimientos y tratan de valorar las posiciones resultantes sobre la base de la experiencia.

En cambio, los juegos como el póquer comportan movimientos simultáneos. «En contraste con la cadena lineal de razonamiento de los juegos secuenciales, un juego con movimientos simultáneos implica un círculo lógico —escriben Dixit y Nalebuff—. Aunque los jugadores actúan al mismo tiempo ignorando las acciones simultáneas de los demás participantes, todos están obligados a pensar en el hecho de que hay otros jugadores que, a su vez, tienen una conciencia similar. El póquer es un ejemplo de “pienso que piensa que pienso que piensa que pienso…”. De forma figurada, todo el mundo tiene que ponerse en el lugar de los demás y tratar de calcular el resultado. La acción óptima de cada cual es parte integrante del cálculo.»^[32]

Podría parecer que un razonamiento circular como ése no tiene conclusión, pero Nash consiguió la cuadratura del círculo por medio del empleo de un concepto de equilibrio según el cual cada participante escoge su mejor respuesta a lo que hacen los demás. Los jugadores buscan un conjunto de opciones según el cual la estrategia de cada persona le beneficia cuando los demás desarrollan sus mejores estrategias.

En ocasiones, la mejor elección de una persona es la misma sin que importe lo que hagan los demás; lo que se llama estrategia dominante para ese jugador. Otras veces, un jugador tiene opciones uniformemente negativas —una estrategia dominada—, en el sentido de que cualquier otra opción sería mejor para él, con independencia de lo que hagan los demás. La búsqueda de equilibrio debería empezar por buscar estrategias dominantes y eliminar las dominadas. Sin embargo, esos casos son especiales y relativamente infrecuentes, ya que, en la mayoría de juegos, la mejor elección de cada jugador depende, en realidad, de lo que hagan los demás, y en ese caso es preciso volver a la construcción de Nash.

Nash definió el equilibrio como una situación en la cual ningún jugador podría mejorar su posición eligiendo una estrategia alternativa disponible sin que ello comportara que la mejor elección privada de cada persona condujera a un resultado óptimo desde el punto de vista colectivo, y demostró que, en cierta clase, muy amplia, de juegos de cualquier número de jugadores, existe por lo menos un equilibrio, en la medida en que estén permitidas estrategias combinadas. Sin embargo, algunos juegos tienen muchos equilibrios y otros, relativamente infrecuentes y que no pertenecen a la clase que él definió, pueden no tener ninguno.

Actualmente, el concepto equilibrio de Nash referente a los juegos estratégicos constituye uno de los paradigmas básicos de las ciencias sociales y la biología.^[33] El éxito de su visión es lo que, en gran medida, ha permitido la aceptación de la teoría de juegos como «un método poderoso y elegante para abordar una materia que había ido haciéndose cada vez más barroca, de forma muy parecida al modo en que los métodos de la mecánica celeste newtoniana reemplazaron los métodos —primitivos y cada vez más ad hoc— de los antiguos», según palabras de The New Palgrave.^[34] Como muchas grandes ideas científicas, desde la teoría de la gravitación de Newton a la teoría de la selección natural de Darwin, inicialmente la idea de Nash pareció demasiado simple para ser verdaderamente interesante y demasiado restringida para tener una aplicación amplia y, posteriormente, tan obvia que se consideró inevitable que alguien la hubiera descubierto.^[35] Como dijo Reinhard Selten, el economista alemán que compartió el premio Nobel de 1994 con Nash y John C. Harsanyi: «Nadie hubiera predicho el gran impacto del equilibrio de Nash en la economía y en las ciencias sociales en general, y aún era menos previsible que el concepto de punto de equilibrio de Nash llegara a tener algún significado para la teoría biológica».^[36] Efectivamente, su trascendencia no se reconoció de inmediato; ni tan siquiera lo hizo su propio autor, un presuntuoso joven de veintiún años, ni, por supuesto, el genio que había inspirado a Nash, Von Neumann.^[37]