8. LA GRAN UNIFICACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS

Fernando Gouvea

Esta vez no había dudas sobre la demostración. Los dos artículos, cuya extensión total era de 130 páginas, fueron los originales matemáticos más intensamente examinados de la historia y finalmente se publicaron en Annals of Mathematics (mayo de 1995).

Una vez más, Wiles se encontró en la portada del New York Times, pero esta vez el titular, «Los matemáticos afirman haber resuelto un enigma clásico», se vio ensombrecido por otra noticia científica: «Un descubrimiento sobre la edad del universo plantea un nuevo enigma cósmico». Aunque esta vez los periodistas eran algo menos entusiastas sobre el último teorema de Fermat, los matemáticos percibían el verdadero significado de la demostración. «En términos matemáticos, la demostración es el equivalente de la división del átomo o el descubrimiento del ADN —dijo el profesor John Coates—. Una demostración de Fermat es un gran triunfo intelectual, y no se debería olvidar el hecho de que esto ha revolucionado la teoría de números de un solo golpe. Para mí, el encanto y la belleza del trabajo de Wiles son que han constituido un tremendo paso para la teoría algebraica de números».

Durante los ocho años de lucha, Wiles había reunido casi todos los grandes avances de la teoría de números del siglo XX y los había incorporado en una imponente demostración. Había creado técnicas matemáticas completamente nuevas y las había combinado con las tradicionales en formas que nadie habría considerado posibles. Al hacerlo abrió nuevas líneas de ataque a una multitud de problemas. De acuerdo con Ken Ribet, la demostración es una síntesis perfecta de matemáticas modernas y una fuente de inspiración para el futuro: «Creo que si estuvieras perdido en una isla desierta y sólo tuvieras el manuscrito, dispondrías de una gran cantidad de alimento intelectual. Podrías ver todas las ideas actuales sobre teoría de números. Vuelves una página y tienes una breve aparición de algún teorema fundamental de Deligne, vuelves otra página y de repente hay un teorema de Hellegouarch; utiliza y recurre a todas esas cosas durante un momento antes de pasar a la siguiente idea».

Mientras los periodistas científicos elogiaban la demostración de Wiles del último teorema de Fermat, algunos de ellos hablaban de la demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura que estaba inextricablemente unida a Fermat. Pocos se tomaron la molestia de mencionar la contribución de Yutaka Taniyama y Goro Shimura, los dos matemáticos japoneses que en los años cincuenta habían plantado las semillas para el trabajo de Wiles. Aunque Taniyama se había suicidado hacía más de treinta años, su colega Shimura estaba allí, testigo de la demostración de su conjetura. Cuando se le preguntó sobre su reacción frente a la demostración, Shimura sonrió amablemente y de manera comedida y digna declaró: «Yo ya lo dije».

Como muchos de sus colegas, Ken Ribet cree que la demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura ha transformado las matemáticas: «Una importante repercusión sicológica es que la gente puede ahora avanzar en problemas en los que antes era demasiado tímida para trabajar. El panorama es diferente pues sabes que todas las ecuaciones elípticas son modulares, y, por lo tanto, cuando demuestras un teorema para ecuaciones elípticas también estás abordando un problema de formas modulares, y viceversa. Tienes una perspectiva diferente de lo que está sucediendo y te sientes menos intimidado por la idea de trabajar básicamente con formas modulares porque en realidad estás trabajando con ecuaciones elípticas. Y, por supuesto, cuando escribes un artículo sobre ecuaciones elípticas, en lugar de decir que no sabemos algo y por ello vamos a suponer la conjetura de Taniyama-Shimura, ahora sólo hay que decir que sabemos que la conjetura es cierta, así que tal y tal debe ser cierto. Es una experiencia mucho más placentera».

Por medio de la conjetura de Taniyama-Shimura, Wiles había unificado los mundos elíptico y modular, y al hacerlo había provisto a las matemáticas de un atajo para muchas otras demostraciones; problemas en un dominio podrían ser resueltos por analogía recurriendo a problemas en el dominio paralelo. Problemas clásicos sin resolver de las ecuaciones elípticas, algunos de los cuales se remontan a los antiguos griegos, podrían ser reexaminados usando todas las herramientas y técnicas modulares disponibles.

Aún más importante, Wiles había dado el primer paso hacia el plan de unificación de Robert Langlands: el Programa Langlands. Ahora existe un redoblado esfuerzo para demostrar otras conjeturas que enlazan otras áreas de las matemáticas. En marzo de 1996, Wiles compartió con Langlands los cien mil dólares del Premio Wolf (no confundir con el Premio Wolfskehl). El Comité Wolf reconocía así que la demostración de Wiles era un logro asombroso en sí misma a la vez que había insuflado nueva vida en el ambicioso proyecto de Langlands. Un avance que podía llevar a las matemáticas a su siguiente época dorada de solución de problemas.

Después de un año de desasosiego e incertidumbre, la comunidad matemática podía finalmente regocijarse. Cada simposio, coloquio o conferencia tenía una sesión dedicada a la demostración de Wiles, y en Boston algunos matemáticos propusieron un concurso de poesías jocosas para conmemorar el trascendental evento. Una de las presentadas fue la siguiente:

Grandes problemas sin resolver

Wiles es muy consciente de que para dar a las matemáticas una de sus demostraciones más importantes ha tenido que despojarlas de su mayor enigma: «Algunas personas me han dicho que les he arrebatado su problema y me preguntan si podría darles algún otro. Existe un sentimiento de nostalgia. Hemos perdido algo que ha estado con nosotros durante mucho tiempo, algo que nos ha guiado a muchos hacia las matemáticas. Tal vez esto siempre sea así en matemáticas. Tenemos que encontrar nuevos problemas que capten nuestra atención».

Aunque Wiles ha eliminado el problema más famoso de las matemáticas, los aficionados a los puzzles matemáticos no tienen que perder la esperanza puesto que aún quedan multitud de acertijos matemáticos sin resolver. Muchos de esos profundos problemas, como el último teorema de Fermat, tienen sus raíces en las matemáticas de la antigua Grecia y pueden ser comprendidos por un niño. Por ejemplo, existen aún misterios referentes a los números perfectos. Como se comentó en el capítulo 1, los números perfectos son aquellos en que la suma de sus divisores da exactamente el número original. Por ejemplo, 6 y 28 son número perfectos ya que

1, 2 y 3 dividen a 6   y   1 + 2 + 3 = 6,

1, 2, 4, 7 y 14 dividen a 28   y   1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

René Descartes dijo que «los números perfectos, como los hombres perfectos, son muy escasos», y, en efecto, en los últimos mil años sólo se han descubierto treinta. El más reciente y mayor de los número perfectos contiene 130 000 dígitos y se define por la fórmula

2^{216 090} × (2^{216 091} − 1).

Una propiedad común a todos los números perfectos conocidos es que son pares, lo que parece sugerir que todos los números perfectos lo son. Un reto obvio, y frustrante, sería demostrar si la siguiente afirmación es correcta: todos los números perfectos son pares.

El otro gran enigma sobre los números perfectos plantea si existe una cantidad infinita de ellos. La sucesión de números primos no sigue ningún modelo discernible y por tanto los primos son una infracción en sí mismos. Se los ha descrito como malas hierbas creciendo aleatoriamente entre los números naturales.

Al examinar el conjunto de los números naturales se encuentran regiones ricas en números primos, pero por alguna razón desconocida otras regiones están completamente desprovistas. Durante siglos, los matemáticos han intentado, en vano, explicar la estructura subyacente de los números primos. Podría ser que no existiera tal estructura y que los primos exhibieran una distribución intrínsecamente aleatoria, en cuyo caso los matemáticos harían bien en atacar otros problemas menos ambiciosos relacionados con los números primos.

Por ejemplo, hace dos mil años Euclides demostró que hay una cantidad inagotable de números primos (véase el capítulo 2), pero durante los dos últimos siglos los matemáticos han estado tratando de demostrar que también hay una cantidad inagotable de números primos gemelos. Los primos gemelos son parejas de números primos que difieren sólo por dos unidades, que es lo más cerca que pueden estar dos números primos entre sí. No pueden diferir en una puesto que entonces uno de ellos sería par y divisible entre 2, y por lo tanto no sería primo. Ejemplo de primos gemelos pequeños son (5, 7) y (17, 19) y entre los grandes se incluyen (22 271, 22 273) y (1 000 000 000 061, 1 000 000 000 063). Los primos gemelos parecen estar desperdigados por toda la secuencia de los números, y cuanto más intensamente los buscan los matemáticos más encuentran. Hay una gran evidencia de que hay un número infinito, pero nadie ha sido capaz de demostrarlo.

El avance más reciente hacia una demostración de la llamada conjetura de los primos gemelos se realizó en 1966 cuando el matemático chino Chen Jing-run demostró que existen una infinidad de pares de números primos y casi-primos. Los números primos no tienen divisores, aparte del 1 y ellos mismos, y los casi-primos son lo más parecidos posible ya que sólo tienen dos divisores primos. Así, 17 es un número primo, mientras que 21 (3 × 7) es un casi-primo. Los números como 120 (2 × 3 × 4 × 5) no son primos en absoluto ya que son el producto de varios factores primos. Chen demostró que hay un número infinito de casos en los que un número primo está hermanado o bien con otro número primo o bien con un casi-primo. Quienquiera que pueda ir un paso más allá y eliminar el «casi-primo» habrá obtenido el más importante avance en números primos desde Euclides.

Otro enigma que involucra números primos se remonta a 1742, cuando Christian Goldbach, tutor del joven zar Pedro II, escribió una carta al gran matemático suizo Leonhard Euler. Goldbach había examinado docenas de números pares y se había apercibido de que podía expresarlos todos como la suma de dos primos:

Goldbach preguntó a Euler si podría demostrar que todos los números pares pueden dividirse en dos primos de este modo. A pesar de años de esfuerzo, el hombre conocido como «el análisis encarnado» fue vencido por el reto de Goldbach. En nuestra era de los ordenadores, la conjetura de Goldbach, como llegó a ser conocida, ha sido comprobada y encontrada correcta para cada número par hasta 100 000 000, pero aún nadie ha sido capaz de demostrar que la conjetura es cierta para cada número par hasta el infinito. Los matemáticos han demostrado que cada número par es la suma de no más de 800 000 primos, pero aún hay que recorrer un largo camino hasta demostrar la conjetura original. Incluso así, este tipo de demostraciones débiles ha producido importantes revelaciones sobre la naturaleza de los números primos. En 1941, Stalin concedió un premio de cien mil rublos al matemático ruso Ivan Matveyevich Vinogradov, que había dado algunos pasos para demostrar la conjetura de Goldbach.

De todos los problemas que podrían reemplazar al último teorema de Fermat como el mayor enigma sin resolver en matemáticas el mejor candidato es el problema del apilado de esferas.

En 1609, el científico alemán Johannes Kepler demostró que los planetas se mueven en órbitas elípticas en vez de circulares, un descubrimiento que revolucionó la astronomía y que posteriormente inspiraría a Isaac Newton la deducción de la ley de la gravitación universal. El legado matemático de Kepler es menos grandioso pero igualmente profundo. Esencialmente se ocupa del curioso problema de construir pilas de naranjas de la manera más eficaz.

El problema nació en 1611 cuando Kepler escribió un artículo titulado «Sobre el copo de nieve de seis lados», un regalo de Año Nuevo para su mecenas, John Wacker de Wackenfels. Kepler explicó correctamente por qué todos los copos de nieve tienen una estructura única pero siempre hexagonal sugiriendo que cada copo empieza por una semilla con simetría hexagonal que crece mientras va cayendo a través de la atmósfera. Las cambiantes condiciones, viento, temperatura y humedad, aseguran que cada copo de nieve sea único, aunque la semilla es tan pequeña que las condiciones que determinan el modelo de crecimiento serán idénticas en los seis lados, asegurando la conservación de la simetría. En este artículo, aparentemente irrelevante, Kepler, quien poseía un notable talento para obtener profundas intuiciones a partir de simples observaciones, estaba asentando las bases de la cristalografía.

El interés de Kepler por cómo se disponen y autoorganizan las partículas materiales lo llevó a discutir otra cuestión: ¿cuál es el modo más eficaz de empaquetar partículas de forma que ocupen el menor volumen posible? Si se asume que las partículas son esféricas, está claro que inevitablemente existirán huecos entre ellas; el reto consiste en identificar qué disposición minimizará los huecos. Para resolver el problema Kepler construyó varias pilas y calculó la eficacia de empaquetado de cada una de ellas.

Una de las primeras disposiciones examinadas por Kepler se conoce en la actualidad como la malla cúbica centrada en las caras. Ésta puede ser construida creando primero una capa inferior tal que cada esfera esté rodeada por otras seis esferas. La segunda capa se genera poniendo esferas en los «hoyuelos» de la primera capa, como se muestra en la figura 25. En realidad, la segunda capa es un duplicado de la primera pero se ha corrido ligeramente de modo que encaje perfectamente en su posición. Esta disposición es idéntica a la usada en las fruterías para hacer pirámides de naranjas, y tiene una eficacia del 74%. Esto significa que sí una caja de cartón tuviera que ser rellenada de naranjas usando la estrategia centrada en las caras entonces las naranjas ocuparían el 74% del volumen de la caja.

Figura 25: En la disposición cúbica centrada en las caras cada capa consiste en esferas dispuestas de modo que cada una está rodeada por otras seis. Una capa se sitúa encima de otra de manera tal que sus esferas se asientan sobre un hoyo en lugar de hacerlo directamente sobre otra esfera. Una orientación particular de esta disposición da lugar a las pirámides de naranjas que suelen verse en las fruterías.

Esta distribución puede compararse con otras, como la malla cúbica simple. En este caso cada capa consiste en esferas colocadas en un enrejado cuadrado y las capas se sitúan unas directamente encima de otras, como se observa en la figura 26. La malla cúbica simple tiene una eficacia de empaquetado sólo del 53%.

Figura 26: En la disposición cúbica simple cada capa consiste en esferas situadas sobre una cuadrícula. Una capa se sitúa sobre la otra de forma que las esferas se asientan directamente sobre las de la capa inferior.

Otra posible colocación, la malla hexagonal, es similar a la cúbica centrada en las caras puesto que cada capa se construye rodeando cada esfera por otras seis, pero, en lugar de desplazar ligeramente cada capa de manera que encaje en los hoyos de la anterior, ahora las capas se disponen una directamente encima de otra, como se muestra en la figura 27. La malla hexagonal tiene una eficacia de empaquetado del 60%.

Figura 27: En la disposición en malla hexagonal cada capa consiste en esferas dispuestas de tal modo que cada una está rodeada por otras seis. Las capas se sitúan horizontalmente, de manera que cada esfera se asienta directamente encima de una esfera de la capa inferior.

Kepler estudió gran variedad de configuraciones y llegó a una conclusión que creyó lo suficientemente interesante como para incluirla en su escrito «Sobre el copo de nieve de seis lados»; a saber, que con la malla cúbica centrada en las caras «el empaquetado será el más denso posible». La afirmación de Kepler era perfectamente sensata puesto que la eficacia de empaquetado con la malla cúbica centrada en la cara era el mejor que había encontrado, pero esto no descartaba la posibilidad de que quedara alguna disposición, que él hubiera pasado por alto, con una eficacia de empaquetado aún mayor. Esta pequeña duda está en el origen del problema del empaquetado de esferas, un enigma medio siglo anterior a Fermat y que ahora ha resultado ser aún más intratable que el último teorema. El problema requiere que los matemáticos demuestren que la malla cúbica centrada en la cara es sin lugar a dudas el método más eficaz para empaquetar esferas.

Como el último teorema, el problema de Kepler requiere que los matemáticos desarrollen una demostración que abarque una infinidad de posibilidades. Fermat afirmó que entre la infinidad de números enteros no había soluciones a su ecuación, y Kepler afirmó que entre la infinidad de disposiciones ninguna podía tener una eficacia de empaquetado mayor que la de la malla cúbica centrada en las caras. Además de demostrar que no existe ninguna malla, es decir, ninguna disposición regular, con una eficacia de empaquetado mayor, los matemáticos deben incluir en su demostración todas las posibles disposiciones aleatorias.

En los últimos 380 años nadie ha sido capaz de demostrar que la malla cúbica centrada en la cara es en efecto la estrategia de empaquetado óptima; por otro lado, nadie ha descubierto un método de empaquetado más eficaz. La falta de un contraejemplo significa que, para todos los propósitos prácticos, la afirmación de Kepler es cierta, pero en el absoluto mundo de las matemáticas aún se necesita una demostración rigurosa. Esto llevó a C. A. Rogers, experto británico en empaquetado de esferas, a comentar que la afirmación de Kepler es «creída por la mayor parte de los matemáticos y conocida por todos los físicos».

A pesar de la falta de una demostración completa, en los siglos pasados se han dado algunos pasos hacia la solución. En 1892, el matemático escandinavo Axel Thue ofreció una prueba del análogo bidimensional del problema de Kepler, es decir, cuál es el método más eficaz de disponer esferas cuando sólo se considera una capa, o, en otras palabras, cómo disponer naranjas en una bandeja en lugar de una caja. La solución es la disposición hexagonal. Posteriormente, Tóth, Segre y Mahler llegaron a la misma conclusión, pero ninguno de los métodos que usaron puede aplicarse al problema original de Kepler en tres dimensiones.

En la era moderna, algunos matemáticos han intentado una maniobra bastante distinta: poner una cota superior a la posible eficacia de empaquetado. En 1958, C. A. Rogers calculó una cota superior del 77.97%; esto significa que es imposible tener una disposición con una eficacia de empaquetado mayor que el 77.97%. Este porcentaje no es mucho más alto que la eficacia de empaquetado de la malla cúbica centrada en la cara, de un 74.04%. Por esta razón, si alguna disposición tuviera una eficacia de empaquetado mayor que la cúbica centrada en la cara, no podría vencerla más que por un escaso porcentaje. Sólo hay una pequeña ventana de un 3.93% por la cual pueda entrar una astuta disposición y demostrar que la afirmación de Kepler es falsa. Después de Rogers, otros matemáticos intentaron cerrar del todo la ventana reduciendo la cota superior al 74.04%, que no dejaría posibilidad a que otra disposición derrotara a la cúbica centrada en la cara y, en consecuencia, demostrara por defecto la afirmación de Kepler. Por desgracia, disminuir la cota superior se ha revelado una tarea lenta y difícil, y en 1988 permanecía en el 77.84%, sólo ligeramente mejor que el resultado de Rogers.

A pesar de años de lentos avances, el problema del empaquetado de esferas llegó a los titulares de prensa en el verano de 1990 cuando Wu-Yi Hsiang, de la Universidad de California en Berkeley, publicó un resultado que, según él, demostraba la conjetura de Kepler. Al principio, la comunidad matemática reaccionó con optimismo, pero, como con la demostración de Wiles, el artículo tuvo que sufrir un proceso de revisión antes de ser aceptado como válido. Con el paso de las semanas Hsiang tuvo que enfrentarse a una serie de errores garrafales y la prueba quedó hecha jirones.

En una historia que tiene paralelismos con la de Wiles, Hsiang respondió un año después con una demostración revisada en la que aseguraba haber evitado los problemas identificados en el manuscrito original. Desafortunadamente para Hsiang, sus críticos aún creían que existían lagunas en su argumento. En una carta a Hsiang, el matemático Thomas Hales intentó explicar sus dudas:

Una suposición realizada en su segundo artículo me choca por ser más fundamental y aún más difícil de demostrar que las otras… Usted asegura que «el mejor modo (o sea, minimización de volumen) de añadir una segunda capa al empaquetado es tapar tantos agujeros como sea posible»… Su argumento parece descansar esencialmente en esta suposición, aunque en ninguna parte ofrece ni siquiera una insinuación de la demostración.

Desde que Hsiang presentó su artículo rectificado se ha entablado una batalla entre él y sus críticos, con declaraciones de que el problema ha sido resuelto y réplicas de que no es así. En el mejor de los casos, la demostración está envuelta en controversias, y en el peor ha sido desacreditada. Sea como sea, la puerta aún está abierta para cualquiera que desee demostrar la conjetura de Kepler. En 1996, Doug Muder hizo un resumen personal del estado de la cuestión en el que también se revelan algunos de los enigmas que rodean la demostración de Hsiang:

Demostraciones de silicio

En su batalla contra el último teorema de Fermat, las únicas armas de Wiles fueron un lápiz, papeles y lógica pura. Aunque su demostración emplea las técnicas más modernas en teoría de números está en la mejor tradición de Pitágoras y Euclides. Sin embargo recientemente ha habido un signo ominoso de que la solución de Wiles puede ser uno de los últimos ejemplos de demostración heroica, y que los resultados futuros pueden estar basados en un enfoque de fuerza bruta en lugar de argumentos elegantes.

La primera indicación de lo que algunos están llamando el declinar de las matemáticas se refiere a un problema creado en Inglaterra en octubre de 1852 por el matemático a tiempo parcial Francis Guthrie. Una tarde, mientras se dedicaba ociosamente a colorear un mapa de los condados de Gran Bretaña, Guthrie se encontró con un acertijo en apariencia trivial pero que no podía resolver. Sólo quería saber el número mínimo de colores que se requerirían para colorear cualquier mapa concebible de tal manera que ninguna región tuviera frontera con otra del mismo color.

Por ejemplo, tres colores no son suficientes para la imagen de la figura 28. Luego está claro que algunos mapas necesitan cuatro colores, pero Guthrie quería saber si cuatro colores eran suficientes para todos los mapas, ¿o podrían existir algunos que necesitaran cinco, seis o más colores?

Figura 28: Este sencillo mapa muestra que se necesitan por lo menos cuatro colores para algunos mapas, ¿pero es suficiente con cuatro colores para todos los mapas?

Frustrado e intrigado, Guthrie comentó el problema a su hermano menor, Frederick, estudiante en el University College, en Londres. A su vez, Frederick planteó el problema a su profesor, el eminente Augustus de Morgan, quien el 23 de octubre escribió al gran matemático y físico irlandés William Rowan Hamilton:

Uno de mis estudiantes me ha pedido hoy el porqué de un hecho que yo no sabía que fuera tal, y aún no lo sé. Asegura que si una figura es dividida de alguna forma y los compartimientos coloreados distintamente de modo que las figuras con cualquier porción de frontera común estén coloreados diferentemente, entonces sólo se requieren cuatro colores, pero no más. Tengo un caso en el que se requieren cuatro colores. Pregunta: ¿No se puede inventar un caso en que se requieran cinco o más?… Si contestas con algún caso muy simple que me convierta en un estúpido animal, creo que debo hacer como la esfinge…

Hamilton no fue capaz de inventar un mapa que requiriese cinco colores, pero tampoco pudo demostrar que tal mapa no existiese. Las noticias sobre el problema se extendieron rápidamente a través de Europa, pero éste resistió con fuerza todos los ataques, probando ser engañosamente difícil. En un arrebato de orgullo, Hermann Minkowski dijo que la razón por la que no había sido resuelto era que sólo lo habían intentado matemáticos de tercera categoría, pero sus propios esfuerzos también acabaron en fracaso. «El cielo está enfadado con mi arrogancia —declaró—. Mi demostración también es defectuosa».

A pesar de inventar uno de los problemas más difíciles de las matemáticas, hoy conocido como el problema de los cuatro colores, Francis Guthrie dejó Inglaterra para ejercer como abogado en Sudáfrica. Eventualmente volvió a las matemáticas como profesor de la Universidad de Ciudad del Cabo, donde solía pasar más tiempo en el departamento de botánica que con sus colegas matemáticos; su única reivindicación a la fama después del problema de los cuatro colores fue tener un brezo bautizado con su nombre: Erica Guthriei.

Después de sobrevivir sin ser resuelto durante un cuarto de siglo hubo un gran optimismo en 1879 cuando el matemático británico Alfred Bray Kempe publicó un artículo en el American Journal of Mathematics en el que aseguraba tener una solución al enigma de Guthrie. Kempe parecía probar que cualquier mapa necesita como mucho cuatro colores, y el proceso de revisión pareció confirmarlo. Inmediatamente se le eligió miembro de la Royal Society y con el tiempo fue armado caballero por sus contribuciones a las matemáticas.

Pero en 1890 Percy John Heawood, un profesor de la Universidad de Durham, publicó un artículo que sorprendió a la comunidad matemática. Una década después de que Kempe parecía haber resuelto el problema, Heawood demostró que la prueba estaba equivocada en sus fundamentos. La única buena noticia fue que, como parte de su demolición del trabajo de Kempe, Heawood fue capaz de demostrar que el número máximo de colores necesarios era cuatro o cinco, pero sin duda no más alto.

Si bien Kempe, Heawood y otros fueron incapaces de resolver el problema de los cuatro colores, sus fallidos esfuerzos contribuyeron enormemente al nuevo y floreciente tema de la topología. A diferencia de la geometría, en la que se estudian la forma exacta y el tamaño de los objetos, la topología está interesada sólo en la esencia del objeto, en sus características más básicas. Por ejemplo, cuando un geómetra examina un cuadrado, las propiedades de interés son la idéntica longitud de cada lado y el ángulo recto en cada esquina. Cuando un topólogo examina el mismo objeto la única propiedad de interés es una sola línea continua que forma un bucle. En consecuencia, un topólogo considerará indistinguibles un círculo y un cuadrado, puesto que ambos consisten en un solo bucle.

Otra forma de ver la equivalencia topológica de un cuadrado y un circulo es imaginando una de las figuras dibujada en una hoja elástica. Si empezamos con el cuadrado podemos estirar, comprimir, doblar o girar la página sin rasgarla hasta que la figura original se haya transformado en un círculo. Por otro lado, el cuadrado nunca podrá transformarse en una cruz, por mucho que se deforme la hoja elástica. Por lo tanto, un cuadrado y una cruz no son topológicamente equivalentes. A causa de este modo de pensar, con frecuencia se denomina a la topología como la «geometría en una página de goma».

Al haber abandonado conceptos como longitud y ángulo, los topólogos sólo pueden distinguir los objetos recurriendo a características como el número de intersecciones que posee. Así, un «ocho» es fundamentalmente distinto de un círculo puesto que posee un punto en el que se encuentran cuatro líneas, mientras que el círculo no tiene tales intersecciones. Por más que se estire o gire, es imposible transformar un «ocho» en un círculo. Los topólogos también están interesados en objetos de tres dimensiones (y más) donde huecos, bucles y nudos se convierten en las características fundamentales de interés. El matemático John Kelley dijo humorísticamente que «un topólogo es un tipo que no sabe cuál es la diferencia entre un dónut y una taza de café».

Los matemáticos esperaban ser capaces de aprehender la esencia del problema de los cuatro colores viendo los mapas a través de la óptica simplificadora de la topología. El primer avance llegó en 1922, cuando Philip Franklin ignoró el problema general y estableció una prueba que mostraba que cualquier mapa con un máximo de 25 regiones requería sólo 4 colores. Otros matemáticos intentaron avanzar a partir del método de Franklin y, en 1926, Reynolds extendió la demostración a mapas con 27 regiones; en 1940, Winn la extendió a 35 y, en 1970, Ore y Stemple habían alcanzado las 39 regiones. El problema parecía seguir los mismos derroteros que el último teorema de Fermat: se iban realizando pequeños progresos hacia el infinito. La conjetura original aparecía casi como cierta, pero hasta que se pudiera encontrar una demostración general siempre existía la posibilidad de dibujar un mapa que demostrara que Guthrie estaba equivocado. De hecho, en 1975 el periodista, matemático y escritor Martin Gardner publicó un mapa en la revista Scientific American que requería cinco colores. La fecha de la publicación era el 1 de abril^[8] y Gardner era muy consciente de que, aunque era difícil cubrir el mapa con sólo cuatro colores, tampoco era imposible. Tal vez a usted le gustaría demostrar que éste es el caso; el mapa en cuestión aparece en la figura 29.

Figura 29: El 1 de abril de 1975, Martin Gardner presentó su mapa en su artículo mensual en Scientific American. Afirmaba que se necesitaban cinco colores para pintarlo, pero, por supuesto, su afirmación era una patraña.

El lento ritmo de progreso mostró cada vez con más claridad que los enfoques convencionales nunca permitirían tender un puente entre la demostración de Ore y Stemple sobre mapas de 39 regiones o menos y cualquier mapa concebible que pudiera consistir de un número infinito de regiones. Entonces, en 1976, dos matemáticos de la Universidad de Illinois, Wolfgang Haken y Kenneth Appel, desarrollaron una nueva técnica que revolucionaría el concepto de demostración matemática.

Haken y Appel habían estudiado el trabajo de Heinrich Heech, que había afirmado que la infinidad de mapas infinitamente variados podría ser construida a partir de ciertos componentes básicos y que estudiándolos podría ser posible manejar el problema general. Los mapas básicos eran el equivalente de los electrones, protones y neutrones, los objetos fundamentales a partir de los que puede ser construida cualquier otra cosa. Por desgracia, la situación no era tan simple como con la santísima trinidad de partículas, ya que Haken y Appel sólo pudieron reducir el problema de los cuatro colores a 1482 mapas básicos. Si Haken y Appel pudieran demostrar que todos esos mapas eran coloreables con cuatro colores, esto implicaría que todos los mapas se podrían pintar con sólo esos cuatro colores.

Comprobar los 1482 mapas y todas las combinaciones de coloreado de cada uno sería una tarea inmensa, sin duda alguna más allá de la capacidad de cualquier equipo de matemáticos. Incluso la utilización de un ordenador para tratar todas las permutaciones ocuparía más de un siglo. Sin amilanarse, Haken y Appel empezaron a buscar atajos y estrategias que pudiera usar un ordenador para acelerar el procedimiento requerido para comprobar los mapas. En 1975, cinco años después de que empezaran a trabajar en el problema, los dos hombres vieron cómo el computador hacía algo más que meros cálculos: estaba contribuyendo a sus propias ideas. Los dos hombres recuerdan el punto central de su investigación:

En este punto, el programa nos sorprendió. Al principio comprobábamos sus argumentos a mano de manera que pudiéramos predecir el curso que seguiría en cualquier situación; pero ahora, de repente, empezó a actuar como una máquina de jugar al ajedrez. Creaba estrategias complicadas basadas en todos los trucos que se le habían «enseñado», y a menudo tales enfoques eran mucho más hábiles que los que nosotros hubiéramos intentado. Así que empezó a enseñarnos formas de avanzar que nunca habríamos esperado. En cierto sentido había superado a sus creadores en algunos aspectos tanto de las partes «intelectuales» como mecánicas del problema.

En junio de 1976, gracias a 1200 horas de ordenador, Haken y Appel fueron capaces de anunciar que los 1482 mapas habían sido analizados y ninguno de ellos requería más de cuatro colores. El problema de los cuatro colores de Guthrie había sido resuelto por fin. Lo más notable es que fue la primera demostración matemática en la que un ordenador había hecho algo más que acelerar los cálculos: había contribuido tanto al resultado que la demostración habría sido imposible sin él. Fue un logro importantísimo, pero al mismo tiempo produjo un desasosiego en la comunidad puesto que no había ningún modo de comprobar la demostración de manera convencional.

Antes de que los detalles de la demostración pudieran ser publicados en el Illinois Journal of Mathematics, los editores tenían que someterla a una cierta revisión. Una evaluación convencional era imposible, así que el programa de Haken y Appel fue introducido en otro ordenador para demostrar que éste llegaba al mismo resultado.

Este proceso de evaluación tan poco ortodoxo enfureció a algunos matemáticos, que proclamaron que la comprobación era inadecuada y que no había ninguna garantía contra algún fallo en una parte esencial del programa que generara un error en la lógica. H. P. F. Swinnerton-Dyer señaló lo siguiente sobre las demostraciones por ordenador:

Cuando un teorema ha sido demostrado con la ayuda de un ordenador es imposible dar una exposición de la demostración accesible a la comprobación tradicional: que un lector con la suficiente paciencia sea capaz de trabajar con la demostración y verifique que es correcta. Incluso si se fuera capaz de escribir todos los programas y todos los conjuntos de datos usados, no podría existir la seguridad de que una cinta de datos no haya sido mal escrita o leída. Es más, cada ordenador moderno tiene oscuros fallos en su software y hardware (que muy a menudo causan errores que permanecen sin ser detectados durante años) y es susceptible de experimentar fallos transitorios.

Hasta cierto punto, esto era una paranoia de la comunidad que prefería evitar los ordenadores en lugar de explotarlos. Joseph Keller hizo notar una vez que en su universidad, Stanford, el departamento de matemáticas tenía menos ordenadores que cualquier otro, incluyendo el de literatura francesa. Aquellos matemáticos que rechazaron el trabajo de Haken y Appel no pudieron negar que todos los matemáticos aceptan demostraciones incluso si no las han comprobado personalmente. En el caso de la demostración de Wiles del último teorema de Fermat, menos del diez por ciento de los teóricos de números comprenden completamente el argumento, pero el ciento por ciento acepta que es correcta. Los que no pueden comprender la demostración están satisfechos debido a que otros que entienden los conceptos involucrados los han examinado y verificado.

Un caso aún más extremo es la llamada demostración de la clasificación de grupos finitos simples, que consiste en quinientos artículos separados escritos por más de un centenar de matemáticos. Se dice que sólo un matemático, Daniel Gorenstein, entendió la totalidad de la demostración de quince mil páginas, y murió en 1992. Sin embargo, la comunidad en conjunto puede estar segura de que cada sección de la demostración ha sido examinada por su propio equipo de especialistas y cada línea de las quince mil páginas ha sido comprobada y vuelta a comprobar docenas de veces. Lo que hace distinto al problema de los cuatro colores es que nunca ha sido completamente comprobado por nadie, y nunca lo será.

En los veinte años que han pasado desde que fue anunciada la demostración del teorema de los cuatro colores, los ordenadores han sido usados para resolver otros problemas menos famosos pero igualmente importantes. En un campo anteriormente no contaminado por la tecnología, cada vez más matemáticos están acostumbrándose, aunque de forma reluctante, al creciente uso de la lógica de silicio y aceptan el argumento de Wolfgang Haken:

Cualquiera, en cualquier sitio a lo largo de la línea, puede completar los detalles y comprobarlo. El hecho de que un ordenador pueda tratar más detalles en unas pocas horas de lo que un matemático podría esperar hacer en toda su vida no cambia el concepto básico de demostración matemática. Lo que ha cambiado no es la teoría sino la práctica de las matemáticas.

Más recientemente, algunos matemáticos han proporcionado aún más potencia a los ordenadores por medio de los llamados algoritmos genéticos. Estos son programas de ordenador cuya estructura general es diseñada por un matemático pero cuyos detalles son determinados por el ordenador mismo. Ciertas líneas del programa pueden mutar y evolucionar de forma similar a los genes en el ADN orgánico. Desde el programa madre original, el ordenador genera cientos de programas hijos que son ligeramente diferentes debido a las mutaciones aleatorias realizadas por el propio ordenador. Los programas hijos se usan para resolver un problema particular. La mayoría de los programas fracasan de forma catastrófica, pero al que avance más hacia la solución se le permitirá reproducirse y crear una nueva generación de descendientes mutados. La supervivencia del más adaptado se interpreta en términos de cuál de los programas se acerca más a la solución del problema. Repitiendo el proceso, los matemáticos esperan que, sin intervención alguna, un programa evolucione hasta resolver el problema y, en algunos casos, este enfoque está teniendo éxitos significativos.

El científico de ordenadores Edward Frenkin ha ido más allá diciendo que algún día un ordenador descubrirá una demostración importante con independencia de los matemáticos. Hace una década se instituyó el Premio Leibniz: cien mil dólares se concederán al primer ordenador que invente un teorema que tenga «una profunda repercusión en matemáticas». Aún se debate si el premio será reclamado alguna vez o no, pero lo seguro es que a una demostración por ordenador siempre le faltará la iluminación que da una demostración tradicional y, en comparación, parece hueca. Una demostración matemática no sólo debería responder a una cuestión, también debería producir alguna nueva comprensión sobre por qué la respuesta es como es. Meter una pregunta por el extremo de una caja negra y obtener la respuesta por el otro extremo incrementa el conocimiento, pero no la comprensión. A partir de la demostración de Wiles del último teorema de Fermat sabemos que no hay soluciones para la ecuación de Fermat puesto que tal solución llevaría a una contradicción con la conjetura de Taniyama-Shimura. Wiles no sólo ha vencido el reto de Fermat sino que ha justificado su respuesta diciendo que debe ser así para mantener una relación fundamental entre las ecuaciones elípticas y las formas modulares.

El matemático Ronald Graham describió la superficialidad de las demostraciones por ordenador en el contexto de una de las grandes conjeturas aún hoy por demostrar, la hipótesis de Riemann: «Sería desalentador si en algún lugar del desarrollo pudieras preguntar a un ordenador si la hipótesis de Riemann es correcta y éste dijera: “Sí, es cierta, pero no serás capaz de entender la demostración”». El matemático Philip Davis, que escribió con Reuber Hersh, tuvo una reacción similar a la demostración del problema de los cuatro colores:

Mi primera reacción fue: «¡Maravilloso! ¿Cómo lo hicieron?». Esperaba alguna intuición nueva y brillante, una demostración que contuviera en su corazón una idea cuya belleza transformaría aquella jornada. Pero cuando recibí la respuesta: «Lo hicieron partiéndolo en miles de casos y estudiándolos todos en el ordenador, uno tras otro», me sentí descorazonado. Mi reacción fue: «Así que de esta manera acabó todo, al final resulta que no era un problema interesante».

El premio

La demostración de Wiles del último teorema de Fermat se basa en una conjetura nacida en los años cincuenta. El argumento utiliza una serie de técnicas matemáticas desarrolladas durante la última década, algunas de las cuales fueron inventadas por el propio Wiles. La demostración es una obra maestra de las matemáticas modernas, lo que lleva a la inevitable conclusión de que la demostración de Wiles no es la misma que la de Fermat. Fermat escribió que su demostración no cabía en el margen de su ejemplar de la Arithmetica de Diofante, y las cien páginas de densas matemáticas ciertamente no cumplen ese criterio, pero seguramente el francés no inventó las formas modulares, la conjetura de Taniyama-Shimura, los grupos de Galois y el método de Kolyvagin-Flach siglos antes de que nadie más lo hiciese.

Si Fermat no tenía la demostración de Wiles, ¿qué es lo que tenía? Los matemáticos se dividen en dos opiniones. Los escépticos y poco sentimentales creen que el último teorema de Fermat fue el resultado de un raro momento de debilidad de aquel genio del siglo XVII. Aseguran que, aunque Fermat escribió «poseo una demostración en verdad maravillosa», en realidad sólo tenía una demostración equivocada. La naturaleza exacta de su prueba defectuosa está abierta al debate, pero es bastante posible que siguiera las mismas líneas que el trabajo de Cauchy o Lamé.

Otros matemáticos, los optimistas románticos, creen que Fermat podría haber poseído una demostración auténtica. Fuera lo que fuera su demostración, habría estado basada en las técnicas del siglo XVII e incluiría un argumento tan astuto que ha escapado a todo el mundo desde Euler hasta Wiles. A pesar de la publicación de la solución de Wiles al problema, aún hay muchos matemáticos que creen poder alcanzar fama y gloria redescubriendo la demostración original de Fermat.

Aunque Wiles había echado mano de los métodos del siglo XX para resolver un enigma del siglo XVII, había superado el reto de Fermat de acuerdo con las reglas del Comité Wolfskehl. El 27 de junio de 1997, los distinguidos miembros de la Königliche Gesellschaft der Wissenschaften de Gotinga se reunieron en el Aula Magna de la Universidad de Gotinga para hacer entrega del premio creado por Paul Wolfskehl a principios de siglo.

El profesor Heinz Wagner, presidente del comité, declaró que el Premio Wolfskehl era más importante que el Nobel, ya que éste se otorga cada año mientras que ha sido necesario aguardar noventa años para entregar el Wolfskehl. Bajo los retratos de los reyes de Hannover, Wiles aceptó el premio de cincuenta mil dólares, dando por concluida la responsabilidad del Comité Wolfskehl. El último teorema de Fermat había sido resuelto oficialmente.

¿Qué es lo siguiente que atrapará la atención de Wiles? De forma poco sorprendente para alguien que ha trabajado en el más absoluto secreto durante siete años, Wiles rehúsa hacer ningún comentario sobre sus investigaciones actuales, pero, sea lo que sea, no hay duda de que nunca reemplazará del todo la obsesión que tuvo con el último teorema de Fermat. «No hay otro problema que pueda significar lo mismo para mí. Fue la pasión de mi infancia. Nada puede reemplazar eso. Lo he resuelto. Intentaré resolver otros problemas, estoy seguro. Algunos serán muy difíciles y tendré una sensación de realización otra vez, pero no hay ningún problema matemático que me pueda capturar como lo hizo Fermat.

»He tenido ese raro privilegio de poder perseguir en mi vida adulta lo que fue el sueño de mi infancia. Sé que es un raro privilegio, pero si puedes atacar algo en tu vida adulta que signifique tanto para ti es una recompensa mayor que cualquier cosa imaginable. Al haber resuelto este problema existe ciertamente una sensación de pérdida, pero a la vez hay una sensación tremenda de liberación. Estuve tan obsesionado con el problema que durante ocho años pensé en él todo el tiempo; desde que me levantaba por la mañana hasta que me iba a dormir por la noche. Es mucho tiempo para pensar en una sola cosa. Esta odisea en particular se ha acabado. Mi mente descansa».