3. UNA HUMILLACIÓN MATEMÁTICA

Las matemáticas no son una marcha cautelosa a lo largo de una carretera bien despejada, sino un viaje por un desierto desconocido en el que los exploradores se pierden a menudo. Para el historiador, el rigor debe ser señal de que los mapas se han trazado y de que los verdaderos exploradores han llegado a otra parte.

W. S. Anglin

«Desde que, siendo un niño, me topé por primera vez con el último teorema de Fermat se convirtió en mi gran pasión —recuerda Andrew Wiles con una voz temblorosa que transmite su entusiasmo por la cuestión—. Tropecé con este problema que había permanecido sin resolver durante trescientos años. No creo que a muchos de mis compañeros de colegio les diera por las matemáticas, así que no lo comenté con los chicos de mi edad. Pero tuve un profesor que había investigado en matemáticas, y fue él quien me dio un libro sobre la teoría de números que me aportó algunas pistas para empezar a abordarlo. En un principio trabajé con la suposición de que Fermat no sabía muchas más matemáticas de las que yo sabía entonces. Intenté encontrar su prueba perdida utilizando los métodos que él podía haber usado».

Wiles era un chico lleno de inocencia y de ambición que vio una posibilidad de triunfo donde generaciones de matemáticos habían fracasado. Para otros, esto podría haberse parecido a un sueño temerario, pero el joven Andrew acertaba al pensar que él, un escolar del siglo XX, sabía tantas matemáticas como Pierre de Fermat, genio del siglo XVII. Podía ser que en su ingenuidad diera con una demostración que había escapado a otras mentes mejor preparadas.

A pesar de su entusiasmo, cada calculo resulto fallido. Se había devanado los sesos y había estudiado los libros de texto sin conseguir nada. Tras un año de fracasos cambió de estrategia; pensó que podría aprender algo de los errores de otros matemáticos más eminentes. «El último teorema de Fermat va acompañado de esta increíble historia romántica. Mucha gente ha discurrido sobre él y, cuanto más han buscado y errado los grandes matemáticos la solución del problema, más desafiante y misterioso se ha vuelto. Tantos matemáticos lo han intentado, y de tantas maneras diferentes, en los siglos XVIII y XIX que yo, un quinceañero, decidí que debía estudiar esos métodos y tratar de comprender lo que ellos habían hecho».

El joven Wiles examinó los enfoques de todo aquel que en algún momento hubiera intentado con seriedad demostrar el último teorema de Fermat. Comenzó estudiando el trabajo del matemático más prolífico de la historia y el primero que progresó en la batalla contra Fermat.

El cíclope matemático

Hacer matemáticas es una experiencia difícil y misteriosa. A menudo, el objeto de la demostración está claro, pero el camino a seguir está cubierto por la niebla y el matemático va dando trompicones a lo largo de un cálculo, horrorizado porque cada paso puede estar encaminándolo en una dirección completamente errónea. Además aparece el temor de que no exista ningún camino. Un matemático puede creer que una afirmación es cierta y dedicar años a intentar demostrar que, en efecto, lo es aun cuando en realidad sea falsa desde el principio. Así, puede que el matemático insista en demostrar lo imposible.

En toda la historia de esta materia sólo un puñado de matemáticos parece haber superado la desconfianza en sí mismos que intimida a sus colegas. Quizá el ejemplo más notable sea el del genio del siglo XVIII Leonhard Euler, quien logró el primer progreso hacia la demostración del ultimo teorema de Fermat, Euler poseía una intuición tan increíble y una memoria tan vasta que se decía que podía trazar de cabeza todo el grueso de un cálculo sin tener que utilizar lápiz y papel. Era conocido en toda Europa como «el análisis en persona», y el académico francés François Arago dijo: «Euler calculaba en apariencia sin ningún esfuerzo, igual que los hombres respiran o que las águilas se sostienen en el aire».

Leonhard Euler nació en Basilea en 1707 y era hijo de un pastor calvinista, Paul Euler. Aunque el joven Euler mostraba un talento prodigioso para las matemáticas, su padre estaba decidido a que estudiara teología y a que hiciera carrera dentro de la Iglesia. Leonhard, sumiso, obedeció y estudió teología y hebreo en la Universidad de Basilea.

Por suerte para Euler, la ciudad de Basilea era también la residencia del eminente clan de los Bernoulli. Los Bernoulli podrían reclamar el título de la más matemática de las familias, pues engendró ocho de las mentes más sobresalientes en este campo en tan sólo tres generaciones. Alguien dijo que la familia Bernoulli fue para las matemáticas lo que la familia Bach para la música. Su fama se propagó por toda la comunidad matemática y una anécdota en concreto tipifica el perfil familiar: en cierta ocasión, Daniel Bernoulli, viajando por Europa, entabló conversación con un desconocido. Poco después se presentó con modestia: «Soy Daniel Bernoulli». «Y yo —dijo su interlocutor con sarcasmo— soy Isaac Newton». Daniel recordaba este incidente con cariño porque lo consideraba el elogio más sincero que había recibido nunca.

Daniel y Nikolaus Bernoulli eran muy amigos de Leonhard Euler y se dieron cuenta de que el más brillante de los matemáticos se estaba convirtiendo en el más mediocre de los teólogos. Apelaron a Paul Euler y le rogaron que permitiera a Leonhard colgar los hábitos en favor de los números. En el pasado, el cabeza de la familia Euler había sido instruido en matemáticas por el cabeza de la familia Bernoulli, Jakob, y les profesaba un enorme respeto. Así que, aunque a regañadientes, aceptó que su hijo había nacido para calcular y no para predicar.

Leonhard Euler cambió pronto Suiza por los palacios de Berlín y San Petersburgo, donde pasaría gran parte de sus años creativos. En la época de Fermat, los matemáticos eran considerados malabaristas aficionados a los números, pero en el siglo XVIII eran tenidos por profesionales de la resolución de problemas. La cultura de los números había cambiado radicalmente y eso, en parte, se debía a sir Isaac Newton y sus cálculos científicos.

Newton creía que los matemáticos perdían el tiempo incordiándose unos a otros con inútiles enigmas. El, en cambio, aplicó las matemáticas al mundo físico y lo calculó todo, desde lo relacionado con las órbitas de los planetas hasta las trayectorias de las balas de cañón. Por la época en que Newton murió, en 1727, Europa experimentaba una revolución científica, y en ese mismo año Euler publicó su primer artículo. Este, a pesar de contener unas matemáticas elegantes e innovadoras, apuntaba principalmente a exponer la solución de un problema técnico referente a los mástiles de los barcos.

Las potencias europeas no estaban interesadas en aplicar las matemáticas a la exploración de conceptos esotéricos y abstractos. Más bien querían explotarlas para resolver problemas prácticos, y competían entre ellas para captar las mentes más destacadas. Euler empezó su carrera con los zares antes de que Federico II el Grande, rey de Prusia, lo invitara a la Academia de Berlín. Con el tiempo regresó a Rusia, bajo el mandato de Catalina la Grande, donde pasó sus últimos años. A lo largo de su carrera abordó multitud de problemas, que se extienden desde la navegación hasta las finanzas y desde la acústica hasta la irrigación. El mundo práctico de la resolución de problemas no atenuó las habilidades matemáticas de Euler. Por el contrario, cada enfrentamiento a una nueva empresa lo instaba a crear unas matemáticas innovadoras e ingeniosas. Su firme pasión lo llevó a escribir varios artículos en un solo día, y se cuenta que entre la primera y la segunda llamada para la comida intentaba escribir a toda prisa un cálculo completo digno de ser publicado. No desperdiciaba un segundo y, hasta cuando mecía a un niño con una mano, esbozaba una demostración con la otra.

Uno de sus mayores logros fue el desarrollo del método algorítmico. El objetivo de los algoritmos de Euler era abordar problemas en apariencia imposibles. Uno de esos problemas era la predicción de las fases de la Luna para fechas lejanas en el futuro y con gran precisión, una información que podía utilizarse para elaborar tablas esenciales de navegación. Ya Newton había mostrado que es relativamente fácil calcular la órbita de un cuerpo en torno a otro, pero en el caso de la Luna la cuestión no es tan simple. Mientras que la Tierra y la Luna se atraen mutuamente, el Sol perturba el movimiento de la Tierra y repercute en la órbita lunar. Se pueden formular ecuaciones que precisan el efecto de cualquiera de los dos cuerpos, pero los matemáticos del siglo XVIII no podían incorporar en los cálculos la influencia de un tercer objeto. Incluso hoy día es imposible predecir la solución exacta del llamado «problema de los tres cuerpos».

Euler se percató de que los navegantes no necesitaban saber la fase de la Luna con total precisión, sino sólo con la exactitud suficiente para ubicar sus posiciones con un margen de error de varias millas náuticas. Por consiguiente, desarrolló una receta para generar una solución imperfecta, pero con la precisión adecuada. La receta, o algoritmo, obraba mediante la obtención de una primera solución tosca y fácil de calcular, la cual era reutilizada en el proceso para obtener otra más refinada. Esta solución refinada podía, a su vez, reintroducirse en el algoritmo para lograr aún mayor precisión, y así sucesivamente. Tras unas cien iteraciones, Euler era capaz de ofrecer la posición de la Luna con una precisión más que suficiente para las necesidades de la marina. Proporcionó su algoritmo al almirantazgo británico y recibió en recompensa la cantidad de trescientas libras esterlinas.

Euler alcanzó fama de ser capaz de solucionar cualquier problema que le fuera planteado, habilidad que se extendía más allá del ámbito de la ciencia. Durante su estancia en la corte de Catalina la Grande coincidió con el destacado filósofo francés Denis Diderot. Este era un ateo declarado y dedicó su tiempo a convertir a los rusos al ateísmo. Esto enojó a Catalina, quien pidió a Euler que atajara los actos de aquel malvado francés.

Euler rumió el asunto por un tiempo y anunció que disponía de una prueba algebraica de la existencia de Dios. Catalina la Grande llamó a Euler y a Diderot a palacio y reunió a sus cortesanos para asistir al debate teológico. Euler se presentó ante el auditorio y anuncio:

Como no era un entendido en álgebra, Diderot fue incapaz de argüir al mayor matemático de Europa y permaneció en silencio. Humillado, abandonó San Petersburgo y regresó a París. En su ausencia, Euler continuó disfrutando de su retorno a los estudios de teología e hizo públicas algunas otras demostraciones fingidas sobre la naturaleza de Dios y del alma humana.

Un problema algo más útil y que también requirió de la fantasía de Euler tuvo que ver con la ciudad prusiana de Königsberg, perteneciente hoy a Rusia y conocida como Kaliningrad. La ciudad está construida sobre los bancos de arena del río Pregel y consta de cuatro barrios independientes conectados por siete puentes. La figura 7 muestra la disposición de la ciudad. Algunos de los residentes más curiosos de Königsberg se preguntaban si sería posible trazar una ruta que atravesara los siete puentes sin pasar dos veces por ninguno de ellos. Los ciudadanos de Königsberg probaron varios caminos, pero todos fracasaron en su intento. También Euler fue incapaz de hallar un itinerario que cumpliera las condiciones requeridas, pero consiguió explicar por qué este empeño estaba condenado al fracaso.

Euler tomó un plano de la ciudad, a partir del cual elaboró una representación simplificada en la que las porciones de tierra se reducían a puntos y los puentes se representaban con líneas, tal y como se muestra en la figura 8. Arguyó entonces que para trazar la ruta requerida (o sea, cruzando todos los puentes una sola vez) cada punto debería estar unido a un número par de líneas. Esto es así porque, durante el trayecto, cada vez que el viajero atraviesa una masa de tierra debe hacerlo entrando por un puente y saliendo por otro distinto. Sólo hay dos excepciones a esta regla: el inicio y el final del viaje. Al principio de la ruta, el viajero abandona una masa de tierra, y para ello sólo necesita un puente de salida. Al final del recorrido accede a una masa de tierra, para lo que vuelve a requerir sólo un puente. Si el viaje empieza y acaba en lugares distintos, estas dos masas de tierra pueden tener un número impar de puentes. Si, por el contrario, el viaje empieza y acaba en el mismo lugar, entonces este punto, al igual que todos los demás, debe disponer de un número par de puentes.

Así, Euler concluyó que, en general, en cualquier red de puentes es posible hacer un viaje completo cruzando cada uno de ellos una vez si y sólo si todas las masas de tierra constan de un número par de puentes, o bien si dos de ellas contienen un número impar. En el caso concreto de Königsberg hay cuatro masas de tierra y todas constan de una cantidad impar de puentes: tres de ellas tienen tres puentes cada una, mientras que una posee cinco. Euler explicó así por qué es imposible cruzar todos y cada uno de los puentes de Königsberg una sola vez, y de paso elaboró una regla aplicable a cualquier red de puentes en cualquier ciudad del mundo. La demostración es de una simplicidad maravillosa y es tal vez el tipo de problema de lógica que Euler despachaba con un bosquejo antes de las comidas.

El rompecabezas de los puentes de Königsberg es uno de los llamados problemas de redes en matemáticas aplicadas, e inspiró a Euler a considerar redes más abstractas. Así llegó a descubrir una verdad fundamental para todas las redes, la llamada fórmula de redes, y fue capaz de demostrarla en sólo unos cuantos pasos. La fórmula de las redes representa una relación eterna entre los tres objetos que definen a toda red:

V + R − L = 1,

Euler afirmaba que en cualquier red imaginable, al sumar el número de vértices y regiones y sustraer el de líneas, el total resultante es siempre la unidad. Por ejemplo, todas las redes de la figura 9 obedecen a esta regla.

Cabría plantearse comprobar esta fórmula en una serie completa de redes y, si resultara cierta en todos los casos, sería tentador concluir que lo será por siempre en cualquier red imaginable. Aunque ello podría constituir una evidencia suficiente para una teoría científica no es adecuado como justificación para un teorema matemático. El único modo de mostrar que la fórmula es válida para todas las redes posibles es crear un argumento a toda prueba, y esto es exactamente lo que hizo Euler.

Euler empezó considerando la red más sencilla de todas, o sea, un único vértice, tal y como se muestra en la figura 10a. En esta red, la fórmula es verdadera de manera obvia, porque sólo hay un vértice, no hay líneas y no hay regiones. Así:

V + R − L = 1 + 0 − 0 = 1.

Después consideró qué ocurriría si añadiera algo más a esta red simplicísima. Cualquier extensión de un único vértice requiere añadir una línea. La línea puede conectar el vértice existente bien con él mismo o bien con un vértice adicional.

Consideremos primero la posibilidad de conectar un vértice consigo mismo mediante una línea. Como se muestra en la figura 10b, al añadir esta línea aparece también una región nueva, así que la fórmula de las redes sigue vigente porque la región añadida (+1) se anula con la línea adicional (-1). Si continuamos añadiendo líneas de este modo, la fórmula mantiene su validez porque cada línea nueva crea a su vez otra región.

Veamos ahora la opción de enlazar el vértice original con un vértice nuevo, como muestra la figura 10c. La fórmula es correcta otra vez porque el vértice nuevo (+1) anula la línea adicional (-1). Si se añaden más líneas de la misma manera, cada una de ellas requiere un vértice nuevo y la fórmula sigue en vigor.

Esto es todo lo que Euler necesitaba para su demostración. Explicó que la fórmula de redes era válida para la más simple de las redes concebibles, la compuesta por un único vértice. Además, toda red, sea cual sea su complejidad, se forma a partir de la más simple, añadiendo una a una tantas líneas como sea necesario. Y siempre que se añade una línea o bien aparece una región nueva o bien es necesario añadir un vértice, y cualquiera de los dos casos compensa en la fórmula el efecto de la línea adicional, de modo que la fórmula es siempre válida. Euler desarrolló así una estrategia simple pero sólida. Demostró que la fórmula es válida para la red más simple, un único vértice, y luego demostró que cualquier operación que complicara la red seguiría preservando su validez. Por tanto, la ecuación es verdadera para toda la infinidad de redes imaginables.

Cuando Euler se encontró por primera vez con el último teorema de Fermat quizá confiara en solucionarlo con una estrategia similar. El último teorema y la fórmula de redes proceden de áreas muy distintas de las matemáticas, pero tienen algo en común, y es que ambas hablan de un número infinito de objetos. La fórmula de redes dice que, para el número infinito de redes existentes, su número de vértices y regiones menos el número de líneas es igual a la unidad. El ultimo teorema de Fermat afirma que para un número infinito de ecuaciones no existe solución alguna con números enteros. Recordemos que Fermat estableció que no existen soluciones con números enteros para la siguiente ecuación:

xⁿ + yⁿ = zⁿ,   donde n es cualquier número entero superior a 2.

Esta ecuación representa una serie infinita de ecuaciones:

Euler se propuso probar que una de las ecuaciones no tenía solución, para luego extrapolar el resultado al resto de las ecuaciones, igual que había hecho para demostrar la validez de su fórmula de redes con todas las redes imaginables, encontrando una generalización a partir del caso más simple: el vértice único.

Euler partió con ventaja en esta empresa porque descubrió una pista escondida en los apuntes de Fermat. Aunque Fermat jamás anotó ninguna demostración del último teorema, en algún lugar de su copia de la Aritmética sí describió, aunque de manera críptica, una prueba para el caso específico de n = 4 y la incorporo a la demostración de un problema totalmente distinto. Aun a pesar de que ésta es la operación más completa que Fermat dejo por escrito, los detalles son someros y vagos y el francés concluye la prueba diciendo que la falta de tiempo y de papel le impiden dar una explicación más exhaustiva. A pesar de la ausencia de detalles en los garabatos de Fermat, éstos dejan ver con claridad una forma concreta de prueba por contradicción conocida como método de descenso infinito.

Para demostrar que no hay soluciones posibles para la ecuación x⁴ + y⁴ = z⁴, Fermat empezó por asumir que existía una solución hipotética

x = X₁,     y = Y₁,     z = Z₁

Examinando las propiedades de X₁, Y₁, Z₁. Fermat logró demostrar que, si esta solución hipotética fuera cierta, tendría que existir también una solución (X₂, Y₂, Z₂) formada por números más pequeños. Así que, examinando esta nueva solución hipotética, demostró que tenía que existir otra solución aún menor (X₃, Y₃, Z₃), y así siempre.

Fermat había descubierto una escalera descendente de soluciones, que en teoría se prolonga hasta el infinito, generando números cada vez más bajos. En cambio, x, y y z tienen que ser números enteros, así que la interminable escalera descendente no puede ser verdadera porque en ese caso tendría que existir una solución posible que fuera la más pequeña de todas. Esta contradicción demuestra que la afirmación de partida de que existe una solución (X₁, Y₁, Z₁) es falsa. Sirviéndose del método de descenso infinito, Fermat había demostrado que para la ecuación con n = 4 no existen soluciones posibles, porque de otro modo las conclusiones serían absurdas.

Euler utilizó este método como punto de partida para elaborar una prueba general para el resto de las ecuaciones posibles. Del mismo modo que tendría que incrementar el valor de n hasta n = infinito, debía reducirlo también hasta n = 3, y fue este único paso hacia abajo el que intentó en primer lugar. El 4 de agosto de 1753, Euler anunció en una carta dirigida al matemático prusiano Christian Goldbach que había aplicado el método de descenso infinito de Fermat y que había demostrado con éxito el caso de n = 3. Después de cien años, era la primera vez que alguien conseguía algún acercamiento a la cita con el desafío de Fermat.

Para ampliar la prueba de Fermat de n = 4 hasta abarcar el caso de n = 3, Euler tuvo que incorporar el extraño concepto del llamado número imaginario, una entidad que había sido descubierta por matemáticos europeos del siglo XVI. Parece raro pensar en nuevos números que son «descubiertos», pero eso ocurre porque estamos tan familiarizados con los números que usamos habitualmente que nos olvidamos de que hubo épocas en las que algunos de esos números fueron desconocidos. Los números negativos, las fracciones, los números irracionales, todos tuvieron que ser descubiertos, y la motivación para ello se debió en cada caso a la resolución de cuestiones que de otro modo hubieran quedado sin respuesta.

La historia de los números comienza con los sencillos números cardinales (1, 2, 3, …), también conocidos como números naturales. Estos números son perfectamente aplicables en simples sumas de cantidades enteras, como ovejas o monedas de oro, y conseguir un número completo que es a su vez una cantidad entera. Además de la adición, otra operación simple es la multiplicación, que también actúa sobre los números enteros para dar lugar a más números enteros. En cambio, la operación de la división origina un difícil problema. Mientras que 8 dividido entre 2 da 4, nos encontramos con que 2 dividido entre 8 es igual a 1/4. El resultado de esta última división no es un número entero, sino una fracción.

La división es una operación simple que se aplica a los números naturales y que nos obliga a ir más allá de los mismos para obtener la respuesta. Para los matemáticos es imposible, al menos en teoría, no ser capaces de solucionar cualquier problema dado, y ese requisito indispensable se denomina completitud. Existen ciertas cuestiones relacionadas con los números naturales que resultarían irresolubles si no se recurriera a las fracciones. Los matemáticos lo expresan diciendo que las fracciones son necesarias para la completitud.

Fue esta necesidad de completitud la que llevó a los hindúes a descubrir los números negativos. Los hindúes percibieron que si bien el 3 restado al 5 da un resultado obvio de 2, la sustracción del 5 al 3 no era tan inmediata. La respuesta sobrepasaba los números naturales cardinales y sólo podría encajarse con la incorporación del concepto de los números negativos. Algunos matemáticos no aceptaron esta ampliación hacia lo abstracto y se refirieron a los números negativos como «absurdos» o «ficticios». Un contable podía coger una moneda de oro, o incluso media, pero era del todo imposible que cogiera una negativa.

También los griegos sentían ansias de completitud y eso los llevó a descubrir los números irracionales. Estos guardan relación con el problema planteado en el capítulo 2, ¿qué número es la raíz cuadrada de dos, √2? Los griegos sabían que ese número era una aproximación a 7/5, pero cuando intentaron dar con la fracción exacta descubrieron que no existe. Tenían ante sí un número que jamás podría traducirse a una fracción y, en cambio, esta nueva clase de números era imprescindible para responder a la simple pregunta de cuál es la raíz cuadrada de dos. La demanda de completitud exigió la fundación de otra colonia en el imperio de los números.

En el Renacimiento, los matemáticos dieron por sentado que habían sido ellos quienes descubrieron todos los números del universo, los cuales podían imaginarse yaciendo sobre una recta de números; una recta infinitamente larga con el cero en su punto intermedio, como muestra la figura 11. Los números enteros estaban distribuidos, guardando distancias iguales entre ellos, a lo largo de esa línea a la derecha del cero, prolongándose hasta el infinito positivo, y los números negativos a la izquierda del cero, proyectándose hasta el infinito negativo. Las fracciones ocupaban los espacios intermedios de los números enteros, y los números irracionales se encontraban esparcidos entre las fracciones.

La recta de números inducía a pensar que, en apariencia, se había alcanzado la completitud. Todos los números parecían ocupar su lugar, listos para responder a cualquier problema matemático y, en todo caso, ya no había más espacio para ubicar otros nuevos. Entonces ocurrió que durante el siglo XVI renacieron los rumores de inquietud. El matemático italiano Rafaello Bombelli estaba indagando en las raíces cuadradas de varios números cuando tropezó con un problema imposible de resolver. El problema comenzaba preguntando por la raíz cuadrada de 1. La respuesta lógica es 1, porque 1 × 1 = 1. Pero otra respuesta mucho menos inmediata es −1. Un número negativo multiplicado por otro también negativo da lugar a uno positivo. Esto significa que −1 × −1 = +1. Así que la raíz cuadrada de +1 es tanto +1 como −1. La pluralidad de soluciones no está mal, pero ahora se plantea otra cuestión: ¿cuál es la raíz cuadrada del uno negativo,√−1? El problema parece inabordable. La solución no puede ser +1 o −1 porque el cuadrado de esos dos números es +1. Y en cambio no hay otros candidatos lógicos. Al mismo tiempo, la completitud demanda que seamos capaces de resolver la cuestión.

Para Bombelli, la solución consistió en crear un número nuevo, i, denominado número imaginario, que fue definido simplemente como la solución a la pregunta ¿cuál es la raíz cuadrada del uno negativo? Esto puede parecer una solución cobarde del problema, pero no se diferencia en absoluto de la manera en que fueron introducidos los números negativos. Enfrentados a una cuestión que de otro modo sería incontestable definieron el número −1 como la solución a la pregunta ¿a qué equivale cero menos uno? Resulta más sencillo aceptar el concepto de −1 tan sólo porque tenemos experiencia con el concepto análogo de «deuda», mientras que para apoyar el concepto de un número imaginario no disponemos de nada en el mundo real. El matemático alemán del siglo XVII Gottfried Leibniz describió con elegancia la extraña naturaleza del número imaginario: «El número imaginario es un recurso bello y refinado del espíritu divino, casi un híbrido entre el ser y el no ser».

Una vez hayamos definido i como la raíz cuadrada de −1, 2i tiene que existir, porque es la suma de i más i (al tiempo que equivale a la raíz cuadrada de −4). Del mismo modo, i/2 existe porque es lo que resulta al dividir i entre 2. Efectuando operaciones simples es posible obtener el equivalente imaginario de cualquiera de los llamados números reales. Hay números imaginarios cardinales, imaginarios negativos, fracciones imaginarias y números imaginarios irracionales.

El problema que surge ahora es que todos esos números imaginarios no disponen de una posición natural en la recta de los números reales. Los matemáticos solucionaron este conflicto creando una recta de números imaginarios independiente, perpendicular a la de los reales y que la corta por el cero, como muestra la figura 12. De modo que ahora los números ya no están limitados a una línea unidimensional sino que más bien ocupan un plano bidimensional. Mientras que los números imaginarios y reales puros están restringidos a sus respectivas rectas, las combinaciones de números reales e imaginarios (por ejemplo 1 + 2i), los números complejos, residen en llamado plano de números.

Lo particularmente destacable es que los números complejos pueden usarse para solucionar cualquier ecuación imaginable. Por ejemplo, para calcular √(3 + 4i) no hay que recurrir a inventar una clase nueva de números, la solución resulta ser 2 + i, otro número complejo. En otras palabras, los números imaginarios parecen constituir el último elemento necesario para completar las matemáticas.

Si bien las raíces cuadradas de los números negativos se han denominado números imaginarios, los matemáticos no consideran i más abstracto que un número negativo o que los números cardinales. Además, los físicos descubrieron que los números imaginarios proporcionan el mejor lenguaje para describir determinados fenómenos del mundo real. Con ciertas manipulaciones mínimas, los números imaginarios se convierten en la mejor manera de analizar el movimiento oscilante de objetos como el péndulo. Este movimiento, conocido técnicamente como oscilación sinusoidal, se encuentra por doquier en la naturaleza, así que los números imaginarios forman parte integral de muchos cálculos físicos. Hoy en día, los ingenieros eléctricos recurren a i para analizar las corrientes alternas, y los físicos teóricos calculan las consecuencias de la oscilación de funciones de onda de la mecánica cuántica empleando potencias de números imaginarios.

Los matemáticos puros también han explotado los números imaginarios para encontrar respuestas a problemas que antes eran inabordables. Los números imaginarios añaden literalmente una nueva dimensión a las matemáticas, y Euler confiaba en recurrir a este grado de libertad extra para enfrentarse al último teorema de Fermat.

En el pasado, otros matemáticos habían intentado aplicar el método de descenso infinito de Fermat a otros valores distintos a n = 4, pero todos los intentos para otros valores n solo condujeron a lagunas en la lógica. Aun así, Euler mostró que con la incorporación del número imaginario i a su prueba conseguía tapar agujeros y forzar el método de descenso infinito a actuar en el caso de n = 3.

Fue un logro enorme, pero no pudo repetirlo con otros valores del último teorema de Fermat. Por desgracia, todos los esfuerzos de Euler para que el sistema funcionara en los casos ascendentes hasta el infinito acabaron en fracaso. El hombre que creó más matemáticas que ninguna otra persona en la historia quedó humillado por el desafío de Fermat. Su único consuelo consistió en haber alcanzado el primer éxito en el problema más sesudo del mundo.

Impertérrito ante el fracaso, Euler continuó creando unas matemáticas brillantes hasta el día de su muerte, mérito mucho más destacable por el hecho de que en los últimos años de su carrera estaba totalmente ciego. Su pérdida de visión comenzó en 1735, cuando la Academia de París ofreció un premio por la resolución de un problema astronómico. El problema era tan difícil que la comunidad matemática solicitó a la Academia la concesión de varios meses para darle respuesta, pero para Euler fueron innecesarios. Se obsesionó con la tarea, trabajó sin interrupción durante tres días y, en efecto, ganó el galardón. Pero las malas condiciones de trabajo, combinadas con el intenso estrés, arrebataron a Euler, entonces todavía en sus veintitantos, la visión de un ojo. Esto se manifiesta en muchos de sus retratos.

Por consejo de Jean Le Rond d’Alembert, Euler fue sustituido por Joseph-Louis Lagrange como matemático en la corte de Federico II el Grande. Éste comentó más tarde: «Estoy en deuda con tu atención y recomendación por haber sustituido a un matemático medio ciego por otro con los dos ojos, que agradará especialmente a los miembros anatómicos de mi Academia». Euler regresó a Rusia, donde Catalina la Grande volvió a recibir encantada a su «cíclope matemático».

La pérdida de un ojo fue sólo un mal menor; el mismo Euler manifestó: «Ahora me distraeré menos». Cuarenta años después, a la edad de sesenta, su situación empeoro considerablemente porque una catarata en el ojo sano anunció que estaba condenado a quedarse ciego por completo. Decidió no rendirse, así que empezó a practicar. Escribía cerrando el ojo sano para mejorar la técnica antes de que lo alcanzara la oscuridad. En cuestión de semanas se quedó ciego. Los ensayos realizados sirvieron durante algún tiempo, pero al cabo de unos meses la escritura de Euler se volvió ilegible, por lo que su hijo Albert hizo las veces de su amanuense.

Euler continuó desarrollando matemáticas todavía durante diecisiete años y, si cabe, fue aún más productivo que nunca. Su tremendo intelecto le facultó el hacer juegos malabares con conceptos sin necesidad de tener que pasarlos al papel, y su excepcional memoria le permitió utilizar su propio cerebro como biblioteca mental. Sus colegas sugerían que el ataque de ceguera parecía haber expandido los horizontes de su imaginación. Merece especial atención el hecho de que Euler completara sus cálculos sobre las posiciones de la Luna durante esta época. Para los emperadores europeos, éste era uno de los logros matemáticos más apreciados, un problema que había confundido a los mayores matemáticos de Europa, incluido Newton.

En 1776 lo sometieron a una operación para extirpar la catarata y durante unos días pareció que había recuperado la visión. Entonces le sobrevino una infección y Euler se hundió de nuevo en las tinieblas. Continuó trabajando, impasible, hasta que el 18 de septiembre de 1783 tuvo un fatal ataque. En palabras del filósofo-matemático Marquis de Condorcet, «Euler cesó de vivir y de calcular».

Un paso insignificante

Un siglo después de la muerte de Fermat existían demostraciones tan sólo para dos casos del último teorema. Fermat había concedido a los matemáticos un punto de partida proporcionándoles la prueba de que no existen soluciones para la ecuación

x⁴ + y⁴ = z⁴.

Euler, por su parte, adaptó la prueba para mostrar que no hay soluciones posibles para

x³ + y³ = z³.

Tras el avance de Euler quedaba aún por demostrar que no existen soluciones de números enteros para una infinidad de ecuaciones:

Aunque los matemáticos estaban haciendo progresos de una lentitud penosa, la situación no era tan negativa como podría parecer a primera vista. La demostración para el caso n = 4 prueba también los casos n = 8, 12, 16, 20,… El motivo es que todo número que pueda escribirse como 8ª (o 12ª, 16ª, 20ª,…) potencia puede reescribirse a su vez como 4ª potencia. Por ejemplo, el número 256 es igual a 2⁸, pero también equivale a 4⁴. Así que cualquier demostración que sirva para la cuarta potencia se cumplirá también con la octava y con cualquier otra potencia que sea múltiplo de cuatro. Siguiendo el mismo principio, la demostración de Euler para el caso de n = 3 comprende automáticamente los casos de n = 6, 9, 12, 15,…

De repente, los números van cayendo y Fermat parece vulnerable. La demostración para el caso de n = 3 es muy significativa porque el tres es un ejemplo de número primo. Como se explicó con anterioridad, un número primo posee la propiedad especial de no ser múltiplo de ningún número entero excepto de la unidad y él mismo. Otros números primos son 5, 7, 11, 13,… Los números que restan son múltiplos de los primos y son referidos como no primos o como números compuestos.

Los teóricos de los números consideran los primos como los más importantes de todos pues constituyen los átomos de las matemáticas. Los números primos son los bloques de construcción numérica porque el resto de los números puede obtenerse multiplicando combinaciones de números primos. Esto parece conducir a un adelanto considerable. Para probar el último teorema de Fermat con todos los valores de n basta demostrarlo con los valores primos de n. Todos los demás casos son simples múltiplos de los valores primos y estarán demostrados por extensión.

Intuitivamente, esto simplifica el problema en gran medida ya que podemos ignorar aquellas ecuaciones que contienen un valor de n distinto a un número primo. Así que el número de ecuaciones que queda se reduce muchísimo. Por ejemplo, para los valores de n hasta el veinte, sólo quedan por demostrar seis valores:

Si alguien es capaz de probar el último teorema de Fermat tan sólo para los valores primos de n, el teorema estará probado para todos los valores posibles de n. Si tenemos en cuenta todos los números enteros, es obvio que existe una cantidad infinita de ellos. Pero si sólo consideramos los números primos, que son una pequeña porción de la vasta cantidad de números enteros… ¿seguro que el problema se vuelve mucho más simple?

La intuición sugeriría que, comenzando por una cantidad infinita y suprimiendo luego la mayor parte de ella, cabría esperar que nos quedáramos con algo finito. Por desgracia no es la intuición la que arbitra las verdades matemáticas, sino la lógica. De hecho es fácil demostrar que la lista de los números primos es también interminable, por tanto, a pesar de poder ignorar la vasta mayoría de las ecuaciones relacionadas con los valores no primos de n, las ecuaciones que quedan con sus valores primos siguen siendo infinitas en número.

La demostración de que existe una infinidad de primos se remonta allá por la época de Euclides y es clásica en matemáticas. Euclides empieza por asumir que hay una lista finita de números primos conocidos y luego muestra que tiene que existir un número infinito de adiciones a esa lista. Hay N números primos en la lista finita de Euclides que son denominados P₁, P₂, P₃, …, P_N. Así, Euclides puede crear un nuevo número, Q_A, tal que

Q_A = ( P₁ × P₂ × P₃ × … × P_N ) + 1.

Este nuevo número Q_A es o bien primo o bien no primo. Si es primo, hemos llegado a crear un número primo nuevo y mayor, de lo que se deduce que la lista original de números primos no estaba completa. Por otro lado, si Q_A no es primo, entonces tiene que tratarse de un número divisible entre un primo. Ese número primo no puede ser uno de los conocidos porque si dividimos Q_A entre alguno de tales primos nos llevará sin remedio a un resto de 1. Por lo tanto tiene que existir algún otro número primo nuevo, al que podemos denominar P_{N + 1} .

Hemos llegado a un punto en el que o bien Q_A es un nuevo número primo o bien disponemos de otro nuevo primo, P_{N + 1} . En ambos casos hemos añadido un número a nuestra lista original de primos. Podemos repetir ahora el proceso incluyendo nuestro nuevo primo (P_{N + 1} o Q_A) en la lista, con lo que produciremos algún número nuevo, Q_B. Del mismo modo, este número nuevo será ahora otro nuevo primo o tendrá que existir algún otro nuevo primo, P_{N + 2} , que no esté en nuestra lista de primos conocidos. El resultado es que, por muy larga que sea la lista de números primos, siempre será posible encontrar uno nuevo. Por lo tanto, la lista de los números primos es interminable e infinita.

¿Pero cómo puede haber algo sin duda menor que una cantidad infinita y que sea a su vez también infinito? El matemático alemán David Hilbert dijo en cierta ocasión: «¡El infinito! Ninguna otra cuestión ha movido jamas con tanta hondura el espíritu humano; ninguna otra idea ha estimulado su inteligencia con resultados tan fructíferos; hoy no emerge ningún otro concepto con mayor necesidad de esclarecimiento que el de infinito». Para resolver la paradoja de lo infinito se hace necesario definir lo que entendemos por tal. George Cantor, que trabajó junto a Hilbert, definió el infinito como el tamaño de la lista interminable de los números cardinales (1, 2, 3, 4…). De modo que todo lo que sea comparable a su extensión es igualmente infinito.

Según esta definición, la cantidad de los números cardinales pares, que aparenta ser menor, también es infinita. Es fácil demostrar que la cantidad de números cardinales es comparable a la cantidad de números pares porque podemos asociar cada número cardinal con otro par que le corresponda:

Si todos los miembros de la lista de números cardinales pueden asociarse con otro de la lista de números pares, entonces los dos grupos deben ser de una extensión idéntica. Este método de comparación lleva a conclusiones sorprendentes, incluida la de que existe un número infinito de primos. Aunque Cantor fue la primera persona en abordar el infinito de manera seria, al principio recibió muchas críticas de la comunidad matemática por lo radical de su definición. Hacia el final de su carrera, los ataques fueron cada vez más personales y llevaron a Cantor a la enfermedad mental y a fuertes depresiones. Con el tiempo, tras su muerte sus ideas se aceptaron en general como la única definición sólida, rigurosa y convincente de infinito. Hilbert dijo en su honor: «Nadie nos apartará del paraíso que Cantor ha creado para nosotros».

Hilbert continuó trabajando y elaboró un ejemplo de infinito, conocido como el hotel de Hilbert, que ilustra con claridad sus extrañas cualidades. Este hipotético hotel goza del atractivo atributo de poseer un número infinito de habitaciones. Un día llega a él un cliente nuevo y se decepciona al saber que, a pesar de extenderse hasta el infinito, todas las habitaciones del hotel están ocupadas. Hilbert, el recepcionista, medita por unos momentos y tranquiliza al recién llegado asegurándole que encontrará una habitación libre. Pide a todos los clientes ya instalados que se muden a la habitación que sigue a la que ocupan ahora, de manera que el de la habitación número uno se muda a la dos, el de la dos pasa a la tres, etc. Todos los que ya estaban en el hotel siguen teniendo una habitación, y eso permite que el último en llegar duerma en la habitación número uno, ahora vacante. Esto demuestra que infinito más uno es igual a infinito.

La noche siguiente, Hilbert tiene que enfrentarse a un problema mucho mayor. El hotel continúa al completo cuando llega un ómnibus infinitamente largo con un número infinito de nuevos clientes. Hilbert permanece imperturbable y se frota las manos pensando en la cantidad infinita de facturas de hotel que podrá cobrar. Pide a sus clientes ya instalados que se muden de nuevo, pero esta vez a la habitación cuyo número sea el doble del que tiene la que ahora ocupan. Así que el de la habitación número uno pasa a la dos, el de la dos pasa a la cuatro, y así sucesivamente. Todos los que estaban en el hotel siguen teniendo habitación y ahora un número infinito de habitaciones, todas las impares, han quedado vacantes para los recién llegados. Esto muestra que el doble de infinito continúa siendo infinito.

El hotel de Hilbert parece insinuar que todo infinito es tan extenso como cualquier otro, porque varios infinitos caben a la vez en el mismo hotel infinito; la infinidad de los números pares puede ser igualada y comparada con la infinidad de todos los números cardinales. Sin embargo, unos infinitos son, en realidad, mayores que otros. Por ejemplo, todo intento de emparejar uno a uno cada número racional con otro irracional acaba en fracaso y, de hecho, se puede demostrar que la cantidad infinita de números irracionales es más extensa que la cantidad infinita de números racionales. Los matemáticos han tenido que desarrollar todo un sistema de nomenclatura para enfrentarse a la variedad de grados de infinito. Hacer malabarismos con esos conceptos es uno de los asuntos más en boga.

Aunque la infinidad de números primos quebró las esperanzas de una pronta demostración del último teorema de Fermat, la existencia innumerable de primos sí que ha supuesto implicaciones positivas en otras áreas tales como el espionaje o la evolución de los insectos. Antes de regresar a la búsqueda de una demostración del último teorema de Fermat merece la pena indagar de forma somera en el uso y abuso de los números primos.

La teoría de números primos es una de las pocas ramas de las matemáticas puras que ha encontrado una aplicación directa en el mundo real: en la criptografía. La criptografía consiste en cifrar mensajes secretos de modo que sólo puedan ser descifrados por el receptor y no por cualquier persona que logre interceptarlos. El proceso de cifrado requiere el uso de una clave secreta, y suele ocurrir que, para descifrar el mensaje, el destinatario sólo precise aplicar la clave al revés. Con este procedimiento, la clave resulta el eslabón más débil en la cadena de seguridad. Primero, el receptor y el emisor deben ponerse de acuerdo en los detalles de la clave, y el intercambio de esta información constituye una acción arriesgada. Si el enemigo llega a interceptar el código mientras se transmite, puede descifrar todos los mensajes subsiguientes. En segundo lugar, los códigos tienen que cambiarse cada cierto tiempo para mantener la seguridad, y cada vez que esto ocurre existe el peligro de que la nueva clave sea interceptada.

El problema de la clave gira en torno a que, al aplicarla en un sentido, codifica el mensaje y, al hacerlo al revés, lo decodifica. Descifrar un mensaje es casi siempre tan sencillo como cifrarlo. En cambio, la experiencia nos dice que se dan muchas situaciones cada día en las que deshacer es mucho más difícil que hacer; resulta sencillo batir un huevo, pero desbatirlo es mucho más complicado.

En la década de los setenta, Whitfield Diffie y Martin Hellman tuvieron la idea de buscar un proceso matemático fácil de efectuar en una dirección, pero increíblemente complicado de ejecutar en sentido opuesto. Tal proceso proporcionaría una clave perfecta. Por ejemplo, yo podría disponer de mi propia clave de dos partes y publicar su mitad codificadora en una guía pública, de manera que cualquiera podría enviarme mensajes cifrados pero solo yo sabría la mitad descifradora de la clave. Aunque todo el mundo conozca la mitad codificadora de la clave, ésta no guarda ninguna relación con la parte decodificadora.

En 1977, Ronald Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman, un equipo de matemáticos e informáticos del Instituto de Tecnología de Massachusetts, se dieron cuenta de que los números primos constituían la base ideal para un proceso de codificación fácil y decodificación difícil. Para crear mi propia clave personal tomaría dos números primos enormes, de modo que cada uno comprenda más de ochenta dígitos, y luego los multiplicaría entre sí para conseguir un número no primo aún mayor. Todo lo que se requiere para cifrar mensajes es conocer el elevado número no primo, mientras que para descifrarlo necesitaríamos saber los dos números primos que en un principio fueron multiplicados entre sí, denominados factores primos. Entonces puedo hacer público el enorme número no primo, la mitad codificadora de la clave, y guardarme para mí los dos factores primos, la otra mitad decodificadora. Aun cuando todos conozcan el número no primo, tendrán enormes dificultades para extraer los dos factores primos.

Para poner un ejemplo simple, podría comunicar el número no primo 589 que permitiría a todo el mundo cifrarme mensajes. Mantendría en secreto los dos factores primos de 589, de manera que sólo yo podría descifrarlos. Si otros pudieran extraer los dos factores primos, entonces también ellos podrían descifrar mis mensajes, pero incluso con ese número tan bajo no resulta obvio cuál es el valor de los factores primos. En este caso sólo llevará unos pocos minutos calcular en un ordenador portátil que los factores primos son, en efecto, 31 y 19 (31 × 19 = 589), así que mi código no sería seguro por mucho tiempo.

Sin embargo, el número no primo que yo confiaría estaría formado en realidad por más de cien dígitos, y eso convierte la tarea de encontrar sus factores primos en un imposible. Incluso si se utilizaran los ordenadores más potentes del mundo para descomponer ese elevado número no primo (la clave codificadora) en sus dos factores primos (la clave decodificadora), llevaría varios años dar con la respuesta. Por lo tanto, para frustrar a los espías extranjeros, basta con cambiar la clave de año en año. Una vez al año anuncio mi nuevo número no primo gigante y cualquiera que intente descifrar mis mensajes tendrá que volver a calcular desde el principio los dos factores primos.

Además de encontrar una aplicación en el campo del espionaje, los números primos también aparecen en la naturaleza. Las cigarras periódicas, más conocidas como Magicicada septendecim, poseen el ciclo de vida más largo de todos los insectos existentes. Su exclusivo ciclo de vida comienza bajo tierra, donde las ninfas extraen con paciencia el jugo de las raíces de los árboles. Luego, tras esperar diecisiete años, las cigarras adultas emergen del suelo, pululan en vastos enjambres y, por un tiempo, inundan el paisaje. En el transcurso de unas pocas semanas se aparean, ponen huevos y mueren.

La cuestión que confunde a los biólogos es por qué el ciclo de vida de la cigarra es tan largo y si tiene algún significado que dicho ciclo dure un número primo de años. Otra especie de cigarras, la Magicicada tredecim, emerge cada trece años, lo cual sugiere que los ciclos de vida que se mantienen durante un número primo de años ofrecen alguna ventaja evolutiva.

Cierta teoría sostiene que la cigarra posee un parásito que también perdura durante un ciclo vital amplio y del que la cigarra está intentando zafarse. Si el parásito tiene un ciclo vital de, por ejemplo, 2 años, entonces la cigarra intenta evitar un ciclo de vida divisible entre 2, porque de otro modo el parásito y la cigarra coincidirían con regularidad. De forma parecida, si el parásito tiene un ciclo vital de 3 años, entonces la cigarra intenta evitar un ciclo de vida múltiplo de 3 porque, si no es así, el parásito y la cigarra volverán a coincidir con regularidad. En conclusión, para evitar el encuentro con sus parásitos, la mejor estrategia de las cigarras consiste en tener un ciclo vital largo de un número primo de años. Como nada es divisor de 17, la Magicicada septendecim rara vez se encuentra con su parásito. Si el parásito posee un ciclo vital de 2 años de duración, sólo coinciden cada 34 años, y si este ciclo vital es más largo, por ejemplo, 16 años, entonces sólo coincidirán cada 272 (16 × 17) años.

Para defenderse, el parásito sólo cuenta con dos ciclos vitales que aumentarán la frecuencia de los encuentros: el ciclo anual y el mismo ciclo de 17 años, idéntico al de la cigarra. Sin embargo, es poco probable que el parásito sobreviva apareciendo 17 años seguidos porque no habrá cigarras que parasitar durante los primeros 16. Por otra parte, para alcanzar el ciclo de vida de 17 años las generaciones de parásitos tendrían primero que evolucionar pasando por un ciclo vital de 16 años. ¡Esto significaría que en alguna fase de evolución el parásito y la cigarra no coincidirían hasta pasados 272 años! En ambos casos, el ciclo vital de las cigarras, que se prolonga durante un número primo grande de años, le sirve de protección.

¡Esto explicaría por qué el parásito mencionado no se ha encontrado jamás! En su carrera por seguir en contacto con la cigarra es muy probable que el parásito se mantuviera alargando su ciclo vital hasta alcanzar la barrera de los 16 años. Así que faltó a la cita durante 272 años, un tiempo en el que la no coincidencia con la cigarra lo ha llevado a extinguirse. El resultado es una cigarra que dispone de un ciclo vital de 17 años, el cual ya no necesita porque su parásito ha dejado de existir.

Monsieur Le Blanc

A comienzos del siglo XIX, el último teorema de Fermat se había convertido ya por sí solo en el problema más sonado de la teoría de números. Desde el logro de Euler no se había producido ningún otro progreso, pero la sensacional proclama de una mujer francesa reforzó la búsqueda de la demostración perdida de Fermat. Sophie Germain vivió en una época de discriminación y prejuicios, y para poder llevar a cabo su investigación se vio obligada a asumir una identidad falsa, estudiar en unas condiciones terribles y trabajar en un aislamiento intelectual.

A lo largo de los siglos se ha disuadido a las mujeres de que estudien matemáticas, pero a pesar de la discriminación ha habido varias mujeres matemáticas que lucharon contra lo establecido y acuñaron indeleblemente sus nombres en los anales de las matemáticas. La primera mujer con peso en la materia que conocemos fue Teano, en el siglo VI a. J. C. Empezó como alumna de Pitágoras antes de convertirse en destacada discípula y casarse con él al cabo del tiempo. A Pitágoras se lo conoce como el «filósofo feminista» porque alentó con entusiasmo la erudición femenina. Teano era, de hecho, una de las veintiocho hermanas de la secta pitagórica.

En siglos posteriores, hombres como Sócrates y Platón continuaron invitando a las mujeres a formar parte de sus escuelas, pero no hubo una escuela matemática de prestigio fundada por una mujer hasta el siglo IV de nuestra era. Hipatia, hija de un profesor de matemáticas de la Universidad de Alejandría, fue popular por dar los discursos más famosos del mundo conocido y por ser la mejor entre quienes se dedicaban a la resolución de problemas. Matemáticos que habían permanecido durante meses agobiados con un problema concreto le escribían pidiendo una solución, e Hipatia rara vez desencantaba a sus admiradores. Estaba obsesionada con las matemáticas y con el método de la demostración lógica y cuando se le preguntaba por qué no se había casado respondía que lo estaba con la verdad. Al final, su devoción por la causa del racionalismo provocó su caída cuando Cirilo, el patriarca de Alejandría, comenzó a oprimir a los filósofos, científicos y matemáticos, a los que tenía por herejes. El historiador Edward Gibbon da un vivo testimonio de lo que ocurrió después de que Cirilo conspirara contra Hipatia y de que volviera a las gentes contra ella:

En un fatídico día del tiempo sagrado de cuaresma derribaron a Hipatia del carro, la desnudaron por completo, la arrastraron hasta la iglesia y allí murió de forma inhumana a manos de Pedro el Lector y una banda de fanáticos salvajes y despiadados; la carne fue raspada de sus huesos con conchas afiladas de ostras y sus palpitantes miembros fueron entregados a las llamas.

Poco después de la muerte de Hipatia, las matemáticas iniciaron un periodo de estancamiento, y hasta el Renacimiento ninguna mujer volvió a hacerse un nombre como matemática. María Gaetana Agnesi había nacido en Milán en 1718 e, igual que Hipatia, era hija de un matemático. Se la equiparó a los mejores matemáticos de Europa y era especialmente famosa por sus tratados sobre las tangentes a curvas. Curva, en italiano, se traduce por versiera, palabra derivada del latín verto, «girar», pero también era un apócope de avversiera o «diablesa». Una curva estudiada por Agnesi (versiera Agnesi) fue mal traducida al inglés como la «bruja Agnesi», y con el tiempo la propia matemática fue identificada con ese mismo apelativo.

Aunque los matemáticos de toda Europa reconocían las capacidades de Agnesi, muchas instituciones académicas, en particular la Academia Francesa, se opusieron a concederle un cargo dedicado a la investigación. La discriminación institucionalizada contra las mujeres persistió inamovible hasta el siglo XX, cuando a Emmy Noether se le denegó un puesto como profesora en la Universidad de Gotinga. Einstein la había descrito como «el genio matemático creativo más destacado desde que comenzara la enseñanza superior de las mujeres». La mayoría de los facultativos argumentaron: «¿Cómo vamos a permitir que una mujer sea catedrática no titular? Si llega a catedrática no titular podrá convertirse en catedrática, y por tanto en miembro del claustro universitario… ¿Qué pensarán nuestros soldados cuando regresen a la universidad y se encuentren con que esperamos que sean discípulos de una mujer?». Su amigo y mentor David Hilbert respondió: «Meine Herrén, no veo que el sexo de la candidata sea un argumento en contra de su elección como catedrática no titular. Después de todo, el claustro universitario no es ningún salón de baño».

Más tarde se preguntó a Edmund Landau, colega de Noether, si ésta era en verdad una gran mujer matemática, a lo que él respondió: «Puedo dar fe de su genio matemático, pero que sea una mujer no lo puedo jurar».

Además de padecer discriminación, Noether tuvo mucho más en común con otras mujeres matemáticas de la historia; por ejemplo, también era hija de un profesor de matemáticas. Muchos matemáticos, de ambos sexos, proceden de familias matemáticas, lo cual origina alegres rumores sobre la existencia de un gen matemático, pero en el caso de las mujeres el porcentaje es bastante mayor. La posible explicación es que a la mayoría de mujeres con talento nunca se les expuso la materia o bien jamás se las animó a dedicarse a ella, mientras que aquellas que nacieron junto a profesores difícilmente pudieron evitar sumergirse en los números. Además, Noether, al igual que Hipatia, Agnesi y la mayoría de matemáticas, nunca se casó, en gran medida porque no era aceptable para la sociedad que las mujeres se dedicaran a carreras semejantes y porque había pocos hombres preparados para contraer nupcias en condiciones tan controvertidas. La espléndida matemática rusa Sonya Kovalevsky es una excepción a esta regla porque acordó un matrimonio de conveniencia con Vladimir Kovalevsky, un hombre dispuesto a mantener con ella una relación platónica. El matrimonio permitió a ambos jóvenes librarse de sus respectivas familias y concentrarse en los estudios. Sonya, por su parte, pudo viajar en solitario por toda Europa con mucha más facilidad desde que pasó a ser una respetable mujer casada.

De todos los países europeos, Francia adoptó la actitud más discriminatoria hacia la mujer culta declarando que las matemáticas son inadecuadas para las mujeres y van más allá de su capacidad mental. Los salones de París dominaron el mundo matemático durante los siglos XVIII y XIX y sólo una mujer se las ingenió para escapar a las reservas de la sociedad francesa y se erigió como una eminente teórica de números. Sophie Germain revolucionó el estudio del último teorema de Fermat y aportó una contribución aún mayor que la de cualquiera de los hombres que la precedieron.

Sophie Germain nació el 1 de abril de 1776 y era hija de un comerciante, Ambroise-François Germain. Fuera del trabajo, su vida estuvo dominada por el trastorno de la Revolución francesa. El mismo año en que descubrió su pasión por los números se produjo el asalto a la Bastilla y su estudio del cálculo se oscureció con la época del Terror. Si bien su padre era un próspero negociante, la familia de Sophie no pertenecía a la aristocracia.

A las señoras del grupo social de Germain no se las animaba especialmente a estudiar matemáticas, pero sí las instaban a tener suficientes conocimientos sobre la materia como para ser capaces de discutir sobre cualquier tema que pudiera surgir durante una conversación de sociedad. Con este fin se escribieron una serie de libros de texto que ayudaran a las mujeres a enfrentarse a los últimos avances matemáticos y científicos. Francesco Algarotti fue el autor de Newtonismo para las damas. Como Algarotti creía que las mujeres sólo estaban interesadas en amoríos, intentó explicar los descubrimientos de Newton a través del diálogo de flirteo entre una marquesa y su interlocutor. Así, éste perfila la ley del cuadrado inverso de la atracción gravitacional, tras lo cual la marquesa da su propia interpretación de esta ley física fundamental: «No puedo menos que pensar… que esta proporción en los cuadrados de las distancias espaciales… se aprecia incluso en el amor. De este modo, después de ocho días de ausencia, el amor se vuelve sesenta y cuatro veces menor de lo que fue el primer día».

No es sorprendente que no fuera este género galante de libros el que despertó en Sophie Germain el interés por las matemáticas. El acontecimiento que cambió su vida se produjo un día que andaba curioseando en la biblioteca de su padre y tropezó con el libro Historia de las matemáticas de Jean-Étienne Montucla. El capítulo que cautivó su imaginación fue un ensayo sobre la vida de Arquímedes. La consideración de los descubrimientos de Arquímedes fue sin duda interesante, pero lo que prendió la fascinación de Germain fue la historia que rodeó la muerte del científico. Arquímedes había pasado la vida en Siracusa estudiando matemáticas con relativa placidez, pero cuando alcanzó los setenta y tantos largos aquella paz fue despedazada por la invasión de las tropas romanas. Hizo leyenda el hecho de que durante la invasión Arquímedes estaba tan concentrado en el estudio de una figura geométrica sobre la arena que no respondió a la pregunta de un soldado romano. Como resultado fue alanceado hasta la muerte.

Germain concluyó que si un problema geométrico puede absorber tanto a alguien como para llevarlo a la muerte, las matemáticas tienen que ser entonces la materia más cautivadora del mundo. Se puso de inmediato a aprender por sí misma las bases de la teoría de números y del cálculo y muy pronto comenzó a quedarse hasta altas horas de la noche estudiando las obras de Euler y de Newton. Este repentino interés por una disciplina tan poco femenina preocupó a sus padres. Un amigo de la familia, el conde Guglielmo Libri-Carrucci dalla Sommaja, cuenta cómo el padre de Sophie le requisó las velas y vestidos y eliminó la calefacción para disuadirla del estudio. Unos pocos años más tarde, en Bretaña, el padre de la joven matemática Mary Somerville también le confiscó las velas mientras afirmaba: «Tenemos que acabar con esto o llegará el día en que veamos a Mary con camisa de fuerza».

En el caso de Germain, ésta respondió manteniendo un escondite secreto de velas y envolviéndose en ropas de cama. Libri-Carrucci dice que las noches de invierno eran tan frías que la tinta se congelaba en el tintero, pero Sophie continuó a pesar de todo. Algunos la describieron como reservada y difícil, pero era asimismo muy resuelta y a la larga sus padres cedieron y dieron su bendición a Sophie. Germain nunca se casó y a lo largo de su tarea profesional el padre costeó sus investigaciones. Durante muchos años siguió estudiando en solitario porque no había matemáticos en la familia que pudieran exponerle las ideas más recientes y sus instructores se negaban a tomarla en serio.

Entonces, en 1794, la École Polytechnique abrió sus puertas en París. Se fundó como academia de excelencia para formar a matemáticos y científicos nacionales. Este habría sido un lugar ideal para que Germain desarrollara sus habilidades matemáticas si no fuera porque se trataba de una institución limitada tan sólo a los hombres. Su reserva natural la previno de enfrentarse a la junta directiva de la academia, así que, en lugar de eso, recurrió a estudiar en secreto asumiendo la identidad de un antiguo alumno de la academia, monsieur Antoine-August Le Blanc. La secretaría de la academia ignoraba que el verdadero monsieur Le Blanc había abandonado París y continuó enviándole apuntes y problemas. Germain se las ingenió para obtener todo lo que iba destinado a Le Blanc y cada semana proponía respuestas a los problemas usando su nuevo seudónimo. Todo iba tal como había planeado, hasta que un par de meses más tarde el encargado del curso, Joseph-Louis Lagrange, no pudo ignorar por más tiempo la brillantez de las respuestas de monsieur Le Blanc. Las soluciones de monsieur Le Blanc no sólo eran de un ingenio maravilloso sino que además evidenciaban una notoria transformación en un estudiante que otrora había destacado por su pésima destreza matemática. Lagrange, que era uno de los matemáticos más distinguidos del siglo XIX, solicitó un encuentro con el renovado estudiante y Germain se vio obligada a revelar su auténtica identidad. Lagrange se quedó atónito y encantado al conocer a la joven y se convirtió en su mentor y amigo. Sophie tuvo al fin un profesor que la colmó y con el que pudo dar rienda suelta a sus capacidades y ambiciones.

Germain progresaba en secreto y pasó de resolver problemas como deberes del curso a estudiar áreas inexploradas de las matemáticas. Se interesó muy en especial por la teoría de números e inevitablemente llegó a oír hablar del último teorema de Fermat. Trabajó en este problema durante muchos años y alcanzó una fase en la que creyó haber logrado un avance importante. Sintió la necesidad de discutir sus ideas con otros colegas teóricos de números y decidió dirigirse directamente a la cima y consultar al mejor del mundo, el matemático alemán Carl Friedrich Gauss.

Gauss es reconocido como uno de los matemáticos más brillantes que han existido. Mientras que E. T. Bell hacía referencia a Fermat como el «príncipe de los aficionados», a Gauss lo denominó el «príncipe de los matemáticos». Germain había entrado en contacto con su obra mediante el estudio de su creación maestra Disquisitiones arithmeticae, el tratado más importante y de mayor alcance desde los Elementos de Euclides. La obra de Gauss tuvo repercusión en todas las ramas matemáticas, pero resulta bastante extraño que Gauss nunca publicara nada acerca del último teorema de Fermat. En una carta incluso llegó a manifestar desprecio hacia el problema. Su amigo y astrónomo alemán Heinrich Olbers le escribió animándolo a competir por un premio que había convocado la Academia de París a la solución del desafío de Fermat: «Se me antoja, estimado Gauss, que empezarás a trabajar en esto de inmediato». Dos semanas después, Gauss respondió: «Te estoy muy agradecido por la información concerniente al galardón de París, pero confieso que el último teorema de Fermat tiene muy poco interés para mí como problema aislado, porque yo mismo podría plantear con facilidad multitud de cuestiones semejantes que nadie sería capaz de demostrar ni de refutar jamás». Gauss tenía derecho a pensar así, pero Fermat había afirmado con claridad que existía una demostración y hasta los intentos fallidos para dar con ella habían generado nuevas técnicas innovadoras, tales como la prueba por «descenso infinito» y la utilización de los números imaginarios. Es posible que, con anterioridad, Gauss hubiera intentado sin éxito atacar el problema, y quizá su respuesta a Olbers fuera tan sólo un caso de envidia intelectual. No obstante, cuando recibió las cartas de Germain quedó impresionado con los logros de esta mujer, lo suficiente como para olvidarse por una temporada de la ambivalencia que atribuía al último teorema de Fermat.

Setenta y cinco años antes, Euler había publicado su demostración para el caso de n = 3, y desde entonces los matemáticos habían intentado demostrar en vano otros casos individuales. En cambio, Germain adoptó una estrategia nueva y planteó a Gauss un método general de aproximación al problema. En otras palabras, su objetivo inmediato no consistía en probar un caso concreto, sino en afirmar algo sobre muchos casos a la vez. En su misiva a Gauss perfilaba un cálculo que se centraba en un tipo concreto de número primo p, tal que (2p + 1) también es primo. La lista de números primos de Germain incluía el 5, porque 11 (2 × 5 + 1) da lugar a otro primo; pero no acogía el 13, porque 27 (2 × 13 + 1) no es primo.

Para los valores de n equivalentes a estos primos de Germain utilizó un argumento notable con el fin de mostrar que era muy probable que no hubiera soluciones a la ecuación xⁿ + yⁿ = zⁿ. Con «probable» Germain quería decir que la existencia de soluciones era inverosímil porque, si las hubiera, x, y o z tendrían que ser múltiplos de n, y eso impondría fuertes restricciones a las soluciones posibles. Sus colegas examinaron la lista de primos uno a uno intentando demostrar que x, y o z no podrían ser múltiplos de n para mostrar con ello que para un valor concreto de n no existían soluciones.

En 1825, el método de Germain alcanzó su primer éxito pleno gracias a Gustav Lejeune-Dirichlet y a Adrien-Marie Legendre, dos matemáticos de generaciones distintas. Legendre era un hombre de setenta años que había vivido durante la confusión política de la Revolución francesa. El error que cometió al no apoyar al candidato estatal para el Instituto Nacional supuso el cese de su pensión y, en la época en que hizo su aportación al último teorema de Fermat, se hallaba en la miseria. Por otra parte, Dirichlet era un teórico de números joven y ambicioso que había cumplido tan sólo los veinte. Ambos fueron capaces de demostrar por separado que el caso de n = 5 no tiene solución, pero basaron sus pruebas en Sophie Germain y a ella debieron su éxito.

Catorce años más tarde, los franceses consiguieron otro progreso. Gabriel Lamé aportó una serie de adiciones ingeniosas al método de Germain y demostró el caso del primo n = 7. Germain había enseñado a los matemáticos cómo eliminar toda una sección de casos primos y ahora el seguir demostrando uno a uno cada caso del último teorema de Fermat dependía de los esfuerzos combinados de sus colegas.

La labor de Germain sobre el último teorema de Fermat constituyó su mayor aportación a las matemáticas, pero al principio nadie creyó en su descubrimiento. Germain tenía veintitantos años cuando escribió a Gauss y, aunque se había hecho con una reputación en París, temió que el gran matemático no la tomara en serio por ser mujer. Para preservar su identidad, Germain recurrió de nuevo al seudónimo y firmó las cartas con el nombre de monsieur Le Blanc.

Su temor y respeto hacia Gauss queda patente en una de las misivas que le dirigió: «Por desgracia, la profundidad de mi intelecto no se corresponde con la voracidad de mi apetito, y me parece ciertamente una osadía importunar a un hombre de genio cuando yo no merezco su atención más que por la admiración que le profeso y que sin duda comparto con todos sus lectores». Gauss, ignorante de la verdadera identidad del remitente, intentó que Germain se sintiera cómoda y respondió: «Estoy encantado de que la aritmética haya encontrado en usted a un amigo tan capaz». La contribución de Germain se habría atribuido por siempre al misterioso monsieur Le Blanc de no haber sido por Napoleón. En 1806, Napoleón se encontraba invadiendo Prusia y el ejército francés estaba tomando una tras otra las ciudades alemanas. Ante el temor de que el destino que sobrevino a Arquímedes pudiera arrebatar también la vida de Gauss, su otro gran héroe, Germain envió un mensaje al general Joseph-Marie Pernety, amigo suyo que estaba al mando de las fuerzas avanzadas, y le rogó que garantizara la seguridad de Gauss. El general prestó un cuidado especial al matemático alemán y le comunicó que debía su vida a mademoiselle Germain. Gauss quedó agradecido, pero sorprendido a la vez de que nunca hubiera oído hablar de Sophie Germain.

El juego había concluido. En su próxima carta a Gauss, Germain reveló a regañadientes su identidad real. Lejos de enfadarse por el engaño, Gauss le respondió complacido:

Cómo describirle mi sorpresa y estupor al comprobar que monsieur Le Blanc, mi estimado correspondiente, se metamorfoseaba en este distinguido personaje que sirve de tan brillante ejemplo a lo que yo mismo encontraría difícil de creer. El gusto por las ciencias abstractas en general, y sobre todo por los misterios de los números, es tremendamente inusual, lo cual no me sorprende porque los seductores encantos de esta sublime ciencia se manifiestan tan sólo a aquellos que poseen el valor para ahondarla en profundidad. Sin embargo, cuando una persona, según nuestras costumbres y prejuicios, se ve obligada a tropezar con muchísimas más dificultades que un hombre, por pertenecer al sexo contrario, a la hora de familiarizarse con estos estudios espinosos y, a pesar de todo, consigue vencer los obstáculos y penetrar hasta sus rincones más oscuros, entonces esa mujer goza sin duda del ánimo más noble, de todo un talento extraordinario y de un genio superior. En efecto, nada me demostraría de un modo tan lisonjero y tan poco equívoco que los atractivos de esta ciencia que ha enriquecido mi vida con tantas alegrías no son una quimera, igual que no lo es la predilección con la que usted la ha honrado.

La correspondencia que Sophie Germain mantuvo con Carl Gauss inspiró gran parte de su producción, pero en 1808 la relación de ambos terminó con brusquedad. Gauss había sido elegido como profesor de Astronomía en la Universidad de Gotinga, por lo que su interés por la teoría de números evolucionó hacia unas matemáticas más aplicadas, y no se molestó más en responder a las cartas de Germain. Sin mentor, la confianza de la francesa comenzó a menguar y en el plazo de un año abandonó las matemáticas puras.

No continuó su aportación a demostrar el último teorema de Fermat, pero se embarcó en una emocionante carrera como física, una disciplina en la que de nuevo volvería a destacar por el simple hecho de oponerse a los prejuicios establecidos. Su contribución más importante a la materia fue Memoria sobre las vibraciones de las láminas elásticas, un texto de gran brillantez que sentaba los cimientos de la teoría moderna de la elasticidad. Como resultado de esta investigación y de su labor en el último teorema de Fermat recibió una medalla del Instituto de Francia y se convirtió en la primera mujer que, sin ser esposa de alguno de sus miembros, asistió a las conferencias de la Academia de las Ciencias. Hacia el final de su vida restableció su relación con Carl Gauss, y éste convenció a la Universidad de Gotinga para que otorgara a Germain un título honorífico. Por desgracia, Sophie Germain falleció de cáncer de mama antes de que la universidad pudiera concederle el honor.

Los sobres lacrados

Tras el impulso de Sophie Germain, la Academia Francesa de las ciencias ofreció una serie de premios, entre ellos una medalla de oro y tres mil francos, para el matemático que acabara por fin con el misterio del último teorema de Fermat. Además del prestigio de demostrar el último teorema de Fermat, ahora se unía al desafío una gratificación inmensamente valiosa. Los salones de París rebosaban de habladurías sobre quién estaba adoptando una estrategia u otra y lo cerca que andaba de anunciar una solución. Entonces, el 1 de marzo de 1847, la Academia celebró su sesión más espectacular.

Las actas describen cómo Gabriel Lamé, que había demostrado el caso de n = 7 algunos años antes, subió al estrado y, ante los matemáticos más eminentes de la época, proclamó que estaba a punto de probar el último teorema de Fermat. Admitió que la demostración estaba aún incompleta, pero perfiló su método y vaticinó con entusiasmo que en las próximas semanas publicaría una prueba completa en la revista de la Academia.

Dejó pasmada a toda la audiencia, y tan pronto como Lamé abandonó la tarima, Augustin-Louis Cauchy, otro de los matemáticos más destacados de París, pidió permiso para hablar. Cauchy comunicó a la Academia que había estado trabajando en una línea parecida a la de Lamé y que también él estaba al borde de publicar una demostración absoluta.

Tanto Cauchy como Lamé se percataron de que la clave estaba en el tiempo. El primero en presentar una demostración recibiría el premio de mayor valor y prestigio de las matemáticas. Si bien ninguno de los dos poseía una demostración completa, ambos rivales ansiaban hacer valer de algún modo sus derechos, así que, justo tres semanas después de que hubieran hecho sus anuncios respectivos, depositaron sendos sobres lacrados en la Academia. Se trataba de una práctica habitual de aquella época que permitía a los matemáticos registrar su investigación sin revelar los detalles exactos. Si más tarde surgía una disputa relativa a la originalidad de las ideas, un sobre sellado demostraría la evidencia necesaria para establecer prioridades.

La expectación aumentó en abril, cuando Cauchy y Lamé publicaron en las actas de la Academia tentadores detalles, aunque vagos, de sus pruebas. Si bien la comunidad matemática al completo estaba desesperada por ver terminada la demostración, muchos de sus miembros deseaban en secreto que fuera Lamé y no Cauchy quien ganara la carrera. A decir de todos, Cauchy era una criatura hipócrita, un fanático religioso y nada querido entre sus compañeros. Si la Academia lo aguantaba era sólo por su brillantez.

El 24 de mayo se difundió un comunicado que acabó con la especulación. No fue Cauchy ni tampoco Lamé quien se dirigió a la Academia, sino Joseph Liouville. Liouville impactó a la audiencia cuando leyó en voz alta el contenido de una carta que tenía por remitente al matemático alemán Ernst Kummer. Kummer era un teórico de números del más alto nivel, pero el furioso patriotismo que su odio hacia Napoleón despertó en él lo apartó de su auténtica vocación durante gran parte de su carrera. Cuando era niño, el ejército francés invadió su ciudad natal, Sorau, y trajo consigo una epidemia de tifus. A su padre, que era el médico del municipio, la enfermedad se lo llevó en cuestión de semanas. Traumatizado por la experiencia, Kummer se juró hacer todo lo posible para defender su país de ataques ulteriores y, tan pronto como acabó la universidad, dedicó su inteligencia al problema del trazado de trayectorias de las balas de cañón. Con el tiempo enseñó las leyes balísticas en la Escuela de Guerra de Berlín.

Paralelamente a la dedicación bélica, Kummer se entregó de forma activa a la investigación en matemáticas puras y había permanecido muy atento a la epopeya que se había puesto en marcha en la Academia Francesa. Había repasado las actas de principio a fin y analizado los pocos detalles que Cauchy y Lamé se habían atrevido a revelar. Para Kummer era obvio que los dos franceses se encaminaban hacia un mismo callejón sin salida lógico y explicó sus razones en la carta que envió a Liouville.

Según Kummer, el problema fundamental residía en que las demostraciones de ambos, Cauchy y Lamé, se basaban en la utilización de una propiedad de los números conocida como factorización unívoca. La factorización unívoca establece que sólo existe una combinación posible de números primos tal que al multiplicarlos entre sí dan como resultado un número determinado. Por ejemplo, la única combinación de números primos que multiplicados dan el número 18 es la que sigue:

18 = 2 × 3 × 3.

De un modo semejante, los números siguientes se factorizan tan sólo de estas maneras:

La factorización unívoca fue descubierta allá por el siglo IV a. J. C. por Euclides, quien probó que es cierta para todos los números cardinales, y describió la demostración en el libro IX de sus Elementos. El hecho de que la factorización unívoca se cumpla con todos los números cardinales es un elemento esencial para otras muchas demostraciones y hoy en día se lo denomina el teorema fundamental de la aritmética.

A primera vista no habría ninguna razón por la que Cauchy y Lamé no debieran basarse en la factorización unívoca, como cientos de matemáticos habían hecho antes que ellos. Pero por desgracia ambas demostraciones incluían números imaginarios. Si bien la factorización unívoca es cierta para los números reales, Kummer señaló que no tenía por qué cumplirse cuando se introducen números imaginarios. A su entender, esto constituía una fisura fatal.

Si por ejemplo nos limitamos a los números reales, entonces el 12 solo puede factorizarse como 2 × 2 × 3. Sin embargo, si admitimos los números imaginarios en la demostración, entonces el numero 12 podría ser factorizado además en la manera que sigue:

12 = (1 + √−11) (1 − √−11)

Aquí (1 + √−11) es un número complejo, la combinación de un número real y de otro imaginario. Aunque el proceso de multiplicación es más enrevesado que con los números ordinarios, la existencia de los números complejos proporciona otros caminos para factorizar el número 12. Otra manera de factorizar ese número es (2 + √−8)(2 − √−8). Así que ya no hay una única factorización, sino un surtido de ellas.

Esta pérdida de la factorización unívoca perjudicó en gran medida las pruebas de Cauchy y de Lamé, pero no por ello las destruyó del todo. Se suponía que las demostraciones concluían que no existían soluciones para la ecuación xⁿ + yⁿ = zⁿ, donde n representa cualquier número mayor que dos. Como ya hemos comentado con anterioridad en este capítulo, bastaba con que las pruebas se cumplieran tan sólo con los valores primos de n. Kummer mostró que empleando otras técnicas era posible restablecer la factorización unívoca para algunos valores de n. Por ejemplo, el problema que ofrecía la factorización unívoca podía esquivarse para todos los números primos menores o iguales que n = 31. En cambio, al número primo n = 37 no se le podía hacer frente con tanta facilidad. Del resto de primos inferiores a 100, otros dos, n = 59 y n = 67, eran también números difíciles. Estos primos, denominados irregulares, que están salpicados entre el resto de los números primos, constituían ahora el muro que bloqueaba la demostración absoluta.

Kummer señaló que nada en las matemáticas conocidas podría atajar todos aquellos primos irregulares de un solo golpe. Sin embargo, sí creía que, mediante cuidadosas técnicas hechas a medida para cada primo irregular concreto, podrían ser doblegados uno tras otro. Elaborar esas técnicas expresas constituiría un ejercicio lento y penoso, aún más si tenemos en cuenta que el número de primos irregulares sigue siendo infinito. Eliminarlos de forma individual ocuparía a toda la comunidad mundial de matemáticos por toda la eternidad.

La misiva de Kummer tuvo efectos devastadores en Lamé. Considerándolo a posteriori, la adopción de la factorización unívoca puede verse, en el mejor de los casos, demasiado optimista y, en el peor de ellos, temeraria. Lamé se dio cuenta de que si hubiera sido más franco con su trabajo podría haber reparado antes en el error, y en una carta que envió a su colega Dirichlet en Berlín escribió: «Sólo con que usted hubiera estado en París o yo hubiera estado en Berlín nada de esto habría ocurrido».

Mientras que Lamé se sintió humillado, Cauchy se negó a aceptar la derrota. Vio que, comparado con la demostración de Lamé, su planteamiento se apoyaba menos en la factorización unívoca y que en tanto no se revisara la totalidad del análisis de Kummer cabía la posibilidad de que fuera erróneo. Continuó publicando artículos sobre el asunto durante varias semanas, pero al final del verano también él enmudeció.

Kummer había demostrado que una prueba completa del último teorema de Fermat se hallaba fuera del alcance de los enfoques matemáticos al uso. Fue una brillante muestra de lógica matemática, pero un pesado golpe para toda una generación de matemáticos que habían saboreado la posibilidad de resolver el problema más arduo del mundo.

El mismo Cauchy resumió la situación cuando en 1857 redactó el informe de la Academia sobre la clausura del galardón para el último teorema de Fermat:

Durante más de dos siglos, todos los intentos de recuperar la demostración del último teorema de Fermat habían acabado en fracaso. A lo largo de su adolescencia, Andrew Wiles había estudiado los trabajos de Euler, Germain, Cauchy, Lamé y, por último, Kummer. Esperaba aprender de los errores de todos ellos, pero durante su época de estudiante en la Universidad de Oxford chocó con la misma pared que Kummer.

Algunos de los contemporáneos de Wiles empezaban a creer que podía tratarse de un problema imposible. Quizá Fermat se había equivocado y por tanto la razón de que nadie hubiera redescubierto la prueba era que no existía. A pesar de este escepticismo, Wiles continuó buscando. Lo sustentaba el conocimiento de que se habían dado varios casos de pruebas descubiertas al cabo del tiempo, tras siglos de esfuerzo. Y en algunos la ráfaga de revelación que solucionó el problema no se basaba en absoluto en unas matemáticas nuevas, sino que se trataba de pruebas que podían haberse conseguido mucho tiempo antes.

Un ejemplo de problema que escapó a una solución durante décadas es la conjetura del punto. El desafío trata sobre una serie de puntos que están conectados todos entre sí, sin excepción, por líneas rectas, como los diagramas de puntos que ilustra la figura 13. La conjetura sostiene que es imposible trazar un diagrama de puntos en el que cada línea contenga al menos tres puntos (sin tener en cuenta el diagrama en el que todos los puntos descansen sobre la misma línea). En efecto, tras experimentar con unos pocos diagramas la afirmación parece ser cierta. Por ejemplo, la figura 13a consta de cinco puntos conectados por seis líneas. Cuatro de ellas no contienen tres puntos, así que, claramente, esta disposición no cumple el requisito de que todas las líneas posean tres puntos. Si insertamos un punto más y su línea correspondiente, como en la figura 13b, el número de líneas que no reúne tres puntos se reduce justo a tres. Pero el intento de distribuir el diagrama de manera que todas las líneas incluyan tres puntos sigue pareciendo imposible. Ello, por supuesto, no demuestra que tal diagrama no exista.

Generaciones de matemáticos trabajaron y fracasaron en la demostración de la conjetura del punto, tan clara en apariencia. Lo que hizo la conjetura mucho más enloquecedora es que, cuando al fin se encontró una demostración, sólo consistía en una cantidad mínima de conocimientos matemáticos mezclada con cierto ingenio extra. La demostración se incluye en el apéndice 6.

Existía la posibilidad de que todas las técnicas requeridas para la demostración del último teorema de Fermat estuvieran a mano y que el único ingrediente que faltara fuera el ingenio. Wiles no estaba dispuesto a ceder: dar con la demostración del último teorema de Fermat se había transformado para él de fascinación infantil en obsesión alimentada con celo. Habiendo aprendido todo lo que había para aprender de las matemáticas del siglo XIX, Wiles decidió dotarse de técnicas del siglo XX.