6. EL CÁLCULO SECRETO

Un experto en la resolución de problemas debe estar dotado de dos cualidades incompatibles: una imaginación inquieta y una paciente obstinación.

Howard W. Eves

«Fue una tarde al final del verano de 1986 en que estaba tomando un té helado en casa de un amigo. Casualmente, en medio de una conversación me dijo que Kent Ribet había probado el nexo entre Taniyama-Shimura y el último teorema de Fermat. Fue como una descarga eléctrica. En aquel momento supe que el curso de mi vida iba a cambiar ya que para probar el último teorema de Fermat todo lo que tenía que hacer era demostrar la conjetura de Taniyama-Shimura. Aquello significaba que el sueño de mi infancia era ahora un tema respetable sobre el que trabajar. Supe que nunca dejaría pasar la oportunidad. Supe que iría a casa y trabajaría en la conjetura de Taniyama-Shimura».

Habían pasado más de dos décadas desde que Andrew Wiles descubrió en una biblioteca el libro que le llevó a aceptar el reto de Fermat, pero ahora, por vez primera, vislumbraba un camino para alcanzar el sueño de su niñez. Wiles recuerda cómo cambió de golpe su actitud hacia Taniyama-Shimura: «Me acordé de un matemático que había escrito sobre la conjetura de Taniyama-Shimura y la aconsejaba, desconsideradamente, como un ejercicio sólo para lectores interesados. ¡Bien, supongo que yo estaba interesado!».

Al acabar su doctorado con el profesor John Coates en Cambridge, Wiles se había trasladado, saltando el atlántico, a la Universidad de Princeton, donde era ahora profesor. Gracias a la dirección de Coates, Wiles sabía posiblemente más que nadie en el mundo sobre ecuaciones elípticas, pero era consiente de que incluso con su enorme bagaje de conocimientos y habilidades matemáticas la tarea que quedaba por realizar era inmensa.

La mayor parte de los matemáticos, incluyendo a John Coates, opinaban que embarcarse en la demostración era un ejercicio fútil: «Yo mismo era bastante escéptico de que el nexo de unión entre el ultimo teorema de Fermat y la conjetura de Taniyama-Shimura llevara realmente a algún sitio, porque debo confesar que no creía que la conjetura fuera posible demostrar. Por bello que fuera este problema, parecía imposible de probar. Debo confesar que pensaba que probablemente no lo vería demostrado en mi vida».

Wiles sabía que las probabilidades estaban contra él, pero incluso si fallaba al intentar demostrar el último teorema de Fermat, sentía que sus esfuerzos no serían vanos: «Por supuesto, la conjetura de Taniyama-Shimura había sido un problema abierto durante muchos años. Nadie había tenido ninguna idea sobre cómo enfocarla, pero al menos estaba en la corriente principal de las matemáticas. Podía intentarlo y probar algunos resultados que, incluso si no conseguía demostrar la conjetura por completo, serían valiosos para las matemáticas. No creía que fuera a perder el tiempo. Así, el romance con Fermat que había mantenido durante toda mi vida estaba ahora combinado con un problema profesionalmente aceptable».

La reclusión en el ático

A finales de siglo, le preguntaron al gran lógico David Hilbert por qué nunca había intentado demostrar el último teorema de Fermat. El replicó: «Antes de empezar debería dedicar tres años de intenso estudio, y no tengo mucho tiempo para derrochar en un probable fracaso». Wiles era muy consciente de que para tener alguna esperanza de encontrar una demostración primero debería sumergirse completamente en el problema, pero, a diferencia de Hilbert, él estaba preparado para asumir el riesgo. Leyó las revistas más recientes y jugó con las últimas técnicas una y otra vez hasta asimilarlas por completo. Reunir las armas necesarias para la batalla que le esperaba requeriría que Wiles pasara los siguientes dieciocho meses familiarizándose con cada porción de las matemáticas que hubiera sido aplicada a, o derivada de, las ecuaciones elípticas o las formas modulares. Ésta era una inversión comparativamente menor si se tiene en cuenta que cualquier intento serio de demostración podría fácilmente requerir diez años de esfuerzo en solitario. Wiles abandonó todo trabajo que no estuviera directamente relacionado con la prueba del último teorema de Fermat y dejó de asistir a la inacabable serie de conferencias y coloquios. Puesto que aún tenía responsabilidades en el departamento de matemáticas de Princeton, continuó asistiendo a seminarios, enseñando a estudiantes pregraduados y ejerciendo de tutor.

Siempre que le era posible evitaba las distracciones derivadas de ser miembro de la facultad trabajando en casa, donde se podía recluir en su estudio del ático. Allí intentaría aumentar la potencia de las técnicas establecidas y extender su campo de aplicación, esperando desarrollar una estrategia para su ataque a la conjetura de Taniyama-Shimura.

«Solía subir a mi estudio y me ponía a buscar pautas. Intenté realizar cálculos que explicaran pequeñas partes de las matemáticas. Quería encajarlos en algún conocimiento general previo que clarificara el problema en el que estaba trabajando. Algunas veces implicaba consultar un libro para ver cómo se hacía. A veces era cuestión de modificar ligeramente las cosas con unos cuantos cálculos más. Y a veces me daba cuenta de que nada de lo que se hubiera hecho antes era de alguna utilidad. Entonces tenía que encontrar algo completamente nuevo, y es un misterio de dónde proviene ese algo.

»Básicamente es cuestión de pensar. A menudo escribes algo para aclarar tus pensamientos, pero no necesariamente. En particular, cuando has llegado a un callejón sin salida, cuando hay un problema grave que deseas superar, entonces el rutinario pensamiento matemático no te sirve. Para llegar a ese tipo de idea nueva debe haber un largo periodo de tremenda concentración en el problema, sin ninguna distracción. Debes pensar únicamente en el problema, sólo concentrarte en él. Entonces paras. Después parece haber un periodo de relajación durante el cual el subconsciente parece tomar el mando, y es durante este tiempo cuando llega algún nuevo tipo de compresión del problema».

Desde el momento en que se embarcó en la demostración. Wiles tomó la extraordinaria decisión de trabajar en total aislamiento y secreto. Las matemáticas modernas han desarrollado una cultura de cooperación y colaboración, por lo que la decisión de Wiles parecía devolverlo a una era previa. Era como si estuviera imitando el enfoque del mismo Fermat, el más famoso de los ermitaños matemáticos. Wiles explicó que, en parte, la razón de su decisión de trabajar en secreto era su deseo de trabajar sin distracciones: «Me di cuenta de que cualquier cosa que tenga que ver con el último teorema de Fermat genera demasiado interés. No puedes concentrarte realmente durante años a menos que tengas una concentración total que un exceso de espectadores habría destruido».

Otra motivación para el secretismo de Wiles debe de haber sido su ansia de gloria. Temía que se diera la situación de haber completado la mayor parte de la demostración pero carecer aún del elemento final del cálculo. En este punto, si se filtraran noticias acerca de sus grandes avances, no habría nada que pudiera evitar que cualquier otro matemático, basándose en el trabajo de Wiles, completara la demostración y le robara el premio.

En los años que siguieron, Wiles iba a hacer una serie de extraordinarios descubrimientos, ninguno de los cuales sería comentado con sus colegas o publicado hasta que la demostración estuviera completa. Incluso sus compañeros más cercanos desconocían sus investigaciones. John Coates rememora conversaciones con Wiles en las que no recibió ninguna pista sobre lo que sucedía: «Recuerdo haberle dicho en varias ocasiones: “Está muy bien este nexo con el último teorema de Fermat, pero aún sigue sin haber esperanzas de demostrar Taniyama-Shimura”. Él solo sonreía».

Ken Ribet, que completó el nexo entre Fermat y Taniyama-Shimura, tampoco sabía nada de las actividades clandestinas de Wiles. «Es probablemente el único caso que yo conozca en que alguien trabaja durante tanto tiempo sin dar a conocer lo que hacía, sin hablar sobre sus avances. Sencillamente, no tiene precedentes en mi experiencia. En nuestra comunidad, la gente siempre ha compartido sus ideas. Los matemáticos se reúnen en las conferencias, se visitan para dar seminarios, se envían mensajes electrónicos unos a otros, hablan por teléfono, se piden ayuda, información; los matemáticos siempre están en contacto. Cuando hablas con otra gente recibes una palmada en la espalda; te dicen que lo que has hecho es importante, te dan ideas. Es una forma de alimentarte intelectualmente, y si te aíslas de esto posiblemente, estás haciendo algo que psicológicamente es muy extraño».

Para no levantar sospechas, Wiles diseño un astuto plan que impediría a sus colegas ponerse sobre la pista. A principios de los ochenta había trabajado en una importante investigación sobre un tipo particular de ecuación elíptica, y estaba a punto de publicar los resultados en su totalidad cuando los descubrimientos de Frey le hicieron cambiar de opinión. Wiles decidió comunicar sus investigaciones en pequeñas dosis, publicando un artículo corto cada seis meses más o menos. Esta aparente productividad convencería a sus colegas de que aún continuaba con sus investigaciones usuales. Mientras pudiera continuar manteniendo esta farsa, Wiles podría trabajar en su verdadera obsesión sin revelar ninguno de sus avances.

La única persona en el mundo que estaba al corriente del secreto de Wiles era Nada, su esposa. Se casaron poco después de que Wiles empezara a trabajar en la demostración, y a medida que los cálculos avanzaban se confió a ella y sólo a ella. En los años que siguieron, la familia fue su única distracción. «Mi mujer sólo me ha conocido trabajando en Fermat. Se lo dije durante nuestra luna de miel, pocos días después de casarnos. Ella había oído hablar del último teorema de Fermat, pero en aquel momento no conocía el significado romántico que tenía para los matemáticos ni que había sido una espina clavada en nuestra carne durante tantos años».

Batiéndose con el infinito

Para demostrar el último teorema de Fermat Wiles debía probar la conjetura de Taniyama-Shimura: toda ecuación elíptica debe estar asociada a una forma modular. Incluso antes del nexo con el último teorema de Fermat, los matemáticos habían intentado desesperadamente demostrar la conjetura, pero cada intento había terminado en fracaso. Wiles era muy consciente de la inmensa dificultad de encontrar una demostración: «Por último, uno podría intentar, de forma ingenua, y es lo que la gente de hecho estaba intentando, contar las ecuaciones elípticas y las formas modulares y demostrar que existe el mismo número de cada una de ellas. Pero nadie ha encontrado nunca una manera sencilla de hacerlo. El primer problema es que hay un número infinito de ambas, y no se puede contar un número infinito. Simplemente, no hay un modo de hacerlo».

Para encontrar una solución Wiles adoptó su enfoque usual para resolver problemas difíciles. «A menudo escribo garabatos y rayotes. No son cosas importantes, sólo garabatos subconscientes. Nunca uso ordenador». En este caso, como con muchos problemas en teoría de números, los ordenadores tampoco serían de utilidad. La conjetura de Taniyama-Shimura se aplica a un número infinito de casos, y aunque un ordenador puede comprobar cada caso individual en pocos segundos nunca podría comprobarlos todos. En lugar de eso, lo que se necesitaba era un argumento formado por pasos lógicos que explicara por qué cada ecuación elíptica tiene que ser modular. Para encontrar la prueba Wiles contaba solamente con papel, lápiz y su mente. «Durante todo el tiempo llevé este pensamiento en mi cabeza. Era la primera cosa al despertarme por la mañana, pensaba en ello durante todo el día y pensaba en ello cuando me iba a dormir. Sin ninguna distracción, tenía lo mismo dando vueltas y vueltas en mi mente».

Tras un año de reflexión, Wiles decidió adoptar una estrategia general, conocida como inducción, como base para su prueba. La inducción es una forma inmensamente poderosa de demostración puesto que permite a un matemático demostrar que un enunciado es cierto para un número infinito de casos probándolo sólo en un caso. Por ejemplo, imaginemos que un matemático quiere probar que un enunciado es cierto para cualquier numero hasta infinito. El primer paso es probar que el enunciado es cierto con el número 1, lo que presumiblemente es una tarea bastante sencilla. El siguiente paso es demostrar que si el enunciado es cierto para el número 1, entonces debe ser cierto para el número 2; y sí es cierto para el número 2, entonces debe ser cierto para el número 3; y si es cierto para el número 3, debe ser cierto para el número 4, y así hasta el infinito. De forma más general, el matemático debe demostrar que sí el enunciado es cierto para cualquier número n, entonces debe ser cierto para el siguiente número n + 1.

La demostración por inducción es esencialmente un proceso de dos pasos:

1. Demostrar que el enunciado es cierto para el primer caso.
2. Demostrar que si el enunciado es cierto para un caso cualquiera, entonces tiene que ser verdadero para el siguiente caso.

Otra forma de enfocar la demostración por inducción es imaginar el número infinito de casos como una línea infinita de fichas de dominó. Para demostrar todos los casos hay que buscar una manera de derribar cada una de las fichas. Derribarlas una a una llevaría una cantidad infinita de tiempo y esfuerzo, pero la demostración por inducción permite a los matemáticos demostrarlas todas derribando solamente la primera. Si las fichas están cuidadosamente dispuestas, al caer la primera ésta derribará la segunda, que a su vez hará caer la tercera, y así hasta el infinito. La prueba por inducción invoca el efecto dominó. Esta forma de derribo matemático de fichas de dominó permite la demostración de un número infinito de casos sólo con demostrar el primero. El apéndice 10 muestra cómo se puede usar la demostración por inducción para probar un enunciado relativamente simple sobre todos los números.

El reto para Wiles era construir un argumento inductivo que mostrara que cada una de las infinitas ecuaciones elípticas podía asociarse a una de las infinitas formas modulares. De algún modo tenía que despiezar la demostración en un número infinito de casos individuales y entonces demostrar el primero. Después debía demostrar que, habiendo probado el primer caso, todos los demás caerían. Con el tiempo, Wiles descubrió el primer paso de su demostración inductiva escondida en el trabajo de un genio, de trágico destino, de la Francia del siglo XIX.

Evariste Galois nació en Bourg-la-Reine, un pequeño pueblo al sur de París, el 25 de octubre de 1811, veintidós años después de la Revolución francesa. Napoleón Bonaparte estaba en el culmen de sus poderes, pero el siguiente año presenció la desastrosa campaña rusa y en 1814 fue forzado al exilio y sustituido por el rey Luis XVIII. En 1815, Napoleón escapó de Elba, entró en París y reclamó el poder, pero menos de cien días después fue derrotado en Waterloo y forzado a abdicar una vez más en favor de Luis XVIII. Galois, como Sophie Germain, creció durante un periodo de inmensa convulsión, pero mientras Germain se mantuvo apartada de los desórdenes de la Revolución francesa y se concentró en las matemáticas, Galois se encontró repetidamente en el centro de la controversia política, que no sólo lo distrajo de una brillante carrera académica sino que lo llevó a una muerte prematura.

Además de la intranquilidad general que afectaba a la vida de todo el mundo, el interés de Galois por la política fue inspirado por su padre, Nicolás-Gabriel Galois. Cuando Evariste tenía sólo cuatro años su padre fue elegido alcalde de Bourg-la-Reine. Esto ocurrió durante el triunfal retorno al poder de Napoleón, un periodo en el que los valores profundamente liberales de su padre estaban en consonancia con el sentimiento de la nación. Nicolás-Gabriel Galois era un hombre culto y afable y durante sus primeros años como alcalde se ganó el respeto de toda la comunidad, de manera que incluso cuando Luis XVIII volvió al trono él mantuvo su nombramiento. Fuera de la política, su principal interés parece haber sido la composición de poesías ocurrentes, que leía en reuniones del consistorio para deleite de sus miembros. Varios años después, este encantador talento para los epigramas le llevaría a su caída.

A la edad de doce años, Evariste Galois acudió a su primera escuela, el Lycée de Louis-le-Grand, una institución prestigiosa pero autoritaria. Para empezar, no encontró ningún curso de matemáticas, y su expediente académico era respetable pero no brillante.

Sin embargo, en su primer trimestre ocurrió un suceso que influiría el curso de su vida. El liceo había sido previamente una escuela jesuita, y empezaron a circular rumores que sugerían que estaba a punto de ser devuelto a la autoridad eclesiástica. Durante este periodo había un continuo conflicto entre republicanos y monárquicos para variar el equilibrio de poder entre Luis XVIII y los representantes del pueblo, y la creciente influencia de la Iglesia se vio como una indicación de un acercamiento del poder al rey en detrimento del pueblo. Los estudiantes del liceo, que en su mayoría tenían simpatías republicanas, planearon una rebelión, pero el director de la escuela, el señor Berthod, descubrió el plan e inmediatamente expulsó a una docena de cabecillas. Al día siguiente, cuando Berthod pidió una demostración de fidelidad por parte del resto de los alumnos más antiguos, éstos rechazaron hacer un brindis a la salud de Luis XVIII, a raíz de lo cual otros cien alumnos fueron expulsados. Galois era demasiado joven para estar implicado en la fallida rebelión y se quedó en la escuela. Aun así, ver a sus compañeros humillados de esa manera sólo sirvió para inflamar sus tendencias republicanas.

Galois no se matriculó en su primer curso de matemáticas hasta los dieciséis años, un curso que, a ojos de sus profesores, lo transformaría de pupilo aplicado en estudiante revoltoso. Sus informes del colegio muestran que descuidó el resto de las asignaturas y se concentró solamente en su recién encontrada pasión:

Este estudiante trabaja sólo en los más altos reinos de las matemáticas. La locura matemática domina a este chico. Creo que sería mejor para él que sus padres le permitan estudiar sólo esto. De otra forma está malgastando su tiempo aquí y no hace más que atormentar a sus profesores y ganarse continuos castigos.

La avidez matemática de Galois pronto superó la capacidad de su profesor, y así empezó a aprender directamente de los libros más recientes escritos por los maestros de su época. En poco tiempo absorbió los conceptos más complicados, y a los diecisiete años publicó su primer artículo en los Annales de Gergonne. El camino por delante parecía expedito para logros prodigiosos, si no fuera porque su propia brillantez le iba a procurar el mayor obstáculo para su progreso. Aunque obviamente sabía suficientes matemáticas para aprobar los exámenes de la escuela, las soluciones de Galois eran a menudo tan innovadoras y sofisticadas que sus examinadores no lograban apreciarlas. Para empeorar las cosas, Galois realizaba tantos cálculos mentales que no se molestaba en describir claramente su argumento sobre el papel, dejando aún más perplejos y frustrados a sus inadecuados examinadores.

El joven genio no colaboraba con la situación y manifestaba mal temperamento y una temeridad que no le granjeó las simpatías de sus tutores ni de nadie que se cruzara en su camino. Cuando Galois solicitó su admisión en la École Polytechnique, el colegio más prestigioso de la zona, su brusquedad y falta de explicaciones en el examen oral hicieron que fuera rechazado. Galois estaba desesperado por asistir a la Polytechnique, no sólo por su excelencia académica sino también por su reputación como un centro del activismo republicano. Un año después volvió a solicitar su admisión y una vez más sus desarrollos lógicos en el examen oral sólo sirvieron para confundir a su examinador, el señor Dinet. Viendo que estaba a punto de suspender por segunda vez y frustrado al comprobar que no reconocían su brillantez, Galois perdió los nervios y le tiró el borrador de la pizarra, dándole de lleno. Galois nunca regresaría a los sagrados vestíbulos de la Polytechnique.

Impertérrito por los rechazos, Galois siguió confiando en su talento matemático y continuó sus investigaciones privadas. Su principal interés se centraba en encontrar soluciones a ecuaciones tales como las cuadráticas. Las ecuaciones cuadráticas tienen la forma

ax² + bx + c = 0,   donde a, b, c pueden tomar cualquier valor.

El reto es encontrar los valores de x para los cuales la ecuación cuadrática se cumple. En lugar de fiarse en la prueba y error, los matemáticos preferían una receta para encontrar las soluciones, y afortunadamente tal receta existe:

Por medio de la simple sustitución de a, b y c en la fórmula anterior pueden calcularse los valores correctos de x. Por ejemplo, podemos aplicar la receta para resolver la siguiente ecuación:

2x² − 6x + 4 = 0,   donde a = 2, b = −6 y c = 4.

Poniendo los valores de a, b y c en la receta, las soluciones resultan ser x = 1 y x = 2

La cuadrática es un tipo de ecuación incluida dentro de una clase mucho mayor de ecuaciones denominadas polinomios. Un tipo más complicado de polinomio es la ecuación cúbica:

ax³ + bx² + cx + d = 0.

La complicación adicional proviene del término añadido x³. Con un término más en x⁴ llegamos al siguiente nivel de ecuaciones polinómicas, conocidas como cuárticas:

ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0.

En el siglo XIX, los matemáticos poseían recetas que podían usarse para encontrar soluciones de las ecuaciones cúbicas y cuárticas, pero no se conocía ningún método para encontrar soluciones de las ecuaciones quínticas:

ax⁵ + bx⁴ + cx³ + dx² + ex + f = 0.

Galois se obsesionó en encontrar una receta para resolver las ecuaciones quínticas, uno de los grandes retos de la época, y a los diecisiete años había hecho suficientes progresos como para enviar dos artículos de investigación a la Academia de Ciencias. El revisor asignado para juzgar los artículos era Augustin-Louis Cauchy, quien varios años después tendría una discusión con Lamé sobre una demostración sobre el último teorema de Fermat que finalmente se reveló errónea. Cauchy quedó muy impresionado por el trabajo del joven y creyó que valía la pena presentarlo al Gran Premio de Matemáticas de la Academia. Para ser aptos para la competición, los dos artículos deberían ser reenviados en forma de una sola memoria, así que Cauchy los devolvió a Galois y esperó su envío.

Habiendo sobrevivido a las críticas de sus profesores y al rechazo de la École Polytechnique, el genio de Galois estaba a punto de verse reconocido, pero durante los siguientes tres años una serie de tragedias personales y profesionales destruirían sus ambiciones. En julio de 1829, un nuevo capellán jesuita llegó a Bourg-la-Reine, donde el padre de Galois aún era alcalde. El capellán desaprobaba las simpatías republicanas del alcalde y empezó una campaña para echarlo de su puesto provocando rumores con la intención de desacreditarlo. En particular, el cura intrigante explotó la fama de Nicolás-Gabriel Galois de hábil compositor de versos. Escribió una serie de versos ridiculizando a miembros de la comunidad y los firmó con el nombre del alcalde. El viejo Galois no pudo sobrevivir a la vergüenza y a la pena que resultó de aquello y decidió que la única opción honorable era el suicidio.

Evariste Galois volvió para asistir al funeral de su padre y vio con sus propios ojos las divisiones que el capellán había provocado en el pueblo. Mientras bajaban el ataúd a la tumba, se inició una pelea entre el sacerdote jesuita, que estaba pronunciando el servicio, y los partidarios del alcalde, que se habían dado cuenta de que había existido un plan para hacerle caer. El cura sufrió una herida en la cabeza, la pelea se transformó en un tumulto y el ataúd lo dejaron caer en la tumba sin ninguna ceremonia. Ver cómo la clase dirigente francesa humillaba y destruía a su padre sólo sirvió para consolidar el ferviente apoyo de Galois a la causa republicana.

Tras su regreso a París, Galois combinó sus artículos de investigación mucho antes de la fecha límite y envió la memoria al secretario de la Academia, Joseph Fourier, quien debía remitirlo al jurado. El artículo de Galois no daba una solución a las ecuaciones quínticas, pero ofrecía una brillante intuición y muchos matemáticos, incluyendo a Cauchy, lo consideraban como un probable ganador. Para conmoción de Galois y sus amigos, no solo no ganó el premio sino que ni siquiera lo habían presentado oficialmente, Fourier había muerto unas semanas antes de la decisión del jurado y, aunque un buen número de los trabajos participantes en la competición habían sido enviados al comité, la memoria de Galois no estaba entre ellos. La memoria nunca apareció y la injusticia fue registrada por un periodista francés:

Galois creyó que su memoria había sido deliberadamente perdida por una Academia políticamente sesgada, una creencia que se reforzó un año después cuando la Academia rechazó su siguiente manuscrito arguyendo que «su argumento no es suficientemente claro ni está desarrollado para permitirnos juzgar su rigor». Decidió que existía una conspiración para excluirlo de la comunidad matemática y como resultado descuidó sus investigaciones en favor de la lucha por la causa republicana. En aquel tiempo, Galois era estudiante de la École Normale Supérieure, un centro algo menos prestigioso que la École Polytechnique. En la École Normale, la notoriedad de Galois como persona problemática superaba su reputación como matemático. Esto culminó durante la revolución de julio de 1830, cuando Carlos X huyó de Francia y las facciones políticas lucharon por el control en las calles de París. El director de la escuela, el señor Guigniault, un monárquico, estaba enterado de que la mayoría de los estudiantes eran republicanos radicales y por ello los confinó en sus dormitorios y cerró las puertas del colegio. A Galois le impedían luchar con sus hermanos y su frustración e ira se combinaron cuando finalmente los republicanos fueron derrotados. Cuando se le presentó la oportunidad publicó un mordaz ataque contra el director del colegio, acusándolo de cobardía. No fue sorprendente que Guigniault expulsara al estudiante insubordinado, y así la carrera matemática formal de Galois llegó a su fin.

El 4 de diciembre, el genio frustrado intentó convertirse en un rebelde profesional uniéndose a la Guardia Nacional de Artillería, una rama republicana de la milicia también conocida como los «Amigos del Pueblo». Antes del fin de aquel mes, el nuevo rey, Luis-Felipe, ansioso de evitar una nueva rebelión, abolió la Guardia Nacional de Artillería y Galois se encontró destituido y sin casa. El joven talento más brillante de todo París era perseguido a cada momento y algunos de sus antiguos colegas matemáticos se preocupaban cada vez más por su situación. Sophie Germain, que en aquel tiempo era la figura más respetada de las matemáticas francesas, expresó su inquietud a un amigo de la familia, el conde Libri-Carrucci:

Decididamente existe un infortunio concerniente a todo lo que tocan las matemáticas. La muerte del señor Fourier ha sido el golpe final para este Galois que, a pesar de su impertinencia, mostraba signos de una disposición inteligente. Galois ha sido expulsado de la École Normale, no tiene dinero, su madre tiene muy poco y él continúa con su hábito del insulto. Dicen que se volverá completamente loco. Me temo que es cierto.

Mientras continuara la pasión de Galois por la política resultaría inevitable que su suerte fuera empeorando cada vez más, un hecho documentado por el gran escritor francés Alexandre Dumas. Dumas estaba en el restaurante Vendanges de Bourgogne cuando se fijó en un banquete en honor de diecinueve republicanos absueltos de cargos de conspiración:

Tras permanecer detenido en la prisión de Sainte-Pélagie durante un mes, Galois fue acusado de amenazas contra la vida del rey y llevado a juicio. Aunque las acciones de Galois dejaban pocas dudas sobre su culpabilidad, la ruidosa naturaleza del banquete significaba que nadie podía realmente confirmar que lo hubiera oído hacer ninguna amenaza directa. Un jurado compasivo y la tierna edad del rebelde —Galois sólo tenía veinte años— llevaron a su absolución. Al mes siguiente volvió a ser arrestado.

El día de la Bastilla, 14 de julio de 1831, Galois desfiló por París vestido con el uniforme de la prohibida Guardia de Artillería. Aunque tan sólo era un gesto de desafío, fue sentenciado a seis meses de prisión y volvió a Sainte-Pélagie. Durante los siguientes meses, el abstemio joven se dio a la bebida impulsado por las malas compañías que le rodeaban. El botánico y ardiente republicano François Raspail, que estuvo encarcelado por rechazar la cruz de la Legión de Honor que le concedió Luis-Felipe, escribió un relato sobre la primera borrachera de Galois:

Sostiene el pequeño vaso como Sócrates tomando con coraje la cicuta; se lo bebe de un trago, no sin parpadear y hacer muecas. Un segundo vaso no es más difícil de vaciar que el primero, y luego el tercero. El principiante pierde el equilibrio. ¡Triunfo! ¡Loor al Baco de la cárcel! Has intoxicado una alma llena de ingenio que acoge horrorizada el vino.

Una semana después, desde un desván frente a la prisión, un francotirador disparó una bala que hirió al hombre que estaba al lado de Galois dentro de una celda. Galois estaba convencido de que la bala estaba destinada a él y que había un plan del gobierno para asesinarlo. El temor de la persecución política lo aterrorizaba, y el aislamiento de sus amigos y familia y el rechazo de sus ideas matemáticas lo sumían en un estado de depresión. En un arrebato de delirio alcohólico intentó apuñalarse hasta la muerte, pero Raspail y otros consiguieron calmarlo y desarmarlo. Raspail recuerda las palabras de Galois justo antes de su intento de suicidio:

¿Sabes qué es lo que echo de menos, amigo mío? Te lo confío sólo a ti: es alguien a quien sólo puedo amar en espíritu. He perdido a mi padre y nadie lo ha reemplazado nunca, ¿me oyes?…

En marzo de 1832, un mes antes de que la sentencia de Galois acabara, se desató una epidemia de cólera en París y los prisioneros de Sainte-Pélagie fueron liberados. Lo que le ocurrió a Galois en las siguientes semanas ha sido objeto de intensa especulación, pero lo seguro es que los sucesos de este periodo fueron en gran parte consecuencia de un romance con una misteriosa dama cuyo nombre era Stéphanie-Félicie Poterine du Motel, la hija de un respetado médico parisino. Aunque no hay datos sobre cómo empezó el romance, los detalles de su trágico final están bien documentados.

Stéphanie ya estaba prometida a un caballero llamado Pescheux D’Herbinville, que descubrió la infidelidad de su novia. D’Herbinville estaba furioso y, siendo uno de los mejores tiradores de Francia, no dudó en retar inmediatamente a Galois a un duelo al alba. Galois conocía bien la reputación de su retador. Durante la noche anterior a su confrontación, que él creía iba a ser su última oportunidad de reflejar sus pensamientos sobre el papel, escribió cartas a sus amigos explicando las circunstancias en que se encontraba:

Suplico a mis patriotas, a mis amigos, que no me reprochen morir por otra cosa que por mi país. Morí víctima de una infame coqueta y sus dos engaños. Es por una mentira miserable por lo que voy a acabar mi vida. ¡Oh! ¿Por qué morir por algo tan pequeño, tan despreciable? Pido al cielo que testifique que sólo bajo coacción y forzado he cedido a la provocación que había intentado evitar de todas las maneras.

A pesar de su devoción por la causa republicana y su enredo romántico, Galois siempre había mantenido su pasión por las matemáticas y uno de sus mayores temores era que sus investigaciones, que habían sido rechazadas por la Academia, se perdieran para siempre. En un desesperado intento por conseguir el reconocimiento, trabajó toda la noche escribiendo teoremas que creía explicaban el enigma de las ecuaciones quínticas. La figura 22 muestra una de las últimas páginas escritas por Galois. Las páginas eran en su mayor parte una transcripción de las ideas que había enviado a Cauchy y Fourier, pero escondidas entre la compleja álgebra había referencias ocasionales a «Stéphanie» o «una mujer» y exclamaciones de desesperación: «¡No tengo tiempo, no tengo tiempo!». Al final de aquella noche, cuando sus cálculos estuvieron completos, adjuntó una carta para su amigo Auguste Chevalier pidiéndole que, si moría, sus escritos fueran enviados a los mayores matemáticos de Europa:

A la mañana siguiente, miércoles 30 de mayo de 1832 en un campo aislado, Galois y D’Herbinville se encararon a veinticinco pasos armados con pistolas. D’Herbinville estaba acompañado por sus asistentes; Galois estaba solo. No había hablado a nadie sobre su situación; un mensajero que había enviado a su hermano Alfred no entregaría las noticias sobre el duelo hasta que éste hubiera acabado y las cartas que había escrito la noche anterior no llegarían a sus amigos hasta pasados varios días.

Levantaron las pistolas y dispararon. D’Herbinville seguía en pie; Galois fue alcanzado en el estómago y quedó tirado, indefenso, en el suelo. No había ningún cirujano y el vencedor se alejó tranquilamente dejando que su oponente muriera. Algunas horas después llegó Alfred y llevó a su hermano al hospital Cochin. Era demasiado tarde; se le había producido una peritonitis y al día siguiente Galois moría.

Su funeral fue casi tan grotesco como el de su padre. La policía creía que iba a dar origen a un mitin político y la noche anterior arrestó a treinta camaradas de Galois. Aun así, dos mil republicanos se reunieron para el servicio y se desataron las inevitables peleas entre los colegas de Galois y los oficiales del gobierno que habían llegado para vigilar los acontecimientos.

Los republicanos estaban coléricos debido a la creciente creencia de que D’Herbinville no era un prometido engañado sino más bien un agente del gobierno, y que Stéphanie no era sólo una amante sino una seductora intrigante. Sucesos tales como la bala que fue disparada contra Galois mientras estaba en la prisión de Sainte-Pélagie ya hacían sospechar una conspiración para asesinar al problemático joven, y sus amigos concluyeron que había sido engañado en un romance que era parte de un plan político urdido para asesinarlo. Los historiadores han discutido sobre si el duelo fue el resultado de un trágico asunto de amor o tuvo una motivación política, pero, fuera lo que fuera, el hecho es que uno de los mayores matemáticos del mundo fue asesinado a la edad de veinte años tras haber estudiado matemáticas durante sólo cinco.

Antes de distribuir los escritos de Galois, su hermano y Auguste Chevalier los reescribieron para clarificar y extender las explicaciones. El hábito de Galois de explicar sus ideas de forma impaciente e inadecuada se exacerbó sin duda por el hecho de que sólo tenía una noche para describir años de investigación. Aunque obedeciendo a la voluntad de Galois enviaron copias del manuscrito a Carl Gauss, Carl Jacobi y otros, no hubo ningún reconocimiento al trabajo de Galois durante más de una década, hasta que una copia llegó a manos de Joseph Liouville en 1846. Liouville reconoció la chispa del genio en los cálculos y pasó meses tratando de interpretar su significado. Finalmente reescribió el manuscrito y lo publicó en el prestigioso Journal de Mathématiques Purés et Appliquées. La respuesta de otros matemáticos fue inmediata e impresionante, ya que Galois había formulado una comprensión completa de cómo se podían encontrar soluciones de las ecuaciones quínticas. Galois clasificó primero las ecuaciones quínticas en dos tipos: las que podían resolverse y las que no. Entonces, de las que eran resolubles, diseñó una receta para encontrar las soluciones. Más aún, Galois examinó ecuaciones de grado mayor que cinco, las que contienen x⁶, x⁷, etc., y pudo identificar cuáles eran resolubles y cuáles no. Fue una de las obras maestras de las matemáticas del siglo XIX creada por uno de sus más trágicos héroes.

En su introducción al artículo, Liouville explicó por qué el joven matemático había sido rechazado por sus superiores y cómo sus propios esfuerzos habían resucitado a Galois:

El derribo de la primera ficha

Inmerso en los cálculos de Galois había un concepto conocido como teoría de grupos, una idea que había desarrollado hasta convertirla en una potente herramienta capaz de resolver problemas previamente insolubles. Matemáticamente, un grupo es un conjunto de elementos que pueden combinarse entre sí usando una operación, tal como la suma o la multiplicación, y que satisface ciertas condiciones. Una propiedad importante en la definición de grupo es que, cuando se combinan dos elementos por medio de la operación, el resultado es otro elemento del grupo. Se dice que el grupo está cerrado con esa operación.

Por ejemplo, los números enteros forman un grupo con la operación de «suma». Combinando un número entero con otro por medio de la operación de adición se obtiene otro número entero, es decir,

4 + 12 = 16.

Todos los resultados posibles de una suma están dentro de los números enteros; entonces los matemáticos dicen que «los números enteros están cerrados por la adición» o «los números enteros forman un grupo con la suma». Por otro lado, los números enteros no forman un grupo con la operación de «división», ya que dividir un número entero entre otro no lleva necesariamente a otro número entero, por ejemplo:

4 ÷ 12 = ⅓.

La fracción 1/3 no es un número entero y está fuera del conjunto original. Sin embargo, si se considera un conjunto mayor que incluya las fracciones, el llamado conjunto de los números racionales, se puede restablecer el cierre: «Los números racionales están cerrados con la división». Habiendo dicho esto, aún hay que ser cuidadosos, pues la división entre cero produce un infinito, lo que lleva a varias pesadillas matemáticas. Por esta razón hay que decir que «los números racionales (excepto el cero) están cerrados con la división». En cierto modo, el concepto de cierre es similar al de completitud descrito en capítulos anteriores.

Los números enteros y las fracciones forman grupos infinitamente grandes, y se podría creer que cuanto mayor sea el grupo más interesantes serán las matemáticas que genere. Sin embargo, Galois tenía una filosofía del «menos es más» y demostró que pequeños grupos cuidadosamente construidos podían mostrar su propia y especial riqueza. En lugar de usar grupos infinitos, Galois empezó con una ecuación particular y construyó su grupo a partir de un puñado de soluciones de la ecuación. Fueron los grupos formados con soluciones de las ecuaciones quínticas los que permitieron a Galois encontrar sus resultados para estas ecuaciones. Un siglo y medio después, Wiles usaría el trabajo de Galois como el fundamento para su prueba de la conjetura de Taniyama-Shimura.

Para demostrar la conjetura, los matemáticos debían mostrar que cada una de las infinitas ecuaciones elípticas podía ser emparejada con una forma modular. En principio habían intentado demostrar que todo el ADN de una ecuación elíptica (la serie E) podía emparejarse con el ADN completo de una forma modular (la serie M), y pasar a la siguiente ecuación elíptica. Aunque este enfoque es perfectamente sensato, nadie había encontrado el modo de repetir este proceso una y otra vez para el número infinito de ecuaciones elípticas y formas modulares.

Wiles atacó el problema de una forma radicalmente distinta. En lugar de intentar emparejar todos los elementos de una serie E y una serie M y pasar entonces a las siguientes serie E y serie M, intentó emparejar un elemento de todas las series E y M y pasar al siguiente elemento. En otras palabras, cada serie E tiene una lista infinita de elementos, genes individuales que conforman el ADN, y Wiles quería demostrar que el primer gen de cada serie E podía asociarse con el primer gen de cada serie M. Entonces continuaría demostrando que el segundo gen de cada serie E podía asociarse al segundo gen de cada serie M, y así sucesivamente.

En el enfoque tradicional se tenía un problema infinito, y continuaba siéndolo incluso si se pudiera probar que una serie E completa podía asociarse a una serie M, pues hay infinitas series E y M para ser asociadas. El enfoque de Wiles aún implicaba una lucha con el infinito, pues aunque pudiera demostrar que el primer gen de cada serie E era idéntico al primer gen de cada serie M aún habría infinitos genes por asociar. Sin embargo, el enfoque de Wiles tenía una gran ventaja frente al enfoque tradicional.

Con el método antiguo, una vez que se hubiera demostrado que toda una serie E coincidía con una serie M, debía preguntarse: ¿Qué series E y M intento asociar ahora? La infinidad de series E y M no posee un orden natural y, así, cuál sería la siguiente en ser estudiada era en gran parte una elección arbitraria. En el método de Wiles, el punto crucial es que los genes sí tienen un orden natural, y entonces, tras demostrar que todos los primeros genes coinciden (E₁ = M₁), obviamente el segundo paso es demostrar que coinciden todos los segundos (E₂ = M₂), etcétera.

Este orden natural es exactamente lo que Wiles precisaba para desarrollar una demostración inductiva. Al principio, Wiles tendría que demostrar que el primer elemento de cada serie E podía asociarse al primer elemento de cada serie M. Entonces debería mostrar que si los primeros elementos podían ser asociados también podían serlo los segundos, y que si los segundos elementos podían ser asociados también podían serlo los terceros, y así sucesivamente. Tenía que derribar la primera ficha de dominó y luego demostrar que cada ficha derribaría la siguiente al caer.

El primer paso se alcanzó cuando Wiles se apercibió de la potencia de los grupos de Galois. Un puñado de soluciones de cada ecuación elíptica podía usarse para formar un grupo.

Tras meses de análisis, Wiles demostró que el grupo llevaba a una conclusión innegable: el primer elemento de cada serie E podía ser realmente asociado al primer elemento de alguna serie M. Gracias a Galois, Wiles había sido capaz de hacer caer la primera ficha de domino. El siguiente paso en su demostración inductiva era encontrar una forma de mostrar que si cualquier elemento de una serie E podía asociarse al correspondiente elemento de la serie M, eso mismo debía ser cierto para el siguiente elemento.

Llegar hasta aquí le había costado dos años y no había ninguna pista sobre cuánto le llevaría encontrar una forma de extender la demostración. Wiles era consciente de la tarea que aún debía realizar: «Puede preguntarse cómo pude dedicar una cantidad de tiempo tan grande a un problema que podía ser simplemente irresoluble. La respuesta es que me encantaba trabajar en este problema y estaba obsesionado con él. Disfrutaba al estar enfrentando mi inteligencia a él. Más aún, siempre supe que las matemáticas que estaba creando, incluso si no era capaz de demostrar Taniyama-Shimura, y por lo tanto Fermat, sí demostrarían alguna cosa. No estaba recorriendo un callejón sin salida; sin duda eran buenas matemáticas, y eso siempre estuvo claro en mi mente. Existía la posibilidad de que nunca consiguiera demostrar Fermat, pero de ningún modo estaba desperdiciando mi tiempo».

«¿El teorema de Fermat, resuelto?»

Aunque sólo era el primer paso hacia la demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura, la estrategia de Galois utilizada por Wiles era un brillante avance matemático, merecedor de ser publicado por derecho propio. Como consecuencia de su autoimpuesta reclusión, Wiles no podía anunciar el resultado al resto del mundo pero, de forma similar, no tenía ni idea de si podía haber alguien más realizando avances igualmente significativos.

Wiles recuerda su filosófica actitud hacia cualquier rival en potencia: «Bueno, obviamente nadie quiere pasar años intentando resolver algo y encontrarse que alguien lo ha solucionado sólo unas pocas semanas antes. Pero, puesto que estaba intentando resolver un problema considerado imposible, realmente no tenía mucho miedo a la competencia. Simplemente, no pensaba que yo o cualquier otro tuviera una idea real de cómo demostrarlo».

El 8 de marzo de 1988, Wiles recibió una conmoción al leer en los titulares de la primera página de los diarios que el último teorema de Fermat había sido demostrado. El Washington Post y el New York Times anunciaban que Yoichi Miyaoka, de treinta y ocho años y que trabajaba en la Universidad Metropolitana de Tokio, había descubierto una solución al problema más difícil del mundo. Hasta el momento, Miyaoka no había publicado aún su demostración; sólo había descrito su esquema en un seminario celebrado en el Instituto Max Planck para las Matemáticas de Bonn. Don Zagier, que estaba entre la audiencia, resumió el optimismo de la comunidad: «La demostración de Miyaoka es muy apasionante y algunos creen que hay muy buenas posibilidades de que funcione. Aún no es definitiva, pero hasta el momento parece prometedora».

En Bonn, Miyaoka describió que había enfocado el problema desde un ángulo completamente nuevo; desde la geometría diferencial. Durante décadas, los geómetras diferenciales habían desarrollado una rica comprensión de las formas matemáticas y en particular de las propiedades de sus superficies. En los años setenta, un grupo ruso liderado por el profesor S. Arakelov intentó trazar paralelismos entre problemas en geometría diferencial y problemas en teoría de números. Éste era uno de los puntos del Programa Langlands, y la esperanza era que problemas sin solución en teoría de números pudieran ser resueltos examinando el correspondiente problema en geometría diferencial. Este enfoque era conocido como la filosofía del paralelismo.

Los geómetras diferenciales que intentaron abordar problemas en teoría de números fueron conocidos como «geómetras algebraicos aritméticos», y en 1983 proclamaron su primera victoria importante cuando Gerd Faltings, del Institute for Advanced Estudy de Princeton, hizo una importante contribución para la comprensión del último teorema de Fermat. Recuérdese que Fermat aseguraba que no hay soluciones enteras a la ecuación

xⁿ + yⁿ = zⁿ   para n mayor que 2.

Faltings creía que podía hacer progresos en la demostración del último teorema mediante el estudio de las formas geométricas asociadas a diferentes valores de n. Las superficies correspondientes a cada una de las ecuaciones son distintas, pero tienen una cosa en común: todas están perforadas por agujeros. Las figuras son tetradimensionales, más o menos como las formas modulares; una visualización bidimensional de dos de ellas se muestra en la figura 24. Todas las formas son como dónuts multidimensionales con varios agujeros en lugar de uno solo. Cuanto mayor es el valor de n más agujeros hay en la figura correspondiente.

Faltings fue capaz de demostrar que, debido a que las figuras siempre tienen más de un agujero, la ecuación de Fermat asociada sólo podía tener un número finito de soluciones enteras. Un número finito de soluciones podía ser cualquier cosa entre cero, que fue lo que Fermat aseguró, hasta un millón o un billón. Por tanto, Faltings no fue capaz de demostrar el último teorema de Fermat, pero al menos había podido descartar la posibilidad de una infinidad de soluciones.

Cinco años después, Miyaoka aseguró que podía ir un paso más allá. Cuando tenía poco más de veinte años había creado una conjetura concerniente a la llamada desigualdad de Miyaoka. Quedó claro que la prueba de su propia conjetura geométrica demostraría que no sólo las soluciones de la ecuación de Fermat son finitas, sino que son cero. El enfoque de Miyaoka era análogo al de Wiles en el sentido de intentar demostrar el último teorema conectándolo a una conjetura fundamental en otro campo de las matemáticas. En el caso de Miyaoka era la geometría diferencial; para Wiles, la prueba se obtendría a través de las ecuaciones elípticas y las formas modulares.

Desafortunadamente para Wiles, él aún estaba luchando para demostrar la conjetura de Taniyama-Shimura cuando Miyaoka anunció una demostración completa de su propia conjetura, y por lo tanto para el último teorema de Fermat.

Dos semanas después de su anuncio de Bonn, Miyaoka publicó las cinco páginas de álgebra que detallaban su demostración, y empezó el escrutinio. Los teóricos de números y los geómetras diferenciales de todo el mundo examinaron la demostración línea por línea, buscando la más mínima brecha en el argumento lógico o la más pequeña indicación de una falsa suposición. En pocos días varios matemáticos resaltaron lo que parecía ser una preocupante contradicción en la demostración. Parte del trabajo de Miyaoka llevaba a una particular conclusión en teoría de números que, al ser traducida otra vez a la geometría diferencial, entraba en conflicto con un resultado que había sido demostrado unos años antes. Aunque esto no invalidaba necesariamente toda la demostración de Miyaoka, chocaba con la filosofía del paralelismo entre la teoría de números y la geometría diferencial.

Habían pasado dos semanas más cuando Gerd Faltings, que había allanado el camino para Miyaoka, anunció que había descubierto la razón exacta para el fallo aparente del paralelismo: una brecha en la lógica. El matemático japonés era predominantemente un geómetra y no había sido totalmente riguroso al traducir sus ideas al territorio menos familiar de la teoría de números. Un ejército de teóricos de números intentó ayudar a Miyaoka a arreglar su error, pero todos los esfuerzos fracasaron. Dos meses después de su anuncio existía un consenso de que la prueba original estaba destinada a fracasar. Como ocurrió con otras pruebas fallidas en el pasado, Miyaoka había creado matemáticas nuevas e interesantes. Partes individuales de la demostración permanecieron como ingeniosas aplicaciones de la geometría diferencial en la teoría de números y en años posteriores otros matemáticos se basarían en ellas para demostrar otros teoremas, pero nunca el último teorema de Fermat.

La agitación sobre Fermat pronto desapareció y los periódicos publicaron noticias cortas explicando que el problema de trescientos años continuaba sin solución. Sin duda inspirado por la atención de los medios de comunicación, un nuevo grafiti apareció en la estación del metro de la calle Octava de Nueva York:

xⁿ + yⁿ = zⁿ :   no hay soluciones.

He descubierto una prueba en verdad maravillosa de esto, pero no la puedo escribir porque está llegando mi tren.

La mansión oscura

Sin que el mundo lo supiera, Wiles exhaló un suspiro de alivio. El último teorema de Fermat permanecía sin conquistar y él podía continuar su batalla para demostrarlo por medio de la conjetura de Taniyama-Shimura. «La mayor parte del tiempo la pasaba escribiendo en mi mesa, pero a veces podía reducir el problema a algo muy específico: una pista, algo que me sorprende por su extrañeza, algo más allá del papel que no puedo llegar a tocar. Si tengo algo dándome vueltas en la cabeza, entonces no necesito nada para escribir o ningún despacho para trabajar, así que me voy a pasear por el lago. Cuando estoy paseando me doy cuenta de que puedo concentrar mi mente en un aspecto muy particular del problema, centrarme en él completamente. Siempre llevo papel y lápiz, así que si tengo una idea me puedo sentar en un banco y escribirla a toda prisa».

Después de tres años de esfuerzo continuado Wiles había hecho una serie de avances. Había aplicado los grupos de Galois a las ecuaciones elípticas, había despedazado las ecuaciones elípticas en un número infinito de piezas y había demostrado que la primera pieza de cada ecuación elíptica debía ser modular. Había derribado la primera ficha de dominó y estaba explorando técnicas que podían llevar a la caída de todas las demás. Retrospectivamente, esto parecía el camino natural para llegar a una demostración, pero llegar tan lejos requirió una enorme determinación y superar periodos de dudas sobre su propia capacidad. Wiles describe lo que siente al hacer matemáticas como un recorrido en la oscuridad en una mansión desconocida: «Uno entra en la primera habitación de la mansión y está en la oscuridad. En una oscuridad completa. Vas tropezando y golpeando los muebles, pero poco a poco aprendes dónde está cada pieza del mobiliario. Al fin, tras seis meses más o menos, encuentras el interruptor de la luz y de repente todo está iluminado. Puedes ver exactamente dónde estás. Entonces vas a la siguiente habitación y te pasas otros seis meses en las tinieblas. Así, cada uno de estos progresos, aunque algunas veces son muy rápidos y se realizan en sólo un día o dos, son la culminación de meses precedentes de tropezones en la oscuridad, sin los que el avance sería imposible».

En 1990, Wiles se encontró en la que parecía ser la habitación más oscura de todas. Había estado explorándola durante casi dos años. Aún no podía probar que si una parte de la ecuación elíptica era modular, entonces la siguiente también lo sería. Después de haber utilizado cada herramienta y técnica publicadas en la literatura, se encontró con que todas eran inadecuadas. «Realmente creía que estaba en el buen camino, pero eso no significaba que alcanzara mi meta. Era posible que los métodos necesarios para resolver este particular problema estuvieran más allá de las matemáticas del presente. Tal vez los métodos que yo necesitaba para completar la demostración no serían inventados en los próximos cien años. Así que, incluso si estaba en el buen camino, podía estar viviendo en el siglo equivocado».

Sin desanimarse, Wiles perseveró un año más y empezó a trabajar con una técnica llamada «teoría Iwasawa». La teoría Iwasawa es un método de análisis de ecuaciones elípticas que había aprendido en Cambridge cuando era un estudiante dirigido por John Coates. Aunque el método en su forma original era inadecuado, esperaba que podría modificarlo y hacerlo suficientemente potente para generar un efecto dominó.

Tras el avance inicial con los grupos de Galois, Wiles se sentía cada vez más frustrado. Cuando la presión era demasiado grande se volvía hacia su familia. Desde que empezó su trabajo sobre el último teorema de Fermat en 1986 había sido padre dos veces. «La única forma en que me podía relajar era estando con mis hijos. Los niños pequeños no están interesados en Fermat, sólo quieren oír un cuento y no te dejan hacer ninguna otra cosa».

El método de Kolyvagin y Flach

En el verano de 1991, Wiles sintió que había perdido la batalla para adaptar la teoría Iwasawa. Debía demostrar que cada ficha, si hubiera sido derribada, tiraría a la siguiente, que si un elemento de la serie E de una ecuación elíptica era igual a un elemento de la serie M de una forma modular, entonces debería ocurrir lo mismo con el siguiente. También debía asegurarse de que éste era el caso en cada ecuación elíptica y en cada forma modular. La teoría Iwasawa no podía darle la garantía que necesitaba. Completó otra búsqueda exhaustiva por la literatura científica y fue incapaz, una vez más, de encontrar una técnica alternativa que le proporcionara el avance que necesitaba. Ya que había sido un verdadero recluso en Princeton durante los anteriores cinco años, decidió que era el momento de volver a ponerse en circulación para enterarse de las últimas noticias matemáticas. Tal vez alguien, en algún lugar, estaba trabajando en una técnica innovadora y hasta ahora, por alguna razón, no la había publicado. Se dirigió a Boston para asistir a una importante conferencia sobre ecuaciones elípticas donde estaba seguro de encontrar a los principales expertos en la materia.

Wiles fue cordialmente acogido por sus colegas de todo el mundo, quienes estaban encantados de volver a verlo tras una ausencia tan larga del circuito de conferencias. Aún no sabían en qué había estado trabajando y Wiles fue muy cuidadoso para no proporcionar ninguna pista. No sospecharon su motivo final cuando preguntó por las últimas noticias sobre las ecuaciones elípticas. Al principio, las respuestas no fueron relevantes para la lucha de Wiles, pero un encuentro con su antiguo director de tesis, John Coates, fue más fructífero: «Coates mencionó que uno de sus estudiantes, llamado Matheus Flach, estaba escribiendo un interesante artículo sobre un reciente método diseñado por Kolyvagin, y parecía que ese método se hubiera hecho a medida para mi problema. Me pareció exactamente lo que necesitaba, aunque sabía que aún tendría que desarrollar más el llamado método de Kolyvagin-Flach. Abandoné del todo el antiguo enfoque que había estado probando y me dediqué día y noche a extender el método de Kolyvagin-Flach».

En teoría, este nuevo método podía extender el argumento de Wiles desde la primera pieza de la ecuación elíptica a todo el resto de piezas y potencialmente podía funcionar para todas las ecuaciones elípticas. El profesor Kolyvagin había diseñado un método matemático inmensamente poderoso y Matheus Flach lo había refinado para hacerlo aún más potente. Ninguno de ellos supo que Wiles pretendía incorporar su trabajo en la demostración más importante del mundo.

Wiles volvió a Princeton, pasó varios meses familiarizándose con esta técnica recién descubierta y entonces empezó la hercúlea tarea de adaptarla y desarrollarla. Pronto pudo hacer funcionar la demostración en una ecuación elíptica particular; podía derribar todas las fichas de dominó. Por desgracia, el método de Kolyvagin-Flach, que funcionaba en una ecuación elíptica particular, no funcionaba necesariamente en otra ecuación elíptica distinta. Al final se dio cuenta de que las ecuaciones elípticas podían clasificarse en varias familias. Una vez modificado para funcionar en una ecuación elíptica, el método de Kolyvagin-Flach funcionaría en todas las ecuaciones elípticas de la familia. El reto era adaptar el método para que funcionase con todas las familias. Aunque algunas familias eran más difíciles de conquistar que otras, Wiles confiaba en poder adaptar el método para cada una de ellas.

Tras seis años de intenso esfuerzo, Wiles creía que el final estaba a la vista. Semana tras semana progresaba, demostrando que nuevas y mayores familias de curvas elípticas debían ser modulares. Acabar con las principales ecuaciones elípticas parecía sólo una cuestión de tiempo. Durante esta etapa final de su demostración, Wiles empezó a darse cuenta de que toda su demostración descansaba sobre una técnica que había descubierto pocos meses antes. Empezó a preguntarse si estaría usando el método de Kolyvagin-Flach de una forma totalmente rigurosa.

«Durante aquel año trabajé muy duro intentando hacer funcionar el método de Kolyvagin-Flach, pero éste incluía una gran cantidad de sofisticadas herramientas matemáticas con las que no estaba realmente familiarizado. Había un montón de álgebra nueva que me obligaba a aprender muchas matemáticas nuevas. Entonces, hacia principios de enero de 1993, decidí que debía confiar en algún experto en este tipo de técnicas geométricas a las que estaba recurriendo. Quería escoger cuidadosamente con quién hablaría, pues tendría que mantener la confidencialidad. Decidí contárselo a Nick Katz».

El profesor Nick Katz también trabajaba en el departamento de matemáticas de la Universidad de Princeton y conocía a Wiles desde hacía varios años. A pesar de su proximidad, Katz ignoraba todo lo que estaba pasando al otro lado del pasillo. Recuerda cada detalle del momento en que Wiles reveló su secreto.

«Un día, Andrew vino hacia mí a la hora del té y me preguntó si podría ir a su despacho porque había algo sobre lo que quería hablarme. No tenía ni idea de qué podría tratarse. Fui a su despacho y él cerró la puerta. Me dijo que creía que podía probar la conjetura de Taniyama-Shimura. Me quedé asombrado, sin habla: era fantástico.

»Me explicó que una gran parte de su demostración se basaba en una extensión del trabajo de Flach y Kolyvagin, pero que era bastante técnica. Realmente se sentía inseguro sobre esta parte tan técnica de la demostración y deseaba que alguien la repasara porque quería estar seguro de que era correcta. Pensaba que yo era la persona adecuada para ayudarlo a comprobarla, pero yo creo que había otra razón por la que me lo pidió a mí en particular. Estaba seguro de que mantendría mi boca cerrada y no hablaría con otros sobre su demostración».

Después de seis años en completo aislamiento, Wiles había dejado escapar su secreto. Ahora era tarea de Katz enfrentarse con la montaña de cálculos basados en el método de Kolyvagin-Flach. Casi todo lo que había hecho Wiles era revolucionario, y Katz pensó mucho en la mejor forma de examinarlo a fondo: «Lo que Andrew tenía que explicar era tan grande y largo que no habría funcionado que intentara explicármelo en conversaciones informales en su despacho. Para algo tan grande realmente necesitábamos tener la estructura formal de lecciones semanales, de otro modo las cosas iban a degenerar. Así que decidimos organizar un curso».

Creyeron que la mejor estrategia sería anunciar una serie de conferencias abiertas a los estudiantes graduados del departamento. Wiles daría el curso y Katz se encontraría entre la audiencia. El curso cubriría toda la parte de la demostración que necesitaba ser revisada, pero los estudiantes graduados no tendrían ni idea de ello. Lo mejor de disfrazar la revisión de la demostración así es que obligaría a Wiles a explicarlo todo paso por paso y aun así no levantaría sospechas en el departamento. Para el resto del departamento aquél era sólo un curso de doctorado más.

«Así, Andrew anunció su curso “Cálculos en curvas elípticas” —recuerda Katz con una sonrisa ladina—, que era un título completamente inocuo; podía significar cualquier cosa. No mencionó a Fermat, no mencionó a Taniyama-Shimura, empezó directamente buceando en los cálculos más técnicos. No había modo humano de que alguien pudiera descubrir de qué se trataba realmente. Se hizo de una manera tal que, a menos que supieras para qué era, los cálculos parecieran increíblemente técnicos y tediosos. Y cuando no sabes para qué son las matemáticas es imposible seguirlas. Ya es bastante duro seguirlas cuando sabes para qué son. En cualquier caso, uno tras otro, los estudiantes graduados fueron desapareciendo y, pasadas unas pocas semanas, yo era la única persona que continuaba en la audiencia».

Katz se sentó en la sala de conferencias y escuchó cuidadosamente cada paso del cálculo de Wiles. Al final de la exposición su evaluación fue que el método de Kolyvagin-Flach parecía funcionar perfectamente. Nadie en el departamento se dio cuenta de lo que había pasado. Nadie sospechó que Wiles estaba a punto de reclamar el premio más importante de las matemáticas. Su plan había sido un éxito.

Una vez acabada la serie de conferencias, Wiles dedicó todos sus esfuerzos a completar la demostración. Había aplicado con éxito el método de Kolyvagin-Flach a familia tras familia de ecuaciones elípticas y en este estadio sólo una se resistía a la técnica. Wiles describe cómo intentó completar el último elemento de la demostración: «Una mañana de finales de mayo, Nada estaba fuera con los niños y yo estaba sentado en mi mesa pensando en la familia de ecuaciones elípticas que faltaba. Estaba mirando por encima un artículo de Barry Mazur y había una frase en él que captó mi atención. Mencionaba una construcción del siglo XIX y de repente me di cuenta de que podía usarla para hacer funcionar el método de Kolyvagin-Flach sobre la última familia de ecuaciones elípticas. Empecé a mediodía y olvidé bajar a comer. Hacia las tres o las cuatro de la tarde estaba totalmente convencido de que aquello resolvería el problema restante. Llegó la hora del té y bajé las escaleras; Nada estaba muy sorprendida de que hubiera llegado tan tarde. Entonces se lo dije: “He resuelto el último teorema de Fermat”».

La conferencia del siglo

Después de siete años de esfuerzo en solitario, Wiles había completado una demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura. Como consecuencia, y tras treinta años de soñar con ello, había demostrado también el último teorema de Fermat. Era el momento de contárselo al resto del mundo.

«Así, en mayo de 1993 estaba convencido de que tenía el último teorema de Fermat en mis manos —recuerda Wiles—. Aún quería comprobar más la demostración, pero se acercaba una conferencia que iba a celebrarse a finales de junio en Cambridge; pensé que sería un bello lugar para anunciar la demostración: es la ciudad donde viví y fui estudiante de doctorado».

La conferencia se celebraba en el Isaac Newton Institute. Esta vez, el instituto había planeado un taller sobre teoría de números con el oscuro título de «Funciones L y aritmética». Uno de los organizadores era John Coates, el director de tesis de Wiles: «Trajimos gente de todo el mundo que estaba trabajando en este problema y, por supuesto, Andrew era una de las personas que estaban invitadas. Habíamos planeado una semana de conferencias intensivas y en principio, debido a que hubo una gran demanda de sesiones de conferencia, sólo le di dos a Andrew. Pero entonces recordé que necesitaba tres sesiones, así que lo arreglé renunciando a mi propio tiempo para su tercera conferencia. Sabía que tenía algún gran resultado que anunciar, pero no tenía ni idea de qué era».

Cuando Wiles llegó a Cambridge aún faltaban dos semanas y media para sus conferencias y quería aprovechar al máximo aquella oportunidad: «Decidí que comprobaría la demostración con uno o dos expertos, en particular la parte Kolyvagin-Flach. La primera persona a la que se la di fue Barry Mazur. Creo que le dije: “Tengo un manuscrito con la prueba de cierto teorema”. Pareció muy perplejo durante un rato y entonces le dije: “Bueno, echémosle un vistazo”. Creo que le costó un rato asimilarlo. Parecía atontado. En cualquier caso le dije que pensaba hablar sobre ello en la conferencia y que me gustaría que lo comprobara».

Una por una, las más eminentes figuras de la teoría de números empezaron a llegar al Isaac Newton Institute, incluyendo a Ken Ribet, cuyo cálculo de 1986 había inspirado la penosa experiencia de siete años de Wiles. «Llegué a la conferencia sobre funciones L y curvas elípticas y nada parecía fuera de lo ordinario hasta que la gente empezó a decirme que habían oído rumores sobre la serie de conferencias de Andrew Wiles. El rumor era que había demostrado el último teorema de Fermat, y yo creí que eran una completa locura. No creí que pudiera ser verdad. Hay montones de casos en matemáticas en los que empiezan a circular rumores, especialmente por correo electrónico, y la experiencia muestra que no se puede confiar mucho en ellos. Pero los rumores eran muy persistentes y Andrew rechazaba contestar preguntas acerca de ello y se comportaba de forma muy extraña. John Coates le dijo: “Andrew, ¿qué has demostrado? ¿Deberíamos llamar a la prensa?”. Andrew sólo hizo un movimiento de cabeza y mantuvo sus labios apretados. Realmente estaba preparando una gran representación.

»Entonces, una tarde Andrew vino a verme y empezó a preguntarme sobre lo que había hecho en 1986 y un poco sobre la historia de las ideas de Frey. Pensé para mí mismo: Esto es increíble, debe de haber probado la conjetura de Taniyama-Shimura y el último teorema de Fermat, de otro modo no me estaría preguntando todo esto. No le pregunté directamente si mis sospechas eran ciertas porque vi que se estaba comportando muy tímidamente y que no iba a obtener una respuesta clara. Así que dije más o menos: “Bien, Andrew, si tienes ocasión de hablar sobre este trabajo, esto es lo que ocurrió”. Lo miré como si supiera algo, pero en realidad no sabía lo que estaba sucediendo. Aún seguía intentado adivinar».

La reacción de Wiles a los rumores y la creciente presión fue simple: «La gente me preguntaba, antes de acudir a mis conferencias, qué iba a decir exactamente. Entonces les decía: “Ven a mis conferencias y escucha”».

Allá por 1920, David Hilbert, de cincuenta y ocho años de edad, dio una conferencia pública sobre el último teorema de Fermat. Cuando se le preguntó si el problema se resolvería alguna vez él contestó que no viviría para verlo, pero que tal vez los miembros más jóvenes del público podrían ser testigos de la solución. La estimación de Hilbert sobre la fecha de la demostración resultó bastante exacta. La conferencia de Wiles también estaba dentro del plazo del premio Wolfskehl. En su testamento, Paul Wolfskehl había puesto como fecha límite el 13 de septiembre del 2007.

El título de la serie de conferencias de Wiles era «Formas modulares, curvas elípticas y representaciones de Galois». Una vez más, como había hecho con las clases de doctorado que había dado antes el mismo año en beneficio de Nick Katz, el título era tan vago que no daba ninguna pista sobre su objetivo último. La primera conferencia de Wiles era aparentemente mundana, asentando las bases de su ataque a la conjetura de Taniyama-Shimura en la segunda y tercera. La mayoría del público, que ignoraba completamente los rumores, no se dio cuenta del quid de las conferencias y prestó poca atención a los detalles. Los que estaban enterados buscaban la menor pista que pudiera dar credibilidad a los rumores.

Inmediatamente tras el fin de la conferencia los rumores volvieron a extenderse con renovado vigor y el correo electrónico voló alrededor del mundo. El profesor Karl Rubin, un antiguo estudiante de Wiles, informó a sus colegas de Estados Unidos:

Al día siguiente, más gente había oído el rumor y la audiencia de la segunda conferencia fue considerablemente mayor. Wiles los atormentó con un cálculo intermedio que probaba claramente que estaba intentando demostrar la conjetura de Taniyama-Shimura, pero el público aún se preguntaba si había hecho lo suficiente para demostrarla y, en consecuencia, derrotar el último teorema de Fermat. Una nueva andanada de correos electrónicos pasó por los satélites:

«El 23 de junio, Andrew empezó su tercera y última conferencia —recuerda John Coates—. Lo que era más singular es que casi todo el mundo que había contribuido a las ideas que se encontraban tras la demostración estaba en aquella sala: Mazur, Ribet, Kolyvagin y muchos, muchos otros».

En aquel momento, el rumor era tan persistente que todo el mundo de la comunidad matemática de Cambridge asistió a la conferencia final. Los afortunados estaban agolpados en el auditorio, mientras los otros tenían que esperar en el pasillo, donde se ponían de puntillas para echar vistazos a través de la ventana. Ken Ribet se había asegurado de no perderse el anuncio matemático más importante del siglo: «Llegué relativamente pronto y me senté en la primera fila junto a Barry Mazur. Tenía mi cámara de fotos para inmortalizar el evento. La atmósfera estaba muy cargada y la gente muy excitada. Ciertamente teníamos la sensación de participar en un momento histórico. La gente sonreía antes y durante la conferencia. La tensión se había acumulado durante el curso de varios días. Ahí estaba ese maravilloso momento en el que nos estábamos acercando a la demostración del último teorema de Fermat».

Barry Mazur había recibido una copia de la demostración de Wiles, pero incluso él estaba estupefacto por la actuación. «Nunca he visto una conferencia tan gloriosa, llena de tan maravillosas ideas, con tal tensión dramática, y qué presentación. Sólo había una posible clave».

Después de siete años de intenso esfuerzo, Wiles estaba a punto de anunciar su demostración al mundo. Curiosamente, Wiles no puede recordar los momentos finales de la conferencia con mucho detalle, pero sí el ambiente: «Aunque la prensa ya había oído algo sobre la conferencia, afortunadamente no estaba allí. Pero entre el público había quien tomaba fotografías hacia el final de la charla y el director del instituto había venido bien preparado con una botella de champán. Hubo el típico silencio mientras leía la demostración, y entonces escribí el enunciado del último teorema de Fermat. Dije: “Creo que lo dejaré aquí”, y entonces hubo un prolongado aplauso».

Las secuelas

Curiosamente, Wiles era ambivalente con respecto a la conferencia: «Obviamente fue una gran ocasión, pero yo tengo sentimientos entremezclados. Aquello había sido parte de mí durante siete años; había sido toda mi vida profesional. Me involucré tanto en el problema que realmente creía que lo tenía para mí solo, pero ahora lo estaba contando todo. Tenía la sensación de que estaba entregando una parte de mí mismo».

El colega de Wiles, Ken Ribet, no tuvo tales dudas: «Aquél fue un evento memorable. Quiero decir que cuando vas a un simposio hay algunas charlas de rutina, algunas charlas buenas y algunas charlas muy especiales, pero asistir a una charla en la que alguien asegura haber resuelto un problema que se ha resistido durante más de 350 años es una ocasión única en la vida. Los asistentes se miraban unos a otros y decían: “Dios mío, ¿te das cuenta de que hemos sido testigos de un acontecimiento histórico?”. Entonces, algunos hicieron unas cuantas preguntas sobre aspectos técnicos de la demostración y su posible utilización en otras ecuaciones, y al final hubo un periodo de silencio y, de repente, una segunda tanda de aplausos. La siguiente charla fue pronunciada por un tal Ken Ribet, un servidor. Di la charla, la gente tomó notas, aplaudió y ninguno de los presentes, incluyéndome a mí, tiene ni idea de lo que dije en aquella conferencia».

Mientras los matemáticos estaban diseminando las buenas noticias por correo electrónico, el resto del mundo debía esperar a las noticias de la tarde o a los diarios del día siguiente. Equipos de televisión y periodistas científicos llegaron al instituto pidiendo entrevistas con el «mayor matemático del siglo». The Guardian exclamó: «Todo acabó para el último enigma de las matemáticas», y en la primera plana de Le Monde se leía: «El teorema de Fermat por fin resuelto». Los periodistas de todo el mundo pedían a los matemáticos su experta opinión sobre el trabajo de Wiles; y de los catedráticos, aun recuperándose de la conmoción, se esperaba que explicaran brevemente la demostración matemática más complicada de la historia o que concedieran una entrevista que aclarase el significado de la conjetura de Taniyama-Shimura.

La primera vez que el profesor Shimura se enteró de la demostración de su propia conjetura fue cuando leyó la primera plana del New York Times: «Por fin, un grito de “¡Eureka!” en un antiguo misterio matemático». Treinta y cinco años después de que su amigo Yutaka Taniyama se suicidase, la conjetura que habían creado juntos había sido justificada. Para muchos matemáticos profesionales la demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura era un logro mucho más importante que la solución del último teorema de Fermat ya que tenía consecuencias inmensas para muchos otros teoremas matemáticos. Los periodistas que cubrían la noticia tendían a concentrarse en Fermat y mencionaban a Taniyama-Shimura sólo de pasada, si es que lo hacían.

Shimura, un hombre modesto y apacible, no estaba molesto por la falta de atención concedida a su papel en la demostración del último teorema de Fermat, pero estaba preocupado por el hecho de que él y Taniyama habían sido relegados a ser meros adjetivos. «Es muy curioso que la gente habla de la conjetura de Taniyama-Shimura pero nadie escribe sobre Taniyama y Shimura».

Esta fue la primera vez en que las matemáticas habían aparecido en primera plana desde la fallida demostración de 1988; la única diferencia es que ahora la cobertura era doble que en la ocasión anterior y que nadie expresó ninguna duda sobre los cálculos. De un día para otro, Wiles se había convertido en el más famoso matemático del mundo, el único famoso de hecho, y la revista People le había incluido en la lista de «Las 25 personas más fascinantes del año», junto con la princesa Diana y Oprah Winfrey. El galardón definitivo llegó de una cadena internacional de moda que pidió al genio de suaves modales que aprobara su nueva línea de moda para hombre.

Mientras el circo de la prensa continuaba y mientras los matemáticos sacaban todo el provecho de ser el foco de atención, el serio trabajo de comprobar la demostración seguía su curso. Como en el resto de disciplinas científicas, cada nuevo trabajo debe ser completamente examinado antes de que se pueda aceptar como exacto y correcto. La demostración de Wiles tenía que ser sometida a la rigurosa prueba del juicio de los expertos. Aunque las conferencias de Wiles habían proporcionado al mundo un esquema de la demostración, esto no es equivalente a una revisión oficial. El protocolo académico requiere que cualquier matemático remita un manuscrito completo a una revista de prestigio y que el editor la envíe a un equipo de evaluadores cuyo trabajo es examinar la demostración línea por línea. Wiles tuvo que pasar el verano esperando ansiosamente el informe de los evaluadores, esperando que al final obtendría su bendición.