7. UN PEQUEÑO PROBLEMA

Piet Hein

Tan pronto como terminó la conferencia de Cambridge, el Comité Wolfskehl fue informado de la demostración de Wiles. No pudieron conceder inmediatamente el premio debido a que las reglas de la competición exigían claramente una verificación por otros matemáticos y la publicación de la demostración:

La Königliche Gesellschaft der Wissenschaften de Gotinga […] sólo tendrá en cuenta aquellas memorias matemáticas que hayan aparecido en forma de monografía en revistas, o las que estén a la venta en librerías […]. La concesión del premio por parte de la sociedad no se hará efectiva antes de que transcurran dos años desde la publicación de la memoria premiada. Tal intervalo de tiempo está destinado a que los matemáticos alemanes y extranjeros emitan su opinión acerca de la validez de la solución publicada.

Wiles envió su manuscrito a la revista Inventiones Mathematicae, después de lo cual su editor, Barry Mazur, empezó el proceso de seleccionar a los evaluadores. El artículo de Wiles involucra tal variedad de técnicas matemáticas, tanto antiguas como modernas, que Mazur tomó la excepcional decisión de nombrar no sólo dos o tres evaluadores, como es la práctica usual, sino seis. Cada año, treinta mil artículos son publicados en revistas de todo el mundo, pero la gran extensión e importancia del manuscrito de Wiles significaba que sería sometido a un grado excepcional de escrutinio. Para simplificar la tarea, las doscientas páginas de la demostración se dividieron en seis secciones y cada uno de los evaluadores asumió la responsabilidad sobre uno de esos capítulos.

El capítulo 3 fue asignado a Nick Katz, quien ya había examinado esa parte de la demostración de Wiles aquel mismo año: «Yo estaba en París durante el verano para trabajar en el Institut des Hautes Études Scientifiques, y me llevé conmigo las doscientas páginas de la demostración completa; mi capítulo en particular tenía una extensión de setenta páginas. Cuando llegué decidí que quería tener una ayuda técnica seria e insistí en que Luc Illusie, que también estaba en París, se convirtiera en evaluador adjunto de mi capítulo. Nos encontraríamos unas cuantas veces cada semana durante todo el verano, básicamente para enseñarnos el uno al otro el modo de rehacer y comprender ese capítulo. Literalmente no hicimos otra cosa que repasar en detalle el manuscrito línea por línea y asegurarnos de que no hubiera errores. Algunas veces dudábamos en ciertos puntos y por ello cada día, a veces dos veces el mismo día, enviaba un mensaje electrónico a Andrew con una pregunta: No entiendo lo que dices en esta página o parece estar equivocado en esta línea. Solía recibir una respuesta el mismo día o al siguiente que aclaraba el asunto, y entonces continuábamos hasta el siguiente problema».

La demostración era un razonamiento gigantesco, intrincadamente construido a base de cientos de cálculos matemáticos unidos por miles de nexos lógicos. Si tan sólo uno de los cálculos estuviera equivocado, o si uno de los nexos no encajara, la demostración completa correría el peligro de perder todo su valor. Wiles, que estaba ya de vuelta en Princeton, esperaba ansiosamente a que los evaluadores finalizaran su tarea. «No quería celebrarlo hasta que todo el artículo hubiera sido comprobado. Mientras tanto, mi trabajo consistía en responder las preguntas que recibía por correo electrónico de los evaluadores. Estaba bastante confiado en que ninguna de esas cuestiones pudiera causarme grandes problemas». Él mismo había comprobado y vuelto a comprobar la demostración antes de enviársela a los evaluadores, de modo que esperaba poco más que el equivalente matemático de los errores gramaticales y tipográficos, errores triviales que podía arreglar inmediatamente.

«Los problemas continuaron siendo relativamente intrascendentes hasta agosto —recuerda Katz—, hasta que encontré lo que parecía un pequeño problema más. Alrededor del 23 de agosto envié un mensaje electrónico a Andrew y, como la respuesta era un poco complicada, él me envió un fax. Pero el fax no parecía contestar a mi pregunta, así que le envié otro mensaje electrónico y recibí otro fax que tampoco me satisfizo».

Wiles había supuesto que aquel error era tan nimio como todos los demás, pero la persistencia de Katz le obligó a tomárselo en serio: «No pude resolver inmediatamente aquella cuestión de aspecto inocente. Durante un tiempo pareció ser del mismo orden que otros problemas, pero en algún momento durante septiembre empecé a darme cuenta de que no era una dificultad menor, sino un defecto fundamental. Era un error en una parte crucial del argumento relacionado con el método de Kolyvagin-Flach, pero era algo tan sutil que lo había pasado completamente por alto hasta aquel momento. El error era tan abstracto que no podía explicarse en términos sencillos. Incluso explicárselo a otro matemático implicaría que éste dedicara dos o tres meses a estudiar en detalle esa parte del manuscrito».

En esencia, el problema era que no existía garantía de que el método de Kolyvagin-Flach funcionase tal como Wiles pretendía. Se suponía que el método extendía la demostración desde el primer elemento de todas las ecuaciones elípticas y formas modulares a todos los elementos, proporcionando el mecanismo necesario para derribar las siguientes fichas de dominó. Originalmente, el método de Kolyvagin-Flach sólo funcionaba en circunstancias especialmente restringidas, pero Wiles creyó que lo había adaptado y reforzado lo suficiente como para que fuese adecuado para todos sus requerimientos. Según Katz, eso no era necesariamente cierto y los efectos eran espectaculares y devastadores.

El error no significaba que la prueba de Wiles no tuviera salvación, pero sí que debería consolidar la demostración. El absolutismo de las matemáticas exigía que Wiles demostrara más allá de toda duda que su método funcionaba para cada elemento de las series E y M.

El ajustador de alfombras

Cuando Katz se dio cuenta de la importancia del error que había descubierto se preguntó cómo lo había pasado por alto en primavera, cuando Wiles se lo había contado todo durante el curso de doctorado con el único propósito de identificar cualquier posible error. «Creo que la respuesta es que, cuando estás escuchando una conferencia, existe una verdadera lucha entre intentar entenderlo todo y dejar que el conferenciante continúe. Si se interrumpe a cada momento (no entiendo esto o aquello), entonces aquél nunca acaba de explicarlo todo y no llegas a ningún sitio. Por otro lado, si nunca interrumpes, te pierdes y asientes educadamente con la cabeza, pero en realidad no estás comprobando nada. Existe una tensión real por no hacer demasiadas preguntas ni hacer demasiado pocas, y obviamente hacia el final de esas conferencias, que es cuando este problema se deslizó inadvertidamente, yo fallé por hacer demasiado pocas preguntas».

Sólo unas semanas antes, los periódicos de todo el mundo habían apodado a Wiles como el matemático más brillante del mundo y, tras 350 años de frustración, los teóricos de números creían que por fin habían vencido del todo a Pierre de Fermat. Ahora Wiles se encaraba con la humillación de tener que admitir que había cometido un error. Antes de confesar el error decidió concentrar sus esfuerzos en eliminar el defecto lógico. «No podía darme por vencido. Estaba obsesionado con este problema y aún creía que el método de Kolyvagin-Flach sólo necesitaba un pequeño remiendo. Necesitaba modificarlo un poco y entonces funcionaría perfectamente. Decidí volver a mi antigua costumbre y me aislé completamente del mundo exterior. Tenía que concentrarme otra vez, pero ahora en circunstancias más difíciles. Durante un largo tiempo pensé que el arreglo estaba justo a la vuelta de la esquina, que estaba pasando por alto algún simple detalle que lo haría encajar todo al día siguiente. Por supuesto, podría haber ocurrido de esa forma, pero según pasaba el tiempo parecía que el problema se iba haciendo más intransigente».

La esperanza era que pudiera arreglar el error antes de que la comunidad se diera cuenta de que tal error existía. La esposa de Wiles, que ya había asistido a los siete años de esfuerzo que había invertido en la demostración original, debía ahora ser testigo de la agónica lucha de su marido contra un error que podía destruirlo todo. Wiles recuerda su optimismo: «En septiembre, Nada me dijo que lo único que deseaba para su cumpleaños era una demostración correcta. Su cumpleaños es el 6 de octubre. Sólo tenía dos semanas para entregar la prueba, y fracasé».

Para Nick Katz ése fue también un periodo de tensión: «En octubre, los únicos que sabíamos algo sobre la existencia del error éramos yo mismo, Illusie, los evaluadores de los otros capítulos y Andrew; en principio sólo nosotros. Mi actitud fue la que se esperaba de mí como evaluador: que actuara de forma confidencial. Desde luego no creía que fuera de mi incumbencia discutir sobre este tema con nadie salvo con Andrew, así que no dije ni una palabra sobre ello. Creo que externamente él parecía en un estado normal, pero en aquel momento estaba ocultando un secreto al resto del mundo y creo que debía de sentirse bastante a disgusto con la situación. Andrew actuaba como si con tan sólo en un día más fuera a resolver el problema, pero según discurría el otoño y no se hacía público el manuscrito empezaron a circular rumores sobre la existencia de alguna dificultad».

En concreto, Ken Ribet, otro de los evaluadores, empezó a sentir la presión de guardar el secreto: «Por alguna razón completamente accidental empecé a ser conocido como el “Servicio de Información Fermat”. Todo comenzó con un artículo en el New York Times para el que Andrew me pidió que hablara con el periodista en su lugar, y el artículo decía: “Ribet, que actúa como portavoz de Andrew Wiles…”, o algo por el estilo. Tras ello me convertí en una especie de imán para todos los interesados en el último teorema de Fermat, tanto de fuera como de dentro de la comunidad matemática. La gente llamaba de la prensa, de todos los rincones del mundo, de hecho, y también pronuncié un gran número de conferencias durante un periodo de dos o tres meses. En esas conferencias resalté el magnífico logro que era la demostración, la esbocé y hablé de las partes que mejor conocía, pero tras un tiempo la gente empezó a impacientarse y a plantear preguntas difíciles».

«Wiles había hecho su anuncio público, pero nadie, salvo el pequeño grupo de evaluadores, ha visto una copia del manuscrito. Los matemáticos estaban esperando el manuscrito que Andrew había prometido unas semanas después del anuncio inicial de junio. La gente decía: “Muy bien, una vez que la prueba del teorema ha sido anunciada nos gustaría saber qué está pasando. ¿Qué está haciendo? ¿Por qué no hay ninguna noticia?”. La gente estaba un poco enfadada por mantenérsela en la ignorancia y simplemente quería saber qué estaba pasando. Entonces la situación empeoró, pues los nubarrones se cernieron sobre la demostración y la gente empezó a hablarme de los rumores que afirmaban que había una laguna en el capítulo 3. Me preguntaron sobre lo que sabía, y yo no sabía qué decir».

Con Wiles y los evaluadores negando el conocimiento de alguna laguna, o como mínimo rehusando hacer comentarios, las especulaciones fueron descontrolándose. En su desesperación, los matemáticos empezaron a enviarse mensajes electrónicos con la esperanza de llegar al fondo del misterio:

En la cafetería de cada departamento de matemáticas, los chismes sobre la demostración de Wiles aumentaban cada día. En respuesta a los rumores y los mensajes electrónicos especulativos, algunos matemáticos intentaron restablecer una cierta calma en la comunidad.

A pesar de los llamamientos a conservar la calma, los mensajes electrónicos continuaron sin disminuir. Además de comentar sobre el error putativo, los matemáticos empezaron a discutir sobre la ética de anticiparse al anuncio de los evaluadores.

Mientras el escándalo sobre su elusiva demostración iba creciendo, Wiles intentaba por todos los medios ignorar la controversia y la especulación. «Realmente me desconecté porque no quería saber lo que la gente estaba diciendo de mí. Me recluí, pero periódicamente mi compañero Peter Sarnak me decía: “¿Sabes que hay una tormenta por aquí?”. Lo había oído, pero, por mí mismo, sólo quería desconectarme del todo para concentrarme completamente en el problema».

Peter Sarnak se había incorporado al departamento de matemáticas de Princeton al mismo tiempo que Wiles y a lo largo de los años se habían convertido en buenos amigos. Durante el intenso periodo de confusión, Sarnak fue uno de los pocos en los que Wiles confió. «Bueno, yo nunca estuve al tanto de los detalles exactos, pero estaba claro que intentaba superar una seria cuestión. Pero cada vez que conseguía arreglar un problema la reparación causaba alguna nueva dificultad en otra parte de la demostración. Era como si estuviera intentando poner una alfombra en una habitación y la propia alfombra fuera mayor que la habitación. De modo que Andrew podía ajustar la alfombra en cualquier esquina sólo para descubrir que se había desencajado en otra esquina. Si podría o no ajustar la alfombra en la habitación era algo sobre lo que nadie podía pronunciarse. Pero, ojo, incluso con el error Andrew había dado un paso gigantesco. Antes de él nadie tenía ninguna estrategia para vencer la conjetura de Taniyama-Shimura, y ahora todo el mundo estaba muy emocionado ya que él nos había mostrado un gran número de ideas nuevas. Eran ideas fundamentales, cosas nuevas que nadie había considerado antes. Así que, incluso si no podía arreglarse, ése era un gran avance, aunque, por supuesto, Fermat continuaría sin resolver».

Finalmente, Wiles se dio cuenta de que no podía seguir manteniendo su silencio por siempre. La solución al error no estaba a la vuelta de la esquina y era el momento de poner punto final a la especulación. Tras un otoño de tremendo fracaso envió el siguiente mensaje electrónico a la junta de la revista matemática:

Pocos quedaron convencidos por el optimismo de Wiles. Habían pasado casi seis meses sin que el error pudiera ser corregido y no había razón alguna para pensar que algo fuera a cambiar en los próximos seis. En cualquier caso, si realmente pudiera «acabarlo en un futuro próximo», ¿por qué molestarse en enviar el mensaje electrónico? ¿Por qué no limitarse a mantener el silencio durante unas pocas semanas más y luego dar a conocer el manuscrito finalizado? El curso de febrero que mencionó en su mensaje electrónico no proporcionó el detalle prometido y la comunidad matemática creyó que Wiles sólo estaba intentando conseguir un poco más de tiempo.

Los periódicos pasaron la historia por alto una vez más y los matemáticos recordaron la fallida demostración de Miyaoka en 1988. La historia se repetía. Los teóricos de números esperaban el siguiente mensaje electrónico en que se explicara por qué razón la demostración estaba irrecuperablemente errada. Un puñado de matemáticos había expresado sus dudas sobre la demostración ya durante el verano y ahora su pesimismo parecía justificado. Un rumor afirmaba que el profesor Alan Baker, de la Universidad de Cambridge, ofreció apostar cien botellas de vino contra una sola a que en menos de un año se demostraría que la prueba no era válida. Baker niega la anécdota, pero admite con orgullo haber expresado un «sano escepticismo».

Menos de seis meses después de su conferencia en el Newton Institute la demostración de Wiles estaba hecha jirones. El placer, la pasión y la esperanza que le habían poseído durante los años de cálculos secretos se transformaron en turbación y desesperanza. Wiles recuerda cómo el sueño de su infancia se había convertido en una pesadilla: «Los primeros siete años que trabajé en el problema disfruté con el combate privado. No importaba lo duro que hubiera sido, no importaba lo insuperables que parecieran las cosas, me dedicaba a mi problema favorito. Era mi pasión de la infancia; sencillamente no podía dejarlo, no quería dejarlo ni por un solo instante. Después tuve que hablar de ello, y al hacerlo sentí realmente una sensación de pérdida. Era una emoción muy ambigua. Era estupendo ver la reacción de otra gente ante la demostración, pero al mismo tiempo había perdido mi búsqueda personal. Estaba abierta al mundo y ya no podía continuar con aquel sueño privado que estaba cumpliendo. Y entonces, después de que apareciera el problema con la demostración, había docenas, cientos, miles de personas que querían distraerme. Hacer matemáticas de esta forma tan pública no es mi estilo, y yo no disfrutaba de este modo de hacerlas».

Los teóricos de números simpatizaban con la postura de Wiles. El mismo Ken Ribet había pasado por la misma pesadilla ocho años antes cuando intentó demostrar el nexo entre la conjetura de Taniyama-Shimura y el último teorema de Fermat. «Estaba dando una conferencia acerca de la demostración en el Mathematical Sciences Research Institute de Berkeley y alguien de entre el público dijo: “Eh, espere un momento, ¿cómo sabe que tal y tal es cierto?”. Respondí inmediatamente dando mis razones, y él dijo: “Bueno, eso no se aplica en esta situación”. Entonces me di cuenta de que sólo existía un modo de justificarlo, que era volver al trabajo fundamental sobre el tema y ver exactamente cómo se aplicaba en una situación similar. Miré el artículo más importante y vi que efectivamente el método se podía aplicar en mi caso; en un día o dos lo había corregido todo. En mi siguiente conferencia fui capaz de dar una justificación. Pero siempre vives con el temor de que si anuncias algo importante alguien pueda descubrir un error básico».

«Cuando encuentras un error en un original puedes actuar de dos maneras. A veces existe una gran confianza en la demostración y la puedes resucitar con poca dificultad. Y a veces ocurre lo contrario. Es muy inquietante, tienes la sensación de que todo se va a pique cuando te das cuenta de que has cometido un error fundamental y no hay forma de arreglarlo. Es posible que, cuando aparece una brecha, el teorema se haga del todo inalcanzable ya que cuanto más intentas tapar la grieta te metes en más problemas. Pero en el caso de Wiles cada capítulo de la demostración era un artículo importante por derecho propio. El manuscrito representaba siete años de trabajo, básicamente estaba constituido por varios artículos encajados entre sí y cada uno de ellos era de un gran interés. El error ocurrió en uno de los artículos, el capítulo 3, pero, incluso si retirabas el capítulo 3, lo que quedaba era aun absolutamente maravilloso».

Pero sin el capítulo 3 no había demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura y, por lo tanto, no había demostración del último teorema de Fermat. Había un sentimiento de frustración en la comunidad matemática debido a que la demostración de dos grandes problemas estuviera en dificultades. Más aún, tras seis meses de espera nadie, salvo Wiles y los evaluadores, tenía acceso al manuscrito. Existía un creciente clamor en demanda de mayor apertura, de manera que todo el mundo pudiera ver por sí mismo los detalles del error. La esperanza era que alguien, en alguna parte, pudiera reparar la brecha en la demostración. Algunos matemáticos afirmaban que la demostración era demasiado valiosa para ser dejada en manos de un solo hombre. Los teóricos de números habían sido el blanco de las pullas del resto de matemáticos, quienes cuestionaban sarcásticamente si habían entendido o no el concepto de demostración. Lo que debería haber sido el momento de mayor orgullo de las matemáticas se estaba transformando en una broma.

A pesar de las presiones, Wiles rechazó hacer público su manuscrito. Después de siete años de devoto esfuerzo no estaba preparado para cruzarse de brazos mientras veía cómo algún otro completaba la demostración y le robaba la gloria. La persona que demostrara Fermat no sería quien pusiera la parte del trabajo sino la que entregara la demostración completa y definitiva. Wiles sabía que una vez que el manuscrito fuera publicado en su actual estado se vería abrumado por las preguntas y peticiones de aclaraciones de aspirantes a «apañadores de brechas», y esas distracciones destruirían sus propias esperanzas de enmendar la demostración mientras daba a otros pistas vitales.

Wiles intentó volver al mismo estado de aislamiento que le había permitido crear la demostración original y regresó a su hábito de intenso estudio en el ático. En ocasiones vagaba por los alrededores del lago de Princeton, como había hecho en el pasado. Los que hacían footing, los ciclistas, los remeros en el lago, todos los que habían pasado antes por su lado con un pequeño saludo ahora se detenían y le preguntaban si había realizado algún adelanto con el problema. Wiles había aparecido en las primeras planas de todo el mundo, habían escrito un artículo sobre él en la revista People e incluso lo habían entrevistado en la CNN. El verano anterior Wiles se había convertido en la primera celebridad matemática del mundo y su imagen aún estaba empañada.

Mientras tanto, en el departamento de matemáticas los chismes continuaban. El profesor de matemáticas de Princeton John H. Conway recuerda el ambiente en la sala de café del departamento: «Nos reuníamos para el té a las tres y nos precipitábamos sobre las galletas. Algunas veces discutíamos sobre problemas matemáticos, a veces hablábamos sobre el juicio a O. J. Simpson, y a veces discutíamos sobre los progresos de Andrew. Puesto que a nadie le atraía la idea de ir directamente y preguntarle cómo le iba con la demostración, actuábamos como los kremlinólogos. Así alguien decía: “He visto a Andrew esta mañana”. “¿Sonreía?”. “Bueno, sí, pero no parecía demasiado feliz”. Sólo podíamos calibrar sus sentimientos por su cara».

Un mensaje electrónico de pesadilla

Según avanzaba el invierno, las esperanzas de un avance espectacular disminuían y más matemáticos argumentaban que la obligación de Wiles era dar a conocer el manuscrito. Los rumores continuaron y un artículo periodístico aseguraba que Wiles se había rendido y que la demostración se había hundido irremediablemente. Aunque esto era una exageración, sí era cierto que Wiles había probado docenas de enfoques que podían haber evitado el problema y no encontraba ninguna ruta posible hacia una solución.

Wiles admitió ante Peter Sarnak que la situación se estaba tornando desesperada y que estaba a punto de aceptar la derrota. Sarnak sugirió que parte de la dificultad estaba en que Wiles no tenía a nadie en quien pudiera confiar en el día a día; no había nadie que pudiera replicar a sus ideas o pudiera inspirarle para explorar enfoques alternativos. Sugirió que Wiles buscara a alguien de su confianza e intentara una vez más reparar la brecha. Wiles necesitaba a alguien que fuera un experto en la manipulación del método de Kolyvagin-Flach y que mantuviera los detalles del problema en secreto. Tras una prolongada reflexión decidió invitar a Princeton a Richard Taylor, un profesor de Cambridge, para trabajar a su lado.

Taylor era uno de los evaluadores responsables de la verificación de la demostración y un antiguo estudiante de Wiles, y como tal estaría doblemente motivado. El año anterior se encontraba entre el público en el Isaac Newton Institute viendo a su antiguo director de tesis presentar la demostración del siglo. Ahora su trabajo era ayudar a salvar la defectuosa demostración.

En enero, Wiles, con la ayuda de Taylor, volvía a explorar incansablemente el método de Kolyvagin-Flach intentando encontrar una salida a su problema. En ocasiones, después de días de esfuerzo, entraban en nuevos territorios, pero inevitablemente volvían a encontrarse en el punto de partida. Habiéndose aventurado más lejos que nunca y habiendo fallado una y otra vez, se dieron cuenta de que estaban en el interior de un laberinto de una vastedad inimaginable. Su temor más profundo era que el laberinto fuera infinito y no tuviera salida y que estuvieran condenados a vagar sin rumbo por siempre.

Entonces, en la primavera de 1994, justo cuando parecía que las cosas no podían ser peores, apareció en las pantallas de todo el mundo el siguiente mensaje electrónico:

Noam Elkies era un profesor de Harvard que ya en 1988 había encontrado un contraejemplo a la conjetura de Euler, demostrando por tanto que era falsa:

2 682 440⁴ + 15 365 639⁴ + 187 690⁴ = 20 615 673⁴.

Aparentemente, ahora había encontrado un contraejemplo al último teorema de Fermat, demostrando así que también éste es falso. Se trataba de un golpe trágico para Wiles: la razón de que no pudiera arreglar la demostración era resultado directo de la falsedad del último teorema. Era un golpe aún mayor para la comunidad matemática en su conjunto ya que, si el último teorema de Fermat era falso, Frey había demostrado que esto llevaba a una ecuación elíptica que no era modular, lo que constituía una contradicción directa a la conjetura de Taniyama-Shimura; Elkies había encontrado no sólo un contraejemplo a Fermat, indirectamente había encontrado un contraejemplo a Taniyama-Shimura.

La muerte de la conjetura de Taniyama-Shimura tendría consecuencias devastadoras para la teoría de números puesto que durante dos décadas los matemáticos habían asumido tácitamente su veracidad. En el capítulo 5 se explicó que los matemáticos habían escrito docenas de demostraciones que empezaban con la frase «Asumiendo la conjetura de Taniyama-Shimura»; pero ahora Elkies había demostrado que esa suposición era falsa y todas aquellas demostraciones se habían hundido a la vez. Los matemáticos pidieron inmediatamente más información y bombardearon a Elkies con preguntas, pero no hubo respuesta ni explicación sobre su silencio. Nadie pudo obtener siquiera los detalles del contraejemplo.

Después de unos días de confusión, algunos matemáticos echaron un segundo vistazo al mensaje electrónico y cayeron en la cuenta de que, aunque en general estaba fechado el 2 o 3 de abril, esto era resultado de haberlo recibido de segunda o tercera mano. El original estaba fechado el 1 de abril^[6]. El mensaje electrónico era una farsa perpetrada por el teórico de números canadiense Henri Darmon. El burlesco mensaje electrónico sirvió de lección a los que propagaban rumores sobre Fermat, que, durante un tiempo, dejaron en paz al último teorema de Fermat, a Wiles, a Taylor y a la prueba defectuosa.

Aquel verano, Wiles y Taylor no realizaron ningún progreso. Tras ocho años de esfuerzo continuado y una obsesión que había durado toda su vida, Wiles estaba preparado para admitir la derrota. Le dijo a Taylor que no veía ninguna razón para seguir intentando arreglar la demostración. Taylor ya tenía planeado pasar todo el mes de septiembre en Princeton antes de volver a Cambridge, así que, en contra del pesimismo de Wiles, sugirió que perseveraran durante un mes más. Si no había esperanzas de arreglo a finales de septiembre, lo dejarían, reconocerían públicamente su fracaso y publicarían la defectuosa demostración para permitir que otros tuvieran la oportunidad de examinarla.

El regalo de cumpleaños

Aunque la batalla de Wiles con el problema matemático más complejo del mundo parecía condenada al fracaso, aún podía mirar hacia atrás, a los últimos siete años, y estar seguro de que la mayor parte de su trabajo seguiría siendo válido. De entrada, su utilización de los grupos de Galois había proporcionado una nueva comprensión del problema. Había demostrado que el primer elemento de cada ecuación elíptica podía asociarse al primer elemento de alguna forma modular. El reto era demostrar que si un elemento de la ecuación elíptica era modular también debía serlo el siguiente, de modo que todos debían ser modulares.

Durante esos años, Wiles había luchado para extender la demostración. Intentó completar un enfoque inductivo y había batallado con la teoría Iwasawa con la esperanza de que ésta demostraría que si caía una ficha del dominó eso las haría caer a todas. Inicialmente, la teoría Iwasawa parecía tener suficiente potencia para generar el efecto dominó necesario, pero, al final, no pudo cumplir sus expectativas. Había dedicado dos años de esfuerzo a un callejón sin salida.

En el verano de 1991, después de pasar un año en calma chicha, Wiles encontró el método de Kolyvagin y Flach y abandonó la teoría Iwasawa en favor de esta nueva técnica. Al año siguiente anunció la demostración en Cambridge y fue proclamado un héroe. En menos de dos meses se demostró que el método de Kolyvagin-Flach era defectuoso y desde entonces la situación había empeorado. Cada intento de arreglar Kolyvagin-Flach había fallado.

Todo el trabajo de Wiles, salvo la parte final que utilizaba el método de Kolyvagin-Flach, era aún valioso. La conjetura de Taniyama-Shimura y el último teorema de Fermat podían no haber sido resueltos; sin embargo, Wiles había provisto a los matemáticos de una serie completa de nuevas técnicas y estrategias que podían explotar para demostrar otros teoremas. La derrota de Wiles no era de ningún modo indecorosa, y él ya empezaba a hacerse a la idea de ser derrotado.

Como consuelo quería entender al menos por qué había fracasado. Mientras Taylor volvía a explorar y examinar métodos alternativos, Wiles decidió dedicar el mes de septiembre a examinar por última vez la estructura del método de Kolyvagin-Flach para intentar concretar por qué no funcionaba. Recuerda vívidamente aquellos decisivos días: «Estaba sentado frente a mi escritorio un lunes por la mañana, el 19 de septiembre, examinando el método de Kolyvagin-Flach. No es que creyera que podía hacerlo funcionar, pero al menos quería saber por qué fallaba. Creo que me estaba aferrando a un clavo ardiendo, pero quería convencerme a mí mismo. De repente, de una forma inesperada, tuve una revelación increíble. Me di cuenta de que, aunque el método no funcionaba perfectamente, era todo lo que necesitaba para desarrollar mi trabajo original con la teoría Iwasawa. Me di cuenta de que conseguía lo suficiente del método de Kolyvagin-Flach para que mi enfoque original del problema, que había hecho tres años antes, funcionara. Así que, de las cenizas del método de Kolyvagin-Flach, parecía elevarse la respuesta real al problema».

La teoría Iwasawa por sí sola era inadecuada. El método de Kolyvagin-Flach por sí solo era inadecuado. Juntos se complementaban perfectamente. Aquél fue un instante de inspiración que Wiles jamás olvidará. Mientras rememoraba aquellos momentos, el recuerdo fue tan intenso que se le saltaron las lágrimas: «Fue tan indescriptiblemente bello; era tan simple y elegante. No podía entender cómo lo había pasado por alto y lo estuve contemplando incrédulo durante veinte minutos. Aquel día pase por el departamento y volví a mi despacho para ver si la nueva idea aún estaba allí. Y aún estaba. No podía contenerme, ¡estaba tan emocionado! Fue el momento más importante de mi vida profesional. Nada de lo que haga significará nunca tanto».

No era tan sólo la realización de un sueño de la infancia y la culminación de ocho años de denodados esfuerzos, sino que, habiendo estado al borde de la rendición, Wiles se revolvió para probar su genialidad ante el mundo. Los últimos catorce meses habían sido el periodo más penoso, humillante y deprimente de su carrera como matemático. Ahora, una brillante inspiración había acabado con sus sufrimientos.

«Aquella noche volví a casa y lo consulté con la almohada. Lo volví a comprobar a la mañana siguiente y, hacia las once, me sentí satisfecho y bajé a decírselo a mi esposa: “¡Lo tengo! Creo que lo he encontrado”. Fue tan inesperado que ella creyó que estaba hablando de un juguete de los críos o algo así, y me dijo: “¿Qué es lo que tienes?”, y yo le dije: “He arreglado la demostración. Lo tengo”».

Al mes siguiente, Wiles pudo satisfacer la promesa en la que había fracasado el año anterior. «Se estaba acercando el cumpleaños de Nada y recordé que en el último no le había podido hacer el regalo que ella quería. Esta vez, medio minuto después de empezar a cenar en la noche de su aniversario, pude entregarle el manuscrito completo. Creo que a ella le gustó más ese regalo que cualquier otro que yo le hubiera hecho antes».