4. HACIA LA ABSTRACCIÓN

La demostración es un ídolo ante el cual el matemático se mortifica.

Sir Arthur Eddington

Tras la obra de Kummer, las esperanzas de encontrar una prueba para el último teorema de Fermat se tornaron más vanas que nunca. Además, las matemáticas habían empezado a orientarse hacia otros campos de estudio y aparecía el riesgo de que la nueva generación de matemáticos fuera indiferente a lo que parecía el callejón sin salida de un problema imposible. A comienzos del siglo XX, el problema ocupaba aún un lugar especial en los corazones de los teóricos de números, pero contemplaban el último teorema de Fermat de la misma manera en que los químicos trataban la alquimia. Ambos eran un absurdo sueño romántico de antaño.

Entonces, en 1908, Paul Wolfskehl, un industrial alemán de Darmstadt, revivió el problema. La familia de Wolfskehl era conocida por su riqueza y su mecenazgo en las artes y en las ciencias, y Paul no fue una excepción. Había estudiado matemáticas en la universidad y, aunque dedicó la mayor parte de su vida a construir el imperio financiero familiar, también mantuvo el contacto con matemáticos profesionales y cultivó la teoría de números como pasatiempo. En concreto, Wolfskehl se negó a rendirse ante el último teorema de Fermat.

Wolfskehl no era en absoluto un matemático de talento y no estaba destinado a aportar una gran contribución para dar con la demostración del último teorema de Fermat. Con todo, gracias a una curiosa cadena de sucesos iba a quedar ligado por siempre al problema de Fermat e inspiraría a otros miles a volver a aceptar el desafió.

La historia comienza con la obsesión de Wolfskehl por una mujer cuya identidad no se ha revelado jamás. Por desgracia para Wolfskehl, la misteriosa mujer lo rechazó y él quedó en tal estado de desesperación que decidió suicidarse. Era un hombre apasionado pero no impetuoso, así que planeó hasta el último detalle de su muerte. Concretó una fecha en la que se pegaría un tiro en la cabeza justo al dar la medianoche. En el tiempo que le quedaba arregló todos los asuntos financieros pendientes y el último día redactó su testamento y escribió cartas a todos los íntimos y familiares.

Wolfskehl actuó con tanta eficacia que todo estuvo terminado bastante antes de que expirara el plazo a medianoche, así que para pasar las horas se fue a una biblioteca y comenzó a curiosear entre las publicaciones matemáticas. Al cabo de poco tiempo se hallaba observando el clásico artículo de Kummer en el que explicaba el error de Cauchy y Lamé. Se trataba de uno de los cálculos más importantes de la época y de una lectura idónea para los momentos finales de un matemático suicida. Wolfskehl comprobó todo el cálculo línea por línea. De pronto se sorprendió ante lo que parecía ser una laguna lógica. Kummer había hecho una suposición y se saltó justificar un paso de la argumentación. Wolfskehl se preguntó si habría descubierto una seria fisura o si la suposición de Kummer estaría justificada. Si lo primero era cierto, cabía la posibilidad de que probar el último teorema de Fermat fuera mucho más sencillo de lo que muchos habían presumido.

Tomó asiento, exploró el fragmento dudoso de la prueba y se dedicó a fondo a elaborar una minidemostración que o bien consolidaría el trabajo de Kummer o bien probaría que la suposición de aquél era errónea, en cuyo caso toda la labor de Kummer sobre el tema quedaría invalidada. Acabó la empresa al amanecer. Las malas noticias matemáticas eran que la prueba de Kummer había sido reparada y el último teorema de Fermat continuaba en el reino de lo inalcanzable. Las buenas eran que la cita con el suicidio había pasado y Wolfskehl estaba tan orgulloso de haber descubierto y corregido una fisura en la obra del grandioso Kummer que su desesperación y su pesar se disiparon. Las matemáticas le habían devuelto las ganas de vivir.

Wolfskehl rompió las cartas de despedida y recompuso su testamento movido por lo sucedido aquella noche. A su muerte en 1908 se leyó en voz alta el nuevo testamento. La familia Wolfskehl se quedó helada al descubrir que Paul había legado una extensa porción de su fortuna como premio a quien demostrara el último teorema de Fermat. La recompensa de cien mil marcos alemanes, un valor que superaría los doscientos millones de pesetas en cifras actuales, fue el modo en que saldó la deuda con el enigma que le había salvado la vida.

El dinero se depositó en las arcas de la Königliche Gesellschaft der Wissenschaften^[1] de Gotinga, la cual anunció la convocatoria del Premio Wolfskehl aquel mismo año:

Es preciso destacar que, aunque el comité dotaría con cien mil marcos al primer matemático que demostrara que el último teorema de Fermat es cierto, en cambio no concedería un solo pfennig a quien pudiera demostrar que es falso.

El Premio Wolfskehl se anunció en todas las revistas matemáticas y por toda Europa saltaron rápidamente noticias acerca de la competición. A pesar de la campaña publicitaria y del incentivo añadido de un premio cuantioso, el Comité Wolfskehl fracasó a la hora de despertar un gran interés entre los matemáticos serios. La mayoría de los matemáticos profesionales veían el último teorema de Fermat como una causa perdida y consideraron que no les interesaba echar a perder sus carreras trabajando en una tarea inútil. No obstante, el concurso consiguió presentar el problema ante una nueva audiencia, un buen montón de mentes impacientes que estaban dispuestas a dedicarse a lo último en enigmas y a afrontarlo por una senda de absoluta inocencia.

La era de los rompecabezas, acertijos y enigmas

Desde los griegos, los matemáticos han intentado condimentar los libros de texto reescribiendo pruebas y teoremas a modo de soluciones para rompecabezas de números. Durante la segunda mitad del siglo XIX, este tratamiento lúdico de la materia logró introducirse en la prensa de masas, y los acertijos numéricos podían encontrarse junto a crucigramas y anagramas. Con el paso del tiempo se fue formando para las matemáticas recreativas un público en alza a medida que los aficionados se atrevían con todo tipo de problemas, desde los acertijos más triviales hasta profundas cuestiones matemáticas, incluyendo el último teorema de Fermat.

Puede que el más prolífico creador de enigmas fuera Henry Dudeney, el cual escribió para docenas de periódicos y revistas, como Strand, Cassell’s, Queen, Tit-Bits, Weekly Dispatch y Blighty. Otro de los grandes del género en la época victoriana fue el reverendo Charles Dogson, profesor de matemáticas en la Christ Church de Oxford y más conocido por su seudónimo como escritor, Lewis Carroll. Dogson dedico varios años a reunir un gigantesco compendio de rompecabezas titulado Curiosa Mathematica («Matemática demente»), y aunque no completó la serie, sí llegó a escribir varios volúmenes, entre ellos Pillow Problems («Problemas para antes de dormir»).

Pero el mayor creador de enigmas de todos fue el prodigio estadounidense Sam Loyd (1841-1911), quien a la edad de quince años ya estaba obteniendo unas considerables ganancias a base de reinventar viejos acertijos y de crear otros nuevos. En su obra Sam Loyd and his Puzzles: An Autobiographical Review («Sam Loyd y sus acertijos: una recopilación autobiográfica») recuerda que alguno de sus acertijos más tempranos fueron creados para P. T. Barnum, propietario de circo y prestidigitador:

Hace muchos años, cuando el Circo Barnum era de verdad «el mayor espectáculo del mundo», su famoso director me encargó que le preparara una serie de rompecabezas para concursos con fines propagandísticos. Se hicieron ampliamente conocidos como los «interrogantes de la esfinge», a causa de la elevada cuantía de los premios ofrecidos a quienes lograran vencerlos.

Es extraño que esta autobiografía se escribiera en 1928, diecisiete años después de la muerte de Loyd. Este transmitió el ingenio a su hijo, también llamado Sam, que fue el verdadero autor del libro, sabiendo a ciencia cierta que cualquiera que lo comprara pensaría, equivocadamente, que era obra de su padre, el Sam Loyd más famoso.

La creación más popular de Loyd fue el equivalente Victoriano del cubo de Rubik, el rompecabezas «14-15», que aún hoy podemos encontrar en jugueterías. Quince baldosas numeradas del 1 al 15 se distribuyen sobre un plano de 4 × 4 baldosas, y la meta consiste en deslizar las baldosas hasta disponerlas en el orden correcto. El rompecabezas «14-15» de Loyd se vendía con la ordenación que aparece en la figura 14 y ofrecía un premio considerable a quien pudiera completarlo devolviendo la 14 y la 15 a sus lugares correspondientes a través de una serie de corrimientos de baldosas. El hijo de Loyd escribió sobre el revuelo que despertó este rompecabezas palpable pero esencialmente matemático:

Nunca ha sido reclamado el premio de mil dólares que se ofreció para la primera solución del problema, y eso que hay miles de personas que dicen haber realizado tal proeza. La gente enloqueció con el rompecabezas y se contaron absurdas historias de tenderos que descuidaron la apertura de sus almacenes; sobre un distinguido clérigo que permaneció de pie durante toda una noche invernal debajo de una farola intentando recordar el camino que había seguido para lograr la hazaña. La misteriosa propiedad del juego es que nadie parece capaz de recordar la secuencia de movimientos mediante la cual creen estar seguros de haber resuelto el problema. Dicen que ha habido pilotos que han hecho naufragar sus barcos y maquinistas que se han pasado de largo las estaciones con sus trenes. Un famoso editor de Baltimore cuenta que en cierta ocasión que fue a comer un empleado furioso lo sorprendió… ¡bien pasada la medianoche empujando de acá para allá pequeñas porciones de pastel dentro de un plato!

Loyd siempre fue consciente de que jamás tendría que abonar los mil dólares porque sabía que es imposible desplazar tan sólo dos piezas sin destruir el orden de otra parte del tablero. Del mismo modo en que un matemático puede demostrar que una ecuación determinada no tiene soluciones posibles, Loyd demostró que su rompecabezas «14-15» es irresoluble.

La demostración de Loyd comienza definiendo una cantidad que mide lo desordenado que está un tablero, el parámetro de desorden D_p. El parámetro de desorden es el número de pares de baldosas que, en una disposición concreta, no mantienen el orden correspondiente. Así, para el caso correcto, D_p = 0, tal como muestra la figura 15a, porque ninguna baldosa está emplazada con una ordenación incorrecta.

Partiendo del rompecabezas ordenado y deslizando algunas baldosas es bastante fácil llegar a la disposición que ilustra la figura 15b. Las baldosas mantienen el orden hasta llegar al par 12 y 11. Es evidente que la 11 debería ir delante de la 12, así que este par de baldosas está mal situado. La lista completa de pares de baldosas que ocupan puestos desordenados es como sigue: (12, 11), (15, 13), (15, 14), (15, 11), (13, 11), (14, 11). Hay seis pares de baldosas en un orden incorrecto en esta disposición, por tanto D_p = 6. (Adviértase que las baldosas 10 y 12 están contiguas, lo cual es a todas luces incorrecto, pero no llegan a alterar el orden. Por eso este par de baldosas no repercute en el parámetro de desorden).

Tras otro mínimo deslizamiento llegamos a la disposición de la figura 15c. Si usted hace una lista de los pares de baldosas que se sitúan en un orden incorrecto, encontrará que D_p = 12. El punto importante a tener en cuenta es que en estos tres casos, a, b y c, el valor del parámetro de desorden es siempre un número par (0, 6 y 12). De hecho, si usted comienza por la disposición correcta y procede a trastocarla, esa afirmación resulta siempre cierta. Con tal que la baldosa vacía vaya a parar a la esquina inferior derecha, cualquier cantidad de baldosas desplazadas dará siempre un resultado par para el valor de D_p. El valor par del parámetro de desorden es una característica intrínseca a cualquier ordenación posible que proceda de la disposición correcta de partida. A una propiedad que siempre permanece cierta con independencia de lo que se le haga al objeto se la denomina en matemáticas un invariante.

Sin embargo, si examinamos la disposición que ofrecía Loyd, en la que las baldosas 14 y 15 son las únicas intercambiadas, vemos que el valor del parámetro de desorden es la unidad, D_p = 1. ¡En la disposición de Loyd el parámetro de desorden posee un valor impar! En cambio sabemos que cualquier ordenación que derive de la correcta tendrá un valor par para el parámetro de desorden. La conclusión es que la disposición de Loyd no puede proceder de la correcta de partida y, a la inversa, es imposible llegar a la disposición correcta a partir de la ordenación que daba Loyd. Los mil dólares estaban a salvo.

El rompecabezas de Loyd y el parámetro de desorden demuestran el poder que posee un invariante. Los invariantes dotan a los matemáticos de una importante estrategia para probar que es imposible transformar una cosa en otra. Por ejemplo, un tema que entusiasma hoy en día guarda relación con el estudio de los nudos y, como es natural, los teóricos de nudos están interesados en tratar de demostrar si un nudo puede transformarse en otro a base de trenzarlo y curvarlo, pero sin cortarlo. Para resolver esta cuestión intentan encontrar una propiedad del primer nudo que no pueda ser destruida por mucho que se lo retuerza y curve, o sea, un invariante del nudo. Entonces calculan la misma propiedad para el segundo nudo. Si los valores son distintos, se concluye que no se puede partir del primer nudo para a llegar al segundo.

Hasta que en los años veinte Kurt Reidemeister inventó este método era imposible demostrar que un nudo no podía transformarse en cualquier otro. Dicho de otro modo, antes de que se descubrieran los invariantes de los nudos era imposible demostrar que un nudo mal hecho es esencialmente distinto de un nudo plano, de un medio nudo o incluso de un simple bucle sin nudo alguno en realidad. El concepto de una propiedad invariante es fundamental para muchas otras pruebas matemáticas y, como veremos en el capítulo 5, iba a ser crucial para devolver el último teorema de Fermat a la corriente principal de las matemáticas.

Hacia el cambio de siglo, gracias a los gustos de Sam Loyd y a su rompecabezas «14-15», había en Europa y América millones de aficionados a la resolución de problemas sedientos de nuevos desafíos. Una vez que las noticias del legado de Wolfskehl se filtraron a estos incipientes matemáticos, el último teorema de Fermat volvió a convertirse en el problema más famoso del mundo. El último teorema era, con diferencia, mucho más complicado incluso que los acertijos más sesudos de Loyd, pero el premio era inmensamente superior. Los aficionados soñaban que quizá ellos serían capaces de encontrar un truco relativamente simple que los grandes maestros hubieran pasado por alto en el pasado. Un perspicaz aficionado del siglo XX estaba en gran medida al mismo nivel que Pierre de Fermat en cuanto al conocimiento de técnicas matemáticas. El desafío consistía en competir con la creatividad con la que Fermat había utilizado esas técnicas.

Al cabo de pocas semanas del anuncio del premio de Wolfskehl cayó una avalancha de participantes sobre la Universidad de Gotinga. No es raro que todas las demostraciones fueran falaces. Aunque cada concursante estaba convencido de haber resuelto este problema centenario, todos ellos habían cometido sutiles errores, y a veces no tan sutiles, en la lógica que siguieron. El arte de la teoría de números es tan abstracto que resulta en extremo sencillo salirse del camino de la lógica e ignorar por completo que se vaga en el absurdo. El apéndice 7 muestra la suerte de error clásico que se le puede colar con facilidad a un aficionado entusiasta.

Con independencia de quien la hubiera enviado, cada una de las demostraciones tenía que comprobarse hasta el más mínimo detalle, por si se daba el caso de que un aficionado desconocido hubiera tropezado con la prueba más codiciada de las matemáticas. El encargado del departamento de matemáticas de Gotinga desde 1909 hasta 1934 fue el catedrático Edmund Landau, y a él correspondía la responsabilidad de examinar las candidaturas al Premio Wolfskehl. Landau veía su investigación interrumpida a cada momento por las docenas de confusas demostraciones que llegaban cada mes a su escritorio. Para afrontar la situación ideó un método elegante que lo descargara de trabajo. El catedrático imprimió cientos de tarjetas que decían:

Entonces, Landau puso cada nuevo envío acompañado de una de las tarjetas en manos de sus alumnos y les pidió que rellenaran los espacios en blanco.

El volumen de participación continuó sin menguar durante años, incluso tras la estrepitosa devaluación que sufrió el Premio Wolfskehl como resultado de la hiperinflación que siguió a la primera guerra mundial. Hay rumores que afirman que quienquiera que ganara hoy en día la competición a duras penas alcanzaría a pagarse una taza de café con la cuantía del premio, pero esas manifestaciones son un tanto exageradas. En una carta que escribió el señor F. Schlichting, el responsable de las participaciones durante los años setenta, se expone que el premio consistía entonces en más de diez mil marcos. Dicha carta, que fue dirigida a Paulo Ribenboim y publicada en su libro 13 Lectures on Fermat’s Last Theorem («Trece conferencias acerca del último teorema de Fermat»), da una visión única de la tarea del comité el Premio Wolfskehl:

Según los comentarios de Schlichting, los participantes no se limitaban a enviar «soluciones» a la Academia. Cada departamento de matemáticas del mundo tiene con toda probabilidad un armario dedicado a presuntas demostraciones de aficionados. Mientras la mayoría de las instituciones las ignoran, otros receptores les han dado un trato más imaginativo. El divulgador matemático Martin Gardner recuerda a un amigo que envió al remitente una nota explicando que él no estaba capacitado para examinar la prueba, en vista de lo cual le proporcionaría el nombre y la dirección de un experto en la materia que sí podría ayudarlo. Así que le mandó las señas del aficionado que le había precedido en el envío de una demostración. Otro de sus amigos escribió: «Dispongo de una refutación en verdad maravillosa para su intento de demostración, pero por desgracia este folio le viene demasiado estrecho».

Si bien los matemáticos aficionados de todo el mundo han pasado todo este siglo intentando y errando la demostración del último teorema de Fermat y la adquisición del Premio Wolfskehl, los profesionales han seguido ignorándolo por mucho tiempo. En lugar de edificar sobre la obra de Kummer y de otros teóricos de números del siglo XIX, los matemáticos empezaron indagando en los fundamentos de su materia con el objeto de estudiar algunas de las cuestiones más básicas sobre los números. Algunas de las grandes figuras del siglo XX, entre ellas Bertrand Russell, David Hilbert y Kurt Gödel, intentaron comprender las propiedades más profundas de los números a fin de alcanzar su verdadero significado y de discernir qué interrogantes de la teoría de números tienen respuesta y, lo que es más importante, cuáles no la tienen. Su labor iba a sacudir los fundamentos de las matemáticas y con el tiempo tendría repercusiones en el último teorema de Fermat.

Las bases del conocimiento

Durante cientos de años, los matemáticos se habían ocupado en utilizar demostraciones lógicas para construir desde lo conocido hacia lo desconocido. El progreso había sido prodigioso, con cada nueva generación de matemáticos edificando sobre la magnífica estructura y creando nuevos conceptos de números y de geometría. Sin embargo hacia el final del siglo XIX, en lugar de mirar hacia delante, los lógicos matemáticos comenzaron a volverse hacia los cimientos de las matemáticas sobre los que se había construido todo lo demás. Querían verificar las bases de las matemáticas, así que lo reconstruyeron todo desde los primeros principios con un absoluto rigor a fin de reasegurarse de que aquellos principios originarios eran sólidos.

Los matemáticos destacan por ser rigurosísimos cuando se trata de llegar a una demostración absoluta antes de aceptar cualquier afirmación. Este rigor queda muy bien expresado en una historia que narra Ian Stewart en Concepts of Modern Mathematics («Conceptos de matemáticas modernas»):

Un astrónomo, un físico y un matemático (según cuentan) estaban de vacaciones en Escocia. Mirando por la ventana del tren distinguieron una oveja negra en medio de un prado. «¡Qué interesante —observó el astrónomo—, en Escocia las ovejas son negras!». A lo que respondió el físico: «¡No, no! ¡Algunas ovejas escocesas son negras!». El matemático miró suplicante al cielo y entonces articuló: «En Escocia existe al menos un campo que tiene al menos una oveja con al menos uno de sus costados de color negro».

Aún más riguroso que el matemático ordinario es aquel que está especializado en el estudio de la lógica matemática. Los lógicos matemáticos comienzan cuestionando ideas que otros matemáticos han dado por sentadas durante siglos. Así, la ley de la tricotomía establece que todo número es o bien negativo o bien positivo o bien igual a cero. Esto parece obvio y los matemáticos lo habían asumido como cierto de forma tácita, pero nadie se había tomado la molestia de demostrar que de verdad era ése el caso. Los lógicos notaron que, hasta que la ley de la tricotomía no se probara como cierta, podría ser falsa, y si ocurriera esto último, la totalidad de un edificio del conocimiento, todo lo basado en dicha ley, se colapsaría. Por suerte para los matemáticos, al final del siglo pasado la ley de la tricotomía se demostró como cierta.

Desde los antiguos griegos, las matemáticas habían existido por la acumulación de más y más teoremas y verdades, y aunque la mayoría se había demostrado con todo rigor, atañía a los matemáticos que algunos de ellos, como la ley de la tricotomía, se hubieran deslizado sin ser examinados como debieran. Algunas ideas habían llegado a formar parte de la sabiduría popular y nadie estaba seguro de cómo se habían demostrado en un principio, si es que en verdad se demostraron alguna vez; de modo que los lógicos decidieron probar cada teorema desde los principios más remotos. Sin embargo, cada verdad debía deducirse de otras verdades. Estas verdades, a su vez, tendrían que demostrarse antes a partir de otras verdades aún más básicas, y así siempre. Al cabo de cierto tiempo, los lógicos se encontraron ocupándose de unas cuantas premisas fundamentales, tan esenciales que ya no pudieron ser demostradas. Estas presunciones constituyen los axiomas matemáticos.

Un ejemplo de axioma es la ley conmutativa de la adición, la cual establece que, para cualesquiera números m y n,

m + n = n + m

Se considera que éste y un puñado de otros axiomas son evidentes en sí mismos y pueden ponerse a prueba con facilidad si se los aplica a números concretos. Hasta ahora los axiomas han superado cada comprobación y se los ha aceptado como el fondo último de las matemáticas. El reto de los lógicos consistía en reconstruir todas las matemáticas a partir de esos axiomas. El apéndice 8 reúne la serie de axiomas aritméticos y da una idea del modo en que los lógicos iniciaron el edificio del resto de las matemáticas.

Todo un ejército de lógicos participó en el lento y penoso proceso de reelaborar la complejidad e inmensidad del conocimiento matemático sobre la base de un número mínimo de axiomas. La idea radicaba en consolidar lo que los matemáticos creían conocer ya empleando tan sólo los patrones más rigurosos de la lógica. El matemático alemán Hermann Weyl resume el espíritu de la época: «La lógica es la higiene que practican los matemáticos para mantener sus ideas sanas y robustas». Además de depurar lo que ya se conocía, confiaban en que este enfoque fundamentalista también arrojaría luz sobre problemas que hasta ahora no se habían resuelto, entre ellos el último teorema de Fermat.

El programa fue dirigido por la figura más eminente de la época, David Hilbert. Hilbert creía que en matemáticas todo podía y debía probarse a partir de los axiomas básicos. El resultado de ello sería demostrar de manera concluyente los dos elementos básicos del sistema matemático. En primer lugar, las matemáticas debían ser capaces, al menos en teoría, de responder a cualquier interrogante concreto. Se trata del mismo carácter de completitud que había requerido en el pasado la invención de números nuevos, como los negativos o los imaginarios. En segundo lugar, las matemáticas deberían estar libres de incongruencias, o lo que es lo mismo, una vez mostrada la veracidad de una premisa a través de un método no sería posible que mediante otro método se concluyera que esa misma premisa es falsa. Hilbert estaba convencido de que, asumiendo tan sólo unos pocos axiomas, sería posible responder a cualquier pregunta matemática concebible sin temor a una contradicción.

El 8 de agosto de 1900, Hilbert pronunció una conferencia histórica en el Congreso Internacional de Matemáticos de París. Hilbert planteó veintitrés problemas matemáticos sin resolver que él consideraba de una perentoria importancia. Algunos de los problemas versaban sobre áreas más generales de las matemáticas, pero la gran mayoría tenía que ver con los fundamentos lógicos de la disciplina. Estos problemas tenían la finalidad de centrar la atención del mundo matemático y de constituir un programa de investigación. Hilbert pretendía sacudir a la comunidad para que lo ayudara a realizar su sueño de crear un sistema matemático libre de toda duda e incoherencia. Una ambición que inscribió en su lápida:

Gottlob Frege fue una de las figuras más destacadas del llamado programa de Hilbert, si bien en ocasiones fue un amargo rival de éste. Frege se dedicó durante más de una década a deducir cientos de complicados teoremas a partir de los axiomas básicos, y sus éxitos lo llevaron a creer que estaba en el camino correcto para llegar a completar una parte considerable del sueño de Hilbert. Uno de los progresos clave de Frege fue elaborar la definición completa de número. Por ejemplo, ¿qué queremos decir en realidad con el número 3? Resulta que, para definir 3, Frege tuvo que definir primero la «triplicidad».

«Triplicidad» es la cualidad abstracta que poseen los grupos o series de objetos que contienen tres objetos. Así, la «triplicidad» puede utilizarse para describir el conjunto de los «tres pelos tiene mi barba» de la canción infantil, o la «triplicidad» es adecuada del mismo modo para describir la serie de lados que posee un triángulo. Frege notó que había numerosos grupos que manifestaban «triplicidad» y utilizó la idea de los conjuntos para definir el «3» en sí. Creó un conjunto nuevo, colocó en su interior todos los grupos que manifiestan «triplicidad» y denominó «3» a este nuevo conjunto de conjuntos. Por lo tanto, un conjunto contiene tres miembros si y sólo si se sitúa dentro del conjunto «3».

Ésta puede parecer una definición demasiado compleja para un concepto que usamos a diario, pero la descripción que Frege realiza del «3» es rigurosa e indiscutible, y además necesaria para el inflexible programa de Hilbert.

En 1902, el método de Frege pareció llegar a su fin cuando se dispuso a publicar Grundgesetze der Arithmetik («Fundamentos de la aritmética»), una obra gigantesca y prestigiosa que intentó establecer un nuevo patrón de certeza dentro de las matemáticas. Al mismo tiempo, el lógico inglés Bertrand Russell, que también estaba contribuyendo al gran proyecto de Hilbert, realizaba un descubrimiento devastador. A pesar de haber seguido el riguroso protocolo de Hilbert, había tropezado con una incoherencia. Russell evocó su propia reacción ante la temida posibilidad de que las matemáticas fueran intrínsecamente contradictorias:

Al principio supuse que sería capaz de superar la contradicción con toda facilidad y que lo más probable era que hubiera algún error trivial en el razonamiento. Poco a poco, sin embargo, se hizo patente que no era ése el caso… Durante la segunda mitad de 1901 estaba convencido de que la solución sería sencilla, pero, transcurrido ese tiempo, concluí que se trataba de una tarea de envergadura… Acostumbraba a pasear cada noche de once a una, tiempo en el que llegué a conocer los tres sonidos distintos que emiten los chotacabras. (La mayor parte de la gente sólo conoce uno de ellos). Estaba empecinado en resolver la contradicción. Cada mañana me sentaba ante una hoja blanca de papel. A lo largo del día, con una breve pausa para comer, miraba la hoja en blanco. A menudo, al caer la tarde seguía vacía.

No había escapatoria a la contradicción. El trabajo de Russell causó un perjuicio considerable al sueño de crear un sistema matemático libre de duda, incoherencia y paradoja. Escribió a Frege, cuyo manuscrito se encontraba ya en la imprenta. La carta de Russell tornó inútil la obra de Frege, el trabajo de toda su vida, pero a pesar del golpe mortal publicó su opus magnum pesara a quien pesara, y añadió tan sólo una adenda al segundo volumen: «Un científico puede encontrarse difícilmente con algo más indeseable que ver ceder los cimientos justo cuando la obra está concluida. Una carta del señor Russell me puso en tal situación cuando la obra estaba casi en prensa».

Fue irónico que la contradicción de Russell surgiera de las series o grupos más queridos por Frege. Muchos años después recordó en su libro My Philosophical Development («La evolución de mi pensamiento filosófico») el razonamiento que provocó su cuestionamiento de la obra de Frege: «Me pareció que una clase es algunas veces, y otras no, un miembro de sí misma. La clase de las cucharillas, por ejemplo, no es otra cucharilla, pero la clase de cosas que no son cucharillas es una de las cosas que no son cucharillas». Fue esta observación, curiosa e inocente en apariencia, la que llevó a la catastrófica paradoja.

La paradoja de Russell se explica a menudo con el cuento del bibliotecario minucioso. Un día, deambulando entre las estanterías, el bibliotecario descubre una colección de catálogos. Hay diferentes catálogos para novelas, obras de consulta, poesía, y demás. Se da cuenta de que algunos de los catálogos se incluyen a sí mismos y otros, en cambio, no.

Con el objeto de simplificar el sistema, el bibliotecario elabora dos catálogos más; en uno de ellos hace constar todos los catálogos que se incluyen a sí mismos y en el otro, más interesante aún, todos aquellos que no se catalogan a sí mismos. Al terminar la tarea se encuentra con un problema: el catálogo que recoge la lista de todos los que no se incluyen a sí mismos ¿debe catalogarse a sí mismo? Si se incluye, por definición no debería estar incluido; en cambio, si no se incluye, debería incluirse por definición. El bibliotecario se encuentra en una situación imposible.

Los catálogos se parecen mucho a los grupos o clases que Frege había utilizado para la definición fundamental de los números. Por lo tanto, la incongruencia que atormenta al bibliotecario causará también problemas en la estructura supuestamente lógica de las matemáticas. Las matemáticas no pueden tolerar inconsistencias, paradojas o contradicciones. El poderoso instrumento de la prueba por contradicción, por ejemplo, se fundamenta en unas matemáticas libres de paradojas. La prueba por contradicción establece que si una afirmación conduce al absurdo, entonces tiene que ser falsa; sin embargo, según Russell, incluso los axiomas pueden llevar al absurdo. Así que la prueba por contradicción podría evidenciar que un axioma es falso y no obstante los axiomas son el fundamento de las matemáticas y se los reconoce como ciertos.

Hubo muchos intelectuales que cuestionaron el trabajo de Russell afirmando que las matemáticas eran obviamente una actividad exitosa y perfecta. Russell les respondió explicando el significado de su trabajo del modo que sigue:

«Pero —dirán ustedes— nada de esto hace tambalear mi creencia de que dos y dos son cuatro». Están del todo en lo cierto, excepto en casos extremos. Y es sólo en los casos extremos cuando ustedes dudan si cierto animal es un perro o si cierta longitud es menor que un metro. El dos tiene que ser dos de algo, y el enunciado «dos y dos son cuatro» resulta inservible a menos que pueda ser aplicado. Dos perros más dos perros son, en efecto, cuatro perros, pero surgen casos en que ustedes dudan si dos de ellos son o no perros. «Bien, en cualquier caso hay cuatro animales», dirán ustedes. Pero existen microorganismos que cabe dudar si son animales o plantas. «Bien, son organismos vivos», afirman. Pero hay cosas que no sabemos si viven o no. Ustedes estarán abocados a decir: «Dos entidades más dos entidades son cuatro entidades». Cuando me hayan explicado qué es lo que entienden por «entidad» reanudaremos la discusión.

El trabajo de Russell sacudió los cimientos de las matemáticas y arrastró el estudio de la lógica matemática a una situación de caos. Los lógicos eran conscientes de que una paradoja que acechara las bases de las matemáticas podría alzar tarde o temprano su ilógica cabeza y causar enormes problemas. Junto a Hilbert y los otros lógicos, Russell emprendió la tarea de intentar remediar la situación y restaurar la salud de las matemáticas.

La incongruencia aparecida era una consecuencia directa de trabajar con los axiomas matemáticos, que hasta aquel momento se habían asumido como evidentes por sí mismos y suficientes para definir el resto de las matemáticas. Una manera de abordar el problema era crear un axioma adicional que prohibiera a cualquier grupo ser miembro de sí mismo. Eso reduciría la paradoja de Russell y convertiría en superflua la cuestión de si hay que introducir en el catálogo aquellos otros que no se incluyen a sí mismos.

Russell paso la década siguiente examinando los axiomas matemáticos, la esencia última de esta materia. Entonces en 1910, en colaboración con Alfred North Whitehead, publicó el primero de los tres volúmenes de la obra Principia Mathematica, un intento, en apariencia afortunado, de tratar de alguna manera el problema surgido de su propia paradoja. Durante las dos décadas siguientes, otros utilizaron Principia Mathematica como guía para erigir un edificio matemático impecable y, cuando Hilbert se retiró en 1930, estaba bastante seguro de que las matemáticas estaban bien encaminadas hacia su recuperación. Al parecer, su sueño de una lógica coherente lo bastante sólida como para responder a cualquier pregunta se hallaba en vías de tornarse en realidad.

Pero ocurrió que en 1931 un matemático desconocido de veinticinco años de edad hizo público un artículo que destruiría para siempre las esperanzas de Hilbert. Kurt Gödel iba a forzar a los matemáticos a aceptar que las matemáticas nunca llegarían a alcanzar una lógica perfecta y sus trabajos llevaban implícita la idea de que problemas como el del último teorema de Fermat pudieran ser imposibles de resolver.

Kurt Gödel nació el 28 de abril de 1906 en Moravía, entonces parte del Imperio austro-húngaro y hoy dentro de la República Checa. Desde muy pequeño padeció graves enfermedades; la más seria fue un ataque de fiebre reumática a la edad de seis años. Este temprano roce con la muerte provocó en Gödel una hipocondría obsesiva que perduró durante toda su vida. Tras leer un libro de medicina a la edad de ocho años, quedó convencido de que tenía un corazón débil, si bien los médicos que lo atendieron no encontraron ninguna evidencia de ello. Más tarde, hacia el final de su vida, pensó equivocadamente que estaba siendo envenenado, por lo que renunció a comer y casi murió de inanición.

Cuando era niño, Gödel mostró talento para la ciencia y las matemáticas, y su naturaleza inquisitiva hizo que su familia le pusiera el apodo de der Herr Warum (el Señor Porqué). Acudió a la Universidad de Viena sin saber si especializarse en matemáticas o en física, pero una serie de conferencias, inspiradoras y apasionadas, del catedrático P. Furtwängler sobre la teoría de números convenció a Gödel para dedicar su vida a las matemáticas. Las conferencias eran aún más increíbles si cabe porque Furtwängler padecía tetraplejía y hablaba desde una silla de ruedas, sin anotaciones, mientras su asistente apuntaba en la pizarra.

Gödel se había establecido en el departamento de matemáticas a sus tempranos veintitantos, pero a veces enfilaba junto a sus colegas el pasillo para asistir a encuentros del Wiener Kreis (Círculo de Viena), un grupo de filósofos que se reunía para discutir las grandes cuestiones de lógica del momento. Fue durante este periodo cuando Gödel desarrolló las ideas que arrasarían los cimientos de las matemáticas.

En 1931, Gödel publicó su libro Über formal unentscheidbare Sätze der «Principia Mathematica» und verwandter Systeme («Sobre proposiciones formalmente indecidibles de los “Principia Mathematica” y sistemas afines»), que contenía sus así llamados teoremas de indecidibilidad. Cuando las noticias de los teoremas llegaron a América, el gran matemático John von Neumann canceló de inmediato una serie de conferencias que estaba celebrando en aquel momento y reemplazó lo que quedaba de ciclo por un debate sobre la revolucionaria obra de Gödel.

Gödel había demostrado que el intento de crear un sistema matemático completo y coherente era un imposible. Sus ideas se pueden recoger en dos proposiciones.

El primer enunciado de Gödel dice básicamente que, con independencia de la serie de axiomas que se vaya a utilizar, habrá cuestiones que las matemáticas no puedan resolver; la completitud no podrá alcanzarse jamás. Peor aún, el segundo enunciado dice que los matemáticos jamás podían estar seguros de que los axiomas elegidos no los conducirán a ninguna contradicción; la coherencia no podrá demostrarse jamás. Gödel había probado que el programa de Hilbert era una tarea imposible.

Décadas más tarde, Bertrand Russell meditó en Portraits from Memory («Retratos de memoria») sobre su reacción ante el descubrimiento de Gödel:

Yo ansiaba la certidumbre del mismo modo que la gente ansia la fe religiosa. Pensé que la certeza era más fácil de encontrar en matemáticas que en cualquier otra parte. Pero descubrí que muchas demostraciones matemáticas que mis profesores esperaban que yo aceptara estaban llenas de falacias y que, si la certidumbre se podía encontrar de verdad en las matemáticas, tendría que ser en un nuevo campo de las mismas con bases más sólidas que las que se habían considerado seguras hasta entonces. Pero según avanzaba el trabajo recordaba sin cesar la fábula del elefante y la tortuga. Una vez construido un elefante sobre el que pudiera descansar el universo matemático, el animal me pareció inseguro, así que procedí a crear una tortuga para evitar que el elefante cayera. Pero la tortuga no era más segura que el elefante, y tras unos veinte años de arduo esfuerzo llegué a la conclusión de que no había nada más que yo pudiera hacer para crear un conocimiento matemático indubitable.

A pesar de que el segundo enunciado de Gödel decía que era imposible demostrar que los axiomas fueran coherentes, eso no implicaba que fueran incoherentes. Muchos matemáticos seguían creyendo de corazón que las matemáticas permanecerían siendo coherentes, pero no podían demostrarlo con la cabeza. Muchos años después, el gran teórico de números André Weil dijo: «Dios existe porque las matemáticas son coherentes y el diablo existe porque no podemos demostrarlo».

La demostración de los teoremas de indecidibilidad de Gödel es tremendamente complicada, y de hecho un enunciado más riguroso del primer teorema sería:

Para toda clase de fórmulas k recursivamente ω-consistentes, existe una clase correspondiente de signos r, tal que ni v Gen r ni Neg (v Gen r) pertenecen a Flg(k) (donde v es la variable libre de r).

Por suerte, igual que con la paradoja de Russell y el caso del bibliotecario, el primer teorema de Gödel se puede ilustrar con otra analogía lógica que debemos a Epiménides y que se conoce como la paradoja cretense, o la paradoja del mentiroso. Epiménides fue un cretense que afirmó:

Soy un mentiroso.

La paradoja surge cuando intentamos determinar si esta proposición es verdadera o falsa. Primero veamos qué ocurre si asumimos que la afirmación es verdadera. Si es una proposición cierta, implica que Epiménides es un mentiroso, pero en principio aceptamos que hizo una afirmación cierta y por tanto no puede ser un mentiroso. Estamos ante una incongruencia. Por otra parte, veamos qué ocurre si asumimos que el enunciado es falso. Si la proposición es falsa, entonces Epiménides no es un mentiroso, pero hemos aceptado que emitió un enunciado falso y por tanto sí que es un mentiroso. Encontramos otra incoherencia. En ambos casos, lo tomemos por falso o por cierto, terminamos dando con una incoherencia, y por tanto el enunciado no es ni verdadero ni falso.

Gödel dio una reinterpretación a la paradoja del mentiroso y le incorporó el concepto de demostración. El resultado fue un enunciado como el que sigue:

Este enunciado no tiene demostración.

Si la proposición fuera falsa, entonces este enunciado se podría demostrar, pero eso sería contrario al enunciado. Así que la proposición debe ser cierta para eludir la contradicción. Sin embargo, aunque la proposición sea cierta no se puede demostrar porque este enunciado (que hemos considerado cierto) así lo dice.

Puesto que Gödel consiguió traducir la proposición de más arriba a una notación matemática, fue capaz de demostrar que hay enunciados matemáticos ciertos que jamás podrán probarse como tales; son los denominados enunciados indecidibles. Este fue el golpe mortal para el programa de Hilbert.

En muchos sentidos, el trabajo de Gödel fue paralelo a descubrimientos similares que se estaban produciendo en la física cuántica. Justo cuatro años antes de que Gödel publicara su obra acerca de la indecidibilidad, el físico alemán Werner Heisenberg dejó al descubierto el principio de incertidumbre. Así como había un límite básico para los teoremas que los matemáticos podrían probar, Heisenberg mostró que había un límite fundamental para las propiedades que los físicos podrían medir. Si, por ejemplo, querían determinar la posición exacta de un objeto, podían hallar la velocidad de ese objeto con una precisión relativamente pobre. Esto se debe a que para establecer la posición de un objeto habría que iluminarlo con fotones de luz pero, para poder precisar con toda exactitud su localización, los fotones de luz tendrían que contar con una energía enorme. Y, a la vez, si se bombardeara el objeto con fotones de alta energía, su velocidad se vería afectada y se tornaría intrínsecamente incierta. De ahí que, en el intento de determinar la posición de un objeto, los físicos tengan que renunciar a cierta cantidad de información sobre la velocidad.

El principio de incertidumbre de Heisenberg sólo se percibe a escala atómica, cuando las medidas de alta precisión se vuelven cruciales. De modo que gran parte de la física pudo proseguir impertérrita aunque los físicos cuánticos se ocuparan de cuestiones profundas acerca de los límites del conocimiento. Lo mismo ocurrió en el mundo de las matemáticas. Mientras los lógicos se hundieron en un debate altamente esotérico sobre la indecidibilidad, el resto de la comunidad matemática continuó impasible. Aunque Gödel había probado que algunos enunciados no se podían demostrar, existían otros muchos que sí podrían probarse, y el descubrimiento del matemático no invalidó nada de lo que se había demostrado en el pasado. Además, muchos matemáticos creían que las proposiciones indecidibles de Gödel sólo se encontrarían en las regiones más oscuras y recónditas de las matemáticas y por tanto nunca tropezarían con ellas. Después de todo, Gödel solo había afirmado que esos enunciados existían, pero en realidad nunca señaló ninguno.

Paul Cohen, un matemático de veintinueve años de la Universidad de Stanford, desarrolló un método para determinar qué problema concreto es indecidible y cuál no lo es. El método sólo funciona en unos cuantos casos especiales. Sin embargo no fue él la primera persona en descubrir cuestiones específicas que fueran de verdad indecidibles. Una vez realizado el descubrimiento, tomó un avión hacia Princeton, demostración en mano, para verificarla con el propio Gödel. Gödel, que en aquel momento estaba entrando en una fase paranoica de su vida, entreabrió la puerta, agarró los papeles y la cerró de golpe con un portazo. Dos días después, Cohen recibió una invitación para ir a tomar el té a casa de Gödel, un signo de que el maestro había concedido a la prueba el sello de su autoridad. Lo más sensacional de todo era que algunos de aquellos problemas indecidibles eran de importancia capital para las matemáticas. Resultó irónico que Cohen demostrara la indecidibilidad de una de las cuestiones que David Hilbert había incluido entre los veintitrés problemas más importantes de las matemáticas, la hipótesis del continuo.

La obra de Gödel, reforzada por los enunciados indecidibles de Cohen, lanzó un mensaje inquietante a todos aquellos matemáticos, profesionales y aficionados, que aún persistían en el intento de demostrar el último teorema de Fermat: ¡quizá el último teorema de Fermat era indecidible! ¿Y si Pierre de Fermat hubiera cometido un error al afirmar que había encontrado una demostración? En tal caso cabría la posibilidad de que el teorema fuera indecidible. Demostrar el último teorema de Fermat podría ser algo más que difícil, podría ser imposible. Si fuera indecidible, los matemáticos habrían pasado siglos buscando una prueba que no existe.

Curiosamente, si el último teorema de Fermat resultara ser indecidible, eso implicaría que tendría que ser cierto. La razón es la siguiente. El teorema dice que no existen soluciones con números enteros para la ecuación

xⁿ + yⁿ = zⁿ   si n es mayor que 2.

Si el ultimo teorema fuera en verdad falso, seria posible demostrarlo localizando una solución (un contraejemplo). Y en tal caso el último teorema sería decidible. Ser falso resultaría incoherente con ser indecidible. En cambio, si el último teorema fuera cierto, no tendría por qué existir un camino tan inequívoco para demostrarlo o, lo que es lo mismo, podría ser indecidible. En conclusión, tal vez el último teorema de Fermat fuera cierto pero quizá no hubiera ningún modo de demostrarlo.

La curiosidad compulsiva

El despreocupado apunte de Pierre de Fermat al margen de la Aritmética de Diofante había conducido al enigma más enloquecedor de la historia. A pesar de tres centurias de sonados fracasos y a pesar de la insinuación de Gödel de que quizá perseguían una demostración inexistente, algunos matemáticos continuaban atraídos por el problema. El último teorema era una sirena matemática que seducía a los genios con el único propósito de defraudarlos. Los matemáticos que se aventuraron con el último teorema de Fermat corrieron el riesgo de malgastar su carrera, pero quienquiera que lograra el triunfo pasaría a la historia como la persona que resolvió el problema más difícil del mundo.

Generaciones de matemáticos vivieron obsesionados con el último teorema de Fermat por dos motivos. En primer lugar estaba la perversa idea de quedar por encima de los demás. El último teorema era el reto definitivo y quien consiguiera demostrarlo triunfaría allí donde Cauchy, Euler, Kummer y otros muchos habían fracasado. Así como el propio Fermat encontró gran placer en resolver problemas que desconcertaran a sus contemporáneos, quien lograra demostrar el último teorema gozaría del hecho de haber resuelto un problema que ha confundido a toda la comunidad de matemáticos durante cientos de años. En segundo lugar, quien respondiera al desafío de Fermat disfrutaría de la inocente satisfacción de aclarar un enigma. El deleite que produce la resolución de cuestiones esotéricas de la teoría de números no se diferencia tanto del simple gusto de abordar los acertijos triviales de Sam Loyd. Un matemático me dijo en cierta ocasión que el placer que sentía al dar solución a los problemas matemáticos se parece al que experimentan los incondicionales de los crucigramas. Rellenar la última casilla de un crucigrama difícil es siempre una experiencia satisfactoria. Podemos imaginar la sensación de éxito después de haber dedicado años a un rompecabezas que nadie más en todo el mundo ha sido capaz de resolver y dar al fin con la solución.

Éstas son las mismas razones por las que Andrew Wiles quedó fascinado con Fermat: «Si hay algo que adoran los matemáticos puros son los desafíos. Aman los problemas sin resolver. Cuando nos ponemos a hacer matemáticas aparece este noble sentimiento. Empiezas con un problema que te desconcierta. No lo entiendes, es muy complicado, no tiene ni pies ni cabeza. Pero cuando al fin lo resuelves sientes su increíble belleza, la elegancia con que todo encaja. Los más engañosos son aquellos problemas que parecen sencillos y en cambio se vuelven intrincados en extremo. Fermat es el ejemplo más bello de este tipo de problemas. A primera vista parecía que debía de tener solución y, por supuesto, lo hacía muy especial que Fermat afirmara disponer de una».

Las matemáticas se aplican a las ciencias y a la tecnología, pero no es eso lo que mueve a los matemáticos. Los inspira el placer del hallazgo. G. H. Hardy intentó explicar y justificar su propia dedicación en un libro titulado Autojustificación de un matemático:

Sólo quiero decir que si un problema de ajedrez es, en el sentido más crudo, «inútil», la misma verdad sirve para la mayoría de las mejores matemáticas… Jamás he hecho algo «útil». Ninguno de mis descubrimientos ha contribuido o tiene posibilidades de ayudar en lo más mínimo, directa o indirectamente, en beneficio de sanos o enfermos, a amenizar el mundo. Considerado desde cualquier punto de vista práctico, el valor de mi vida matemática es nulo. Y fuera de las matemáticas es trivial de todos modos. Sólo tengo una oportunidad para escapar del veredicto de la trivialidad más absoluta, que se juzgue que he creado algo digno de ser creado. Y el hecho de que he creado algo es innegable: la cuestión radica en su valor.

El anhelo por una solución para cualquier problema matemático viene provocado en gran medida por la curiosidad, y el premio consiste en la satisfacción simple pero enorme que se deriva de resolver un enigma. El matemático E. C. Titchmarsch dijo una vez «Puede que no tenga ninguna utilidad práctica saber que π es un número irracional, pero si tenemos capacidad para saberlo sin duda sería intolerable que no lo supiéramos».

En el caso del último teorema de Fermat no había falta de curiosidad. La obra de Gödel sobre la indecidibilidad había introducido un elemento de duda en cuanto a si el problema tenía o no solución, pero eso no era suficiente para desanimar a los verdaderos seguidores de Fermat. Más desesperante aún fue el hecho de que, hacia los años treinta, los matemáticos hubieran agotado todas las técnicas y tuvieran poco más a su disposición. Lo que necesitaban era una herramienta nueva, algo que levantara la moral matemática. La segunda guerra mundial iba a proporcionar justo lo que se requería: el mayor salto en potencia de cómputo desde la invención de la regla de cálculo.

El recurso a la fuerza bruta

Cuando G. H. Hardy declaró en 1940 que las mejores matemáticas son en buena medida inútiles, se apresuró a añadir que eso no tenía por qué ser negativo: «Las verdaderas matemáticas no repercuten en la guerra. Nadie ha descubierto aún ninguna aplicación bélica de la teoría de números». Pronto se demostraría que Hardy estaba equivocado.

En 1944, John von Neumann participó en la redacción del libro The Theory of Games and Economic Behavior («Teoría de juegos y comportamiento económico»), en el que acuñó el término de teoría de juegos. La teoría de juegos era un intento de Von Neumann de utilizar las matemáticas para describir la estructura de los juegos y el modo en que los lleva a cabo el ser humano. Empezó estudiando el ajedrez y el póquer, y luego continuó intentando crear modelos de juegos más sofisticados, como la economía. Tras la segunda guerra mundial, la RAND Corporation se dio cuenta del potencial de las ideas de Von Neumann y lo contrató para trabajar en el desarrollo de estrategias durante la guerra fría. Desde entonces, la teoría matemática de juegos se convirtió en un útil esencial para que los generales pusieran a prueba las estrategias militares tratando las batallas como si fueran complejas jugadas de ajedrez. La historia del trielo ilustra con sencillez la aplicación de la teoría de juegos a las batallas.

Un «trielo» es similar a un duelo, con la diferencia de que hay tres participantes en lugar de dos. Una mañana, el señor Negro, el señor Gris y el señor Blanco deciden acabar con un conflicto participando en un «trielo» con pistolas hasta que sólo quede uno de ellos. El señor Negro es el peor tirador porque su promedio de acierto es de uno de cada tres disparos. El señor Gris es algo más certero porque su media está en dos aciertos de cada tres intentos. El señor Blanco es el mejor, siempre hace diana. Para hacer el «trielo» más justo conceden al señor Negro que dispare el primero, luego podrá tirar el señor Gris (si es que aún está vivo) y detrás de él el señor Blanco (en caso de seguir con vida), y vuelta a empezar hasta que sólo quede uno de ellos. La duda es: ¿hacia dónde debería dirigir el señor Negro su primer tiro? Quizá quiera usted hacer alguna conjetura en base a su intuición o, mejor aún, basándose en la teoría de juegos. La respuesta se comenta en el apéndice 9.

Las matemáticas de descifrado de códigos son aún más influyentes que la teoría de juegos en tiempos de guerra. Durante la segunda guerra mundial, los aliados se dieron cuenta de que la lógica matemática podía utilizarse para descifrar mensajes alemanes tan sólo con realizar los cálculos con la rapidez suficiente. El reto consistía en encontrar un modo de automatizar las matemáticas de manera que una máquina pudiera realizar los cálculos. El inglés que más contribuyó a este esfuerzo de descifrar códigos fue Alan Turing.

Turing regresó a Cambridge en 1938, después de cumplir sus obligaciones en la Universidad de Princeton. Había sido testigo directo de la confusión causada por los teoremas de indecidibilidad de Gödel y se había visto envuelto en el intento de levantar las piezas que quedaban del sueño de Hilbert. En particular quería saber si existía un camino para determinar qué problemas eran o no indecidibles, e intentó desarrollar un sistema metódico para responder a esta cuestión. En aquel momento, las máquinas calculadoras eran primitivas y en realidad inútiles si había que enfrentarse a matemáticas serias. Así que Turing basó sus ideas en el concepto de una máquina imaginaria capaz de ejecutar infinidad de cálculos. Aquella hipotética máquina, que consumía cantidades infinitas de rollos de papel y que podría computar por toda la eternidad, era todo lo que necesitaba para indagar en las cuestiones abstractas de la lógica. Lo que Turing ignoraba era que su imaginada mecanización de hipotéticos problemas llevaría con el tiempo a un invento decisivo para realizar cálculos reales con máquinas reales.

A pesar del estallido de la guerra, Turing continuó con su investigación como miembro del King’s College, hasta que en 1940 su vida placentera como profesor de Cambridge acabó de pronto. Fue reclutado por la Escuela Gubernamental de Código y Cifrado, cuya labor consistía en decodificar los mensajes codificados por el enemigo. Antes de la guerra, los alemanes habían dedicado muchos esfuerzos a desarrollar un sistema de cifrado avanzado y ése era un asunto muy preocupante para la inteligencia británica, la cual, en el pasado, había sido capaz de descifrar las comunicaciones de sus enemigos con relativa facilidad. La historia de guerra oficial Inteligencia británica durante la segunda guerra mundial que editó la HMSO^[2] describe la situación en los años treinta:

Hacia 1937 era bien sabido que, a diferencia de sus homólogos japoneses e italianos, el ejército alemán, la marina alemana y probablemente también la fuerza aérea, así como otras organizaciones del Estado como los ferrocarriles o las SS, utilizaban diferentes versiones de un mismo sistema de cifrado para todas las comunicaciones, salvo para las tácticas: la máquina Enigma, que había salido al mercado en los años veinte pero que los alemanes habían hecho más segura mediante sucesivas modificaciones. En 1937, la Escuela Gubernamental de Código y Cifrado logró descifrar, de esta máquina, la versión menos modificada y segura que estaban usando las fuerzas alemanas e italianas y el bando nacionalista español. Pero, aparte de esto, la Enigma resistía el ataque y parecía probable que continuara haciéndolo.

La máquina Enigma consistía en un teclado conectado a una unidad codificadora. La unidad codificadora contenía tres ruedas giratorias independientes, y la posición de las ruedas determinaba el cifrado de cada letra del teclado. Lo que hacía el código Enigma tan difícil de descifrar era la inmensa cantidad de maneras en que era posible inicializar el dispositivo. En primer lugar, las tres ruedas giratorias de la máquina eran elegidas de entre un conjunto de cinco, y podían sustituirse e intercambiarse para confundir a los interceptores de códigos. En segundo lugar, cada rueda disponía de veintiséis posiciones distintas. Esto quiere decir que los modos de inicialización de la máquina eran más de un millón. Además de las permutaciones proporcionadas por las ruedas, las conexiones de un panel de clavijas en la parte posterior de la máquina podían alterarse a mano con el resultado final de más de ciento cincuenta millones de millones de millones de inicializaciones diferentes. Para incrementar aún más la seguridad, las ruedas cambiaban continuamente de posición durante la codificación del mensaje, de manera que cada vez que se transmitía una letra se hacía con una inicialización distinta de la máquina y, por tanto, con un cifrado diferente. Así, la palabra original «DODO» podía generar el mensaje «FTGB», en el que las letras «D» y «O» se han enviado dos veces, pero en cada ocasión se han codificado de modos distintos.

Las máquinas Enigma se incorporaron al ejército alemán, a la marina y a las fuerzas aéreas y se utilizaron incluso en el sistema ferroviario y en otros departamentos gubernamentales. Igual que ocurría con todos los sistemas de cifrado que hubo en este periodo, una debilidad de la Enigma era que el receptor necesitaba conocer el ajuste del emisor. Para mantener la seguridad había que modificar esa inicialización de la Enigma a diario. Una de las maneras en que los emisores cambiaban con regularidad las posiciones y mantenían informados a los destinatarios consistía en publicar los cambios diarios en un libro secreto de códigos. El riesgo de este sistema radicaba en que los británicos podían capturar un submarino alemán y obtener el libro de códigos con los ajustes diarios de la Enigma para el mes siguiente. Un método alternativo, utilizado durante la mayor parte de la guerra, consistía en transmitir las posiciones diarias como preámbulo al mensaje real, codificadas según las posiciones del día anterior.

Cuando estalló la guerra, la Escuela Británica de Cifrado estaba dirigida por clasicistas y lingüistas. El Ministerio de Asuntos Exteriores cayó pronto en la cuenta de que los teóricos de números tenían mayores posibilidades de dar con la clave para interceptar los códigos alemanes y, para empezar, convocó a nueve de los teóricos de números británicos más brillantes en el nuevo domicilio de la Escuela de Cifrado en Bletchley Park, una mansión victoriana ubicada en Bletchley, en el condado de Buckingham. Turing se vio obligado a abandonar sus hipotéticas máquinas con cintas de papel infinitas y tiempo de procesado ilimitado y contentarse con un problema práctico de recursos finitos y un plazo de tiempo muy concreto.

La criptografía es una batalla intelectual entre quien elabora el código y quien lo intercepta. El desafío para el primero consiste en mezclar y cifrar un mensaje hasta el punto en que sea indescifrable si lo intercepta el enemigo. Sin embargo, la cantidad de manipulaciones matemáticas posibles está limitada por la necesidad de emitir mensajes eficaces en poco tiempo. La fuerza de los códigos Enigma alemanes radicaba en que los mensajes cifrados se sometían a varios niveles de criptografía a gran velocidad. El reto para quien interceptaba el mensaje consistía en descifrar el código a partir de un mensaje capturado antes de que su contenido dejara de ser relevante. Un mensaje alemán que ordenara destruir un buque británico debía ser decodificado antes de que el barco estuviera hundido.

Turing dirigió un equipo de matemáticos dedicado a construir una reproducción exacta de la máquina Enigma. Turing incorporó sus ideas abstractas de antes de la guerra a estos mecanismos, que en teoría podrían revisar de forma sistemática todas las inicializaciones posibles de las máquinas Enigma hasta dar con el código. Las máquinas británicas, de más de dos metros de alto y tanto de ancho, empleaban relés electromecánicos para revisar todas las inicializaciones potenciales de la Enigma. Los tics constantes de los relés hicieron que se apodara a estas máquinas como bombas. A pesar de su velocidad era imposible que las «bombas» revisaran los ciento cincuenta millones de millones de millones de inicializaciones posibles de la Enigma en un tiempo razonable, así que el equipo de Turing tenía que encontrar el camino para reducir de modo significativo el número de permutaciones a base de rebuscar cualquier información en los mensajes enviados.

Uno de los grandes descubrimientos que hicieron los británicos fue que la máquina Enigma no podía cifrar una letra como ella misma, o sea, si el emisor tecleaba «R» la máquina tenía capacidad para enviar cualquier letra, según los ajustes de la máquina, excepto la letra «R». Este hecho en apariencia intrascendente era todo lo necesario para reducir de forma drástica el tiempo requerido para descifrar un mensaje. Los alemanes contraatacaron acotando la extensión de los mensajes que enviaban. Es inevitable que todo mensaje aporte pistas al bando que lo intercepta, y cuanto más largo es el envío más pistas contiene. Limitando todos los mensajes a un máximo de 250 letras, los alemanes esperaban contrarrestar la incapacidad de la máquina Enigma para codificar una letra concreta como ella misma.

Para descifrar los códigos, Turing utilizó a menudo la especulación sobre palabras clave dentro de los mensajes. Si acertaba, aceleraría muchísimo la decodificación del resto del envío. Si, por ejemplo, sospechaban que un mensaje contenía una previsión meteorológica, una información cifrada frecuente, entonces suponían que el mensaje contendría palabras como «niebla» o «velocidad del viento». Si estaban en lo cierto podían descifrar rápidamente ese mensaje y deducir a partir de él las posiciones de la Enigma para aquel día. Durante el resto de la jornada podían descifrarse otros mensajes, algunos de mayor trascendencia, con toda facilidad.

Cuando erraban en la estimación de palabras del campo semántico de la meteorología, los británicos intentaban ponerse en el lugar de los operarios alemanes de la Enigma para conjeturar otras palabras clave. Podía ocurrir que un operario poco sistemático se dirigiera al destinatario por su nombre de pila, o podía darse el caso de que revelara hábitos conocidos por quienes interceptaban el envío. Cuando todo eso fallaba y los mensajes alemanes circulaban a sus anchas sin el control de los británicos, se cuenta que la Escuela Británica de Cifrado recurría incluso a pedir a la RAF^[3] que minara un puerto alemán concreto. El capitán del puerto enviaría de inmediato un mensaje cifrado que sería interceptado por los británicos. Éstos podían estar seguros de que el mensaje contendría palabras como «mina», «esquivar» y «referencia en el mapa». Una vez descifrado el mensaje, Turing estaría en posesión del ajuste de la Enigma para aquel día y el resto del tráfico alemán sería vulnerable al descifrado inmediato.

El 1 de febrero de 1942, los alemanes añadieron una cuarta rueda a las máquinas Enigma para los envíos de una importancia particular. Se trataba del mayor grado de sofisticación en la criptografía durante la guerra, pero con el tiempo el equipo de Turing consiguió aumentar la eficacia de las «bombas». Gracias a la Escuela de Cifrado, los aliados supieron más acerca de sus enemigos de lo que los alemanes jamás pudieron imaginar. La repercusión de los submarinos alemanes en el Atlántico se redujo en gran medida y los británicos contribuyeron a prevenir ataques aéreos de la aviación alemana. Interceptaron y descifraron también la posición exacta de los buques alemanes de aprovisionamiento, con lo que favorecieron el envío de los destructores británicos para hundirlos.

Las fuerzas aliadas debían cuidarse en todo momento de que sus acciones evasivas y sus ataques por sorpresa delataran su habilidad para descifrar las comunicaciones alemanas. Si los alemanes sospechaban que la Enigma había sido burlada, aumentarían la dificultad de los criptogramas y podía ocurrir que los británicos tuvieran que empezar desde cero. De ahí que hubiera ocasiones en que la escuela de Cifrado informaba a los aliados de algún ataque inminente y que éstos decidieran no tomar medidas extremas. Hay incluso rumores de que Churchill sabía que Coventry iba a ser el objetivo de un bombardeo devastador y, a pesar de ello, prefirió no adoptar ninguna precaución especial para evitar que los alemanes abrigaran sospechas. Stuart Milner-Barry, que trabajó con Turing, desmiente el rumor y asegura que el trascendental mensaje concerniente a Coventry no pudo descifrarse hasta que ya fue demasiado tarde.

El uso restringido de la información decodificada funcionó a la perfección. Aun cuando los británicos utilizaron las comunicaciones interceptadas para causar pérdidas cuantiosas, los alemanes no sospecharon que el código de la Enigma había sido burlado. Creían que el nivel de su criptografía era tan elevado que resultaba imposible dar con los códigos, y atribuyeron cualquier pérdida excepcional a infiltraciones del servicio secreto británico en sus propias filas.

Debido a la confidencialidad que rodeó la labor que Turing y su equipo llevaron a cabo en Bletchley, su inmensa aportación en la guerra no pudo ser reconocida públicamente hasta que transcurrieron muchos años. Solía decirse que la primera guerra mundial fue la guerra de los químicos y que la segunda guerra mundial fue la de los físicos. En realidad, según una información revelada en décadas recientes, puede que sea cierto que la segunda guerra mundial fue también la guerra de los matemáticos, y que en caso de una tercera guerra mundial su contribución sería incluso más decisiva.

A lo largo de toda su carrera como interceptor de códigos enemigos, Turing nunca perdió de vista sus metas matemáticas. Las máquinas hipotéticas habían sido sustituidas por otras reales, pero la cuestión esotérica perduraba. Hacia el final de la guerra, Turing había colaborado en la construcción de Colossus, una máquina completamente electrónica con 1500 válvulas, mucho más veloces que los relés electromecánicos utilizados para las «bombas». Colossus era un ordenador en el sentido moderno de la palabra, y con su velocidad y sofisticación Turing comenzó a considerarlo como si se tratara de un cerebro primitivo; disponía de memoria, podía procesar información y los estados del ordenador eran parecidos a los estados de ánimo. Turing había transformado su máquina imaginaria en el primer ordenador de verdad.

Cuando concluyó la guerra, Turing continuó elaborando maquinas cada vez más complicadas, tales como la máquina computadora automática (ACE^[4]). En 1948 se trasladó a la Universidad de Manchester y allí creó el primer ordenador del mundo que dispuso de un programa almacenado electrónicamente. Turing había dotado a Gran Bretaña de los ordenadores más avanzados del mundo, pero no viviría lo suficiente para ver sus mayores posibilidades.

Durante los años que siguieron a la guerra, Turing estuvo bajo vigilancia de la inteligencia británica, la cual estaba enterada de que Turing era homosexual. Los inquietaba que el hombre que sabía más que nadie sobre los códigos de seguridad británicos fuera vulnerable al chantaje y decidieron controlar todos sus movimientos. Hacía tiempo que Turing se había conformado con que lo siguieran a todas horas, pero en 1952 fue arrestado por infringir los estatutos británicos de homosexualidad. Esta humillación hizo insoportable la existencia para Turing. Andrew Hodges, su biógrafo, describe los acontecimientos que llevaron hasta su muerte:

El legado de Turing consistió en una máquina capaz de ejecutar cálculos de una extensión impracticable para los humanos y de finalizarlos en cuestión de horas. Los ordenadores de hoy ejecutan más cálculos en un instante que los que realizó Fermat a lo largo de toda su vida. Los matemáticos que aún seguían debatiéndose con el último teorema de Fermat comenzaron a utilizar ordenadores para abordar el problema, basándose en una versión computarizada del enfoque de Kummer en el siglo XIX.

Tras encontrar una fisura en la labor de Cauchy y Lamé, Kummer señaló que el problema pendiente en la demostración del último teorema de Fermat radicaba en los casos en que n equivale a números primos irregulares; para los valores de n inferiores a 100, los únicos primos irregulares son 37, 59 y 67. Al mismo tiempo, Kummer mostró que en teoría todos los primos irregulares podían tratarse uno a uno y que el único problema consistía en que cada número requiere una cantidad ingente de cálculo. Para apoyar su opinión, Kummer y su colega Dimitri Mirimanoff dedicaron las semanas de cálculo necesarias para resolver los tres primos irregulares inferiores a 100. Sin embargo, ni ellos ni otros matemáticos estaban preparados para comenzar con el lote siguiente de primos irregulares entre 100 y 1000.

Unas cuantas décadas más tarde, los problemas de cálculos inmensos empezaron a desvanecerse. Con la llegada del ordenador, los casos difíciles del último teorema de Fermat podían ser despachados con rapidez y, tras la segunda guerra mundial, equipos de informáticos y de matemáticos demostraron el último teorema de Fermat para todos los valores de n hasta 500, luego hasta 1000 y por fin hasta 10 000. En los años ochenta, Samuel S. Wagstaff, de la Universidad de Illinois, elevó el límite a 25 000, y más recientemente los matemáticos pudieron afirmar que el último teorema de Fermat era cierto para todos los valores de n inferiores a cuatro millones.

Si bien los profanos de la materia sentían que la tecnología moderna estaba por fin superando al último teorema de Fermat, la comunidad matemática estaba inquieta por la posibilidad de que su éxito fuera pura fachada. Aun cuando los superordenadores dedicaran décadas a demostrar un valor tras otro de n, jamás llegarían a probar cada valor de n hasta abarcar el infinito, y por tanto nunca podrían afirmar haber demostrado por completo el teorema. Aun cuando el teorema fuera demostrado cierto hasta el valor de mil millones, no habría ninguna razón para que también lo fuera con el valor de mil millones más uno. Si el teorema fuera demostrado hasta un billón, no habría ninguna razón para que tuviera que ser cierto para un billón más uno, y así hasta el infinito. La infinidad es inaccesible a la mera fuerza bruta de los números computarizados.

David Lodge, en su libro The Picturegoers («Asiduos al cine»), hace una bonita descripción de la eternidad que también es aplicable al concepto de infinito: «Imagine una bola de acero tan grande como el mundo, y una mosca posándose sobre ella una vez cada millón de años. Cuando la bola de acero esté desgastada por el roce, la eternidad aún no habrá comenzado».

Todo lo que los ordenadores podían ofrecer eran evidencias a favor del último teorema de Fermat. Para el observador casual, la evidencia podría parecer abrumadora, pero no existe cantidad alguna de evidencia suficiente para complacer a los matemáticos, una comunidad de escépticos que no acepta más que las demostraciones absolutas. Extrapolar una teoría para una cantidad infinita de números basándose en la evidencia de sólo unos cuantos es una apuesta arriesgada (e inaceptable). Una serie concreta de números primos muestra que la extrapolación es un bastón en el que es peligroso apoyarse. En el siglo XVII, los matemáticos vieron, mediante una examinación minuciosa, que los números siguientes son todos primos:

31; 331; 3 331; 33 331; 333 331; 3 333 331; 33 333 331.

Los números que los siguen en la secuencia se vuelven gigantescos según se avanza y comprobar si son también primos habría supuesto un esfuerzo considerable. En aquella época, algunos matemáticos estuvieron tentados de extrapolar a partir del modelo que hay hasta aquí, y asumir que todos los números que presentan esta forma son primos. En cambio, el siguiente número en seguir la norma, 333 333 331, resultó no ser primo:

333 333 331 = 17 × 19 607 843.

Otro buen ejemplo que ilustra por qué los matemáticos evitan que los seduzca la evidencia de los ordenadores es el caso de la conjetura de Euler. Euler afirmó que no había soluciones para una ecuación no muy diferente de la ecuación de Fermat:

x⁴ + y⁴ + z⁴ = w⁴.

Durante doscientos años no hubo nadie capaz de probar la conjetura de Euler, pero, por otra parte, nadie consiguió refutarla dando con un contraejemplo. Primero, las indagaciones a mano y, luego, años de criba por ordenador fracasaron en la búsqueda de una solución. La falta de un contraejemplo constituía una evidencia a favor de la conjetura. Pero en 1988 Noam Elkies, de la Universidad Harvard, halló la siguiente solución:

2 682 440⁴ + 15 365 639⁴ + 187 690⁴ = 20 615 673⁴.

A pesar de todas las evidencias la conjetura de Euler resultó ser falsa. De hecho, Elkies probó que había infinidad de soluciones más a la ecuación. La moraleja es que no se puede echar mano de la evidencia a partir del primer millón de números para demostrar una conjetura que los abarca a todos.

Pero la engañosa naturaleza de la conjetura de Euler no es nada comparada con la conjetura de primos sobreestimados. Pasando a través de regímenes de números más y más elevados, se hace patente que los números primos se vuelven cada vez más y más difíciles de encontrar. Por ejemplo, entre el 0 y el 100 hay veinticinco números primos, pero entre 10 000 000 y 10 000 100 sólo se registran dos números primos. En 1791, cuando tenía justo catorce años, Carl Gauss predijo el modo aproximado en que menguaría la frecuencia de los primos entre el resto de los otros números. La fórmula era razonablemente exacta, pero siempre parecía sobreestimar un poco la verdadera cantidad de números primos. Haciendo comprobaciones hasta un millón, mil millones o un billón, siempre ocurría que la fórmula de Gauss daba un resultado algo excesivo, y los matemáticos sentían la fuerte tentación de creer que pasaría lo mismo en toda la serie de números hasta el infinito. Así nació la conjetura de primos sobreestimados.

Pero en 1914 J. E. Littlewood, un colaborador de G. H. Hardy en Cambridge, demostró que en regímenes de números lo bastante grandes la fórmula de Gauss infravaloraba la cantidad de primos. S. Skewes calculó en 1955 que la infravaloración empezaría a ocurrir algo antes de alcanzar el número

10^{1010 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000}

Este número representa una cantidad más allá de todo lo imaginable y más allá de cualquier uso práctico. Hardy llamó al número de Skewes «el mayor número que jamás se haya usado en matemáticas para algún fin concreto». Calculó que si se jugara al ajedrez con todas las partículas elementales del universo (10⁸⁷) y cada movimiento consistiera en el simple intercambio de posición de dos partículas, entonces la cantidad posible de partidas diferentes equivaldría aproximadamente al número de Skewes.

No había razón alguna para que el último teorema de Fermat no resultara ser tan cruel y engañoso como la conjetura de Euler o la conjetura de los primos sobreestimados.

El licenciado

Andrew Wiles comenzó sus estudios de doctorado en la Universidad de Cambridge en 1975. Dedicó los tres años siguientes a su tesis doctoral, lo que constituyo su etapa formativa como aprendiz de matemático. Cada estudiante disponía de un director de tesis como guía y consejero, y en el caso de Wiles este papel correspondió al australiano John Coates, un catedrático del Emmanuel College procedente de Possum Brush, Nueva Gales del Sur.

Coates aún recuerda cómo aceptó ser el director de Wiles: «Recuerdo que un colega me dijo que tenía a un estudiante muy bueno a punto de terminar la tercera parte del tripos^[5] en matemáticas, y me animó encarecidamente a aceptarlo como doctorando. Fui muy afortunado al tener a Andrew como estudiante. Tenía ideas muy profundas incluso cuando era estudiante de investigación, y siempre estuvo claro que haría cosas grandes en matemáticas. Por supuesto, en aquella etapa no tenía sentido plantear el trabajo sobre el último teorema de Fermat directamente a un doctorando. Se trataba de algo demasiado difícil incluso para un matemático experimentado».

Todo lo que Wiles había hecho en la década anterior estaba orientado a prepararse para afrontar el desafío de Fermat, pero ahora que se había unido a las filas de los matemáticos profesionales se volvió más pragmático. Recuerda cómo tuvo que aplazar su sueño por un tiempo: «Cuando llegué a Cambridge realmente dejé a Fermat de lado. No es que me hubiera olvidado del tema, siempre lo tuve presente, pero me di cuenta de que las únicas técnicas disponibles para abordarlo tenían una antigüedad de unos 130 años. No parecía que estas técnicas fueran a la raíz del problema. El inconveniente de trabajar en el teorema de Fermat era que podrían pasar años de trabajo sin llegar a ningún sitio. Está bien trabajar en cualquier problema, incluso si no se llega a resolver al cabo del día, siempre y cuando ello genere matemáticas interesantes por el camino. La importancia de un problema matemático yace más en las matemáticas que genera que en el problema en sí».

Era responsabilidad de John Coates el encontrarle a Andrew Wiles una nueva obsesión, algo que ocupara sus investigaciones al menos durante los tres años siguientes. «Creo que todo lo que un director de tesis puede hacer por su doctorando es tratar de encauzarlo hacia un camino fructífero. Desde luego, cuando se trata de una investigación es imposible estar seguro de si una orientación será fructífera, pero tal vez lo que pueda aportar un viejo matemático sea su buen olfato, su intuición sobre cuál es una buena área, y entonces depende ya sólo del estudiante hasta dónde sea capaz de llegar». Al final, Coates decidió que Wiles debería dedicarse a una área de las matemáticas conocida como curvas elípticas. Esta decisión se mostró a la larga crucial en la carrera de Wiles y le proporcionó las técnicas que necesitaba para una aproximación novedosa al último teorema de Fermat.

El nombre de «curvas elípticas» puede llamar a engaño, pues en realidad ni son elipses ni están curvadas en el sentido usual de la palabra. El término se aplica a cualquier ecuación de la forma

y² = x³ + ax² + bx + c,   donde a, b y c son números enteros.

El nombre se debe a que en el pasado se utilizaban para medir el perímetro de las elipses y la longitud de las órbitas planetarias, pero por claridad me referiré a ellas simplemente como ecuaciones elípticas más que como curvas elípticas.

El desafío de las ecuaciones elípticas, al igual que en el último teorema de Fermat, es descubrir si tienen soluciones con números enteros y, en tal caso, cuántas. Por ejemplo, la ecuación elíptica

y² = x³ − 2,   donde a = 0, b = 0, c = −2,

tiene una única solución con números enteros:

5² = 3³ − 2;   o sea,   25 = 27 − 2.

Demostrar que esta ecuación elíptica tiene sólo esta solución con números enteros es una tarea increíblemente difícil, y de hecho fue Pierre de Fermat el que descubrió la prueba. El lector tal vez recuerde que en el capítulo 2 se relató cómo demostró Fermat que el 26 es el único número en el universo que está emparedado entre un cuadrado y un cubo. Esto es equivalente a demostrar que la ecuación elíptica anterior tiene solamente una solución, o sea, que 5² y 3³ son el único cuadrado y el único cubo que difieren en dos unidades, y por tanto 26 es el único número emparedado entre tales números.

Las ecuaciones elípticas son especialmente fascinantes porque ocupan un escalafón curioso entre otras ecuaciones más simples, casi triviales, y otras más complicadas que resultan imposibles de resolver. Con sólo cambiar los valores de a, b y c en la ecuación elíptica general, los matemáticos generan una variedad infinita de ecuaciones, cada una de ellas con sus características particulares, pero todas susceptibles de solución.

Las ecuaciones elípticas fueron estudiadas en un principio por los antiguos matemáticos griegos, como Diofante, que dedicó buena parte de su Aritmética a investigar sus propiedades. Tal vez inspirado por Diofante, Fermat aceptó el reto de las ecuaciones elípticas y, como habían sido objeto de estudio de su héroe, Wiles se alegró de profundizar en ellas. Incluso tras dos mil años, las ecuaciones elípticas seguían planteando dificultades enormes a los estudiantes como Wiles: «Distan mucho de haber sido comprendidas del todo. Podría formular multitud de preguntas sobre ecuaciones elípticas en apariencia simples, pero pendientes de resolver. Siguen sin respuesta incluso cuestiones que ya se planteó Fermat. En cierto sentido, todas las matemáticas que he producido siguen un rastro que conduce hasta Fermat, por no decir al último teorema de Fermat».

Encontrar la cantidad exacta de soluciones para las ecuaciones que Wiles estudiaba como doctorando era una labor tan difícil que el único modo de progresar pasaba por simplificar el problema. Por ejemplo, la siguiente ecuación elíptica es casi imposible de tratar de manera directa:

x³ − x² = y² + y.

La cuestión es hallar cuántas soluciones de números enteros tiene la ecuación planteada. Una solución bastante trivial es x = 0, y = 0

0³ − 0² = 0² + 0.

Otra solución un poco más interesante es x = 1, y = 0:

1³ − 1² = 0² + 0.

Puede haber otras soluciones entre la lista infinita de números enteros, pero dar la relación completa de soluciones a esta ecuación es una tarea imposible. Resulta más sencillo buscar soluciones comprendidas en un espacio finito de números mediante la llamada aritmética de relojes.

Ya vimos antes que los números pueden imaginarse como marcas dispuestas a lo largo de una recta que se extiende hasta el infinito, como se muestra en la figura 16. Para hacer finito el espacio de números, la aritmética de relojes corta la recta en cierto punto y cierra sobre sí mismo el segmento resultante para formar un anillo de números en vez de una línea. La figura 17 contiene un reloj de cinco números en el que la recta se ha cortado por el 5 y se ha vuelto a cerrar sobre el 0. El número 5 se anula y se hace equivalente al 0, por lo que los únicos números que quedan en la aritmética del reloj de cinco números son 0, 1, 2, 3 y 4.

En la aritmética normal, la adición puede entenderse como un desplazamiento a lo largo de la recta, siempre hacia la derecha, un cierto número de espacios. Por ejemplo, 4 + 2 = 6 es lo mismo que decir: sitúate en el 4 y muévete a lo largo de la recta dos espacios hasta llegar al 6.

Sin embargo, en la aritmética del reloj de cinco números:

4 + 2 = 1.

Esto ocurre porque si empezamos en el 4 y avanzamos dos espacios en la esfera del reloj acabamos llegando al 1. La aritmética de relojes puede parecer poco familiar, pero de hecho, tal y como sugiere su nombre, la usamos a diario al hablar de la hora. Cuatro horas después de las 11 en punto (o sea, 11 + 4) no solemos decir que son las 15 en punto, sino más bien las 3 en punto: esto es aritmética del reloj de doce números.

Al igual que la adición, la aritmética de relojes admite la representación de otras operaciones matemáticas usuales, como la multiplicación. En la aritmética del reloj de 12 números, 5 × 7 = 11. Esta multiplicación se puede interpretar así: se parte del 0, nos movemos 5 grupos de 7 espacios, y al final se llega al 11. Aunque éste es un modo de entender la multiplicación en la aritmética de relojes, hay atajos lógicos que simplifican los cálculos. Por ejemplo, para calcular 5 × 7 en la aritmética del reloj de 12 números podemos empezar por calcular el resultado normal, que es 35. Dividimos luego 35 entre 12 y el resto de la división es la respuesta a la pregunta inicial. El 12 está contenido en el 35 sólo dos veces, con un resto de 11, y con toda seguridad 5 × 7 en la aritmética del reloj de doce números es igual a 11. Todo esto es equivalente a imaginar que se avanza en la esfera del reloj dos vueltas completas y 11 espacios adicionales.

Como la aritmética de relojes trabaja en un espacio de números limitado es relativamente fácil hallar todas las soluciones posibles de una ecuación elíptica para la aritmética de un reloj determinado. Por ejemplo, si se trabaja en el reloj de cinco números, es sencillo elaborar la relación completa de soluciones de la ecuación

x³ − x² = y² + y.

Las soluciones son:

Aunque algunas de estas soluciones no serían válidas en la aritmética normal, todas son aceptables en la aritmética del reloj de cinco números. Por ejemplo, la cuarta solución (x = 1, y = 4) funciona de este modo:

Pero recordemos que el 20 equivale al 0 en esta aritmética, porque el resto que queda al dividir 20 entre 5 es 0.

Como no es posible hallar la totalidad de soluciones para una ecuación elíptica si se trabaja en un espacio infinito, los matemáticos, como Wiles, se plantearon el cálculo de la cantidad de soluciones en cada aritmética de relojes posible. Para el ejemplo anterior de ecuación elíptica, el número de soluciones en el reloj de cinco números es cuatro, y los matemáticos lo representan como E₅ = 4. Se puede hallar el número de soluciones en otras aritméticas. Por ejemplo, en el reloj de siete números la ecuación tiene nueve soluciones, de modo que E₇ = 9.

Los matemáticos resumen los resultados en forma de lista, dando el número total de soluciones en cada reloj, y llaman a esta lista la «serie L» de la ecuación elíptica. Ya nadie recuerda el porqué de esa letra L, aunque hay quien sugiere que procede del nombre de Gustav Lejeune-Dirichlet, que trabajó con ecuaciones elípticas. Por claridad, yo usaré el término «serie E»: la serie que procede de una ecuación elíptica. Para el ejemplo que estamos empleando la serie E es:

Ecuación elíptica:   x³ − x² = y² + y.

Si no es posible saber cuántas soluciones tiene una ecuación elíptica dada en un espacio infinito de números, disponer de su serie E parece la alternativa menos mala. De hecho, la serie E contiene una gran cantidad de información acerca de la ecuación elíptica de la que procede. Del mismo modo que en biología el ADN contiene toda la información requerida para crear un organismo vivo, la serie E resume la esencia de la ecuación elíptica. Se tenía la esperanza de que mediante el estudio de este ADN matemático, la serie E, fuera posible hallar a la larga todo lo que se deseara sobre una ecuación elíptica dada.

Trabajando junto a Coates, Wiles asentó pronto su reputación como un brillante teórico de números con una comprensión profunda de las ecuaciones elípticas y sus serie E asociadas. Wiles no se daba cuenta de que cada nuevo resultado y cada artículo publicado en este campo le estaba proporcionando una experiencia que, bastantes años después, lo conduciría al umbral de la demostración del último teorema de Fermat.

Aunque nadie lo sabía por aquel entonces, los matemáticos del Japón de posguerra habían desencadenado una sucesión de acontecimientos que ligaría de manera inseparable las ecuaciones elípticas al último teorema de Fermat. Al introducir a Wiles en el estudio de las ecuaciones elípticas, Coates le había proporcionado las herramientas que más tarde le iban a permitir modelar su sueño.