Apéndices

Apéndice 1. La demostración del teorema de Pitágoras<<

El propósito de la demostración es probar que el teorema de Pitágoras es cierto para todos los triángulos rectángulos. El triángulo mostrado arriba podría ser cualquier triángulo rectángulo ya que las longitudes de sus lados no están especificadas, sino representadas por las letras x, y y z.

En la figura de arriba se combinan cuatro triángulos rectángulos idénticos con un cuadrado girado para construir un cuadrado mayor. El área de este cuadrado mayor es la clave de la demostración.

El área del cuadrado se puede calcular de dos modos:

Método 1. Medir el área del cuadrado como un todo. La longitud de cada lado es x + y. Por lo tanto, el área del cuadrado grande es (x + y)²

Método 2. Medir el área de cada elemento del cuadrado grande. El área de cada triángulo es (½)xy, o sea, ½ × base × altura. El área del cuadrado girado es z². En consecuencia, área del cuadrado grande = 4 (área de cada triángulo) + área del cuadrado girado = 4 × ½xy + z².

Los métodos 1 y 2 dan dos expresiones diferentes. Sin embargo, estas dos expresiones deben ser equivalentes puesto que representan la misma área. Por ello,

Los paréntesis se pueden desarrollar y simplicar. Entonces,

x² + y² + 2xy = 2xy + z².

El termino 2xy se cancela en ambos lados. Así tenemos

x² + y² = z².

¡Qué es el teorema de Pitágoras!

La argumentación se basa en el hecho de que el área del cuadrado mayor debe ser la misma sin importar qué método se usa para calcularla. Entonces, por medio de la lógica, derivamos dos expresiones para la misma área, las igualamos, y finalmente la conclusión inevitable es que x² + y² = z², es decir, el cuadrado de la hipotenusa, z², es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, x² + y².

Este razonamiento es cierto para todos los triángulos rectángulos. Los lados del triángulo en nuestro razonamiento están representados por x, y y z, y pueden, por lo tanto, representar los lados de cualquier triángulo rectángulo.

Apéndice 2. Demostración de Euclides de que √2 es irracional<<

El objetivo de Euclides era probar que √2 no se puede escribir como una fracción. Debido a que usó una reducción al absurdo, el primer paso es suponer que lo contrario es cierto, es decir, que √2 se podría escribir como alguna fracción desconocida. Esta hipotética fracción se representa por p/q, donde p y q son dos números enteros.

Antes de embarcarnos en la demostración en sí, todo lo que se requiere es una comprensión básica de algunas propiedades de las fracciones y los números pares.

1. Si se toma cualquier número y se multiplica por 2, el nuevo número debe ser par. Esto es casi equivalente a la definición de un número par.
2. Si se sabe que el cuadrado de un número es par, entonces el número mismo debe ser también par.
3. Finalmente, las fracciones se pueden simplificar: 16/24 es lo mismo que 8/12; sólo hay que dividir el numerador y el denominador de 16/24 por el factor común 2. Es más, 8/12 es lo mismo que 4/6, y, a su vez, 4/6 es lo mismo que 2/3. Sin embargo, 2/3 no puede ser simplificado ya que 2 y 3 no poseen factores comunes. Es imposible continuar simplificando una fracción por siempre.

Ahora recuérdese que Euclides cree que √2 no se puede escribir como una fracción. Sin embargo adopta el método de prueba por contradicción y trabaja con la suposición de que la fracción p/q existe y explora las consecuencias de su existencia:

√2 = p/q.

Si se elevan ambos miembros al cuadrado, entonces

2 = p²/q².

Esta ecuación se puede reescribir como

2q² = p².

Ahora, según el punto 1, sabemos que p² debe ser par. Es más, por el punto 2 sabemos que el mismo p también ha de ser par. Pero si p es par entonces se puede escribir como 2m, donde m es otro número entero. Esto se sigue del punto 1. Lo introducimos en la ecuación y resulta

2q² = (2m)² = 4m².

Dividiendo ambos lados por 2, se tiene

q² = 2m².

Pero por el mismo argumento que el usado antes sabemos que q² ha de ser par, y así el mismo q también tiene que ser par. Si éste es el caso, entonces q se puede escribir como 2n, donde n es algún otro número entero. Si volvemos al principio, entonces

√2 = p/q = 2m/2n.

La fracción m/n se puede simplificar dividiendo el numerador y el denominador por 2, y se obtiene

√2 = m/n.

Ahora se tiene una fracción m/n que es más sencilla que p/q.

Sin embargo, nos encontramos en la posición de poder repetir exactamente el mismo proceso sobre m/n, y al final del proceso generaremos una fracción aún más sencilla, digamos g/h. Esta fracción puede ser pasada otra vez por la piedra del molino, y la nueva fracción, llamémosla e/f, será más simple aún. Podemos volver a tratar esta fracción y repetir el proceso una y otra vez, en una sucesión sin fin. Pero por el punto 3 sabemos que las fracciones no pueden simplificarse indefinidamente. Siempre existe la fracción más simple, pero nuestra fracción hipotética original p/q no parece obedecer esta regla. Por lo tanto, estamos justificados para decir que hemos encontrado una contradicción. Si √2 se pudiera escribir como una fracción la consecuencia sería un absurdo, y así lo correcto es decir que √2 no se puede escribir como una fracción. Por tanto √2 es un número irracional.

Apéndice 3. El enigma de la edad de Diofante<<

Llamemos L a la longitud de la vida de Diofante. A partir del acertijo tenemos la siguiente relación completa de la vida de Diofante:

La longitud de la edad de Diofante es la suma de todo lo anterior:

L = L/6 + L/12 + L/7 + 5 + L/2 + 4.

Podemos simplificar la ecuación como sigue:

Diofante murió a la edad de 84 años.

Apéndice 4. El problema de las pesas de Bachet<<

Para pesar cualquier número de kilogramos entre 1 y 40 la mayor parte de la gente sugeriría que se precisan seis pesas: 1, 2, 4, 8, 16 y 32 kg. De esta forma, todos los pesos se pueden obtener fácilmente colocando las siguientes combinaciones en un platillo:

Sin embargo, si se sitúan pesas en ambos platillos, de forma que las pesas también puedan ponerse junto con el objeto pesado, Bachet pudo completar la tarea con sólo cuatro pesas: 1, 3, 9 y 27 kg. Una pesa situada en el mismo platillo que el objeto que se está pesando toma un valor efectivo negativo. Así, los pesos se pueden obtener como sigue:

Apéndice 5. Demostración de Euclides de que hay un número infinito de ternas pitagóricas<<

Una terna Pitagórica es un conjunto de tres números enteros tales que el cuadrado del primero más el cuadrado del segundo es igual al tercer número al cuadrado. Euclides pudo demostrar que existía un número infinito de tales ternas pitagóricas.

La demostración de Euclides empieza con la observación de que la diferencia entre cuadrados sucesivos siempre es un número impar:

Cada uno de la infinidad de números impares puede sumarse a un número cuadrado específico para crear otro cuadrado. Una fracción de esos números impares son, a su vez, cuadrados; pero una fracción de infinito también es infinito.

En consecuencia, hay una infinidad de números cuadrados que pueden sumarse a un cuadrado para obtener otro número cuadrado. En otras palabras, existe un número infinito de ternas pitagóricas.

Apéndice 6. La demostración de la conjetura del punto<<

La conjetura del punto afirma que es imposible dibujar un diagrama de puntos de tal modo que cada línea tenga por lo menos tres puntos sobre ella.

Aunque la demostración requiere una cantidad mínima de matemáticas, se basa en algunas piruetas geométricas, así que se recomienda una inspección cuidadosa de cada paso.

Considérese primero una disposición arbitraria de puntos y las líneas que conectan cada punto con los restantes. Entonces para cada punto calcúlese su distancia hasta la línea más cercana, excluyendo las líneas que pasan por él. Después, identifíquese cuál de entre todos los puntos está más cerca de una línea.

Abajo se ve una ampliación de un punto D que es el más cercano a la línea L. La distancia entre el punto y la línea se muestra como una línea a trazos y esta distancia es menor que cualquier otra distancia entre cualquier otra línea y el punto.

Ahora es posible mostrar que la línea L siempre tendrá sólo dos puntos sobre ella y que, por tanto, la conjetura es cierta, o sea, que es imposible dibujar un diagrama tal que cada línea tenga tres puntos sobre ella.

Para demostrar que la línea L debe tener dos puntos, consideramos qué ocurriría si tuviera un tercer punto. Si el tercer punto, D_A, existiera más allá de los dos puntos mostrados originalmente, entonces la distancia mostrada como una línea punteada sería menor que la distancia a trazos, que se suponía era la distancia mínima entre un punto y una línea. Por lo tanto el punto D_A no puede existir.

De forma similar, si el tercer punto, D_B, existiera entre los dos puntos originales, entonces, una vez más, la distancia mostrada como una línea de puntos sería menor que la línea de puntos que supuestamente era la menor distancia entre un punto y una línea. Por lo tanto, D_B tampoco puede existir.

En resumen, cualquier configuración de puntos debe tener una distancia mínima entre algún punto y alguna recta, y la línea en cuestión sólo puede tener dos puntos. Por consiguiente, para cada configuración habrá siempre por lo menos una línea con sólo dos puntos; la conjetura es cierta.

Apéndice 7. Perdidos en el absurdo<<

Lo siguiente es una demostración clásica de lo fácil que es empezar con un enunciado simple y tras unos pocos pasos (aparentemente) directos y lógicos mostrar que 2 = 1.

Primero empecemos con el inocuo enunciado

a = b

Entonces multiplíquense ambos miembros por a, con lo que se tiene

a² = ab

Súmese entonces a² − 2ab en ambos lados:

a² + a² − 2ab = ab + a² − 2ab

Que puede simplificarse en:

2(a² − ab) = a² − ab

Finalmente, dividiendo ambos lados por a² − ab, se tiene

2 = 1

El enunciado original parece, y es, completamente inofensivo, pero en algún paso de la manipulación se ha deslizado un error sutil pero desastroso que lleva a la contradicción del último enunciado.

En realidad, el error fatal aparece en el último paso, cuando ambos lados se dividen por a² − ab. Sabemos por el enunciado inicial que a = b, y por tanto dividir por a² − ab es equivalente a hacerlo por cero.

Dividir cualquier cosa por cero es arriesgado puesto que cero está un número infinito de veces en cualquier cantidad finita. Al crear un infinito en ambos miembros hemos destrozado ambas partes de la ecuación y permitido que se cuele una contradicción en el argumento.

Este sutil error es la típica clase de pifia que se encontró en muchos de los participantes en el Premio Wolfskehl.

Apéndice 8. Los axiomas de la aritmética<<

Los siguientes axiomas son todo lo que se precisa para la fundamentación de la elaborada estructura de la aritmética:

A partir de estos axiomas se pueden demostrar otras reglas. Por ejemplo, aplicando rigurosamente estos axiomas y sin asumir nada más, se puede demostrar la aparentemente obvia regla de que

Si m + k = n + k entonces m = n

Para empezar, decimos que

m + k = n + k

Entonces, según el axioma 6, supongamos que l es un número tal que k + l = 0, así que

(m + k) + l = (n + k) + l

Entonces, por el axioma 2,

m + (k + l) = n + (k + l)

Recordando que k + l = 0, sabemos que

m + 0 = n + 0

Se aplica el axioma 1 y podemos declarar que hemos establecido que

m = n

Apéndice 9. La teoría de juegos y el trielo<<

Examinemos las opciones del señor Negro. Primero, el señor Negro podría apuntar al señor Gris. Si tiene éxito, entonces el siguiente disparo lo efectuará el señor Blanco. Al señor Blanco sólo le queda un oponente, el señor Negro, y ya que el señor Blanco nunca falla un disparo, el señor Negro está muerto.

Una opción mejor para el señor Negro es apuntar al señor Blanco. Si tiene éxito, entonces el siguiente disparo le corresponde al señor Gris. El señor Gris sólo da en el blanco dos de cada tres veces y, por tanto, existe una posibilidad de que el señor Negro sobreviva para disparar otra vez al señor Gris y, posiblemente, ganar el trielo.

Parece que la segunda opción es la estrategia que debería adoptar el señor Negro. Sin embargo existe una tercera opción aún mejor. El señor Negro podría apuntar al aire. El próximo disparo le corresponde al señor Gris, y él apuntará al señor Blanco, puesto que es el oponente más peligroso. Si el señor Blanco sobrevive, él apuntará al señor Gris puesto que es su más peligroso oponente. Apuntando al aire, el señor Negro está permitiendo que el señor Gris elimine al señor Blanco, o viceversa.

Ésta es la mejor estrategia del señor Negro. Al final, el señor Gris o el señor Blanco morirán y entonces el señor Negro disparará al superviviente.

El señor Negro ha manipulado la situación de tal manera que, en lugar de tener el primer disparo en un trielo, tiene el primer disparo en un duelo.

Apéndice 10. Un ejemplo de prueba por inducción<<

Los matemáticos encuentran útil tener pulcras fórmulas que den la suma de varias listas de números. En este caso, el reto es encontrar una fórmula que dé la suma de los primeros n números naturales.

Por ejemplo, la suma del primer número es 1, la suma de los primeros dos números es 3 (1 + 2), la de los tres primeros números es 6 (1 + 2 + 3), la suma de los cuatro primeros números es 10 (1 + 2 + 3 + 4), etc.

Una fórmula candidata que parece describir este modelo es

En otras palabras, si queremos encontrar la suma de los primeros n números, simplemente tenemos que sustituir ese número en la fórmula y calcular la respuesta.

La demostración por inducción prueba que esta fórmula funciona para cualquier número hasta el infinito.

El primer paso es demostrar que la fórmula funciona para el primer caso, n = 1. Esto es muy sencillo, puesto que conocemos que la suma de sólo el primer número es 1, y si introducimos n = 1 en la fórmula candidata, obtenemos el resultado correcto:

Sum(1) = 1.

Ha caído la primera ficha de dominó.

El siguiente paso en la prueba por inducción es demostrar que si la fórmula es cierta para cualquier valor n, entonces debe serlo también para n + 1. Si

entonces,

Sum(n + 1) = Sum(n) + (n + 1)

Después de reordenar los términos en el lado derecho, obtenemos

Lo importante a señalar aquí, es que la forma de esta nueva ecuación es exactamente la misma que la de la ecuación original, excepto que cada aparición de n cambió por n + 1.

En otras palabras, si la fórmula es verdadera para n, entonces también será verdadera para n + 1. Si una ficha de dominó cae, siempre derribará a la siguiente. La prueba por inducción está completa.