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PASILLOS CON GOTERAS:

LAS HUELLAS DACTILARES DE LAS DIMENSIONES EXTRAS

En una parte anterior del libro expliqué cómo las dimensiones extras podrían estar ocultas. Podrían estar enrolladas o cercadas por branas, de modo tal que fueran imperceptibles de tan pequeñas. Pero ¿puede un universo extradimensional realmente esconder su naturaleza tan completamente que ninguna de sus propiedades le distinga de un mundo de dimensión cuatro? Esto sería difícil de creer. Incluso si las dimensiones compactadas fueran tan pequeñas que pudiéramos adormecernos y creer que el mundo es de dimensión cuatro, un mundo de dimensión superior debe de contener algunos elementos nuevos que le diferencien de uno que de verdad tenga cuatro dimensiones.

Si hay dimensiones extras, es seguro que existen dichas huellas dactilares de las dimensiones extras. Esas huellas dactilares son partículas llamadas partículas de Kaluza-Klein (partículas KK).^[103] Las partículas KK son los ingredientes adicionales de un universo extra-dimensional. Son la huella en dimensión cuatro del mundo de dimensión superior.

Si las partículas KK existen y son lo suficientemente ligeras, los aceleradores de alta energía las producirán y dejarán su marca en los datos experimentales. Los detectives extra-dimensionales —los físicos experimentales— coordinarán todas estas pistas, transformando los datos en pruebas forenses de un mundo de dimensión superior. Este capítulo trata de estas partículas de Kaluza-Klein, y de por qué, en un mundo de dimensión superior, uno puede estar seguro de su existencia.

Las partículas de Kaluza-Klein

Aunque una partícula del bulto viaje en el espacio de dimensión superior, deberíamos ser capaces de todos modos de describir sus propiedades e interacciones en términos del espacio de dimensión cuatro. Al fin y al cabo, no vemos directamente las dimensiones extras, de modo que todo debe aparecer ante nuestros ojos como si fuera de dimensión cuatro. Del mismo modo que los habitantes de Planilandia, que ven sólo dos dimensiones espaciales, cuando pasaba una esfera tridimensional por su mundo podían observar solamente discos bidimensionales, nosotros únicamente podemos ver partículas que aparentemente sólo viajan en tres dimensiones espaciales, aunque esas partículas tengan su origen en un espacio de dimensión superior. Estas nuevas partículas que tienen su origen en las dimensiones extras, pero que aparecen ante nosotros como partículas extras en nuestro espacio-tiempo tetradimensional,^[104] son partículas de Kaluza-Klein (partículas KK). Si pudiéramos medir y estudiar todas sus propiedades, nos dirían cuanto hay que saber sobre el espacio de dimensión superior.

Las partículas de Kaluza-Klein son la manifestación de una partícula de dimensión superior en cuatro dimensiones. Tal como podemos reproducir cualquier sonido generado por una cuerda de violín superponiendo muchos modos resonantes, podemos reproducir el comportamiento de una partícula de dimensión superior reemplazándola por partículas KK apropiadas. Las partículas KK caracterizan por completo las partículas de dimensión superior y la geometría de dimensión superior por la que viajan.

Para imitar el comportamiento de las partículas de dimensión superior, las partículas KK tendrían que portar un momento extradimensional. Toda partícula del bulto que viaje a través del espacio de dimensión superior queda reemplazada en nuestra descripción efectiva tetradimensional por partículas KK que tienen los momentos correctos y las interacciones correctas para imitar esa partícula concreta de dimensión superior.^[M31] Un universo de dimensión superior aloja partículas familiares y sus parientes KK que portan momentos extradimensionales que están determinados por las propiedades detalladas del espacio enrollado.

Sin embargo, una descripción tetradimensional no incluye información sobre la posición o el momento extradimensional. Así pues, el momento extradimensional de las partículas KK debe llamarse de otra forma cuando se mira desde nuestra perspectiva tetradimensional. La relación entre masa y momento impuesta por la relatividad especial nos dice que el momento extradimensional se vería como masa en el mundo tetradimensional. Las partículas KK son entonces partículas como las que conocemos, pero con masas que reflejan sus momentos extradimensionales.

Las masas de las partículas KK están determinadas por la geometría de dimensión superior. Sin embargo, sus cargas son las mismas que las de las partículas tetradimensionales conocidas. Esto es así porque, si las partículas conocidas tienen su origen en el espacio-tiempo de dimensión superior, las partículas de dimensión superior han de portar las mismas cargas que las partículas conocidas. Esto es cierto también para las partículas KK que imitan la conducta de las partículas de dimensión superior. Así que para cada partícula que conocemos, debería haber muchas partículas KK con la misma carga, pero cada una con una masa distinta. Por ejemplo, si un electrón viaja en dimensiones superiores, tendría compañeros KK con la misma carga negativa. Y si un quark viaja en dimensiones superiores, tendría parientes KK que, como el quark, experimentan la fuerza fuerte. Los compañeros KK tienen cargas idénticas a las de las partículas que conocemos, pero masas que están determinadas por las dimensiones extras.

La determinación de las masas de Kaluza-Klein

Para comprender el origen y las masas de las partículas KK se requiere dar un paso más allá de la descripción intuitiva de las dimensiones enrolladas invisibles que hemos visto anteriormente. Por simplicidad, consideraremos primero un universo sin branas, en el que cada partícula es fundamentalmente de dimensión superior y libre de moverse en todas direcciones, incluidas todas las adicionales. Para concretar, imaginaremos un espacio con sólo una dimensión adicional que está enrollada formando un círculo y partículas elementales que viajan por este espacio.

Si viviéramos en un mundo en el que la física clásica de Newton tuviese la última palabra, las partículas de Kaluza-Klein podrían tener cualquier momento extradimensional y, por lo tanto, cualquier masa. Pero, como vivimos en un universo donde rige la mecánica cuántica, éste no es el caso. La mecánica cuántica nos dice que, al igual que sólo los modos resonantes del violín contribuyen a generar los sonidos que las cuerdas del violín pueden producir, sólo los momentos extradimensionales cuantificados contribuyen con sus efectos cuando las partículas KK reproducen el movimiento y las interacciones de una partícula de dimensión superior. Y así como las notas de una cuerda de violín dependen de su longitud, los momentos extradimensionales cuantificados de las partículas KK dependen de los tamaños y formas de las dimensiones extras.

Los momentos extradimensionales que portan las partículas KK aparecerían en nuestro mundo en apariencia tetradimensional como un patrón distintivo de las masas de las partículas KK. Si los físicos descubren partículas KK, estas masas nos informarán sobre la geometría de las dimensiones extras. Por ejemplo, si hay una única dimensión extra enrollada en un círculo, estas masas nos dirían cuál es el tamaño de esta dimensión extra.

El proceso para encontrar los momentos permitidos (y, por ende, las masas) para las partículas KK en un universo con una dimensión enrollada es muy parecido al método que usamos para determinar matemáticamente los modos resonantes de un violín y también al método que usó Bohr para determinar las órbitas cuantificadas del electrón en el átomo. La mecánica cuántica asocia a todas las partículas con ondas y sólo se permiten aquellas ondas que pueden oscilar un número entero de veces sobre el círculo extradimensional. Determinamos las ondas permitidas y luego usamos la mecánica cuántica para relacionar la longitud de onda con el momento. Y los momentos extradimensionales nos dicen las masas permitidas para las partículas KK, que es lo que queremos saber.

La onda constante —la que no oscila nada— está siempre permitida. Esta «onda» es como la inmóvil superficie de un estanque, sin ninguna ola visible, o como una cuerda de violín que todavía no ha sido pulsada. Esta onda de probabilidad tiene el mismo valor en todos los puntos de la dimensión extra. A causa del valor constante de esta onda plana de probabilidad, la partícula KK asociada con esta onda no favorece ninguna localización extradimensional concreta. Según la mecánica cuántica, esta partícula no porta un momento extradimensional, y entonces, según la relatividad especial, no tiene masa adicional.

La partícula KK más ligera es, por lo tanto, la asociada con este valor constante de la probabilidad en la dimensión extra. En bajas energías ésta es la única partícula KK que puede producirse. Como no tiene ni momento ni estructura en la dimensión extra, es indistinguible de una partícula tetradimensional normal con la misma carga y la misma masa. Sólo con baja energía, la partícula extradimensional es incapaz de contonearse en la dimensión compacta que está enrollada. En otras palabras, la baja energía no producirá ninguna de las partículas KK adicionales que distinguirían nuestro universo de otro con más dimensiones. Los procesos a baja energía y las partículas KK más ligeras no nos dirán, por lo tanto, nada sobre la existencia de una dimensión extra, sea del tamaño o de la forma que sea.

Sin embargo, si el universo contiene dimensiones adicionales, y los aceleradores de partículas consiguen energías suficientemente altas, éstos crearán partículas KK más pesadas. Estas partículas KK más pesadas, que portan momentos extradimensionales no nulos, serán la primera prueba real de las dimensiones extras. En nuestro ejemplo, esas partículas KK más pesadas están asociadas con ondas que tienen estructura a lo largo de la dimensión circular adicional; las ondas varían al rodear una y otra vez la dimensión enrollada, oscilando hacia arriba y hacia abajo un número entero de veces a lo largo de su longitud.

La más ligera de dichas partículas KK sería la que tiene una función de probabilidad con la mayor longitud de onda posible. Y la longitud de onda más larga posible para la cual la oscilación se ajusta a un círculo es la que oscila hacia arriba y hacia abajo exactamente una vez, mientras la onda rodea la dimensión enrollada. Esta longitud de onda queda determinada por el tamaño de circunferencia de la dimensión extra (es aproximadamente del mismo tamaño). Una longitud de onda más grande no se ajustaría; la onda estaría desplazada al volver a un mismo punto sobre el círculo. La partícula con esta onda de probabilidad es la partícula KK más ligera que «recuerda» su origen extradimensional.

Tiene sentido que la longitud de onda de la onda asociada con la partícula más ligera que tiene momento extradimensional no nulo sea más o menos la misma que el tamaño de la dimensión extra. Al fin y al cabo, la intuición nos dice que solamente algo suficientemente pequeño para sondear aspectos o interacciones en una escala diminuta sería sensible a la existencia de una dimensión enrollada. Tratar de investigar una dimensión extra con una longitud de onda más grande sería como tratar de medir la localización de un átomo con una regla. Por ejemplo, si tratáramos de detectar una dimensión extra con luz o con alguna otra sonda de una cierta longitud de onda, la luz tendría que poseer una longitud de onda más pequeña que el tamaño de la dimensión extra. Como la mecánica cuántica asocia las ondas de probabilidad con las partículas, las afirmaciones anteriores sobre las longitudes de onda de las posibles sondas se traducen en afirmaciones sobre propiedades de las partículas. Solamente las partículas con longitud de onda suficientemente pequeña y, por lo tanto (según resulta del principio de incertidumbre), con momento extradimensional suficientemente alto podrían ser sensibles a la existencia de una dimensión extra.

Otro aspecto atractivo de las más ligeras de las partículas KK con momento extradimensional no nulo es que su momento (y, por ende, su masa) es más pequeño cuanto mayor es la dimensión extra. Una dimensión extra más grande sería más accesible y daría consecuencias observables más fluidamente, ya que las partículas más ligeras son más fáciles de producir y de descubrir.

Si existen las dimensiones extras, la partícula KK más ligera no sería la única prueba de ellas. Otras partículas de momento más alto dejarían huellas dactilares todavía más nítidas de las dimensiones extras en los aceleradores de partículas. Estas partículas tendrían ondas de probabilidad que oscilan más de una vez cuando atraviesan la dimensión enrollada. Como la enésima de estas partículas correspondería a la onda que oscila n veces según rodea la dimensión enrollada, las masas de estas partículas KK serían todas múltiplos enteros de la más ligera de todas. Y cuanto más altos sean los momentos, más nítidas serán las huellas dactilares de las dimensiones extras en los aceleradores de partículas. La figura 74 muestra esquemáticamente los valores de las masas de las partículas KK, que son proporcionales al tamaño inverso de las dimensiones extras, y una pareja de ondas que corresponden a estas partículas con masa.

FIGURA 74. Las partículas de Kaluza-Klein están en correspondencia con las ondas que oscilan un número entero de veces en torno a la dimensión enrollada. Las ondas con más oscilaciones corresponden a las partículas más pesadas.

Las muchas partículas KK sucesivas más pesadas se asemejan a las múltiples generaciones de una familia de inmigrantes. Los miembros de la generación más joven que nacieron en Estados Unidos asimilan por completo la cultura americana, hablan inglés perfectamente y nada delata en ellos sus orígenes extranjeros. Esto no es tan cierto para la generación anterior, los padres de la generación más joven: quizá hablan con un cierto acento extranjero, y ocasionalmente dicen algún proverbio de su país original. La generación que es más vieja todavía parecería aún más extranjera, y llevaría ropa y contaría historias provenientes de su tierra. Podríamos decir que estas generaciones más antiguas añaden dimensiones culturales a lo que de otro modo sería una sociedad uniforme, con menos color.

Análogamente, las partículas KK más ligeras son indistinguibles de las partículas de un mundo fundamentalmente tetradimensional; solamente los «parientes más viejos», con más masa, revelarían pruebas de las dimensiones extras. Aunque las más ligeras de las partículas KK parecerían ser tetradimensionales, su proveniencia sería más evidente una vez que se hubiera conseguido la suficiente energía para producir los «progenitores» con más masa.

Si los experimentos descubren nuevas partículas pesadas con las mismas cargas que las partículas familiares y masas que son semejantes entre sí, estas partículas serán una sólida prueba de las dimensiones extras. Si dichas partículas comparten las mismas cargas y aparecen a intervalos regulares de masa, esto significaría muy probablemente que se ha descubierto una dimensión enrollada simple.

Pero geometrías extradimensionales más complicadas producirán patrones de masa más complicados. Si se descubre un número suficiente de partículas de éstas, las partículas KK revelarían entonces no sólo la existencia de las dimensiones extras, sino también sus tamaños y formas. Sea cual sea la geometría de las dimensiones ocultas, las masas de las partículas KK dependerán de ella. En cualquier caso, las partículas KK y sus masas podrían decirnos mucho sobre las propiedades extradimensionales.

Restricciones experimentales

Hasta hace poco, la mayoría de los especialistas de la teoría de cuerdas suponían que las dimensiones extras no son más grandes que la diminuta longitud de la escala de Planck. Esto es porque la gravedad se vuelve fuerte a la energía de la escala de Planck, y una teoría de la gravedad cuántica, que podría ser la teoría de cuerdas, es la que se hace cargo de todo a partir de ese momento. Pero la longitud de la escala de Planck es mucho más pequeña que cualquier longitud que podamos estudiar experimentalmente. La minúscula longitud de la escala de Planck corresponde (según la mecánica cuántica y la relatividad general) a la enorme masa (o energía) de la escala de Planck: diez mil billones de veces la energía que alcanzan los aceleradores actuales. Las partículas KK con masa de Planck serían tan pesadas que estarían muy fuera del alcance de cualquier experimento concebible.

Sin embargo, quizá las dimensiones extras sean mayores y las partículas KK sean más ligeras. ¿Por qué no preguntar entonces qué pruebas experimentales nos dicen algo sobre el tamaño de una dimensión extra? ¿Qué sabemos realmente, dejando aparte los prejuicios teóricos?

Si el mundo es de dimensión superior y no hay branas, entonces todas las partículas familiares —el electrón, por ejemplo— tendrían socios KK.^[M32] Serían partículas que tienen exactamente la misma carga que las partículas familiares, pero que portan momentos en las dimensiones adicionales. Los socios KK del electrón estarían cargados negativamente, como el electrón, pero serían más pesados. Si hay una dimensión extra enrollada en un círculo, la masa de la más ligera de dichas partículas diferiría de la masa del electrón en una cantidad inversamente proporcional al tamaño de la dimensión extra. Esto significa que cuanto más grande sea la dimensión extra, más pequeña será la masa de la partícula. Como una dimensión más grande daría lugar a partículas KK más ligeras, ninguna de las cuales ha sido vista en los experimentos, las cotas impuestas a las masas de las partículas KK limitan el tamaño permitido de una dimensión enrollada.

Hasta ahora no han aparecido rastros de semejantes partículas cargadas en los aceleradores que operan a energías que rondan los 1.000 GeV. Como las partículas KK serían las firmas de las dimensiones extras, el que no las hayamos visto todavía significa que las dimensiones extras no pueden ser muy grandes. Las limitaciones experimentales actuales nos dicen que las dimensiones extras no pueden ser más grandes que 10^–17 cm (la cien mil billonésima parte de un centímetro).^[105] Esto es pequeñísimo: mucho más pequeño que cualquier cosa que podamos ver directamente.

El límite del tamaño de una dimensión extra es unas diez veces más pequeño que la longitud de la escala débil. Pero aunque 10^–17 cm es muy poco, aun así es enorme comparado con la longitud de la escala de Planck, que es 10^–33, dieciséis órdenes de magnitud más pequeña. Esto significa que las dimensiones extras podrían ser mucho más grandes que la longitud de la escala de Planck y aun así haber escapado de la detección. El físico griego (moderno) Ignatius Antoniadis fue uno de los primeros en imaginar que las dimensiones extras no eran del tamaño de la escala de Planck, sino que eran más bien comparables en tamaño con la longitud de escala asociada con la fuerza débil. Estaba pensando sobre el aspecto que tendría la nueva física cuando los aceleradores incrementaran su energía, aunque no fuera más que un poquito. Al fin y al cabo, el problema de la jerarquía nos dice que debe verse algo a esas energías, en las que se producirán partículas con energías y masas de la escala débil.

Pero incluso el límite comentado más arriba del tamaño de las dimensiones extras no se aplica necesariamente siempre. Las partículas KK son huellas dactilares de las dimensiones extras, pero pueden ser astutas y sorprendentemente difíciles de encontrar. Recientemente hemos aprendido mucho más sobre las partículas KK y el aspecto que pueden presentar. Los capítulos siguientes explicarán los últimos resultados sobre la razón por la cual, una vez que introducimos las branas, las dimensiones extras pueden ser más grandes que 10^–17 cm y seguir evitando su detección, aunque esperemos que dimensiones más grandes den lugar a partículas KK más ligeras. Algunos modelos con dimensiones sorprendentemente grandes —dimensiones que aparentemente tendrían consecuencias muy visibles— pueden ser invisibles y, no obstante, ayudar a explicar las misteriosas propiedades de las partículas del modelo estándar. Y el capítulo 22 presentará un resultado todavía más sorprendente: una dimensión extra infinitamente grande podría dar lugar a infinitas partículas KK ligeras y, no obstante, no dejar ningún rastro observable.