A Pythagoras-tétel
Menjünk vissza néhány percre a messze ősidőkbe. A régi egyiptomiakhoz és indusokhoz. Még ma is csodálják az építészeti szakértők azt a hihetetlen pontosságot, amellyel különösen az egyiptomiak építményeik szögeit és oldalait kitűzték. Ez az ú. n. kötélfeszítők, harpedonaptusok érdeme, akik geometriai ismereteik révén kitűzték a szögeket, különösen a derékszögeket. Hogy ez miként történt: rögtön megtudjuk.
Gondoljuk, hogy pl. egy hatalmas, derékszögű négyszögalakú templomot akartak építeni. Ekkor aránylag kis eltérések a szögekben számottevők. Ezt jól tudja minden kőműves és ács, akik munkájuk közben sűrűn alkalmazzák mérőeszközeiket. A kötélfeszítők — egy a papi rendbe tartozó céh — már az alapkövek ünnepélyes letételénél közreműködtek geometriai ceremóniájukkal. Ezt egy hosszú kötéllel végezték, amelyet (15. ábra) négy csomó 4:3:5 arányú részekre osztott.
15. ábra.
Jelöljük őket sorban a, b,c, és d betűkkel. A c csomói a kitűzendő derékszög csúcsába téve, a 3 hosszúságegységnyi kötéldarabot kifeszítették az előírt irányban. A c és b csomókat cölöpökkel rögzítették. Azután a 4 hosszúságegységnyi kötéldarabot úgy irányították, hogy szemmérték szerint derékszöget alkosson az előbbi, már kifeszített és rögzített kötéldarabbal.
Ha most az 5 hosszúságegységnyi kötéldarabot addig forgatták a b cölöp körül, hogy az a és d csomók egybeessenek és mindegyik kötéldarab teljesen kifeszítve legyen, akkor c-nél pontosan derékszög állt elő. Képben ezt a 16. ábra mutatja.
16. ábra. R a derékszög.
Szokás egyiptomi háromszögnek nevezni éppen ezért az olyant, amelynek oldalai 3 : 4 : 5 viszonyban állanak. Az ilyen háromszög mindig derékszögű, ezt illusztrálja 16. ábránk is.
De nemcsak a régi Egyiptomban, hanem a régi indusoknál is voltak a papok között, akik ismerték és alkalmazták a derékszög ily módon való kitűzésének titkát. Csak Indiában nem az előbbi háromszöget alkalmazták, hanem olyant, amelynél — különös módon — az oldalak egymáshoz való viszonya 15 : 36 : 39 volt. Könnyebb kifejezések kedvéért alkalmazzuk a derékszögű háromszögeknél szokásos két elnevezést : a leghosszabb oldal az átfogó, a másik kettő a két befogó. Tehát az egyiptomi háromszög átfogója 5, befogói 4 és 3, az indiai háromszög átfogója 39, befogói 36 és 15 hosszúságegységnyiek.
A derékszögű háromszög egy speciális eset az összes lehetséges háromszögek között. A befogók pontosan 90°-ot zárnak be, a másik két szögnek együttvéve szintén 90°-ot kell kitennie, mivel tudvalevően a háromszög szögeinek az összege 180 , azaz 2R, vagyis 2 derékszög (R-rel jelölve szokásosan a derékszöget). Mivel továbbá ismeretes, hogy kisebb szöggel a kisebbik oldal az átellenes (és megfordítva), azért a derékszögnek a legnagyobb oldallal, vagyis az átfogóval kell átellenben lennie. Ámde sejthető, hogy a derékszögű háromszögnél nemcsak egy ilyen nagyjában való «nagyobb— kisebb» vonatkozás áll fenn, hanem számszerűleg is határozott az összefüggés. Úgy gondoljuk, hogy a derékszögű háromszög oldalai között is van valami olyan összefüggés, amely megfelel a két hegyes szög összege és a derékszög között fennálló egyenletnek. Első gondolatunk talán az lehet, hogy e megfelelés szerint a két befogó összege egyenlő az átfogóval. De az egyiptomi háromszögnél 8+4=7 és nem 5, az indiainál pedig 15+36=51 és nem 39. Ez az első gondolatunk tehát helytelen!
Talán nem is derékszögűek az előbbi háromszögek? Nem, a piramisok és az indiai épületek megcáfolnak minden kétkedő kérdést.
Nyugodjunk meg! Kifogástalanok a derékszögek, jobbak nem is lehetnének. Jó az egyiptomi és jó az indiai is. Csupán az oldalak közötti összefüggés bonyolultabb, mint előbbi első gondolatunk. Egyelőre indokolás nélkül mondjuk, hogy 2-ik hatványra emelve az oldalak hosszának mértékszámait, egész máskép áll a dolog. Ugyanis
32+42=9+16=25, tehát 32+42=52;
152+362=225+1296=1521 , tehát 152+362=392.
És ez az összefüggés egyike a geometria legfontosabb és legkevésbé nélkülözhető szabályának. Neve : Pythagoras-tétel. Középkori tanulók elnevezése szerint: «pons asinorum», azaz szamarak hídja. Sokan valószínűnek tartják, hogy Pythagoras egyiptomi utazásakor ismerte meg tétele alapjait, s a monda szerint 100 ökröt áldozott föl hálája jeléül az isteneknek, mikor rájött e tételre. (Ezért szokták tréfásan mondani, hogy azóta fél minden ökör az új alkotásoktól.)
Ha általánosan a és b jelöli a befogók, c az átfogó hosszát, akkor a szóbanforgó tétel szerint bármely derékszögű háromszögnél :
a2+b2=c2.
E tétel rendkívül sokféleképp bizonyítható be. Álljon itt egy igen egyszerű bebizonyítás vázlata.
A 17. ábrán két egybevágó nagy négyzet egyikébe (oldalaik hossza a+b) egy c oldalú (árnyékolt) négyzet, a másikába
17. ábra.
egy a és egy b oldalú (árnyékolt) négyzet van beírva. Utóbbi esetben két segédvonallal a nagy négyzet többi része ugyanazon négy egybevágó (a, b, c oldalú) háromszögre bomlik, amelyek az előbbi esetben is jelentkeznek.
Tehát az első esetben
c2 = nagy négyzet — 4 háromszög,
a második esetben
a2 + b2 = nagy négyzet — 4 háromszög,
ahol mindkét esetben területre nézve ugyanazon 4 három szög szerepel.
Mivel az előbbi egyenletek jobboldalai azonosak, azért a baloldalok egyenlők. Tehát valóban
a2 +b2 = c2,
ami bebizonyítandó volt.
Ezzel általános érvényű szabálynak jelentettük ki Pythagoras tételét s ezzel azt is, hogy korlátlan számban létezik ilyen háromszög. Más szóval: Pythagoras tétele valamennyi derékszögű háromszög közös tulajdonságát fejezi ki.
Új képletünket, mivel már általánosan bebizonyítottuk és mivel már szemmel látható, hogy akárhány derékszögű háromszög létezhet, egyszerűen egyenletnek fogjuk tekinteni és az egyenletek algoritmusa szerint fogjuk kezelni. Vagyis kiszámítható a háromszög bármelyik oldala, ha a másik kettőt ismerjük. Erre írjuk fel, egyelőre még általánosan a megoldásokat, bár ezek négyzetes alakúak.
c2=a2+b2
a2=c2-b2
b2=c2-a2
Ha mostan az oldalak négyzete helyett magukat az oldalakat akarom kiszámítani, akkor az egyenletek mindkét oldalán négyzetgyököt vonok.
(Céljainknak a gyöknek a pozitív értéke felel meg. Arról, hogy negatív értéke is van, a képzetes számok tárgyalásával egyidőben fogunk beszélni.)
Tudjuk azonban, hogy nagyon sok gyökvonás irracionális eredményt ad. Ennek azonnal tanulságos példáját fogjuk látni. Tegyük fel, hogy a befogók egyenlő hosszúk, jelük tehát nem a és b, hanem mindkettőé a. Akkor az úgynevezett egyenlőszárú derékszögű háromszögre a
c2=a2+a2
c2=2a2
De a 2-ből vont négyzetgyök, tekintve, hogy 2 nem négyzetszám, feltétlenül irracionális. Racionális a esetén
18. ábra.
Mellesleg megjegyezve, két egyenlőszárú derékszögű háromszöget négyzetté egyesíthetünk és a c akkor a négyzet átlója. Ebből az is következik, hogy a négyzetátlójának és oldalának viszonya teljesen nem fejezhető ki, irracionális. Természetesen fordítva is. Mert ha a c-t választom egész számnak s belőle az a-t akarom kiszámítani, akkor 2a2=c2
lévén, a2-re a c2/2 értéket, a-ra pedig a
Az irracionalitás fogalma tehát geometriai szempontból nem egy mennyiségnek a tulajdonsága, hanem két mennyiség viszonyáé, ha ez a viszony csak irracionális számokkal fejezhető ki. Ezt nevezzük inkommenzurábilitásnak (összemérhetetlenség, összehasonlíthatatlanság)
. Hisz szabadon választhatok, hogy két összehasonlítandó mennyiség közül melyiket válasszam egységnek vagy az egység egész számú többszörösének. Sőt ráadásul: ha négyzetünkben az a-t választom egységnek, c irracionális. Ha viszont c az egység, akkor a lesz irracionális. Így alapvető hiba az az állítás, hogy a kör kerülete azért irracionális, mert az ismert 2rπ=kerület képletben, racionális sugarat kell az irracionális 2π-vel megszorozni. Csupán szokás, hogy a sugarat tekintjük adottnak s ezért egységnek. De ha fordítva járnék el és egy vashengert addig esztergályoznánk, amíg a kerülete a legfinomabb mérőszalaggal mérve is 1 méter lenne, akkor a kerület=2rπ képletéből a sugár,
Pythagoras állítólag ezt az inkommenzurábilis, semmiféle szabállyal meg nem fogható viszonyt számmisztikumában az élet jelképének tekintette, mint olyant, ami a mérhetőséggel dacol. De ne mélyedjünk el ezen a helyen új geometriai kabbalánk szimbolikus értelmezésében, hanem vessünk fel inkább egy valóban kabbalisztikus kérdést. Azt kívánjuk ugyanis, hogy adjunk meg egy olyan szabályt, amellyel valamennyi egészszámmal kifejezhető oldalhosszú derékszögű háromszöget megtalálhatjuk. Tehát nem csupán az egyiptomit, vagy indiait, hanem ahányat csak akarunk.
E végből táblázatot adunk itt, a nélkül, hogy levezetésébe belemennénk. Legyen u és v tetszés szerinti pozitív egész szám és u>v, akkor a következő képletek : c=u2+v2; a=u2—v2; b=2uv; egész számokkal kifejezett oldalhosszú derékszögű háromszögek oldalait adják.
és így tovább.
Szabad még ezen kívül az ilymódon megállapított oldalhosszakat — mondjuk, az egyiptomi háromszög oldalainak a hosszát — tetszés szerinti egész számmal megszorozni s az eredmény ismét számtalan sok racionális oldalhosszú derékszögű háromszöghöz juttat. Így példának okáért:
(3*3)2=(3*4)2+(3*3)2
152=122+92
225=144+81.
Így keletkezett táblázatunk adataiból az indiai háromszög is:
(3*13)2=(3*5)2+(3*12)2
392=152+362.
Egész számokkal történt osztás is számtalan racionális háromszögét eredményez, igaz, hogy ezeknek az oldala már nem egész szám, hanem tört. Például:
Még tovább is mehetek, hisz nem kell feltétlenül egységtörtekkel az oldalakat megszorozni:
(Általában azt mondhatjuk, hogy valamennyi mc2 = (ma)2 + (mb)2 alakú kifejezés helyes, ha m racionális egész- vagy törtszámot, a, b, c pedig a táblázatból kivehető számtalan értékcsoport egyikét jelenti, vagy annak racionális többszörösét.)
HUSZADIK FEJEZET
Szögfüggvények
De ne tévedjünk el teljesen. Mert újabb nagy feladat kívánja megint teljes figyelmünket. Már a Pythagoras tételénél sejtettük, hogy valamilyen szoros összefüggés áll fenn a derékszögű háromszög oldalai és szögei között. Az a tudomány, amely ezeket az összefüggéseket kutatja, tudvalevőleg a trigonometria. És az összefüggések neve, amint már az «összefüggés» szó megpillantásakor sejtettük, szögfüggvény. Természetesen a matematikának ezzel az ágával sem tudunk sokáig foglalkozni. De meg fogjuk ismerni néhány alapvető tételét, mivel azok később szorosan kapcsolódnak a differenciálszámításhoz.
Rajzoljunk először egy tetszés szerinti sugarú kört, két egymásra merőleges húrral osszuk négyfelé, négy negyedkörre, kvadránsra.
19. ábra.
Ha továbbá elképzeljük, hogy egyik r sugár nyugalmi (OA) helyzetéből a nyíl irányában elindul és a középpont körül forog, míg csak az OB helyzetben új nyugalmi helyzetet nem talál, akkor útközben a nyugvó OA szár és a mozgó sugár közt valamennyi 0° és 90° közötti szög keletkezett. Hisz tudja mindenki, hogy az egész kör 860 fokra oszlik, így a negyedkor 90 fokos. Minden ívfoknak megfelel egy szögfok a kör középpontjában. Ha a mozgó sugár a kör kerületén, tegyük fel, 45 ívfoknál áll, akkor a hozzátartozó szög a középpontban éppen 45 szögfok. Most már állíthatjuk, hogy az α (alfa) szög az első negyedben (kvadránsban) valamennyi 0° és 90° közötti értéket felveszi.
Ha továbbá abból a pontból, amelyben a mozgó r sugár a kör kerületét éri, legyen ez a C pont, merőlegest bocsátunk a nyugvó OA szárra (l), akkor derékszögű háromszög keletkezik. Oldalai: átfogója a mozgó sugár, befogói az l merőleges és a nyugvó szárból lemetszett p távolság. Van a sugárnak két helyzete, amelyben ez a háromszög eltűnik, illetve egyetlen egyenes vonallá fajul. Először akkor, amikor a mozgó sugár még a kiinduló OA helyzetében van, másodszor viszont akkor, amikor végső helyzetébe, az OB egyenesbe kerül. A kettő közt végtelen sok háromszög van s mindegyikben természetesen más és más az a szög.
A trigonometria alapfeladata meghatározni a derékszögű háromszög oldalainak ismeretében az α szöget. Bizonyos, hogy fennáll valamilyen összefüggés. A pontozott háromszögben ugyanis, amelyben az a szög nagyobb mint 45°, változatlan átfogó mellett az előbbitől eltérő befogók vannak. Jelölje ezeket l1 és p1.
A legegyszerűbb volna, ha a szögek meghatározását a szemben fekvő l, illetve befogókból kísérelnénk meg. Nem csodálkozunk, hogy ez nem sikerül, hisz már a Pythagoras tételénél is tapasztaltuk, hogy a dolgok bonyolultabbak, így hát itt is megpróbálkozunk komplikáltabb dolgokkal. A szöget így két oldal viszonyából határozzuk meg. Régi matematikusok vagyunk már, emlékezünk, hogy a három oldalból a kombinatorika szabályai szerint három oldalnak 6 különböző viszonyát állíthatjuk elő. Hisz a három oldal, az «elemek», a viszonyok kettes csoportok, variációk ismétlés nélkül. A képlet erre (3 alatt 2)*2 = [(3*2)/(1*2) ]*(1*2)=6. A viszonyok maguk a következők : l:r, p:r, l: p, p:l, r:p, r : l. Valóban valamennyi szögfüggvény.
Rajzoljuk fel ismét a derékszögű háromszöget.
20, ábra.
És nevezzük meg ezenkívül a 6 szögfüggvényünket.
l:r neve «sinus» (a szöggel szemben fekvő befogó viszonya az átfogóhoz),
p:r neve «cosinus» (a szögmelletti befogó viszonya az átfogóhoz),
l:p neve «tangens» (a szöggel szemben fekvő befogó viszonya a szögmelletti befogóhoz),
p:l neve «cotangens» (szög melletti befogó viszonya a szöggel szemben fekvő befogóhoz),
r:p neve «secans» (az átfogó viszonya a szögmelletti be fogóhoz),
r:l neve «cosecans» (az átfogó viszonya a szöggel szemben fekvő befogóhoz).
Rendesen csak az első négy szögfüggvény használatos, tehát nem kell megijedni. Hogy az ijedség még tovább csökkenjen, eláruljuk, hogy tulajdonképpen csak a tangensre lesz szükségünk.
21. ábra.
De elvi okokból először a sinusnak az első szögnegyedben történő viselkedésével foglalkozunk. Ebhez egy mesterfogást alkalmazunk. Mivel a sinus a szöggel szemben fekvő befogó viszonya az átfogóhoz (a körben ez a sugár), vizsgálataink céljára az úgynevezett egységsugarú kört használjuk. Ezt annál inkább megtehetjük, mert senki sem szabhatja meg, hogy mekkora kört használjunk. De fogásunk következtében a sinus mértékszáma l : 1, tehát l és ezzel eredeti tervünk megvalósult: a szöget a szemben fekvő oldallal mérhetjük, az l jelű függőleges vonallal és ezzel csodás módon szöget mérhető hosszúsággá alakítottunk át. De mivel az «egységsugár» bármekkora lehet, hisz a szabadon választott sugarat tettük meg egységnek, a függőleges mindenkor a sinusnak a sugárral, mint egységgel mért «valódi hosszát» adja. Ez ugyanazt jelenti, mint hogy sinus a az l : 1, l / 1 vagy l osztva 1 viszony értékét jelenti. (21. ábra).
A rajzban tehát az l, l1 l2, l3 sorban az α, α1 , α2 , α3 sinusát adja. És azonnal leolvashatom, hogy 0° sinusa 0, 90° sinusa viszont a sugár, vagyis mértékünkben mérve 1. A sinus tehát az első szögnegyedben 0-tól 1-ig nő és közben minden értéket (természetesen irracionális értékeket is) felvesz. Nem fejezhető ki mindenkor közönséges törtekkel. Így például a=45° esetén az l értéke azonos egy r oldalhosszú négyzet átlójának a felével. Pythagoras tétele szerint ekkor: r2 = l2+l2 vagy
tehát biztos, hogy az eredmény irracionális.
De ne folytassuk gondolatmenetünket, jegyezzük meg csupán, hogy a gyakorlatban nem szoktuk a "valódi hosszakat" használni, hanem logaritmusukat. Ezekkel a táblázatokban másodpercnyi pontossággal megadott szögek szögfüggvényei is meghatározhatók (1 fok=60 perc, 1 perc=60 másodperc, jelekkel: 1°=60'; 1'=60").
Most hasonlóképpen meg fogjuk vizsgálni a számunkra oly különösen fontos tangens függvény viselkedését. Gyanítjuk, hogy a tangens valamiképpen az érintővel lehet össze-
függésben (tangens=érintő). Most pedig gépet szerkesztünk erre a célra s ennél előbbi gyámkodásunk igazolást fog találni. Tekintve, hogy tangens α = l : p, más fogásra lesz most szükségünk. Azt kívánjuk mostan, hogy a v legyen az egység. Így tehát a mozgó szár most már nem lehet a sugár, hanem valamilyen másik egyenes. Rajzoljuk fel tehát:
22. ábra.
23. ábra.
l:p=l:r=l:1 mostan az egységkör érintőjének metszeteként adódik. A sugár itt az egyik befogó, most a másik befogó és az átfogó változik. Szerkezetünk ezt az elvet követi. (28. ábra.) Látható e képen az egységsugarú kör, az érintő, rámérve egységenként a sugár és végül a középpont körül forgatható átfogó, amely az érintőből a megfelelő darabokat levágja. Az a szöget közvetlenül leolvashatjuk az átfogóra szerelt szögmérőről.
Ha a szög 0, akkor tangense is 0, mivel 0 : 1=0. De innen kezdve az "érintőn" leolvasható tangens értéke rohamosan nő. α=45° esetén tangens α=l, 60°-nál már l,73205, 70°-nál 2,74748, 80°-nál 5,67128, 85°-nál 11,48005, 89°-nál 57,28996, 89 5/6 °-nál már 343,77371 és végül 90°-nál plusz végtelen, a mozgó átfogó a végesben már egyáltalán nem éri el az érintőt. Láthatjuk, hogy a legnagyobb növekedés, 89 5/6° és 90° között, már rendkívül rohamosan történik.
Most már joggal kérdezhetjük, mire való tulajdonképpen a trigonometria? Már megmondtuk, hogy a tangens, a tangensfüggvény, nélkülözhetetlen számunkra a felső matematikában. De ez nem lehet az egyetlen oka annak, hogy ilyen bonyolult és nem egyszerű tudomány olyan részletesen kiépült.
Utaljunk tehát egészen röviden arra, hogy a trigonometria minden olyan feladatnál nélkülözhetetlen, ahol háromszög oldalaiból szögeket, vagy szögekből oldalakat kell kiszámítani. Vagy ahol oldalak és szögek valamilyen kombinációjából a többi szöget és oldalt kell meghatározni. Térbeli távolságok trigonometriai számítások útján határozhatók meg. Az egész geodézia tudománya (földméréstan) trigonometriai alapokon nyugszik. A Mount Everest magasságát például, amelyre ember még nem jutott fel, így lehet nagy távolságból meghatározni. A síkságon ismert hosszúságú alapvonalat kell kitűzni, a hegycsúcsot szögmérő távcsővel (teodolittal) beirányozzuk és a háromszögből a hegy magasságát jelentő befogót kell kiszámítanunk.
24. ábra.
Az α és β (görög kis béta) szög meghatározása után kiszámítható a γ (görög kis gamma) szög is, hisz az (180°—β). Ebből aztán kiszámítható a δ (görög kis delta) szög is. δ= [180°—(α+γ)]. Továbbá β+ε egyenlő 90° így ε (görög kis epszilon) annyi mint (90°—β). De ha már valamennyi szöget ismerem, akkor ismerem a szögfüggvényeket is és eléggé egyszerű képletekkel kiszámíthatom az alapvonal, az α és a γ segítségével, előbb valamelyik látóvonalnak a hosszát, abból pedig az α és a β figyelembevételével a hegy magasságát.
Hasonló eljárást alkalmaz a tüzérség is a lövésnél.
De nem foglalkozunk tovább a nagyon érdekes trigonometriával, a gömb felületére rajzolt háromszögekkel foglalkozó tudománynak, a gömbháromszögtannak (szférikus trigonometriának) csak a nevét említjük, habár az utóbbinak a földrajzban és a csillagászatban jut érthetően nagy szerep. Teljesség kedvéért és a geometria más fontos területének megismerésére inkább megismerkedünk a számok egy újabb típusával, az eléggé barátságtalanul hangzó nevű imaginárius, vagy képzetes számokkal, amelyeknek ábrázolása a nagy Karl Friedrieh Gaussnak (1777—1855) sikerült először.
HUSZONEGYEDIK FEJEZET
Jól bevált szokásunk szerint ezt a nehéz területet is a legegyszerűbb eszközökkel fogjuk megközelíteni. Emlékezzünk : a gyökvonás szolgált az első nagy számelméleti meglepetéssel : irracionális eredményekhez vezetett. És ismét a gyökvonás az, amely az imaginárius, képzetes számok birodalmába vezet. Imago latin szó, magyar jelentése kép, de a valószerűtlenség árnyalata is tapad hozzá. Imaginatio tehát képzelődést, de csalóka képet is jelent. Számainkhoz tehát már eleve valamelyes majdnem degradáló értelem fűződik. Régen egyenesen «lehetetlen» számoknak is nevezték őket.
További megállapítások helyett nézzük inkább keletkezésüket. Ha visszaemlékezünk a szorzás előjelszabályaira, azonnal eszünkbe ötlik ama csodálatos tény, hogy a szorzást elvégezve legjobb akarattal sem tudjuk megállapítani, milyen tényezőket szoroztunk össze. Senki sem tudhatja, hogy plusz két pozitív, vagy két negatív szám szorzásából keletkezett-e? Ha (+a2)-et írok, akkor ez az a2 úgy a (+a) (+a) szorzásnak, mint a (—a) (—a)-nak az eredménye lehet. Közönséges számok esetén a probléma nem érdekes.
Tehát az alapműveleteknél nem aktuális és jelentéktelen. Összeadásnál éppúgy nincs közöm ahhoz, hogy a (+a2) miként keletkezett, mint kivonásnál. Értéke (+a2) és így kell mindenkor használnom. Szorzásnál és osztásnál sem más a helyzet. Mert akár (+a)-val, akár (—a)-val osztok, helyes és egyértelmű eredményre jutok, közömbös, hogy a (+a2) miként jött létre. Mert tegyük fel, hogy (—a) (—a)-ból keletkezett. Akkor a (+ a)-val történő osztás:
A (—a)-val történő osztás:
De ha (+a) (+a)-ból keletkezett, akkor a (+a)-val való osztás esete egyszerű:
és a (—a) esete :
De négy esetünk helyesnek mutatkoznék akkor is, ha nem érdeklődünk az előjel származása iránt, hanem egyszerűen elvégezzük az algebra szabályai szerint az osztást. Mert az előbbiekben a számlálókat összeszorozva, minden kétértelműség nélkül azonnal adódik, hogy (+a2) : (+a)=(+a) és hogy (+a2) : (—a) = (—a).
Gyökvonásnál más a helyzet. Mert ha még egyszer felírjuk, hogy (+a)(-fa) és (—a)(—a) egyaránt (+a2), akkor a megfordított, litikus művelet, a
Bizonyos ugyan, hogy a gyök abszolút értéke feltétlenül |a|, de előjeléről a
Eddig tisztázott a dolog. De senki sem akadályozhatja meg, hogy meg ne kérdezzük, mi az értéke egy negatív számból vont páros kitevőjű gyöknek. Például
Semmiképpen sem tudunk erre az egyébként jogosult kérdésre felelni. Mert az eddig megvizsgált számok közt nincs olyan negatív szám, amely páros kitevőre emelés útján keletkezett volna. Minden szám 2n-edik hatványa feltétlenül pozitív. De ha a számot, amelyből 2n-edik gyököt akarunk vonni, nem lehet 2n-edik hatványnak tekinteni, akkor nem is lehet belőle gyököt vonni. Sem általánosan, sem konkrét számokkal. Az eredmény nem lehet sem egész, sem tört, sem pozitív, sem negatív, sem racionális, sem irracionális szám.
Tehát tagadhatatlan, hogy új, ismeretlen számfajtával állunk szemközt, olyannal, amelynek az a különleges tulajdonsága van meg, hogy 2n-edik hatványa negatív szám. De — ez később kiderül — minden ilyen szám visszavezethető a (—l)-ből vont négyzetgyökre, ezért egyelőre hagyjuk az általánosságot és beszéljünk a (—l)-ből vont négyzetgyökről, a
A képzetes számokkal kapcsolatban egészen váratlan eredményekre bukkanhatunk. Huygens, a nagy fizikus és matematikus joggal csodálkozott, amikor Leibniz feladta neki a kérdést: számítsa ki
összegét, sőt még azt is állította, hogy a számítás eredménye valós szám, 2,4494897... vagyis gyök(6), Hogyan lehetséges, kiálthatott fel Huygens, hogy két gyökkifejezésnek, az összege, amelynél a gyökjel alatt az egységnek és egy képzetes gyökkifejezésnek az összege és különbsége áll, igaz, hogy irracionális, de mégis valós számot adjon eredményül? Milyen mélységek felett vitt ismét simán keresztül algoritmusunk? Mindenesetre kövessük nyomon keletkezésében eredményünket. Tehát állítólag
Ellenőrzésül emeljük négyzetre.
Leibniz eredményét tehát kiválóan verifikáltuk. De hogy ilyen nehézkes számolásra máskor ne legyen szükségünk, jegyezzünk meg két egyszerű mesterfogást. Ezeket:
(a+b) (a—b) = a2+ab—ab—b2 = a2—b2,
vagyis azt, hogy két szám összegének és különbségének a szorzata egyenlő a két szám négyzetének a különbségével. Továbbá: (a+b)2=(a+b) (a+b) = a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2; (a—b)2=a2—ab—ab+b2=a2—2ab+b2, vagyis két szám összegének vagy különbségének négyzete egyenlő a két szám négyzetének összege, plusz, illetve mínusz a két szám kétszeres szorzata. Ezt csak mellékesen. Említettük, hogy a képzetes egységet, a
Most, amikor már valamennyi számtípust ismerjük, írjuk fel, mielőtt még a képzetes számok ábrázolásához fognánk, a számoknak mintegy "családfáját".
Ezzel végérvényesen és visszavonhatatlanul felérkeztünk képzetes irányba is kiterjeszkedett számhegyünknek a tetejére. A még általánosabb hiperkomplex számokkal, köztük a Hamilton-féle quaterniokkal, nekünk nem kell foglalkoznunk. Megelégedettek lehetünk az elért magassággal. Ennek birtokában be tudunk hatolni a matematikának minden általunk érintett és érintendő részébe.
Térjünk vissza tehát «számvonalunkhoz», amely már oly sok jó szolgálatot tett nekünk bonyolult fogalmak szemléltetésénél. És lássuk, miként tudjuk rajta csodálatos és barátságtalan imaginárius számainkat, ezeket a számkísérteteket elhelyezni.
Tehát megrajzoltuk a számvonalat és most mindenféle átalakító bűvészmutatványt kísérelünk meg rajta.
25. ábra.
Hogy általánosan számolhassunk, tekintsük a számvonal pozitív részének 0-tól kiinduló a hosszúságú darabját. Ennek hossza esetünkben 5. Természetesen az a abszolút értéke bármely véges szám lehetett volna. Ha mostan a nullpontot tekintjük forgáspontnak, akkor (+a)-t addig fordíthatjuk, amíg csak az abszolút értékre ugyanakkora (—a)-t nem fedi, azzal azonos nem lesz. Közben két teljesen önkényes megállapítást tettünk. Először is a számvonal baloldalát a negatív számok helyének jelöltük ki. Másodszor az óramutató járásával ellenkező forgási irányt neveztük pozitívnak. Ismét kérdezzük tehát: miként lett hirtelen a (+a)-ból (—a)? Mit kellett matematikai, illetve geometriai szempontból tennünk, hogy ebhez az eredményhez jussunk? Geometriai szempontból nyilvánvaló, hogy félkörrel, 180 fokkal kellett egyenesünket a 0 pont körül elfordítanunk. Ha ennek a forgásnak matematikai értelmet is akarunk tulajdonítani, olyat, amelyik általános algoritmusunkkal összeegyeztethető, akkor az "algoritmus fenntartására" azt kell állítanunk, hogy az ilyen 180 fokos forgatás (—l)-gyel való szorzással egyértelmű. Circulus vitiosusnak látszik ez a megállapítás, de hamarosan hasznát fogjuk venni. Mert máris tudjuk belőle, hogy (+a) (—1)=(—a). A (—l)-et ezért "forgási tényezőnek" nevezzük. Ha most az előbbi irányban tovább akarok forgatni, akkor a (—a) további 180 fok után ismét (+a)-vá változik és (—a) szorozva forgási tényezővel, (—l)-gyel, (+a)-t ad. Algoritmusunk tehát eddig kifogástalanul működik.
A következőkben a nagy Karl Friedrieh Gaussnak itt alkalmazott mesterfogását fogjuk megismerni, sőt szinte átélni. Feltesszük ugyanis a kérdést: mi történik, ha a tengelyrészt nem 180 fokkal, hanem csak 90 fokkal fordítom el? Mi lesz akkor a (+a)-ból? Hogy az abszolút értéke a forgatás minden fázisában változatlanul |a| marad, az már csak abból is következik, hogy a sugara egy éppen keletkező körnek. De mi az előjele ennek az immár merőlegesen felfelé álló |a|-nak? Kijelentjük, hogy plusz, mert így akarjuk. És azt állítjuk, hogy ez a felfelé álló |a| hosszúságú + előjelű vonaldarab "természetesen" nem lehet egyéb, mint (+a). De ez a dolog egyáltalán nem természetes. Mert ha az első 90 fokos fordítás mit sem változtatott az előjelen, miért változtatja akkor a következő hirtelen mínusz (—)-ra az előjelet? Pedig, hogy így van, az a 26. ábrán is jól látható.
Csak nem lehet a forgási tényező egyszer (+1) és az azután következő ugyanakkora forgásnál (—1)? Ilyen "alternáló" forgási tényező teljesen elviselhetetlen volna számunkra. És az is maradna. Mert ha, tegyük fel, a forgatást újabb 90 fokkal folytatom, akkor a függőleges tengelynek lefelé irányuló, logikusan (—) előjelű részét kapom, tehát a forgási tényező megint (+1). Ha most a negyedik negyedkört próbáljuk ki, akkor a pluszból ismét mínusz lesz, mert (—a) (—l)-gyel szorzandó, hogy az eredmény (+a) legyen. Röviden, a helyzet teljesen tarthatatlan és ez még inkább kitűnik, ha állításainkat összefoglaljuk és azt mondjuk, hogy 180 foknak (—1) felel meg mint forgási tényező, de a 180 fok két felének felváltva (+1) és (—1).
26. ábra.
De van arra eszközünk, hogy ebből a zsákutcából szabadulhassunk. Egyszerűen keresni fogjuk, hogy mekkorának kell a 90 foknak megfelelő forgási tényezőt választanunk. Valami előttünk ismeretlent keresni: egyenlettel való dolgozást jelent. Tehát csak arról van szó, fel tudunk-e írni valamilyen egyenletet. Azt tudjuk, hogy 180 fok a (—l)-nek megfelelő elfordulás. Tehát 180 foknak a (—1) felel meg. De ez a (—1) szám két egymásután következő 90 fokos részforgásból adódik. Ebből következik, ha a 90 foknak megfelelő, egyelőre ismeretlen forgási tényezőt x-szel jelöljük, hogy a 90 fokkal elfordított a-ból, a*x lesz. Ha újabb 90 fokkal fordítom el, akkor ismét x-szel kell szoroznom. Tehát (a*x)*x és ez annyi mint a*(—1). Egyenletben: (ax)x=a(—1). Osztunk a-val
Meglepetve kapjuk 90 foknak megfelelő forgási tényezőként az i számot. De ezzel együtt megkaptuk a képzetes számok számvonalát is. És ez az egészen misztikus felfedezés azt is mutatja, hogy a képzetes számok vonala a valós számok vonalára a 0 pontban merőleges. Az algoritmus továbbá még valamiről gondoskodott, még pedig arról, hogy bármely számértéket 90 fokkal elforgathassunk ; erről a forgásnak mind a négy negyedben való követése utján fogunk meggyőződni.
Ismét a (+a)-ból indulunk ki. Forgassuk el 90 fokkal, az eredmény (+ai). Újabb 90 fok után: (+ai)i tehát (+ai2). De mivel i2 egyenlő (—1), az eredmény 180 fok után (—a), ami szemmel láthatóan helyes. A harmadik negyedkor után (—a) (+i)=(—ai) az eredmény és végül a negyedik után (—ai)i=(—a)i2=(—a) (—l)=(+a).
Ha most az eredményt áttekintjük, látjuk, hogy a valós és képzetes számok együtt egy síkban fekszenek, helyesebben csak síkban ábrázolhatók. Mert egy derékszögű tengelykereszt csak síkban, szóval felületen létezhetik. Alapfeltétel a második dimenzió.
De az eddigiekkel egyáltalán nem elégszünk meg és kiterjesztjük újonnan szerzett tudásunkat. Ezért rajzoljuk fel újból a tengelyeket számsíkunkban, ezúttal konkrét számokkal.
A vízszintes tengelyt, tehát a szokott közönséges szám-vonalunkat nevezzük x tengelynek, két fele a +x és a —x tengely. A képzetes tengelyt viszont y tengelynek nevezzük.
27. ábra.
a (+i)-ket tartalmazó felső része a +y a (—i)-ket tartalmazó alsó része a (—y). Ez a szokásos megjelölése a tengelykeresztnek, bármilyen célt szolgál is. Lesz még dolgunk vele.
Most az érdekel, hogy a képzetes számok ugyanolyan sűrűn helyezkednek-e el a tengelyen, mint a valósak. Mert biztos, hogy ettől függ magának a számsíknak a teltsége, hézagmentessége is. Ha ugyanis a képzetes tengelyen nem helyezkednének el a számok éppen olyan sűrűn, mint a valós tengelyen, akkor nem tudnám a számsíknak minden, tetszés szerinti pontját valamilyen valós és képzetes részből álló kombinációval kitölteni. De ezzel előre nyúltunk. Mert hisz még azt sem tudjuk, hogy ilyen kombináció rajzban egyáltalán lehetséges-e? és ha lehetséges, akkor milyen.
Ezért a következőképpen okoskodunk. Az i sem egyéb, mint valamilyen parancs. Parancs: i-vel való szorzást kíván. Minden a számnak van abszolút értéke |a|, közömbös hogy ez a szám egész, tört vagy irracionális-e. Ezt az a-t mindenkor megtalálom a valós számvonal pozitív részén. De gondolatmenetünkben a számvonalnak e részéből indultunk ki és ebből származtattuk az összes többit. Ezen találtuk meg először a természetes egész számokat, itt helyeztük el közben először a racionális törtszámokat, majd az irracionális számokat. Most lesz azonban az előjelnek a kérdése időszerű. Ha az |a| abszolút értéket a + vagy — fogalmával kapcsolom össze, nyerem a (+a) és a (—a) értékeket. Negyedkörrel történő elforgatás vezet a (+ai) és (—ai) értékekhez. Tehát a parancs azt jelenti, hogy \a\ darabbal függőlegesen felfelé a 0-tól. A (—i) viszont, hogy |a| darabbal lefelé. Első problémánk ezzel megoldódott. Az |a| tengelykeresztünk mind a négy ágán egyformán érvényesül. Előjel és i parancsok csak más-más módon való megnyilvánulásra késztetik. Nincs már semmilyen kétségünk az i tengelyen elhelyezkedő számok sűrűsége felől. Ugyanaz a szerkezete, mint a valós tengelyé, izomorf vele. És valóban léteznek ilyen számok :
Az i előjelnek, vagy együtthatónak is tekinthető, tehát így is írhatnánk:
De most merül fel a további kérdés: milyenek tehát a valós és képzetes részből álló additív vagy szubsztraktiv számkombinációk? Röviden, mily módon rajzolhatók fel az (a±ib) alakú komplex számok? Világos, hogy az összekapcsolást egy tengelyen aligha végezhetem el. (+1) vagy (—1) alakú forgási tényezők az |a| értéket a valós tengely valamelyik részébe fordítják, a (±i) alakú forgási tényezők pedig a képzetes tengelybe. Tehát a számok legáltalánosabb fajtáját, a komplex számokat forgási tényezőkkel tulajdonképpen így kellene írnom:
Most az, hogy ez a kifejezés valós vagy képzetes számot jelent-e, már kizárólag az |a| és |b| értékétől függ. Ha |a| = 0, akkor a (+i)|b| marad meg, vagyis a képzetes ±bi szám. Ha viszont |b| =0, akkor (+1)|a| a maradék vagyis a valós (±a) szám. Ha |a| és |b| egyszerre 0, akkor az eredmény 0. Ha viszont sem |a|, sem |b| nem 0, akkor a szám legáltalánosabb alakja, a komplex szám áll előttünk.
Ennek a fogalomnak képszerűvé tételéhez szükséges, hogy felvessük a kérdést: mit jelent tulajdonképpen egy a+bi vagy a—bi alakú parancs, a vagy +a azt jelenti, hogy a számvonal pozitív részén a darabbal kell előre haladnunk. Például 3 egységgel, bi azt jelenti, hogy emelkedjünk az előbbi mozgásra merőlegesen, felfelé, bi-vel. Például 4i-vel. Mozgási jelenséggel, tehát kinematikai, foronomiai feladattal állunk szemben. (Kinema a. m. mozgás, foronomia a. m. általános, elvont mozgástan.) A mozgás eredménye két egymásra merőleges irányban egyidőben végzett mozgással érhető el, tehát mindkét elmozdulásnak az eredőjét kell ábrázolnia. Röviden, az így adódó végpont mind a valós, mind a képzetes parancsnak megfelel. Rajzoljuk fel ezt a 3+4i számot. (29. ábra.)
Most már tisztán látjuk az előjel és i parancsok értelmét. Figyelemreméltó a IV. negyedben látható szám, mert ennél a képzetes rész irracionális. Mégpedig —iπ, ez annyi mint — (3,141592... )*gyök(—1).
28. ábra.
29. ábra.
Érdekes és termékeny volna a komplex számok további elméletével foglalkozni. Hisz a felsőbb matematikának egyik fontos része foglalkozik a "komplex változók elméletével", de kitűzött célunktól túlságosan eltérnénk ezáltal. Tehát csupán annak megjegyzésére kell szorítkoznunk, hogy komplex számainkat egyszerűen többtagú algebrai kifejezéseknek tekinthetjük s ha némi óvatossággal is, de szabadon végezhetjük velük alapműveleteinket. Végeredményben az i sem egyéb, mint egy «alma». Bizonyos ugyan, hogy valóságban számolva nem szabad elfelejtenünk, hogy jelentése tulajdonképpen
műveleteink szabályaival.
Éppen most utaltunk arra, hogy semmilyen nehézséget sem okozhatnak a képzetes számok a négy alapművelet végzésében. De ne hagyjuk el a matematikának ezt a különös részét úgy, hogy csodáiról valamelyes fogalmunk ne legyen. Ezért eláruljuk, hogy az i hatványozása, forgási tényezői mivoltának megfelelően szakaszosan ismétlődő, ciklikus eredményt ad. Ennek a következő a lefolyása:
Vagy általánosan:
ahol az n bármely véges egészszámot jelenthet.
Imaginárius és komplex számokból való gyökvonás még bonyolultabb, mint a hatványozás. Az a célunk mindenkor, hogy a (—1) magasabb kitevőjű gyökeit a (—1) négyzetgyökével, tehát i értékekkel fejezzük ki. Erre számos zseniális módot eszeltek ki és képletet találtak a forgási tényező jelleg figyelembevételével. Ezeknek a levezetése megint túlságosan messzire vezetne. (*) Megelégszünk tehát azzal, hogy valamely komplex szám négyzetgyöke a következőképpen számítható ki:
Ezt a képletet az i négyzetgyökének kiszámítására is használhatjuk, mert az i sem más, mint olyan komplex (a+bi) szám, amelyben az a=0 és a b=1. Képletünk szerint gyök(i) értéke
Az i négyzetgyöke tehát már nem a képzetes tengelyen van, hanem valahol a számsíkon.
Általánosan az i n-edik gyökét fenti képlettel aligha tudjuk meghatározni, csak akkor, ha az n=4, 8, 16, 82 stb., szóval kettőnek valamilyen hatványa és akkor is csak nehézkesen, a képlet ismételt alkalmazásával. Az n-edik gyök meghatározására általánosan a következő képlet szolgál:
Ebből a példából már sejtheti az olvasó, hogy milyen hihetetlen lehetőségek vannak képzetes szellemvilágunkban : i-ből vont n-edik gyök hirtelen szögfüggvényekből alakult komplex számmá változott. Magasabb nézőpontból ez nem meglepő: az alsóbbrendű világok ellentétei fönn találkoznak és kiegyenlítődnek.
Most a teljes számvilág birtokában és a mozgási parancsok követésmódjának ismeretében olyan cél elérésére fogjuk tudásunkat használni, amely egymástól nagyon távolesőnek látszó dolgokat kapcsol össze.
Hosszú történeti fejlődés előzte meg az "analitikus geometriai" és a "koordináták" felfedezését. Ez a fejlődés a pergai Apolloniustól a kolostorokban a XIV. században folyó skolasztikus kutatásokon át, majd Kepleren keresztül Fermatig és Descartesig vezet. De Descartes (Cartesius) nevéhez a zseni iránti mérhetetlen csodálatunk fűződik, mert ő fiatal lovastiszt korában, a harmincéves háború borzalmai közepette, magyarországi téli táborokban emelte a matematikai «analizist» arra a fokra, amely egy időre tetőpontot és nyugvópontot jelentett.
(*)Nem okoz nehézséget, ha az i-nek valamilyen együtthatója van. Például
HUSZONKETTEDIK FEJEZET
Eddigi szoksaink szerint, még mielőtt a részletes tárgyaláshoz fognánk, gépszerű berendezéshez folyamodunk, hogy az általános mozgástan, a foronomia néhány jelenségét megismerjük. A foronomiának ma már a neve is majd feledésbe merült. A mozgástan a fizikában kinematika néven szerepel, s inkább fizikailag érzékelhető testek szélső esetben az anyagi pont mozgásával foglalkozik, vagyis testnek a mozgásával, mégha az egyetlen ponttá, "anyagi ponttá" zsugorodott is össze.
De minket nem érdekel, hogy mi mozog. Bár ez a valóságban lehetetlen, mégis absztrakció segítségével csak magára a mozgásra leszünk tekintettel. Matematikai pontokat alkalmazunk, szélesség nélküli, matematikai vonalakat és vastagság nélküli felületeket. Tehát csak gondolható, de nem észlelhető tárgyakat. Ezért mulatságos az a régi adoma, amelyben a parvenű apa fia egyéves önkéntesként szolgál. A fiú, sokszor és különféle ürügyekkel pumpolván apját, végül már azért kér pénzt, mert eltörte a puskáján az "irányvonalat" («vizir» vonalat) s helyette másikat kell a kincstár számára vásárolnia. Ez az "irányvonal" az ideálunk. Mert valódi, testnélküli, matematikai vonal. Azt a vonalat jelenti ugyanis, amely képzeletben a célzó szemet, az irányzékot, a célgömböt és a célt összeköti. Tehát csak hossza van, szélessége egyáltalán nincs. Érthető, hogy nem lehet egykönnyen eltörni.
De mindez csak annak magyarázatára szolgál, hogy mit is kell gondolnunk akkor, ha a következők során pontokat és vonalakat rajzolunk. Szimbolikus vastagságot, szélességet kapnak, de soha sem szabad elfelejtenünk, hogy tulajdonképpen láthatatlanoknak kellene lenniük. De lássuk gépünket. Feszítsünk ki rajztáblánkon egy ív közönséges rajzpapírt és tegyünk a táblára, közel az alsó széléhez egy fejes vonalzót. Húzzunk mellette vonalat, majd kérjünk meg valakit, hogy tolja felfelé a vonalzót, akár változó sebességgel. Ugyanakkor ismét végighúzzuk balról jobbra ceruzánkat a vonalzó mentén egyenletes sebességgel.
30. ábra.
Meglepetésünkre nem egyenes, hanem többé-kevésbé szabálytalan, zeg-zugos vonal rajzolódik a papírra. Nem is emelkedik mindenütt, egyik részén süllyed, segédünk kezéből kisiklott a vonalzó és így az visszacsúszott. Kísérletünket természetesen bármikor és sokféle módon megismételhetjük. Megállapodhatunk segédünkkel, hogy egyenletesen taszítsa a vonalzót, vagy bizonyos módon változó sebességgel. Hogy ez a megállapodás mire vezet, később látjuk meg.
De előbb a foronomia gondolatmenete nyomán lássuk, hogy miként keletkezik a különös alakú vonal. Világos, hogy két egymásra merőleges mozgás játszódik le egyidőben. Egyik a ceruzám egyenletes mozgása balról jobbra, a másik a vonalzónak, a segítőtől származó, változó mozgása alulról-felfelé.
Ceruzám kénytelen a mozgás pillanatában, egyidőben, mindkét mozgást követni. És a ceruza a mozgás minden, legkisebb részében egyidőben mozgott felfelé és jobbra. Mondhatnék, hogy legjobb tudása szerint törekedett mindkét mozgást kielégíteni. Ha vonat halad záporesőn keresztül s pl. az esőcseppek függőlegesen esnek lefelé, akkor a kocsiablakon az esőcseppek nyoma nem függőleges, hanem ferde vonal lesz. Annál ferdébb, minél gyorsabban megy a vonat. Az esőcseppek is mindkét, egymásra merőleges mozgást el akarják végezni. A mozgásnak igen-igen kis részét így is képzelhetjük:
Ez az úgynevezett "mozgási parallelogramma" szemlélteti, hogy a P pont mindkét mozgási parancsnak eleget tesz: P1-be úgy jutott, hogy jobbra is haladt, felfelé is.
Ez a parallelogrammával történő szemléltetés csak megközelítő, hacsak nem pontosan állandó a felfelé irányuló mozgásnak sebessége is. Vagyis a pont P és P1 közti pályája csak akkor pontosan egyenes darab, ha mindkét mozgás egyenletes sebességű. De gépszerű berendezésünknél megengedtük, hogy a felfelé irányuló mozgás teljesen tetszésszerinti, azaz általános legyen. Ezért mozgási parallelogrammáról a mozgás bármilyen kis részénél is csak megközelítésben beszélhetünk, mert a pálya mégoly kicsi része is zeg-zugos vonal. (32. ábra.) És bármilyen kis részt választok is, az egyenetlen emelkedés következtében pálya részei mindenkor egyenetlenek.
Másképpen kell vizsgálatunkhoz fognunk. Az egyetlen lehetőség az, hogy a legkisebb részeiben is szabálytalan pálya nehézségeinek elkerülésére a pályának hosszúság nélküli darabját, tehát egy tetszés szerinti pontját vizsgáljuk.
32. ábra.
Levéve a tábláról a fejesvonalzót, válasszuk ki céljainkra a P pontot. Miként részesült ez a pont a két mozgásban? Bizonyára úgy, hogy x távolsággal tolódott jobbra, vagyis a ceruzánkat x távolságnyira kellett jobbra húznunk. A feleié tolásból eredő magasságát y jelöli.
33. ábra.
Ezt a megfontolásunkat a pálya bármelyik pontjára elvégezhetjük és minden egyes esetben x jelöli a "hosszirányú" y pedig a «magassági» elmozdulást. Tehát a pálya minden pontja jellemezhető az x-ével és y-ával. Az x és y, amelyeket könnyen lemérhetünk, az illető P ponthoz rendelt, «koordinált» értékek. És Leibniztől származó nevük: koordináták Pontosabban «pontkoordináták», mert ponthoz rendeltünk koordináltunk, helyzetükre jellemző adatokat.
Mindezzel azonban nagyon kevésre megyünk, mert nem mérhetjük le a pálya végtelen sok pontján az x és y értékét, a koordinátákat. Hogy a pálya végtelen sok pontból áll, az onnan is következik, hogy az x egyenes minden egyes pontja fölött van a pályának is egy-egy pontja és mert rajzolása közben ceruzánkat sohasem emeltük fel a papirosról. Eddigi ismereteink szerint az ilyen folytonos vonal végtelen sok pontból áll. Aritmetikai szempontból azt is állíthatom, hogy az alapvonalunk nem egyéb, mint a számegyenes. Hisz az x szabadon választható: 0, tört vagy irracionális is lehet.
Általános szabály az x és y meghatározására: ez az, ami nekünk még hiányzik. Tudjuk, hogy az olyan képlet, amelyben az x és az y előfordul és ismeretlen, az diophantosi, vagy nem diophantosi, de mindenképpen határozatlan egyenlet két ismeretlennel. Ámde az x ismertté tehető, amennyiben szabadon választom. De ha az x szabadon választható, akkor a megfelelő y kényszerítő erővel adódik.
Tehát egyszerre megtaláltuk a kivezető utat. Sőt, azt is tudjuk, hogy milyen eszközzel tudunk ezen az úton biztosan haladni. Függvénnyel! Vagyis y az x függvénye, mivel a függvénynél tartozik tetszőleges x-hez bizonyos y. Hogy kapjuk meg azonban a pálya minden pontjára érvényes függvényt? Á dolog nagyon kétségbeejtőnek látszik. Józan ésszel csak egy egyenes, vagy kör, vagy ellipszis, vagy más szabályos pálya számára találhatok egy pályafüggvényt, de nem bármely szabálytalan zeg-zugos pályához. Volna még egy utolsó kivezető út. Talán fölbontható pályánk kellő szabályosságú részekre és azután e részek mindegyikének a pálya-függvénye veendő. Eláruljuk, hogy úgy az ellenvetések, mint a javaslatok helyénvalók. Biztos, hogy a «szabályosság» fogalma nagyon üres. És azonkívül egy cirkulus. Mert meg is fordítható az egész probléma és állíthatjuk, hogy ha minden pályának megfelel egy függvény, akkor minden függvénynek megfelel egy pálya. Nagyjában ez is helyes. Hogy sejtelmeinknek alakot adhassunk, koordináta-geometriánk számára további eszközökről gondoskodunk.
Tudjuk, hogy egy függvényt általánosan pl. y=f(x) alakban írunk. Ez azt fejezi ki, hogy y bizonyos (de különben tetszésszerinti) kifejezés x-ből és állandókból. Pl. az
megadott — meglehetős bonyolult — függvénye az x-nek. És pl. y=5x+13 sin x szintén az. A függvény szó jelentése nem teljesen egyértelmű. Néha magát az egész egyenleget akarja jelenteni, máskor pedig csak az y-t, mint az x-re kirótt számítások eredményét. Utolsó egyenletünk így is írhatnánk:
(funkció x)=f(x)=5x+13 sin x, vagy részletezve:
Természetesen így is:
A függvény szó különféle jelentésének összecserélésével sok hibát szokás elkövetni, pedig végső elemzésben csak egységes a jelentése. S ez a kezdőt könnyen megzavarja. Éppen ezért az egész ügyet a kezdet-kezdetétől vezetjük le. Legyen valamely egyenlet előttünk, pl. a
15x2+9x+3y=12x—27.
Ebben x, y szerepelnek, az x még hozzá két különböző hatványon, az y-nak együtthatója van, a 3. Ha ezzel a «függvénnyel» dolgozni akarnánk: zavarban lennénk. A mi előbbi mutatóval ellátott gépszerű berendezésünk is csődöt mondana. Mert ez y-t és nem 3y-t mutatja. Egy ilyen függvényt éppen ezért implicitnek (mintegy beburkolnak) nevezünk és meg kell próbálnunk explicitté (azaz kifejtetté) változtam. Mivel eddig mindig az érdekelt, hogy mekkora az y, azért az y-t úgy kell "izolálnunk", miként annak idején az x-et izoláltuk az egyenleteknél. A két eset lényegében alig különböző.
Mert ha jogunkban áll az x számára tetszésszerinti értéket fölvenni, akkor mindazon tagok, amelyekben előfordul az x, állandókká válnak. Ekkor azonban (az egyenletek nézőpontjából beszélve) ismeretlen csak az y marad. Egy egyenletet oldunk meg y-ra nézve úgy, miként pl. a
2x+5a=24+17b
egyenletet oldjuk meg x-re, ha szabad a és b helyébe tetszőleges értékeket helyettesíteni. Pl. a=2, b=4 esetén
Valamely egyenlet függvény jellege mindenesetre akkor érvényesül, ha x helyébe nemcsak egyszer és csak egy számol helyettesíthetünk be, hanem bárhányszor és bármely számot. A megelőző példabeli
15x2+9x+3y=12x—27
függvényünket y szerint akarva megoldani, egymásután a következő egyenleteket írhatjuk:
vagy rendezve
y=—5x2+x—9.
Most már valóban mondhatjuk, hogy y az x függvénye, vagy y=f(x), ha odagondoljuk, hogy az x tetszőleges értékűnek választható. Más és más x-értékek esetén általában más és más y érték áll elő. És természetesen akárhány ily y-t számíthatunk ki. Álljon itt a következő kis táblázat ennek illusztrálásául:
(Itt e=2,7182... az ú. n. természetes logaritmusok alapszáma.)
A táblázat első oszlopába egyszerűen természetes számokat, a második oszlopba közönséges törteket, a harmadik oszlopba 0-t és irracionális számokat választottunk x gyanánt. Mindenütt határozott érték adódott y számára.
Minden egyes x-et a hozzátartozó y-nal együtt egy szám-párnak véve, annyi számpárunk lesz, ahány x értéket behelyettesítettünk.
A mondottak szerint y mintegy az x-szel változó "mozgó szám" jelentkezik. Természetesen nem állítható, hogy mivel az x tetszőleges, azért az y is minden értéket fölvehet. Ellenkezőleg, bizonyos korlátok közé van szorítva annak megfelelően, hogy az x mily módon szerepel. Az x-szel változó, "mozgó számként" jelentkező y képe foronomiai nézőpontból a mi pályánk, egy görbe (görbevonal), a függvény geometriai képe.
Mint már említettük, úgy áll a dolog a függvénynél, hogy minden probléma megfordítható. Így azt is mondhatjuk, hogy számpárok valamely sorozata egy függvény. Ezek után háromféle módon adható meg függvény:
1. Mint implicit vagy explicit két (Csak két ismeretlennel foglalkozunk!) ismeretlenes egyenlet Például y=—5x2+3x—9.
2. Mint görbe, amelyhez még ezután keresendő a képlet a «függvény».
8. Mint számpárok táblázata, amelyek mondjuk észlelések eredményei. (Például zivatarok havi száma bizonyos, a hónaphoz tartozó átlagos hőmérséklet esetén.)
A második esetben még keresendő a függvény, a harmadik esetben még megállapítandó, hogy egyáltalán van-e szerves, törvényszerű összefüggés.
Mindezekkel a mélyebb belátásokkal nem jutunk tovább, ha nem veszünk igénybe «analitikai» segédeszközöket. Fölvetjük tehát a kérdést, hogy valamely megadott függvényt miként változtathatunk át görbére. A kérdéssel, hogy megadott görbét miként változtathatunk vissza függvényre, csak az utolsó fejezetben foglalkozunk. Éppen úgy azzal a kérdéssel is (interpoláció problémája), hogy megadott számpárokból miként jutunk el görbéhez.
Kérdésünkre mielőtt gyorsan és egyszerűen felelnénk, egy apróságot kell elintézni. T. i. a «koordináta-rendszer» szokásos megállapítását. Ez nem okoz nagyobb nehézséget, mivel hasonlóval már a komplex számoknál volt dolgunk.
34. ábra.
Descartes nyomán ú. n. derékszögű (ortogonális) koordináta-rendszert választunk, amelynél mindenféle elnevezésekben és sorrendbeli föltevések dolgában megállapodunk. Hangsúlyozzuk újból: megállapodunk rendszerünkben, mivel elvileg semmi sem teszi más lehető koordináta-rendszerek elé, legfeljebb bizonyos egyszerűség. (34. ábra.) Rendszerünk a következő.
Az O pont a koordináta kezdőpont. Az x-tengely az abszcissza-, az y-tengely az ordináta-tengely. Az x-értékek az abszcisszák, az x-értékek az ordináták. Abszicsszák és ordináták együtt a koordináták. A kvadránsok, mintegy a negyedei egy határtalan síknak, az óramutató járásával ellenkező irányban vannak számozva. Könnyű megjegyezni a kvadránsok számozása alatti előjelek értelmét. Ugyanis a tengelyeket két egymásra merőleges számegyenesként foghatjuk föl. Ekkor az előjelek jelentése magától következik, ha feltesszük, hogy a vízszintes egyenesnél az O-tól balra, a függőleges egyenesnél az O-tól lefelé vannak a negatív számok. Mármost minden további nélkül tudunk «számpárokat» elhelyezni. A világ minden számpára koordináta-rendszerünkben egy-egy pont, föltéve, hogy valós számok párjairól van szó, mivel mindkét tengelyen valós számokat ábrázolunk. Komplex számpárok nem helyezhetők el egy és ugyanazon síkban. Ehhez két sík szükséges és ekkor "konformis leképezéshez" jutunk. Ez azonban már messze túl van a mi kereteinken, mert a matematika legfelső részeibe tartozik.
HUSZONHARMADIK FEJEZET
Analitikus geometria
Célunk a végtelen analízisének, az ú. n. felső matematikának alapfogalmait megszerezni. Minden lépésünkkel új előkészítőanyagot gyűjtünk e cél számára. Bizonyos mértékig elhanyagoljuk a részletet, az egyest, bármilyen érdekes és fontos is az. És sok mindent csak a legdurvább körvonalaiban vagy a közönséges tanításban szokatlan megvilágításban mutatunk be. Éppen így most igen hézagosan és önkényesen tárgyaljuk majd a koordináta- vagy máskép analitikus geometriát, jóllehet éppen ez egyik főfeltétele a felső matematikának. Í)e ne fecsegjünk tovább, hanem cselekedjünk.
Kezdjük azzal a látszólag nem idetartozó kérdéssel, hogy mily föltételeknek kell eleget tenniük valamely egyenesre merőleges egyenes daraboknak avégre, hogy végpontjaik egyetlen egy egyenessel összeköthetők legyenek. Úgy járunk el — a geometria gyakori szokása szerint — hogy föltételezzük az egyenessel való összekötés lehetőségét és keressük ennek a "feltételeit".
35. ábra.
Gondoljuk, hogy a "g egyenes" pontjaiban A-tól K-ig merőlegeseket állítunk s ezek pontosan oly hosszúak, hogy végpontjaik mind egy egyenesen, a g1-en vannak. A megjelölt merőlegesek l0-tól l9-ig tetszőleges távolságban vannak egymástól. Ha az A pontot választom a mérés kiindulópontjának s megválasztom a hosszúság egységét, akkor megeshet, hogy egyik, vagy másik merőleges talppontja irracionális számhoz tartozó pontra kerül. De ez minket, tudjuk, semmiképpen sem zavar. A keresett föltételt kevés geometriai rátermettséggel is azonnal leolvashatjuk az ábráról. Az AB, az l1 és az a1 egyenesdarabok derékszögű háromszöget alkotnak. Ezzel hasonló az AC, l2 és az a1+a2 egyenesdarabokból álló, szintén derékszögű háromszög. Ezzel pedig szintén hasonló (tehát a legelsővel is) az AD, l3 és az a1+a2+a3 egyenesdarabokból álló, szintén derékszögű háromszög.
És így tovább, pl. az ábrán levő utolsó derékszögű háromszögig, amelyet az AK, l9, a1+a2+... +a9 egyenesdarabok alkotnak. E háromszögek hasonlóságából azonban következik, hogy két-két befogó viszonya valamennyinél ugyanaz. Minthogy a merőlegesek végpontjainak egyenessel történő összeköthetősége a háromszögek hasonlóságából következett, a hasonlóság pedig a befogók viszonyának állandóságából, bizonyos, hogy a keresett föltétel éppen e viszony azonossága. Mivel pedig a függőlegesek egymástól való távolsága, vagy — ami ugyanaz — valamely fix ponttól való távolságuk tetszőleges, azért a g1 egyenes helyzetének jellemzésére elég, ha egyetlen egy függőleges és távolság viszonyát ismerem. Legyen pl.
távolság : függőleges = m : n,
azaz
n-szer távolság=m-szer függőleges,
tehát
Ez az utolsó egyenlet nyilván egy függvényt képvisel, mivel ha írjuk, hogy a tetszőleges
függőleges=y,
távolság =x,
akkor lesz
Az n/m tört helyett rövidségért írjunk pl. k-t. Tehát végül y=kx a föltétele annak, hogy a szóbanforgó végpontok egy egyenesen legyenek.
Például vegyük a k=2 esetet. A megfelelő egyenest, mint bármely más egyenest, két tetszőleges pontja kijelöli. Tekintsük egyenesünket derékszögű koordináta-rendszerben és válasszuk ily kijelölő pontoknak az x=3 és az x=—2 értékeknek megfelelőket.
36. ábra.
Mivel az y=kx jelentése k=2 esetén y=2x, így x=3 esetén y=6 és x=—2 esetén y=—4. Átmegy a 0-ponton is, mivel s=0 esetén y=0. Az olvasó legcélszerűbben milliméter papiroson keresheti meg tetszőleges x-hez a megfelelő y-t, s meggyőződhet róla, hogy valamely x-hez kiszámított y végpontja mindenkor az egyenesen van. Az előbbiek szerint tehát az egyenesnek megfelelő egyenlet: az egyenes egyenlete egy y=kx alakú függvény. Mindkét változó (ismeretlen) az 1-ső hatványon szerepel. Az ily függvényt mondjuk lineárisnak, a linea=egyenes vonal szóról. Mielőtt még tovább mennénk, szóljunk néhány szót az egyenlet és a függvény szónak felváltva történő használatáról. Röviden végzünk ezzel a dilemmával. Megállapítjuk, hogy minden függvény egyenletnek nevezhető, mert y=f(x) alakban, egyenlőségnek írható. De nem minden egyenlet függvény, így például 5x2+3x+9=27 biztosan egyenlet, de nem függvény. Csak az x szerepel benne mint ismeretlen, ez meghatározható, de nyoma sincsen benne független vagy függő változónak. Ez a kettős szóhasználat is nehézséget okoz a kezdőnek.
Az egyenes egyenletének vizsgálata azonban még nincs kész. Állítjuk ugyanis, hogy pl. az
y=2x+3
alakú függvény is «lineáris», azaz egyenes a geometriai képe. Tegyünk próbát rajzban (37. ábra). Függvényünknél x=3 esetén y=9 és y=—2 esetén y=—1.
37. ábra.
Ez az egyenes nem megy át a koordináta-rendszer kezdőpontján. Ez abból is következik, hogy x=0 esetén y nem 0 (hanem +3). Ha x=0, az geometriailag azt jelenti, hogy keresem az ordináta-tengely azon pontját, amelyen egyenesünk átmegy. Éppen így y=0 véve, geometriailag az egyenesnek az abszcissza-tengellyel való metszéspontjának a megállapítása. Példánknál e metszéspontok tehát x=0, y=2*0+3=3; y=0, 0=2x+3, ahonnan x =—3/2. Egy pillantás ábránkra igazolja, hogy egyenesünk valóban átmegy az ordináta-tengely +3 és az abszcissza-tengely —3/2 pontján. Új számoló- és gondolkodógépünk ismét rendkívüli varázseszköznek bizonyul és különösen rejtélyes, mert aritmetikát és geometriát fűz össze. De ezt még ismételten, bonyolultabb példákon is tapasztalni fogjuk. Lássunk mindjárt ízelítőt. A 0 ponton átmenő egyenes egyenletéül az
összefüggést állapítottuk meg, hasonlóságai meggondolások révén. Itt n/m a függőlegesnek a távolsághoz való viszonyát jelenti. E viszony — két befogó viszonya — az α-szög trigonometriai függvénye.
38. ábra.
Még pedig a már ismert értelmezés szerint az α tangense :
Az n/m=k jelölésünk szerint az y=kx
egyenletben az x együtthatója, k annak a szögnek a tangense, amelyet az egyenes az abszcissza-tengellyel alkot. Éppen így az általános helyzetű egyenes
y=kx+c
egyenleténél, ahol c tetszőleges állandó. Hogy ez is egyenes egyenlete: az nyilvánvaló, t. i. a megfelelő vonal az y=kx egyenes önmagával párhuzamosan, c hosszúsággal való eltolása.
Tehát szükségkép szintén egyenes. De ha a tangenst ismerjük, akkor ismerjük a szöget is, az egyenesnek a pozitív abszcissza-tengellyel bezárt szögét. Ennek a meggondolásnak a későbbiek során még jó hasznát fogjuk venni.
Megbarátkozva mindezekkel, analitikai ambícióink annyira megduzzadtak, hogy görbe vonal, például kör egyenletét is meg akarjuk állapítani.
39. ábra.
Vagyis oly képletet keresünk x és y között, amely az egyes x-ekhez oly y-okat szolgáltat, hogy a végpontok egy körön vannak. Rögtön látjuk, hogy csak azoknak az x-értékeknek van megfelelő y-értékük, amelyek úgy a pozitív, mint a negatív irányban nem nagyobbak a körsugárnál. Mert pl. a C-beli függőleges nem metszi a kört. De különben, hogy fogjak neki kényes föladatomnak? Talán ismét egy «viszony» segít célhoz? Bármely szóbajöhető x-hez tartozó függőlegesnek a körrel való metszéspontját a (koordináta-rendszer kezdőpontjául választott) középponttal összekötve : a kör egy-egy sugarát kapjuk.
Ekként csupa derékszögű háromszög adódik: átfogójuk egy körsugár, befogójuk egy abszcissza és egy ordináta. Ezeket sorban r, x és y által jelölve a Pythagoras-tétél szerint
x2+y2 = r2.
Ebből az egyenletből
y2=r2—x2,
tehát
Sokszor fog y irracionálisnak adódni, de ez a gyökvonás természetéből azonnal következik. Az y számára tehát a szóbajöhető x-ek bármelyikét véve, két, csak előjelben különböző, vagyis abszolút értékre nézve egyenlő értéket nyerünk. Ábránk valóban azt mutatja, hogy az x-hez két y tartozik, egyik a kör felső, másik a kör alsó feléhez. De mindkettő hosszúságra nézve ugyanakkora, csupán előjelük, ezzel helyzetük a koordináta-rendszerben különböző. Látjuk, hogy amit aritmetikai úton nyertünk, az geometriailag is helyes. Valóban bámulnunk kell a koordináta-geometria varázserejét, mert szinte érthetetlen, hogy másutt tanult dolognak, miként jelen esetben a négyzetgyök kétértékűségének, geometriai jelentése van. Kétségtelen, hogy az emberi elme egyik legnagyobb eredménye az aritmetikának és a geometriának ez a bámulatos, a kezdőt némelykor zavarbaejtő összefüggése, egybetalálkozása. Ennek a bizonyos értelemben vett azonosságnak gyökerekig menő megmagyarázása mély és nehéz matematika-filozófiai fejtegetések tárgya. De ez már a mi kereteinken kívüli. Éppen ezért a legegyszerűbb indokolásra szorítkozunk. Ez pedig az, hogy mi voltaképp nem geometriát űzünk a koordináták alkalmazásakor. Mi két egymásra merőleges számegyenesen számpárokkal dolgozunk. Ezek azonban a sík pontjaiként jelentkeznek mint szimbolikus leképezések. De mert síkban fekszenek, engedelmeskednek a síkgeometria törvényeinek. Csak filozófálni szerető olvasók számára jegyeztük ezt meg. Az analitikus (azaz koordináta-) geometria bármely jó tankönyve belevilágít e dologba.
Még másként is akarjuk illusztrálni a koordináta-geometria mivoltát.
Azáltal, hogy megpróbáljuk a kör egyenletével a másodfokú (négyzetes, kvadrátikus) egyenlet megoldását,
A kör egyenlete
Kereshetjük tehát a kör azon pontját vagy pontjait, amelyeknél y=0. Az előbbi egyenlet négyzetre emelés után
y2=r2-x2
alakú. Ha y=0 tartozik lenni, akkor 0 = r2—x2 és x2=r2
Vagyis
40. ábra.
Ahol y=0, ott metszi körünk az abszcissza-tengelyt. A metszéspontok P és Q. A négyzetgyök kétértékűsége itt is mutatkozik.
Ily módon általános egyenleteket is megoldhatunk. Ugyanis bármely egy ismeretlenű egyenlet úgy fogható föl,
mint oly függvény, amelyben y-t 0-val egyenlőnek tettük. Pl. ha az
x2—2x—15=0
egyenletről van szó, akkor vegyük az ennek megfelelő következő függvényt
y=x2—2x—15.
Az egyenlet számára mint megoldás az az x adódik grafikus úton (azaz rajz segítségével), amelyben a függvény geometriai képe (a függvénynek megfelelő görbe) metszi az abszcissza-tengelyt. E metszéspontban (metszéspontokban) ugyanis y=0. Ha a görbét milliméterpapiroson fölvett koordináta-rendszerben rajzoljuk meg, akkor ily metszéspontokul az x=5, x=—3 pontokat találjuk. Ezt a grafikus módszert oly egyenletek közelítő megoldásánál is használhatjuk, amelyek aritmetikai megoldása nehézségekbe ütközik. Pl. amelyeknél az x 4-iknél magasabb hatványon fordul elő. Az ilyen egyenleteknél áttérve a megfelelő függvényre, különböző x-ekhez tartozó y-ok révén iparkodunk lehető pontosan megrajzolni a függvény geometriai képét, az illető görbét. Próbálgatással oly x-ek választására törekszünk, amelyek környezetében görbénk közeledik az abszcissza-tengelyhez.
41. ábra.
Ha elég közel ért e tengelyhez, akkor a hehelyettesítendő x-eket lehetőleg sűrűn, egymáshoz közel vesszük: föl, hogy a metszéspontot, vagyis a megoldást szolgáltató x-et kellő pontossággal kapjuk. Próbálgatás közben túl is haladhatunk ezen a ponton. A 41. ábra mutatja ezt a helyzetet, ha valamilyen tetszőleges görbét rajzolunk.
De ennél a témánál sem időzhetünk tovább, mert a megismerendő anyag részletkérdései egyre számosabbak lesznek. Csak annyit jegyzünk még meg, hogy az x előforduló legmagasabb hatványától függ általában, hogy a görbe hányszor metszheti az abszcissza-tengelyt. Lineáris egyenletnek egy metszéspontja van, másodfokúnak kettő, harmadfokúnak három stb. Így minden egyenletnek annyi megoldása van, ahányat a legmagasabb x hatványkitevő mutat. Azt csak mellesleg említjük, hogy «képzetes» és «komplex» megoldások, ill. metszéspontok is léteznek.
Gyakorlati okokból intézzük el még gyorsan az általános, úgynevezett vegyes másodfokú egyenlet aritmetikai megoldását is. Ebben az x úgy első, mint második hatványon szerepel. Általános alakja tehát
x2+bx+c=0
ahol b, c tetszőleges pozitív vagy negatív, megadott (vagy ilyennek tekinthető) állandók. Egyenletünk így írható,
x2+bx=—c.
A már ismert
(a+b)2=a2+2ab+b2
képletbe a helyett x-et és b helyett b/2-t írva, kapjuk
Az itteni jobboldalt egybevetve egyenletünk baloldalával, azt látjuk, hogy az utóbbi majdnem egyenlő az
kifejezéssel. A pontos egyenlőséget elérjük, ha egyenletünk mindkét oldalához b2/4-et adunk. Kapjuk
vagyis
E fogással — teljes négyzetre való kiegészítéssel — nyert előbbi egyenletből könnyű az a>et izolálni. Először is
ebből pedig
E rendkívül fontos képlet segítségével bármely négyzetes egyenletet meg tudunk oldani. A kiindulásul vett egyenletben x2 együtthatója 1. Ha nem ilyen egyenletről van szó, akkor előbb az x2 együtthatójával az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk.
Álljon itt példaként a következő egyenlet
4x2+7x—57 = 0
megoldása. Először is szabadítsuk meg x2-et együtthatójától : osztunk 4-gyel:
Az előbbi képletbeli b = 7/4, és a c = -57/4. Tehát példánknál
Tehát az x egyik értéke
a másik
Az y=4x2+7x—57 függvény görbéjének az abszcissza-tengelyt az
x = 3 és x = — 4 3/4
pontokban kell metszenie, amiről az olvasó milliméter papiroson meggyőződhet.
A koordináta-geometriáról szóló fejezetünket, amely szintén különböző kitérésekre csábított, a következő ismétlésekkel, megállapításokkal, illetve tájékoztatásokkal végezzük. Bármely
y=f(x)
függvénynek koordináta-rendszerünkben a képe egy görbe. A «görbe» elnevezés alá véve az egyenest, a voltaképpeni görbék határesetét, a görbület (görbeség) nélküli vonalat is. A zérus hatványtól kezdve már többízben találkoztunk azzal az eljárással, hogy első megismerés szerint talán össze nem tartozó dolgokat egységes rendszer nyerése végett közös felsőfogalom alá soroztunk.
Így tekintjük az egyenest is görbének (görbe vonalnak). A görbéknél beszélünk 1-ső, 2-od, 3-ad stb. rendű görbékről az x legmagasabb előforduló hatványa szerint. Pl. az egyenes első, a kör másodrendű görbe. Másodrendűek az összes kúpszeletek: az ellipszis (közöttük a kör), a parabola s a hiperbola. A magasabbrendű görbék, pl.
y = x3 + x2 + 5x —17,
y = x7 + 4x3—7x — 49
magasabbrendű (3-ad, illetve 7-ed rendű) parabolák.
Sok további érdekes, csábító föladat kínálkozik a koordináta-geometriában. Pl. kiszámítani két, görbe metszéspontjainak koordinátáit, vagy megállapítani valamely görbe érintőjének (mint bizonyos egyenesnek) az egyenletét. De mellőznünk kell mindezeket, hogy mielőbb az ú. n. felső matematika problémáival foglalkozhassunk. De hogy a kérdéssel foglalkozni tudjunk, a következő fejezetben teljes határozottsággal fogjuk megfogalmazni és történeti fejlődésén is végigfutunk.
HUSZONNEGYEDIK FEJEZET