A differenciálszámítás technikája.

Mivel művészetünk alapjait oly lelkiismeretesen megvilágítottuk, most jogunkban áll a felsőbb matematika algoritmusát tisztán formálisan levezetni. A differenciálszámítás élére az úgynevezett Leibniz-féle alaptételt állítjuk. Ez így hangzik: differenciálhányados =

Lényegében ez az egyenlet számunkra nem ad mást, mint egy másik írásmódot oly valami számára, amit mi számítás-szerűleg már megvizsgáltunk. Ugyanis mi annakidején megalkottuk a differenciálhányadost oly módon, hogy az eredeti y=f(x) függvényt levontuk a dx növekménnyel előállott új (y+dy) = f(x+dx) függvényből. Tehát

Ha most az egyenlet mindkét oldalán dx-szel osztunk, valóban kapjuk, hogy 

Ámde dy/dx helyébe tudvalevőleg f'(x) vagy y’ is írható.

Következőleg helyes a mi első egyenletünk.

De őszintéknek kell lennünk és megmondanunk, hogy a «Leibniz-egyenlet» csak mintegy a héj, amelyből a magot minden egyes esetben ki kell szedegetnünk. És ez nem mindig oly könnyű. De ha rendszeresen járunk el, akkor a differenciálás számára mintegy alapszámítási szabályokat vezethetünk le, amelyek a kezelésre annyira hozzáférhetővé tesznek bármely bonyolult differenciálszámítást, mintha például egy szorzásról vagy osztásról volna szó. Először is egy hatvány számára iparkodunk általános differenciálási törvényt nyerni, mivel a függvényekben mindig x hatványai szerepelnek. Kezdjük az első hatvány legegyszerűbb esetével. Például:

y=x+6.

Ekkor

y+dy=(x+dx)+6 és a

differenciálhányados a Leibniz-képlet szerint

Már itt meg kell jegyezni, hogy minden additív vagy szubtraktív állandó (a mi esetünkben +6) a differenciálásnál egyszerűen eltűnik. Ennek kényszerítő alapját később fogjuk belátni. A második hatvány pedig:

y = x²—7.

Ekkor a Leibniz-képlet szerint:

Itt is az állandó (szubtraktív!) egyszerűen eltűnt. Visszamaradt egy bonyolultabb kifejezés, amelyben (dx)², tehát egy "másodrendű kicsi" szerepel. Ezt egyszerűen elhanyagoljuk már gyakran kifejtett okokból és akkor

Hatványról-hatványra fáradságosan felkapaszkodhatnánk az úgynevezett "teljes indukció" útján. Mint járatos matematikusok lenézzük ezt a kerülő utat, mivel a binomiális tétel lehetővé teszi számunkra a dolog általános elintézését. Differenciálnunk kell tehát az y=xⁿ+a függvényt.

Mivel az állandónak úgyis el kell tűnnie a Leibniz-képlet szerkezete szerint, azért elhagyjuk és csak az

y=xⁿ

függvényt vesszük.

Az x-nek dx-szel való megnövelése az y+dy=(x+dx)ⁿ függvényt hozza létre.

És a differenciálhányadosnak a Leibniz-képlet szerint így kell szólnia

Ha most az (x+dx)ⁿ binomot a binomiális tétel szerint kifejtjük, kapjuk

Látható, hogy xⁿ mindig kiesik, úgyhogy marad

Látható továbbá, hogy a binom kifejtésében mindenesetre már a harmadik tagban, a második tagban ha a kiesett xⁿ-től eltekintünk, a dx-nek az elsőnél magasabb hatványon kell szerepelnie. Ez a binomiális tétel szerkezetéből folyik. Ámde (dx)² már másodrendű kicsi. Másodrendű kicsivel való szorzás pedig újra másodrendű kicsit ad, hacsak véges értékkel szorzunk. Még inkább áll ez a további tagokról, amelyek még harmad, negyed stb. rendű kicsiket is tartalmaznak tényezőkül. Következőleg a differenciálás számára csak az első tagot kell alkalmazni, az összes többi elhagyandó, mint elhanyagolható magasabbrendű kicsi. Marad tehát:

Tehát itt közvetlenül megkaptuk valamely hatvány differenciálásának általános képletét. Így hangzik :

Hogy az algoritmus kifogástalan eredményeket szolgáltat az például kipróbálható az y=x, y=x² és egy állandó esetén. Az y=x számára adódik y'=1*x^1-1 = 1* x⁰=l*1 = 1, az y=x² számára következik y'=2x^2-1=2x¹=2x és egy állandó esetén, amely mint y=ax⁰ írható, eredményül kapjuk y'=a*0*x^0-1=a*0*x^-1=0. Ezután például a differenciálhányados y—x¹⁶ számára egyenlő: f'(x)=y'=16x^16-1=16x¹⁵. Észrevesszük, hogy a differenciálszámítás egyik sajátossága, hogy eggyel lejjebb szállítja a hatványt. Teljesség kedvéért megemlítjük még, hogy képletünk nemcsak pozitív egész, hanem éppen-úgy negatív és tört kitevőkre is érvényes, tehát például y=x^1/2=gyök(x) számára a differenciálhányados:

vagy ugyanaz y=x^-3 esetén dy/dx= 3x^-3-1 = — 3x^-4 alakú. Hogy itt, negatív hatványmutató esetén, a hatvány magasabb és nem alacsonyabb lesz: ez csak látszólagos kivétel.

Mert egy negatív hatványmutató törtet jelent és egy tört kisebb lesz, ha emelkedik a hatvány. Az illető függvénynek a differenciálás okozta eme «megkisebbedéséből», valamit ama körülményből, hogy a differenciálás egy hányadost vesz alapul: arra lehet következtetni, hogy a differenciálás a litikus, a szétoldó műveletekhez tartozik. Az integrál ellenben az összeg egy fajtája és — mint látni fogjuk — emeli a kitevőt és ezáltal a függvényértéket. Ezért az integrálszámítás a felélő, a tétikus számítási műveletekhez tartozik. Így is akarjuk tárgyalni. Mindenesetre főellenérv egy ilyen besorozáshoz az a körülmény, hogy a differenciálhányados, miként az összeg és a szorzat mindig könnyen és egyértékűleg képezhető, ellenben az integrál értékének megállapítása azáltal mutat szerkezet szerinti rokonságot az osztással és a gyökvonással, hogy a próbálgatásnak valami bizonytalanságát, többértékűségét és szükségességét hordozza magával.

A figyelmes olvasó észrevehette, hogy az eddigi differenciálszámításunknál a tetszőleges x változó mindig együttható nélkül szerepelt. Az y függő változónál ez teljesen magától értetődő. Mivel mi csak akkor differenciálunk, ha a függvényt az explicit (kifejtett) y=f(x) alakra hoztuk. Egyáltalán nem magától értetődő ez az együtthatónélküliség az x-hatványoknál. Ellenkezőleg: az x-hatványok rendesen együtthatókkal jelentkeznek. Mivel továbbá az együtthatók nem mások, mint multiplikatív, (szorzó) állandók, azért rögtön meg kell vizsgálnunk, hogy vajon a multiplikatív állandó mennyiségek éppen úgy eltűnnek-e, mint az additívok és a szubtraktívok. Megkíséreljük tehát az 

y=3x²+19

függvényt differenciálni. A Leibniz-képlet szerint

és a másodrendű kicsi 3(dx)² elhanyagolása után:

Látjuk ebből, hogy a differenciálhányadosnál megmaradnak a multiplikatív állandók mint együtthatók. Mi ugyanis ugyanazt az eredményt kaptuk volna, ha az y=3(x²)+19 függvényt szétválasztva differenciáljuk, éspedig olymódon, hogy először az x² differenciálhányadosát keressük meg és azután szorzunk 3-mal. Az x² differenciálhányadosa 2x és ez 3-mal szorozva: 3*2x=6x. Az additív állandó 19 mindenkép eltűnik.

Most még csak azt az esetet vizsgáljuk meg, hogy egy függvényben az x több hatványa fordul elő. Ha ezt sikeresen elintézzük, akkor már az összes úgynevezett egész racionális függvényeket és ezeken kívül az összes függvényeket tört és negatív hatványmutatóval tudjuk differenciálni, amennyiben ily alakúak: y=axⁿ ±bx^n-1±cx^n-2±... és így tovább. Mint mondtuk, itt az n tört vagy negatív szám is lehet.

Megkíséreljük tehát az

y=4x³—7x²+9x—26

függvényt a szokásos módon kezelni.

az összes magasabbrendű kiesik elhagyása illetve összeadások és kivonások elvégzése után :

Ugyanazt az eredményt kaptuk volna, ha tagonként differenciáltunk volna. Ugyanis 4x³ differenciálhányadosa 4*3x²=12x², a —7x²-é egyenlő —7*2x= —14x és a 9x-é 9*lx⁰=9. Az állandó (—26) természetesen elesik. Tehát most tudjuk, hogy egy összeg differenciálhányadosa egyenlő az összes összeadandók differenciálhányadosainak az összegével. (Az "összeg" itt mindig mint "aritmetikai összeg" fogandó fel, tehát magában foglalja a különbséget, amit negatív együtthatójú tagok összeadásaként lehet felfogni.)

Figyelmeztetésül nyomatékosan megjegyezzük, hogy egy szorzat vagy egy hányados, pl. y=(x²+3x+1)(5x—16) vagy y = (2x²-7)(3x+9) differenciálásánál egyáltalán nem szabad analóg járni el. Ezekben az esetekben saját képletek érvényesek, amelyek azonban túlmennek a mi kereteinken. Szabad azonban, ahol lehetséges, mindig megkísérelni a differenciálás előtt a szorzást vagy osztást elvégezni, mivel ezáltal a mi ismereteink számára hozzáférhető egész függvényt kaphatunk.

Ideje most, — mivel számításszerűleg voltaképp mindazt elintéztük, amit tudnunk kell a differenciálszámításról — hogy a differenciálhányados geometriai jelentését is megismertessük, amiből nagy alkalmazási terület adódik, t. i. a maximumok és minimumok, a legnagyobb és a legkisebb értékek vagy másként a szélsőértékek meghatározása. Tudjuk, hogy a differenciálhányados nem más, mint az infinitézimális (jobban: a tetszőleges kis) ordinátanövekmény viszonya a tetszőleges kis abszcissza növekményhez. Másként fejezve ki: hogyan viszonylik az ordinátanövekmény az abszcisszanövekményhez, ha valamely x tetszőleges kis értékkel nő?

Mivel ds tudvalevőleg nem más mint az érintő egy darabja, azért meghosszabbíthatom ezt a darabot amíg metszi az x-tengelyt.

De a szög, amelyben az érintő az abszcissza-tengelyt metszi, egyenlő a ds és dx közötti szöggel, mivel két szár (ds és ennek meghosszabbítása) azonos, míg a másik szár, dx, feltevés szerint párhuzamos az x-tengellyel. Ha továbbá a dy/dx differenciálhányadost mint trigonometrikus függvényt

fogom fel, akkor el kell ismernem, hogy a szöggel átellenes és a szög mellett levő befogók viszonya nem más, mint az a szög tangensfüggvénye. Tehát a differenciálhányados számszerinti értéke a görbe minden helyén egyenlő azon szög tangensfüggvényének az értékével, amelyet e pont érintője a mindig pozitívnak gondolt abszcisszatengellyel alkot. Ebből az a roppant fontosságú következmény adódik, hogy valamely görbe analitikus egyenlete lehetővé teszi bármely görbepont pontkoordinátáinak a kiszámítását, míg eme analitikus egyenlet (függvény) differenciálhányadosa mintegy tartalmazza a görbe menetének, azaz a mindenkori érintő irányának az általános törvényét. Csak egy tetszőleges számot kell a függvénybe az x számára betenni és ezáltal rögtön meg tudjuk az y-t, azaz tudjuk, hogy hol van az illető görbe pont.

Ha pedig e függvény differenciálhányadosának az x-ébe tesszük be ugyanazt az értéket, akkor az előbbieken fölül még megtudjuk, hogy mekkora a görbe eme pontjához tartozó érintő hajlása. Egy konkrét példán mutatjuk be ezt a boszorkányságot, amely lehetővé teszi érintőt rajzolni a nélkül, hogy látnánk a görbét. Határozzuk meg az x²/10 + 3 parabolát

az x=4 pontban.

HARMINCKETTEDIK FEJEZET

Maximumok és minimumok

A differenciálhányados ennek a tulajdonságának köszönheti, hogy felfedezték. Családfája szintén az «érintő problémákkal» kapcsolatos. Ezt a problémát a tizenhetedik században, Descartes óta, mindinkább szemügyre vették és mindjobban átkutatták. Az érdeklődésnek többek között a következő körülmény is oka volt: minden, valamilyen formában szabályos esemény lefolyása, vagy nagyságviszonyok összefüggése függvénnyel fejezhető ki és így görbével is ábrázolható. A vizsgált részen (tartományon) belül fontos lehet az a kérdés, hogy mely ponton éri el a görbe (s vele együtt a fügvény) a legmagasabb vagy legalacsonyabb pontját (értékét). E szélső értékeket maximumoknak és minimumoknak nevezik, de e kifejezések bizonyára ismeretesek már valahonnan mindenki előtt.

A rajzból azonnal kiderül, hogy a rajta látható görbedarabnak x₁ és x₂ között egy maximuma és egy minimuma is van. Mindenki belátja továbbá, hogy az érintőnek mind a legmagasabb, mind a legmélyebb pontban vízszintesnek kell lennie, vagyis az x tengellyel párhuzamosnak.

A görbét csupán meghajlított bádogszalagnak kell tekintenünk és ehhez kell vonalzót illesztenünk. Vagy még helyesebb, ha a bádogszalagot egyszerűen az asztalra tesszük, anélkül, hogy egyébként helyzetét befolyásolnánk. Bizonyos, hogy érinteni fogja a vízszintes asztalt, mégpedig a legmélyebb pontjával. Mert, ha ennél még mélyebb pontja is volna, akkor be kellene az asztalba hatolnia. Most következik az a mesterfogás, amelyet Leibniz az «De maximis et de minimis... stb.» című dolgozatában (1684), a differenciálszámítás algoritmusával együtt közöl, az általa alapított legelső német tudományos folyóiratban: az "Acta Eruditorum"-ban. A következtetés: ha a differenciálhányados értelme trigonometriai tangensfüggvény, akkor értéke nulla kell hogy legyen azokon a helyeken, ahol az érintő az x tengellyel párhuzamos, vagyis ahol iránya nem tér el az abszcissza tengely irányától. Mert 0 fokú szög tangense, mint tudjuk, 0-val egyenlő. Zseniális megfordítással a differenciálhányadost nullával tesszük egyenlővé, ha maximumot vagy minimumot akarunk találni és kiszámítjuk az így adódó egyismeretlenes egyenletből x értékét. Ezen az x helyen csak az ordinátát kell a görbéig meghúznom és az esetek legnagyobb részében biztosra vehetem, hogy maximumra vagy minimumra bukkanok.

Maximumot «vagy» minimumot mondtunk. Állításunk ingadozónak, bizonytalannak látszik. Megnyugtatásul közöljük, hogy már maga Leibniz ismerte valamennyi szükséges mellékszámítást és ismertetőjelet, amelyekből kiderül, hogy adott esetben melyik szélső értékről van szó. Sokszor magáról a görbéről leolvasható, máskor egyéb körülmény teszi nyilvánvalóvá. Maga az analízis, a számításmód nem időszerű számunkra, mert számos olyan ismeretet feltételez, amely lényegesen meghaladja kereteinket. De mi bátran és merészen néhány érdekes példán fogjuk ezt a technikában és fizikában olyan fontos számítást bemutatni.

Elsőnek szinte klasszikus feladatot vegyünk. Egy bádogdarabot felül nyitott, négyzetalapú edényekké kell feldolgozni. Mily módon nyerhetünk lehető legnagyobb térfogatú (űrtartalmú) edényeket? Minthogy mindegyik edény egyetlen bádogdarabból készül, forrasztással, tehát az eredeti bádoglapot négyzetalakú részekre kell vágni s minden egyes darab egy-egy edénynek lesz az anyaga.

Minden gyermek tudja, hogy a doboz úgy készül, hogy a négyzetes nyersanyag négy sarkán egy-egy kis négyzetet kell kivágni és az így alakult oldalfalakat fel kell hajlítani. De mostan egyáltalán nem biztos, hogy mekkorák legyenek ezek a kivágott (az ábrán vonalkázott) négyzetek.

Hosszuk, x, elvben 0-tól a/2-ig növekedhetnék. x=0 esetén a kivágandó

négyzetek a négy sarokponttá fajulnának el és dobozunknak ilymódon nem lenne magassága, mivel nem volna mit felhajlítani. x = a/2 esetén az egész bádogot ki kell vágni és a doboznak nem maradna alapja. E két határeset között, amelyek feladatunk határait tűzik ki, végtelen sok dobozméret lehetséges. Olyan doboztól kezdve, amelynek úgyszólván nincsen magassága, egészen addig a dobozig, amelynek alapja elenyésző négyzetecske. Hogyan válasszam ki e számtalan lehetséges doboz közül azt, amelynek éppen a legnagyobb a köbtartalma? De ha sikerül függvénnyel kifejezni a doboz űrtartalmának és a kivágott négyzetek oldalhosszának összefüggését, akkor különféle x értékek behelyettesítésével meg tudom rajzolni az összefüggést ábrázoló görbét.

A képen körülbelül megkereshetem a «maximumot», minthogy a görbének a legmagasabb pontja szolgáltatja a keresett legnagyobb értéket. De ezzel a szélső értéket még csak "körülbelül" ismerném. Már világosan látjuk, hogy pontosan csak számítással találhatjuk meg, amennyiben megkeressük azt a pontot, amelyben az érintő az x tengellyel párhuzamos, vagy aritmetikai nyelven szólva, azt az x értéket, amelynél a differenciálhányados értéke nulla. Egy szélső érték feladat ezek szerint mindig többféle műveletet kíván meg. Először ki kell tűznünk feladatunk határait, amelyeken belül a maximumot vagy minimumot keressük. Másodszor fel kell állítanunk a függvényt, amelynek képe legmagasabb vagy legmélyebb pontjával a szélső értékeket megmutatja. Harmadszor a differenciálhányadost kell képeznünk. Negyedszer nullával kell egyenlővé tennünk a differenciálhányadost, hogy egyenletet kapjunk, amelyekben az x az ismeretlen. Ötödször szükséges ennek az egyenletnek a megoldása, ami által a keresett szélső értéket megkapjuk. Ezután következnék annak a vizsgálata, hogy tartományunkban van-e egyáltalán szélső érték és ha igen, maximum-e vagy minimum. De e két utóbbit, mint kereteinket meghaladó vizsgálatot, figyelmen kívül hagyjuk. Ezért csak olyan példákat veszünk. amelyekben ez a kérdés szinte magától megoldódik.

Most pedig pontosan felállított szabályaink szerint, járunk el. Tartományként már megállapítottuk az x=0 és x=a közötti értékeket. Most a függvényt kell felállítanunk. Mivel űrtartalmat keresünk és annak a maximumát, jelölje y az űrtartalmakat. Ezt az y-t az a (a bádognégyzet oldalhossza) és az x (a kivágott négyzetek oldalhossza) segítségével kell kifejeznünk. Ilyen derékszögű parallelepipedon (Parallelepipedon alapja általában bármilyen derékszögű négyszög lehet. Esetünkben az alap egy különleges négyszög, még pedig négyzet.) (négyzet alapú, derékszögű hasáb) űrtartalma azonban egyenlő alapterület szorozva magassággal. A doboz alapjának oldala (a—2x), így az alap területe (a—2x)². A doboz mindenkori magassága viszont éppen x, mivel a felhajtott oldalaknak ez a szélessége. Tehát az űrtartalom, y=(a—2x)²x vagy y=(a²—4ax+4x²)x, ami kiszámítva és x fogyó hatványai szerint rendezve az y=4x³—4ax²+a²x fügvényt adja. Következő lépésünk a differenciálhányados képzése.

Ezt a függvényt kell nullával egyenlővé tennünk. Tehát

12x²—8ax+a²=0

A vegyes másodfokú egyenletek szabályai szerint először az x²-et kell izolálnunk. Ha ezért az egész egyenletet 12-vel osztjuk, a következőt kapjuk :

Az a ismert, állandó érték, hisz éppen a konkrét esetben választott bádognégyzet oldalhosszát jelenti. Ezért úgy használjuk, mintha konkrét szám vagy együttható volna. A vegyes másodfokú egyenletek feloldására vonatkozó szabályok szerint x-re a következő értéket kapjuk.

x számára tehát az a/2 és a/6 érték adódik. De mivel az a/2 nem jöhet tekintetbe, mivel nincsen a tartomány belsejében, hanem egyik határán és még értelmetlen is, így a doboznak akkor van a legnagyobb köbtartalma, ha a bádoglap oldalának hatodát hajlítjuk fel minden oldalon.

Ezek szerint az alapnégyzetnek 4a/6 = 2a/3 az oldalhossza és a doboz magassága a/6. Hogy képet alkossunk magunknak számításunk

helyességéről, tegyük fel, hogy a bádognégyzet élhossza 60 cm. A doboz alapja, ha a, vagyis 10 cm nagyságú négyzeteket vágunk ki, 4x4 deciméter, 16 négyzetdeciméter; magassága 1 deciméter. Így az űrtartalom pontosan 16 köbdeciméter, 16 liter. De ha 5 cm oldalhosszú négyzeteket vágnánk ki, akkor az alap területe 5x5 deciméter, 25 négyzetdeciméter volna. A magasság ez esetben 5 cm=1/2 deciméter, 25 dm²-rel szorozva csak 12 1/2 dm³, 12 1/2 liter űrtartalmat adna. Ha viszont a kivágott négyzetek oldalát 15 cm-nek választom, úgy az alapterület 3*3=9 dm², az űrtartalom pedig, a magasság 1*5 dm lévén, 13*5 dm³=13*5 liter. Mindkét eredmény kisebb, mint az, amelynél a kivágást a-nak választottuk.

Ez után az előzetes gyakorlat után vegyünk egy másodikat, a szilárdságtanból. Ez már az eddigiek után lényegesen kevesebb nehézséget fog okozni.

Köralakú fatörzsből derékszögű négyszög keresztmetszetű gerendát kell kivágni úgy, hogy a hordképessége maximum legyen. (A szaggatott vonallal határolt keresztmetszet a végtelen sok, más módon történő, kivágási lehetőségre utal.) A fatörzs sugara ismert és r betűvel jelöljük. Bizonyítás nélkül megadjuk, hogy milyen szerepet játszik a gerenda magassága és szélessége a teherbírás szempontjából. A «teherbírás» T=magasság négyzete, szorozva a szélességgel. Tehát T=h²b. Ha tehát a gerenda félszélességét x-szel jelöljük, akkor Pythagoras tétele szerint (h/2)² = r² — x² vagy h²/4 = r²— x² vagy h² = 4r²—4x². A teherbírás érjen el maximumot. Teherbírás=T=h²b. De mivel tudjuk, hogy h²=4r²—4x² és b=2x, tehát T=y=(4r²—4x²)*2x vagy másképp y=8r²x—8x³. Most megvan a függvényünk. Milyen tartomány jön tekintetbe? A szélesség (2x) 0 és 2r közt változhat, ez a képről szemmel látható. Maga a két határ értelmetlen, mivel az egyiken a gerendának nincsen vastagsága, a másikon nincsen magassága.

Megállapítjuk ezenkívül, hogy negatív x-ek sem érdekelnek, mivel negatív vastagságú gerenda éppen olyan értelmetlen, mint a magasság vagy vastagság nélküli. Most már képezhetjük a függvény differenciálhányadosát.

y' = dy/dx = 8r²*1*x⁰-8*3*x² = 8r² - 24x²

Rögtön utána nullával tesszük egyenlővé és megoldjuk a:-re az így alakult egyenletet.

Minthogy minket csak a pozitív érték érdekel, megállapítjuk, hogy a gerenda kordképessége akkor a legnagyobb, ha szélessége

Ha a sugár 1 dm, akkor a szélesség 1,15470 dm-nek adódik.

Befejezésül még egy minimum-feladatot. Tudvalevő, hogy egy négyzetbe végtelenül sok másik négyzet írható be. E beírt négyzetek közül melyiknek a területe a legkisebb?

Tartományunk határaiként valamennyi négyzet figyelembe jön, melyeknél x 0 és a közé esik. A legnagyobb a beírt négyzet, ha x=0, vagyis azonos magával a nagy négyzettel. Ha mostan az x növekszik, a beírt négyzet mindinkább kisebb lesz. Igaz, hogy csak az a távolság egy, előttünk még ismeretlen pontjáig, mivel ha x elérte az a hosszát, ismét a nagy négyszög áll előttünk, csupán a beírt négyzet fordult el 90 fokkal. Most keressük a függvényt. Legyen a beírt négyzet oldala b, tehát területe b². Ez a terület legyen minimum, tehát b²=y. De hogyan fejezem ki b²-et x segítségével? Ismét Pythagoras tétele segít. Mert b²=x²+ (a—x)², ezt kiszámítva b²=x²+x²—2ax+a²=2x²—2ax+a² adódik. Elvben tehát már megvan a függvény.

A beírt négyzet területe = b²=y=2x²—2ax+a². A differenciálás eredménye y'=2*2x—2a * 1 * x⁰, vagy y'=dy/dx = 4x—2a.

A régi módszer szerint a differenciálhányadost nullával tesszük egyenlővé és az egyenletet megoldjuk x-re. Tehát

4x—2a = 0

4x = 2a

x=a/2

Mivel a maximumok voltak tartományunk határai köztük kell egy minimumnak lennie. Hisz saját szemünkkel láttuk, hogy a beírt négyzet az x=0 határtól csökkenni kezdett és az x=a határnál ismét elérte eredeti nagyságát. Számításunk továbbá csak egy értéket ad e minimum számára. Tehát létezik és szimmetrikusan fekszik, pontosan 0 és a között, még pedig x=a/2 értéknél. Az olvasóra bízzuk, hogy megvizsgálja, mekkora a beírt négyzet területe, a=1 dm esetén, ha x helyébe egyszer a minimumot szolgáltató a/2 azaz 5 cm = 1/2 dm, azután a 3a/4 és az a/4 értékeket helyettesítem.

Mivel a görbe szimmetrikus, a két utóbbira ugyanazt az értéket kell kapnom, s ezek mindenesetre nagyobbak az x=a/2 -nél kapott minimális négyzet területénél. A területeket a b² =2x²—2ax+a² képlet szerint kell kiszámítani. (Megoldás: a minimum esetén b²=a²/2; a másik két x értéknél b²= 5/8a².)

HARMINCHARMADIK FEJEZET

Az integrálszámítás technikája

Ott kell folytatnunk újra, ahol félbeszakítottuk az integrálás lehetőségének a tárgyalását. Megállapítottuk ott, hogy az integrál alatti függvény pontosan úgy viszonylik a kiszámított integrál értékéhez, amiként a differenciálhányados ahhoz a függvényhez, amelyből kiszámítottuk.

Tehát F(x)=∫y'dx vagy ∫f'(x)dx, mert hát dy=f'(x)dx és ennek az egyenletnek mindkét oldalát integrálva ∫dy=∫f'(x)dx adódik. Az ∫dy azonban F(x), az úgynevezett törzsfüggvény vagy egyszerűen y.

Mivel közben megismertük a differenciálszámítás alapvető számítási szabályait, azért az ismeretestől fogunk haladni az ismeretlen felé avégre, hogy megkapjunk bizonyos számítási szabályokat az integráláshoz. Egyszerűen valamely függvényt differenciálunk és azután megkíséreljük az integrálás útján újra vissza változtatni a differenciálhányadost a törzsfüggvénybe. E kísérletnél meg tudjuk majd világítani — legalább is így reméljük — az integrációs eljárás lényegét tisztán számítástechnikai és aritmetikai szempontból . De ha egyszer miénk már az integrálás algoritmusa, akkor tulajdonképpen elértük könyvünk végső célját.

Válasszuk tehát «törzsfüggvény» gyanánt az

F(x)=y=2x³—7x²+x+89

függvényt és alkossuk meg a differenciálhányadosát. Ez így hangzik :

dy/dx = f'(x)=y'=2*3x²—7*2x+l*x⁰=6x²—14x+1.

Már itt észrevesszük az integrálás egy fatális többértékűségét. Ugyanis a differenciálhányadosnak a törzsfüggvénybe való visszaváltoztatásakor (és éppen ez az integrálás) senki a világon nem tudja megadni, hogy mekkora volt az állandó. Még azt sem tudjuk, hogy egyáltalán volt-e állandó. Talán több állandó, vagy állandók egy szorzata vagy egy hányadosa volt az, ami differenciálásnál eltűnt sohaviszontlátásra. Ha tehát az integrál alatti függvényt valóban úgy tekintjük, mint a differenciálhányadosát valamely még előttünk ismeretlen törzsfüggvénynek, akkor logikusan nem lehet egy törzsfüggvényről beszélni. Bármely differenciálhányadosnak végtelen sok oly törzsfüggvény felel meg, amelyből ő előállhat. És ezek a törzsfüggvények éppen egy C additív vagy szubtraktív állandóban különböznek.

Szigorúan helyesen tehát így kell írnom: F(x)=y=∫f(x)dx±C vagy ∫f'(x)dx+C ha megengedem, hogy C negatív is lehet. Az általános vagy határozatlan integrált mindig is ebben az alakban írjuk és ha nem így írjuk, akkor odagondolandó az egészen tetszőleges additív állandó. Később mutatjuk meg, hogy miként válik ártalmatlanná ez az állandó a határozott integrálnál (amelyet t. i. tényleges kiszámításnál alkalmazunk) és hogy mit jelent ez az állandó fizikailag és geometriailag. Egyelőre nem engedjük magunkat zavartatni ettől az állandótól.

Azt állítottuk tehát, hogy az F(x) vagy y törzsfüggvénynek egyenlőnek kell lennie az ∫f’(x)dx integrállal vagy a mi konkrét esetünkben

F(x)=y=∫(6x²—14x+1)dx+C.

Gyakorlatilag megjegyezzük, hogy a dx mindig lezárja jobbfelől az integrál «tartalmát», úgyhogy senki sem lehet kétségben afelől, hogy a +C az integrálon kívül áll. Mi most egyáltalán ügyet sem vetünk erre a C-re. És összehasonlítjuk az eredeti törzsfüggvény x-tagjait az integrál alatti megfelelő tagokkal. Evégre írjuk e tagokat először egymás alá :

x-hatványok a törzsfüggvényben: 2x³—7x²+x

x-hatványok az integrál alatt: 6x²—14x+1;

Először megjegyezzük, hogy — miként a differenciálásnál — integrálhatunk is "tagonként", hogyha additíve vagy szubtraktíve összekötött x-hatványokról van szó. Ezt mindjárt leszögezzük mint szabályt és írjuk :

∫(6x²—14x+1)dx=∫6x²dx—∫14xdx+∫1 dx.

Egy összeg integrálja egyenlő tehát az összeadandók integráljainak az összegével. Másodszor emlékezzünk arra, hogy az integrál infinitézimális részek egy bizonyos fajtájú összege. Egy ilyen összegnél érvényes a disztributív törvény (a megfelelő kiosztás törvénye) a változatlan, tehát állandó szorzókra (együtthatókra) nézve. Mert minden ily összegnél: 3a+3(a+h)+3(a+2h)+3(a+3h)+... írhatom 3[a+(a+h)+

+(a+2h)+(a+3h)+...] vagy egyenlő 3Σ₀ⁿ(a+vh). Tehát szabad az integrál elé tenni az összes multiplikatív állandókat, úgyhogy így is írhatjuk :

∫(6x²— 14x+1)dx=6∫x²dx—14xdx+1∫dx.

Most pedig újra vissza akarunk térni arra a kérdésre, hogy miként áll elő az integrál alatti a;-hatványból a törzsfüggvény megfelelő x-hatványa. Tehát miként csinálok 6x²-ból újra 2x³-t, 14x-ből újra 7x²-t és 1-ből x-et. Az első, ami feltűnik, az, hogy az integrálás az x hatványát 1-gyel emeli, ami nagyon magától értetődő, ha meggondoljuk, hogy az x-hatvány a differenciálással 1-gyel alacsonyabb lesz. Tehát általánosan ∫x^mdx = valami együtthatószor ∫x^m+1 Mily nagy hát ez az együttható? A 2x³-ból 6x² lett. A 6x²-ból ismét 2x³-nak kell lennie. Mivel x-nél már ismerjük az eljárást, még csak azt kérdezzük : hogyan csinálunk 6-ból újra 2-t? Nos, nagyon egyszerűen. Tudniillik 3-mal való osztással. De még nincs előttem a törzsfüggvény, csak a differenciálhányados. Mivel továbbá gyanítom, hogy az együttható változása is összefügg az x hatványával, mivel differenciálásnál is az együttható (amennyiben már nem volt készen) az x hatványa révén állott elő (vagy részben állott elő), azért meg kell kísérelnem, hogyan nyerem az együtthatót az integrál alatti x hatványából. Mivel feljebb általánosan m-nek neveztem a 2 hatványmutatót, azért a 6-ot (m+1), tehát 3 által kell osztanom, hogy megkapjam a 2x² együtthatóját, a 2-t. Következőleg összefoglalóan állítjuk, hogy

∫x^mdx egyenlő

Végezzük el mindárt a próbát a mi többi hatványunknál. Miféle értékű ∫14xdx? Itt m=1. Tehát a keresett érték tehát pontosan az, amit vártunk. Ha végül ∫1dx iránt érdeklődünk, akkor kapjuk — mivel ∫1*dx=∫x°dx — értékül  1/1 * x¹ = x, ami szemmelláthatóan talál. Mi tehát a félelmetes integrálszámítás algoritmusához valósággal röpülve értünk. 

És ezzel beváltottuk ígéretünket, hogy egyáltalán nem tűnik fel nehezebbnek az integrálparancsot követni, mint bármely más matematikai parancsot. Mindenesetre csak egész racionális algebrai függvényekre áll ez. Ezért nem is titkoljuk el, hogy bonyolultabb függvények integrálszámítása többé nem mesterség, hanem művészet. Hogy például

azt a mi egyszerű szabályainkkal sohasem tudjuk kinyomozni. Ehhez mindenféle műfogás szükséges. Ezért az integrálokkal való gyakorlati számításokhoz külön táblázatok szolgálnak, amelyekben bizonyos nézőpontok szerint rendezett különböző alakú integrálok megoldásai megtalálhatók.

Továbbá azt sem akarjuk elhallgatni, hogy vannak integrálok, amelyek egyáltalán nem oldhatók meg. Mivel tudunk oly kifejezéseket alkotni, amelyek nem léteznek mint valamely törzsfüggvény differenciálhányadosa. T. i. nem gondolható egy oly törzsfüggvény sem, amely éppen azt a differenciálhányadost adná. De ha nincs törzsfüggvény, akkor az integrál kiszámítása sem lehetséges pontosan. Legfeljebb közelítő eredmény van. Végül megjegyezzük, hogy a gyakorlat számára bármely integrál megközelítő megoldása tetszőleges pontossággal lehetséges.

Bár megmutattuk a szerény határokat, amelyek között a mi ismereteink terjednek, mégsem akarjuk szegre akasztani a puskát. Ugyanis számtalan föladatot meg tudunk oldani, habár az integrálszámításbeli kiképzettségünk csekély. És főleg ura vagyunk az elvnek és ezáltal sok mindent megértünk, ami különben a laikus számára megoldhatatlan rejtély.

Ismét a kvadratura-probléma felé fordítjuk figyelmünket. Az a feladatunk, hogy felrajzoljuk az y=x—x² függvényt és bizonyos határok közt végzett kvadratura eredményét követeljük.

Minden irányban kihasználjuk tudományunkat és elsősorban szélsőérték feladatként megállapítjuk a görbedarab legmagasabb pontját. Az y=x—x² görbe differenciálhányadosa y'=f'(x) =dy/dx = 1 — 2x. Nullával tesszük egyenlővé: 1—2x=0. Az egyenlet megoldása: 2x=1; vagyis x = 1/2.

Ez az érték szemmelláthatóan tartományunkban fekszik, hisz 0 és 1 közt pontosan közepén található. Most visszatérünk a görbe egyenletéhez behelyettesítjük az x = 1/2 érteket. Ebből

A görbének tehát 1/4 a legnagyobb magassága az x tengely felett, ez az eredmény az ábráról azonnal leolvasható. Azt is láthatjuk, hogy ez a maximum az x = 1/2 értékhez tartozik.

Most lássuk a kvadraturát. Tudjuk már, hogy a kvadratura-feladat megoldását határozott integrál, azaz alsó és felső határral ellátott integrál szolgáltatja. Esetünkben tehát

Hogyan bánjunk a «határozott» integrállal ? Egyszerű az eljárás. Először mintegy az általános képletet, a határozatlan integrált kell kiszámítanunk, ez megadja a kvadraturához tartozó törvényszerűséget. Tehát

(a C állandót természetesen ismételten ki kellett volna írnunk).

Következő feladatunk a «határok» figyelembevétele. Felületesen azt mondhatjuk, hogy ennek nagyon egyszerű a szabálya. Ez a szabály a felső határon vett integrálértékből le kell vonni az alsó határon vett értéket. Ha általánosan az alsó határt a-val, a felsőt b-vel jelöljük, tehát az

áll előttünk, akkor legyen a határozatlan integrál eredménye f(x) + C. Most az x = a és x = b értékeket kell behelyettesítenünk, az eredmény _a∫^b f'(x)dx = [f(b) + 0] —[f(a) + C] = f(b)—f(a). Látjuk, hogy az állandó a határozott integrál kiszámítása során feltétlenül kiesik, tehát egyértelmű eredményt kapunk.

Példánkban a felső határ 1, az alsó pedig 0. Mivel a határozatlan integrál értéke 1/2x² —1/3x³ + C, be kell helyettesítenünk:

Ezzel első kvadratura feladatot megoldottuk.

A vonalkázott, görbe vonallal határolt terület 1/6 része az x tengelyen kijelölt egységhez tartozó területegységnek. Ezt az egységet alkalmazzuk az ordináta tengelyen is.

Tehát az idom területe, amint mondani szokás, 1/6 négyzetegység. (Ha az abszcissza és az ordináta mértékegysége nem azonos, akkor az integrál a mérő egységnégyszögek számát adja meg. Ennek egyik oldala az abszcisszán, másik az ordinátán választott egység. A négyzet-egység csak különleges esete egy általánosabb lehetőségnek. Mi a könyvben csak a négyzetegységekre szorítkozunk.)

HARMINCNEGYEDIK FEJEZET

Középérték és határozott integrál

Nem tesszük félre az előbbi példát mindaddig, amíg még egy körülményre nem utaltunk. Az ábra alapja 1 egység hosszú, területe viszont 1/6 négyzetegység, tehát ugyanakkora, mint egy 1 egység hosszú és 1/6 egység magas derékszögű négyszögé. Azt mondhatná valaki, hogy mivel számtalan ordináta (Természetesen a tartomány határain belül.) kisebb ennél az 1/6 értéknél és számtalan pedig nagyobb nála ez az 1/6 a "közepes ordináta", «valamennyi ordináta középértéke», az "átlagos ordináta". De, hogy ezt megérthessük, jobban szemügyre kell vennünk a «középérték» fogalmát, amit a mindennapi nyelvhasználat «átlagnak» nevez. A legegyszerűbb középérték az úgynevezett számtani közép. Minden gyerek már szinte ösztönszerűen így számol átlagot. Legyen három almának sorban 5 cm, 10 cm, 15 cm az átmérője, akkor az átlagos almának az átmérője 10 cm. Vagy ha először 80 fillérért, másodszor 90 fillérért harmadszor 95 fillérért, negyedszer pedig 99 fillérért veszek egy kilogramm cukrot, akkor tudom, hogy egy kilogramm cukornak az átlagos ára (80+90+95+99)/4=91 fillér. A számtani (aritmetikai) középértéket általában a M_A= (a₁+a₂+a₃+...+a_n)/n képlettel számítják. (Az úgynevezett geometriai középérték M_G = gyök(a₁*a₂*a₃*...a_n) az n érték szorzatából vont n-edik gyök.)

Esetünkben azonban nem véges számú, hanem végtelen sok ordinátának a középértékét (a "közepes ordinátát") kell meghatározni. Ha y₁, y₂, y₃. y₄, y₅... jelöli az ordinátákat akkor M_A=(y₁+y₂+y₃+...+y_∞)/∞ értékét kellene meghatározni. Szemmel látható, hogy ez így nem határozható meg. De ha a középérték meghatározást infinitézimálszámítási feladatnak tekintjük, akkor megkaphatjuk a keresett eredményt. Mert a végtelen sok ordináta összege nem egyéb, mint a kvadratura eredménye: a terület, tehát a tartományra vonatkozó határozott integrál. De mi lesz a nevező? Bizonyára az ordináták száma. Tehát mintegy a számvonalnak az ordináták talppontját tartalmazó része. De ez ismét nem más, mint az x tengelynek a tartományt határoló része. A középérték tehát ezzel az írásmóddal: 

Próbáljuk ki tehát ezt a képletet előbbi példánkon, mielőtt még jelentőségéről gyakorlati példa kapcsán meggyőződnénk. Meghatároztuk az ₀∫¹ (x—x²)dx integrál értékét és területként az 1/6 értéket kaptuk. Tehát ez az 1/6 a számláló. A nevező a határok különbsége: 1—0=1. Tehát az ordináták középértéke esetünkben

Bizonyára látott már mindenki úgynevezett regisztráló műszert. Van ilyen hőmérő, légnyomás mérő, stb., amely maga jegyzi fel a mutatott értéket. Az írókar dob fölött mozog, a dobra kifeszített milliméterpapíron jelek vannak, amelyek a napokat és órákat mutatják. Ezek a beosztások a kerületen vannak, míg a dob magassága irányában a hőmérsékletnek, légnyomásnak stb. megfelelő beosztások láthatók. A dobot óramű hajtja, pontosan a beosztásoknak megfelelő módon, az írómű tolla viszont a légnyomást, hőmérsékletet követi felfelé és lefelé irányuló mozgásával. Mivel pedig a levegőnek mindenkor, minden időpillanatban van hőfoka, nyomása stb., bizonyos, hogy a felrajzolt görbe mindenütt folytonos és differenciálható. De a rajzolt görbe annyira bonyolult alakú, hogy a gyakorlatban lehetetlen számára képletet felírni. Ha például egy hónap után a papírt levesszük a dobról, akkor ezt a képet látjuk rajta.

A március hónap közepes hőmérséklete érdekelne minket. Most azt az ügyes fogást fogjuk bemutatni, amellyel ezt minden különösebb számítás nélkül meg tudjuk határozni, így gondolkozunk: nem ismerjük a görbe egyenletét és nem is áll módunkban meghatározni. Pedig szükségünk volna rá, hogy a területet meghatározzuk. De az integrál értéke a görbe, a tartomány első és utolsó ordinátája és az x tengely által határolt terület. Vágjuk ki tehát ezt a területet éles ollóval papírból, mérjük le precíziós mérlegen, vágjuk ki továbbá ugyanabból a papírból a területegységet is. Mérjük meg ennek a súlyát is és most a súly alapján egyszerűen osztással meghatározhatjuk a területet, azaz az integrál értékét. A négyzetegység oldalának például az l°-nak megfelelő távolságot vehetjük s legyen ugyanekkora az egy napnak megfelelő távolság. Most már nem kell egyebet tennünk, mint a súlyméréssel meghatározott területet (b—a)-val, itten (31—0)=31 értékkel elosztani. Ezzel megkaptuk infinitézimális pontossággal a hónap közepes hőmérsékletét, mint a hónapban előfordult végtelen sok hőmérséklet átlagát. A «függvényről» még csak azt kell megjegyeznünk, hogy itt a hőmérsékletet az idő függvényének tekintettük. Megjegyezzük továbbá, hogy nem feltétlenül szükséges a napokat az x egységének tekinteni. Úgy is eljárhattunk volna, hogy az x hosszt egyszerűen az y egységével mérjük és ez esetben is a helyes középértéket kapjuk. Írjuk még fel végül fogásunkat matematikai alakban:

itt b-t a négyzetegység oldalhosszával egyenlő egységekben kell mérni. Ez a példa megmutatja a gondolatban végzett műveletek nagy jelentőségét. Mert valóságban csak súlyt mértünk, osztottunk és számoltunk. Integrálásról szó sem volt. Mégis, fogásunk jogosultságát csak az integrálszámítás igazolhatta, mert ilyen megfontolások nélkül végtelen sok ordináta középértékét sehogyan sem kaphattuk volna meg. Mielőtt még további kvadraturákkal foglalkoznánk, tanulmányozzuk a határozott integrál ama tulajdonságát, amely a kezdőnek sok fejtörést okoz.

Az integrációs állandó eltűnéséről van szó. Rámutattunk már arra, hogy a felső határhoz tartozó integrálérték és az alsó határhoz tartozó integrálérték kivonásánál az állandónak el kell tűnnie. Közömbös, hogy az állandónak mekkora az értéke. Legyen a határozatlan integrál ∫f'(x)dx és ehhez járuljon a C állandó, akkor a kiszámításnál az integrál értéke mindenkor ilyen alakú volna:

Geometriai szempontból a kivonás két terület különbségét jelenti. Végeredményben. Mert amíg az állandó szerepet játszik, addig két ordináta különbségéről van szó. Ahhoz, hogy ezt helyesen megérthessük, a differenciálgörbe és integrálgörbe fogalmával kell közelebbről megismerkednünk. Tudjuk, hogy minden függvénynek görbe felel meg az analitikában. Egyik korábbi példánkban az y=x-x².függvényről volt szó. Ennek a függvénynek megfelelő görbét egészben, vagy legalább is részben megrajzolhatjuk, amint a 61. ábrán meg is tettük. Ha most a függvényt integráljuk, akkor az eredmény

ismét függvénye az x-nek, tehát szintén felrajzolhatjuk. Ezt a törzsfüggvényt nevezzük az eredeti y=x-x² függvény integrálfüggvényének. Csak a C értékéről nem tudunk semmit. Pozitív és negatív is lehet, vagy akár 0, nem tudjuk. Mit jelent analitikai szempontból egy ilyen additív állandó? Eláruljuk: a görbe maga ugyanaz marad, alakja nem változik, akár ott van az állandó, akár nincs. Az állandó csak az egész görbét tolja el a koordináta rendszerben. Az y = x²+C parabolát látjuk a 63. ábrán, különböző helyzetben, aszerint, hogy mekkora a C értéke.

Tekintve, hogy a C bármely értéket +∞ és —∞ közt felvehet, minden határozatlan integrál görbesereget jelent; s ezek a görbék olyan sűrűn vannak egymás mellett, hogy valójában az egész síkot beborítják. Az integrál eme tulajdonságának a fizikában van nagy szerepe.

Ha sikerült valamely tartományra (területre vagy térrészre) úgynevezett differenciálegyenletet felírni, akkor ezzel meghatároztuk a tartomány minden pontjának valamely tulajdonságát. A differenciálegyenletnek a megoldását ugyanis éppen integrálással kapjuk meg. És ez az integrál, az állandó helyes megválasztása után, bármely pont állapotát meghatározza. De ezt csak mellékesen említjük. Most már tudjuk, hogy végtelen sok integrálgörbe létezik, s ezek egymástól az állandó hatására csak helyzetükben különböznek, egyébként egybevágók. Ha az y'= x/2 görbét kell integrálnunk, akkor integrálgörbeként az F (x) =

görbesereget kapjuk. Bármely határozott integrál ilyeténképpen

alakban adódik. De tekintve továbbá, hogy x²/4 + C = F(x)=y általában az integrálgörbe ordinátáját jelenti, látjuk, hogy a határozatlan integrál az integrálgörbének valamely ordinátáját, a határozott integrál viszont két meghatározott ordinátájának különbségét adja meg. Még pedig az integrációs tartomány első és utolsó ordinátájának a különbségét. Rajzon fogjuk ezt könnyebb megértés kedvéért bemutatni, még pedig olyan rajzon, melyen az integrálandó y = x/2 függvényen kívül néhány integrálfüggvénygörbe is látható. Az integrációs tartománya az a és b közötti rész.

Könnyen észrevehető, hogy a meghatározandó terület a vonalkázott OP₁b és OPa háromszög területének különbsége OP₁b—OPa. Ezt a területet adná az integrálgörbék ordinátáinak különbsége. Az ábrán világosan látható, hogy az ordináta-különbség valamennyi görbén ugyanakkora, a határozott integrál értéke tehát valóban teljesen független a határozatlan integrál állandójának értékétől.

Beszéltünk még differenciálgörbéről is. Tekintsük ismét előbbi példánkat, y=x—x². Ennek integrálja

 Amidőn a görbének szélső értékét kerestük, még egy harmadik dy/dx = f'(x) = y’ = 1 — 2x függvénnyel is találkoztunk.

Természetesen ennek is megfelel egy görbe. Most tehát három görbénk van.

Egyik a megadott y = x — x² függvénynek megfelelő görbe, másik az integrálgörbe (válasszuk példánkban a (C-t +1-nek), harmadik a differenciálgörbe y'=1—2x. Rajzoljuk meg a három görbének az x=0,4 értékhez tartozó ordinátáit. Természetesen megrajzolhatnánk milliméterpapíron az egész görbét is, de ezt már az olvasóra bízzuk.

A három görbének 0,4-hez tartozó ordinátája y=0,24 (megadott görbe), F=l,0587 (integrálgörbe) és y'=0,2

differenciálgörbe). Kíséreljük meg most az integrálgörbéhez tartozó differenciálgörbét meghatározni,

lévén ez pedig meglepetésünkre az eredeti görbe. Ha viszont a differenciálgörbét integráljuk: y'=1-2x; ∫(1-2x)dx = ∫1dx-∫2xdx=

=

ismét az eredeti görbéhez jutunk. Pontosabban: ha az itt fellépő állandót 0-nak vesszük, akkor jutunk az eredeti görbéhez. Most már nyitva áll előttünk az egész szerkezet: a differenciálgörbét integrálva az eredeti görbéhez, ezt integrálva viszont az integrálgörbéhez jutunk. Továbbá: ha az integrálgörbét differenciáljuk, az eredeti görbét kapjuk, ha ezt ismét differenciáljuk, akkor kapjuk a differenciálgörbét. Ha még a magasabb differenciálhányadosokat is tekintetbe vennénk, valamint ismernénk a többszörös integrálokat, akkor fokozatainkat mindkét irányban korlátlanul folytathatnánk, illetve addig, amíg végül valamelyik differenciálhányados esetleg el nem tűnik. De ez csak egyes nem periodikus függvényeknél következhetnék be

HARMINCÖTÖDIK FEJEZET