Capítulo 3
LOS ELECTRONES Y SUS INTERACCIONES

Esta es la tercera de cuatro conferencias sobre un tema bastante difícil —la teoría de la electrodinámica cuántica— y puesto que obviamente hay aquí más gente esta noche de la que hubo anteriormente, algunos de ustedes no han escuchado las otras dos conferencias y van a encontrar ésta casi incomprensible. Aquellos de ustedes que hayan escuchado las otras dos conferencias también encontrarán ésta incomprensible, pero saben que todo está bien: como les expliqué en la primera conferencia, la manera que tenemos de describir la Naturaleza es en general incomprensible para nosotros.

En estas conferencias quiero hablarles de la parte de la física que conocemos mejor, la interacción de la luz y los electrones. La mayoría de los fenómenos que les son familiares tratan de la interacción de la luz y los electrones —toda la química y la biología, por ejemplo—. Los únicos fenómenos que esta teoría no abarca son los de la gravitación y los fenómenos nucleares; todo lo demás está contenido en ella.

Encontramos en nuestra primera conferencia que no disponemos de mecanismos satisfactorios para describir incluso el más sencillo de los fenómenos, como es la reflexión parcial de la luz por el cristal. Tampoco tenemos forma de predecir si un fotón dado será reflejado o transmitido por el cristal. Todo lo que podemos hacer es calcular la probabilidad de que un suceso particular tenga lugar —si la luz será reflejada en este caso—. (Esta probabilidad es del orden del 4% cuando la luz incide en ángulo recto sobre una superficie de cristal, la probabilidad de reflexión aumenta cuando la luz incide sobre el cristal con mayor inclinación).

Cuando tratamos con probabilidades bajo circunstancias ordinarias, existen las siguientes «reglas de composición»: 1) si algo tiene lugar por caminos alternativos, sumamos las probabilidades de cada camino; 2) si el suceso ocurre como una sucesión de pasos —o depende de un número de cosas que ocurren de manera «concomitante» (independientemente)— multiplicamos las probabilidades de cada paso (o cosa).

En el mundo salvaje y maravilloso de la física cuántica, las probabilidades se calculan como el cuadrado de la longitud de una flecha: donde en condiciones normales hubiésemos esperado sumar probabilidades nos encontramos «sumando» flechas; donde normalmente hubiésemos multiplicado las probabilidades, «multiplicamos» flechas. Los resultados peculiares que obtenemos calculando probabilidades de esta manera encajan perfectamente con los resultados de los experimentos. Me encanta el que debamos recurrir a reglas tan peculiares y razonamientos tan extraños para comprender la Naturaleza y disfruto diciéndoselo a la gente. No hay «ruedas y engranajes» detrás de este análisis de la Naturaleza; si quieren comprenderlo éste es el camino que deben tomar.

Antes de entrar en el tema central de esta conferencia, me gustaría mostrarles otro ejemplo de cómo se comporta la luz. De lo que quiero hablarles es de luz muy débil de un color —un fotón cada vez— que va desde una fuente, en S, a un detector, en D (ver Fig. 49). Pongamos una pantalla entre la fuente y el detector y hagamos dos pequeñísimos agujeros, en A y B, separados unos milímetros entre sí. (Si la fuente y el detector están separados 100 cm, los agujeros deben de ser más pequeños que una décima de milímetro). Alineemos A con S y D, y situemos a B en algún sitio cercano a A desalineado de S y D.

Cuando cerramos el agujero en B, obtenemos un cierto número de clicks en D —lo que representa los fotones que llegan a través de A (digamos que el detector hace un click una media de una vez por cada 100 fotones que salen de S, o un 1%)—. Cuando cerramos el agujero de A y abrimos el de B, sabemos por la segunda conferencia que obtenemos casi el mismo número de clicks, en promedio, porque los agujeros son muy pequeños. (Cuando «forzamos» demasiado a la luz, las reglas del mundo ordinario —tal como que la luz viaja en linea recta— no funcionan). Cuando abrimos ambos agujeros obtenemos una respuesta complicada porque está presente la interferencia: Si los agujeros están separados una cierta distancia, obtenemos más clicks que el esperado 2% (el máximo es del orden del 4%); si los dos agujeros están a una distancia ligeramente mayor, no obtenemos ningún click.

Normalmente uno pensaría que la apertura de un segundo agujero siempre aumentaría la cantidad de luz que llega al detector, pero esto no es lo que ocurre realmente. Y así, decir que la luz va «por un camino o por otro» es falso. Todavía me recuerdo diciendo, «bien, va por este camino o por aquél» pero cuando digo ésto, tengo que tener en cuenta lo que quiero decir por sumar amplitudes: el fotón tiene una amplitud de ir por un camino, y otra amplitud de ir por otro camino. Si las amplitudes se oponen, la luz no llegará al punto —aunque, como en este caso, ambos agujeros estén abiertos.

Bien, he aquí un nuevo rizo a ese ya extraño comportamiento de la Naturaleza que me gustaría explicarles. Supongamos que situamos unos detectores especiales —uno en A y otro en B (es posible diseñar un detector que pueda decir si el fotón pasó a través de él)— de manera que podamos decir por qué agujero (s) pasa el fotón cuando ambos agujeros están abiertos (ver Fig. 50). Puesto que la probabilidad de que un único fotón vaya de S a D, sólo se ve afectada por la distancia entre agujeros, debe existir alguna forma solapada de que el fotón se divida en dos y luego se unifique de nuevo, ¿verdad? De acuerdo con esta hipótesis, los detectores de A y B deberían dispararse siempre simultáneamente (¿con la mitad de la fuerza quizás?), mientras que el detector en D se dispararía con una probabilidad entre cero y el 4% dependiendo de la distancia entre A y B. Lo que realmente ocurre es esto: los detectores en A y B nunca se disparan juntos —o lo hace B o lo hace-A—. El fotón no se divide en dos; va por un camino o por otro.

Además, bajo estas condiciones, el detector en D se dispara un 2% de las veces —la simple suma de las probabilidades de A y B (1% + 1%)—. El 2% no se ve afectado por el espaciado entre A y B, ¡la interferencia desaparece cuando se colocan detectores en A y B!

La Naturaleza se lo ha preparado tan bien que nunca seremos capaces de saber cómo lo hace: si colocamos instrumentos para descubrir por qué camino va la luz, podemos descubrirlo, perfecto, pero la maravillosa interferencia desaparece. Pero si no tenemos instrumentos que puedan decirnos el camino que lleva la luz, ¡los efectos de interferencia reaparecen! ¡Muy extraño, verdaderamente!

Para entender esta paradoja, déjenme recordarles el principio más importante: para calcular correctamente la probabilidad de un suceso, se debe tener mucho cuidado de definir con claridad el experimento completo —en particular, cuáles son las condiciones iniciales y finales del experimento—. Mire al dispositivo antes y después del experimento y busque cambios. Cuando estábamos calculando la probabilidad de que un fotón fuese de S a D sin detectores en A o B, el suceso era, sencillamente, el detector en D hace un click. Cuando el click en D era el único cambio en las condiciones, no había forma de decir por qué camino había ido el fotón y en consecuencia había interferencia.

Cuando colocamos detectores en A y B, cambiamos el problema. Ahora, resulta que hay dos sucesos completos —dos conjuntos de condiciones finales— que son distinguibles: 1) los detectores en A y D se disparan, o 2) los detectores en B y D se disparan. Cuando existe un número de condiciones finales posibles en un experimento, debemos calcular la probabilidad de cada una como un suceso completo y separado.

Para calcular la amplitud de que los detectores en A y D se disparen, multiplicamos las flechas que representan los siguientes pasos: el fotón va de S a A, el fotón va de A a D, el detector en D se dispara. El cuadrado de la flecha final es la probabilidad del suceso —1%— la misma que cuando el agujero B estaba cerrado, porque ambos casos tienen exactamente los mismos pasos. El otro suceso completo es el de los detectores en B y D disparándose. La probabilidad de este suceso se calcula de manera similar y es la misma de antes —alrededor del 1%.

Si queremos saber con qué frecuencia el detector en D se dispara, y no nos importa si fue A o B el que se disparó en el proceso, la probabilidad es simplemente la suma de los dos sucesos —2%—. En principio, si existe algo en el sistema que pudiésemos haber observado para decir por qué camino fue el fotón, tendríamos «estados finales» diferentes (condiciones finales distinguibles) y sumaríamos las probabilidades —no las amplitudes— de cada estado final^[12].

Les he señalado estas cosas porque cuanto mejor se ve cuán extrañamente se comporta la Naturaleza, más difícil es hacer un modelo que explique cómo ocurre realmente el fenómeno más sencillo. En consecuencia, la física teórica ha abandonado el hacerlo. Vimos en la primera conferencia cómo un suceso se podía dividir en caminos alternativos y cómo se podía «sumar» la flecha final de cada camino. En la segunda conferencia, oímos cómo cada camino podía dividirse en pasos sucesivos, cómo la flecha de cada caso podía ser considerada como la transformación de la flecha unidad, y cómo las flechas de cada paso podían «multiplicarse» mediante sucesivas reducciones y giros. Estamos por tanto familiarizados con todas las reglas necesarias para dibujar y combinar flechas (que representan trocitos del suceso), que permiten obtener una flecha final cuyo cuadrado es la probabilidad de un suceso físico observable.

Es natural preguntarse hasta qué punto podemos continuar con este proceso de desdoblamiento de sucesos en subsucesos más y más sencillos. ¿Cuáles son los trocitos más pequeños posibles de los sucesos? ¿Existe un número finito de trocitos que puedan combinarse para formar todos los fenómenos que involucran a la luz y los electrones? ¿Existe un número finito de «letras» en este lenguaje de la electrodinámica cuántica que puedan combinarse para formar las «palabras» y «frases» que describen casi cada fenómeno de la Naturaleza?

La respuesta es sí, el número es tres. Sólo existen tres acciones básicas necesarias para producir todos los fenómenos asociados con la luz y los electrones.

Antes de decirles cuáles son estas tres acciones básicas, debería presentarles de manera adecuada a los actores. Los actores son los fotones y los electrones. Los fotones, las partículas de luz, ya han sido tratados con largueza en las dos primeras conferencias. Los electrones fueron descubiertos, en 1895, como partículas: se puede colocar uno en una gota de aceite y medir su carga eléctrica. Gradualmente se hizo obvio que el movimiento de estas partículas proporcionaba una explicación a la electricidad de los alambres.

Poco después del descubrimiento del electrón se pensó que los átomos eran como pequeños sistemas solares formados por una parte central pesada (llamada el núcleo) y los electrones, que daban vueltas en «órbitas» a la manera en que lo hacen los planetas alrededor del Sol. Si piensan que ésta es la forma en que están constituidos los átomos, están ustedes en 1910. En 1924, Louis de Broglie encontró que existía un carácter ondulatorio asociado a los electrones y, poco después, C. J. Davisson y L. H. Germer de los Laboratorios Bell, bombardearon un cristal de níquel con electrones y demostraron que también éstos se reflejaban con unos ángulos locos (lo mismo que hacían los rayos X) y que estos ángulos podían calcularse a partir de la fórmula de De Broglie para la longitud de onda de un electrón.

Cuando consideramos los fotones a escala macroscópica —mucho mayor que la requerida para un giro del cronógrafo— los fenómenos que observamos se pueden aproximar muy bien mediante reglas tales como que «la luz viaja en línea recta» porque existen caminos suficientes alrededor del camino de tiempo mínimo como para reforzarlo, y caminos suficientes como para anular cualquier otro. Pero cuando el espacio por el que se mueve un fotón se hace muy pequeño (como el de los minúsculos agujeros de una pantalla) estas reglas fallan —descubrimos que la luz no viaja en línea recta, que se crean interferencias por los dos agujeros y así sucesivamente—. La misma situación se presenta para los electrones: cuando se consideran a escala macroscópica, viajan como partículas, por caminos definidos. Pero a pequeña escala, como en el interior de un átomo, el espacio es tan pequeño que no hay camino principal, no hay «órbita»; existen muchos caminos por los que el electrón puede ir, cada uno con una amplitud. El fenómeno de la interferencia se hace muy importante, y tenemos que sumar flechas para predecir hacia dónde es probable que vaya el electrón.

Es muy interesante notar que los electrones aparecieron primero como partículas y que su carácter ondulatorio se descubriese posteriormente. Por otro lado, exceptuando a Newton que se equivocó y pensó que la luz era «corpuscular», la luz parecía al principio ser ondas v sus características como partículas aparecieron posteriormente. De hecho, ambos objetos se comportan a veces como ondas y a veces como partículas. A fin de librarnos de tener que inventar palabras nuevas como «ondículas» hemos decidido llamar a estos objetos «partículas», pero todos sabemos que obedecen las reglas de dibujo y combinación de flechas que ya les he explicado. Parece que todas las «partículas» de la Naturaleza —quarks, gluones, neutrinos y demás (que trataremos en la próxima conferencia)— se comportan de esta manera mecanocuántica.

Por consiguiente, ahora les presento las tres acciones básicas, a partir de las cuales se obtienen todos los fenómenos de la luz y los electrones.

• ACCIÓN N.° 1: Un fotón va de un sitio a otro.
• ACCIÓN N.° 2: Un electrón va de un sitio a otro.
• ACCIÓN N.° 3: Un electrón emite o absorbe un fotón.

Cada una de estas acciones tiene una amplitud —una flecha— que se puede calcular siguiendo ciertas reglas. En un momento les diré estas reglas, o leyes, a partir de las cuales podemos construir el mundo entero (¡exceptuando el núcleo y la gravitación, como siempre!).

Bien, el escenario en donde tienen lugar estas acciones no es el espacio, es el espacio y el tiempo. Hasta ahora, había despreciado los problemas concernientes al tiempo, tales como cuándo exactamente sale el fotón de la fuente y llega al detector. Aunque el espacio es realmente tridimensional, voy a reducirlo a una dimensión en las gráficas que voy a dibujar. Pondré la situación particular de un objeto en el espacio en el eje horizontal, y el tiempo en el vertical.

El primer suceso que voy a representar en el espacio y el tiempo —o espacio-tiempo, como puedo denominarlo inadvertidamente— es una pelota de béisbol que está quieta (ver Fig. 52). El jueves por la mañana, que denominaré T₀, la pelota de béisbol ocupa un cierto espacio que denominaré X₀. Un poco después, en T₁, ocupa el mismo espacio porque está quieta. Momentos después, en T₂, la pelota todavía está en X₀. Por tanto, el diagrama de la pelota de béisbol en reposo, es una banda vertical, en sentido ascendente, con la pelota ocupando todo su interior.

¿Qué ocurre si tenemos una pelota de béisbol, flotando en el espacio ingrávido exterior, dirigiéndose hacia una pared? Bien, el jueves por la mañana (T₀) está en X₀ (ver Fig. 53) pero un poco más tarde no está en el mismo lugar —se ha movido un poquito, hacia X₁—. Al continuar la pelota su deriva, crea una «banda de béisbol» inclinada sobre el diagrama espacio-tiempo. Cuando la pelota golpea la pared (que está quieta y por tanto es una banda vertical), retrocede exactamente al punto del espacio del que viene (X₀) pero con un punto de tiempo diferente T₆.

Por lo que se refiere a la escala de tiempos, es más conveniente representar el tiempo no en segundos, sino en unidades mucho más pequeñas. Puesto que estamos tratando con fotones y electrones, que se mueven muy rápidamente, voy a representar con un ángulo de 45° a algo moviéndose con la velocidad de la luz. Por ejemplo, para una partícula moviéndose a la velocidad de la luz desde X₁ T₁ a X₂ T₂, la distancia horizontal entre X₁ y X₂ es la misma que la distancia vertical entre T₁ y T₂ (ver Fig. 54). El factor por el que se ha reducido el tiempo (para hacer que un ángulo de 45° represente a una partícula yendo a la velocidad de la luz) se llama c, y encontrarán que c está revoloteando continuamente en las fórmulas de Einstein —es el resultado de una elección desafortunada del segundo como unidad de tiempo, en lugar del tiempo que tarda la luz en viajar un metro.

Ahora, consideremos detalladamente la primera acción básica —un fotón va de un sitio a otro—. Dibujaré esta acción, sin motivo alguno, con una línea serpenteante de A a B. Debería tener más cuidado: debería decir, un fotón que se sabe que está en un sitio dado en un momento dado tiene una cierta amplitud de llegar a otro lugar en otro momento. En mi gráfica espacio-tiempo (ver Fig. 55), el fotón en el punto A —en X₁ y T₁— tiene una amplitud de llegar al punto B —en X₂ y T₂—. A esta amplitud la llamaré P(A a B).

Existe una fórmula para el tamaño de esta flecha P(A a B). Es una de las grandes leyes de la Naturaleza y es muy sencilla. Depende de la diferencia en distancia y de la diferencia en tiempo de estos puntos. Estas diferencias pueden expresarse matemáticamente^[13] por (X₂ − X₁) y (T₂ − T₁).

La contribución mayor a P(A a B) tiene lugar a la velocidad convencional de la luz —cuando (X₂ − X₁) es igual a (T₂ − T₁)— que es donde se espera que ocurriese, pero también hay una amplitud para la luz que va más deprisa (o más despacio) que la velocidad convencional de la luz. Han visto en estas conferencias que la luz no viaja sólo en línea recta, ahora, encontrarán ¡qué no sólo va a la velocidad de la luz!

Puede resultarles sorprendente que exista una amplitud para un fotón que vaya a velocidades superiores o inferiores a la de la velocidad convencional c. Las amplitudes de estas posibilidades son muy pequeñas comparadas con la contribución de la velocidad c, de hecho se anulan cuando la luz viaja largas distancias. Sin embargo, cuando las distancias son cortas —como en muchos de los diagramas que dibujaré— estas otras posibilidades son de importancia vital y deben considerarse.

Por consiguiente, ésta es la primera acción básica, la primera ley básica de la física —el fotón va de un punto a otro—. Esto explica toda la óptica: es decir, ¡la teoría completa de la luz! Bien, no del todo: he dejado fuera la polarización (como siempre) y la interacción de la luz con la materia, lo que me lleva a la segunda ley.

La segunda acción fundamental para la electrodinámica cuántica es: Un electrón va desde el punto A al punto B en el espacio-tiempo. (Por el momento, imaginaremos a este electrón como un electrón falso, simplificado, sin polarización —lo que los físicos denominamos un electrón de «espín cero»—. En realidad, los electrones tienen un tipo de polarización, que no añade nada nuevo a las ideas esenciales, sólo complica algo las fórmulas). La fórmula para la amplitud de esta acción, que denominaré E(A a B) también depende de (X₂ − X₁) y (T₂ − T₁) (combinadas de la misma manera que se ha descrito en la nota 13), así como de un número que denominaré «n», número que una vez determinado, permite que todos nuestros cálculos concuerden con los experimentos. (Veremos más adelante cómo determinamos el valor de n). Es una fórmula bastante complicada y lamento no saber cómo explicarla en términos más sencillos. Sin embargo, les interesará saber que la fórmula para P(A a B) —un fotón viajando de un sitio a otro en el espacio-tiempo— es la misma que para E(A a B) —un electrón viajando de un sitio a otro— si n se hace igual a cero^[14].

La tercera acción básica es: un electrón emite o absorbe un fotón —no importa la diferencia—. Denominaré a esta acción una «unión» o «acoplamiento». Para distinguir los electrones de los fotones en los diagramas, dibujaré cada electrón que viaja por el espacio-tiempo por una línea recta. Cada acoplamiento, en consecuencia, es una unión entre dos líneas rectas y una línea ondulante (ver Fig. 58). No existe una fórmula complicada para la amplitud de un electrón que emita o absorba un fotón; no depende de nada —¡es sólo un número!—. Al número de la unión lo denominaré j —su valor es aproximadamente −0,1: una reducción de aproximadamente una décima parte y un giro de media vuelta^[15].

Bien, esto es todo lo que concierne a estas acciones básicas —exceptuando alguna ligera complicación debida a la polarización que siempre hemos dejado de lado—. Nuestro siguiente trabajo es reunir estas tres acciones para representar circunstancias de algún modo más complejas.

Como primer ejemplo, calculemos la probabilidad de que dos electrones, situados en los puntos 1 y 2 del espacio-tiempo, acaben en los puntos 3 y 4 (ver Fig. 59). Este suceso puede tener lugar por distintos caminos. El primer camino es el del electrón en 1 yendo a 3 —calculado poniendo 1 y 3 en la fórmula E(A a B) que escribiré como E(1 a 3)— y el electrón en 2 yendo a 4 —calculado como E(2 a 4)—. Estos son dos «subsucesos» que ocurren concomitantemente, por consiguiente, las dos flechas se multiplican para dar una flecha para este primer camino, por el que puede tener lugar el suceso. Consecuentemente, escribimos la fórmula para la «flecha del primer camino» como E(1 a 3) × E(2 a 4).

Otro camino por el que puede ocurrir este suceso es el del electrón en 1 yendo a 4 y el de 2 yendo a 3 —de nuevo, dos subsucesos concomitantes—. La «flecha del segundo camino» es E(1 a 4) × E(2 a 3) y la sumamos a la flecha del «primer camino»^[16].

Esta es una buena aproximación para la amplitud de este suceso. Para realizar un cálculo más preciso, que se ajuste más a los resultados experimentales, debemos considerar otros caminos por los que puede transcurrir el suceso. Por ejemplo, para cada uno de estos dos caminos principales, podría suceder que uno de electrones fuese a descargarse a un sitio nuevo y maravilloso y emitiese un fotón (ver Fig. 60). Mientras tanto, el otro electrón podría ir a otro sitio y absorber el fotón. Calcular la amplitud del primero de estos caminos nuevos supone multiplicar las amplitudes para: un electrón que va desde 1 al sitio nuevo y maravilloso, 5 (donde emite un fotón) y que luego va desde 5 a 3; el otro electrón que va desde 2 al otro lugar, 6 (donde absorbe el fotón), y que luego va de 6 a 4. Debemos recordar incluir la amplitud de que el fotón vaya desde 5 a 6. Voy a escribir la amplitud, para este camino por el que el suceso puede tener lugar, a la manera de las matemáticas superiores, y ustedes pueden hacerlo conmigo: E(1 a 5) × j × E(5 a 3) × E(2 a 6) × j + E(6 a 4) + P(5 a 6) —montones de reducciones y giros—. (Les dejo que deduzcan la notación para el otro caso, cuando el electrón en 1 acaba en 4, y del 2 en 3)^[17].

Pero, esperen: las posiciones 5 y 6 pueden estar en cualquier lugar en el espacio y tiempo —sí, en cualquier lugar— y las flechas de todas estas posiciones se tienen que calcular y sumar. Ya ven, está empezando a convertirse en mucho trabajo. No es que las reglas sean tan difíciles, es como jugar al ajedrez: las reglas son sencillas, pero se usan una y otra vez. Por tanto, nuestra dificultad en el cálculo surge de tener que agrupar tanta cantidad de flechas. Este es el motivo por el que se necesitan cuatro años de estudios universitarios para aprender a realizar esto de manera eficiente —¡y estamos considerando un problema sencillo! (Cuando los problemas se vuelven demasiado difíciles, ¡los metemos en un computador!).

Me gustaría señalarles algo a cerca de los fotones que se emiten y absorben: si el punto 6 es posterior al 5 podemos decir que el fotón se emitió en 5 y se absorbió en 6 (ver Fig. 61). Si el punto 6 ocurre antes que el 5, podríamos preferir decir que el fotón se emitió en 6 y se absorbió en 5, pero de la misma manera podemos decir que ¡el fotón va retrocediendo en el tiempo! Sin embargo, no tenemos que preocuparnos por el camino por el que ha ido el fotón en el espacio-tiempo; todo está incluido en la fórmula P(5 a 6), y decimos que el fotón se «ha intercambiado». ¿No es bonito ver qué simple es la Naturaleza?^[18].

Bien, además del fotón que se puede intercambiar entre 5 y 6, se puede intercambiar otro —entre dos puntos, 7 y 8 (ver Fig. 62)—. No estoy demasiado cansado para escribir todas las acciones básicas cuyas flechas tienen que multiplicarse, pero —como habrán notado— cada línea recta supone un E(A a B), cada línea ondulante un P(A a B), y cada acoplamiento un j. Por tanto, hay seis E(A a B), dos P(A a B) y cuatro j —¡para cada posible 5, 6, 7 y 8!— ¡Esto supone miles de millones de pequeñas flechas que tienen que multiplicarse y sumarse entre sí!

Parece que calcular la amplitud de este sencillo suceso es un negocio ruinoso, pero cuando se es un estudiante universitario se debe conseguir el título, de manera que se continúa el trabajo.

Pero hay esperanza de éxito. Reside en el número mágico j. En los dos primeros caminos por los que puede ocurrir el suceso, no aparece j en los cálculos; el siguiente camino tiene j × j y el último que consideramos tiene j × j × j × j. Puesto que j × j es menor que 0,01, significa que la longitud de la flecha para este camino es, en general, menor que el 1% del valor de la flecha de los dos primeros caminos; una flecha con j × j × j × j es menos del 1% —una parte en 10 000— comparada con las flechas sin j. Si tiene suficiente tiempo en el computador, puede calcular las posibilidades que involucran j⁶ —una parte en un millón— e igualar la precisión de los experimentos. Esta es la forma en que se realizan los cálculos para los sucesos sencillos. Esta es la manera en que funciona ¡no hay más!

Consideremos ahora otro suceso. Comenzamos con un fotón y un electrón, y acabamos con un fotón y un electrón. Un camino por el que el suceso puede tener lugar es: un fotón es absorbido por un electrón, el electrón continúa por un ratito y un nuevo fotón emerge. Este proceso se denomina difusión de la luz. Cuando hacemos los diagramas y cálculos para la difusión, debemos incluir algunas posibilidades peculiares (ver Fig. 63). Por ejemplo, el electrón puede emitir un fotón antes de absorber otro (b). Incluso más extraña es la posibilidad (c), que el electrón emita un fotón, que a continuación retroceda en el tiempo para absorber otro fotón, y que después avance de nuevo en el tiempo. El camino de un electrón «moviéndose hacia atrás» puede ser tan largo que parezca real en un experimento físico en el laboratorio. Su comportamiento está incluido en estos diagramas y en la ecuación de E(A a B).

El electrón con movimiento de retroceso, cuando se le representa con el tiempo avanzado, parece igual que un electrón ordinario, excepto que se ve atraído por los electrones normales —decimos que tiene una «carga positiva»—. (Si hubiese incluido los efectos de la polarización, sería obvio el por qué para los electrones retrocediendo, el signo de j está invertido, haciendo que la carga aparezca como positiva). Por esta razón se denomina un «positrón». El positrón es una partícula hermana del electrón y es un ejemplo de una «anti-partícula»^[19].

Este fenómeno es general. Cada partícula de la Naturaleza tiene una amplitud de movimiento hacia atrás en el tiempo, y por tanto tiene una anti-partícula. Cuando una partícula y su anti-partícula colisionan, se aniquilan y forman otras partículas. (Para positrones y electrones aniquilándose, normalmente es uno o dos fotones). ¿Y que ocurre con los fotones? Los fotones aparecen exactamente igual en todos los aspectos cuando retroceden en el tiempo —como vimos anteriormente— luego ellos mismos son su anti-partícula. ¡Ya ven qué inteligentes somos haciendo de una excepción parte de la regla!

Me gustaría mostrarles qué aspecto tiene para nosotros este electrón retrocediendo, cuando nosotros avanzamos en el tiempo. Voy a dividir el diagrama en bloques de tiempo, T₀ a T₁₀ (ver Fig. 64) mediante una serie de líneas paralelas para visualizar mejor. Empezamos en T₀ con un electrón moviéndose hacia un fotón, que se está moviendo en sentido opuesto. De repente —en T₃— el fotón se convierte en dos partículas, un positrón y un electrón. El positrón no dura mucho tiempo: pronto corre hacia el electrón —en T₅—, donde se aniquilan y producen un nuevo fotón. Mientras tanto, el electrón, creado anteriormente por el fotón original, continúa atravesando el espacio-tiempo.

De lo siguiente que me gustaría hablar es de un electrón en un átomo. A fin de comprender el comportamiento de los electrones en los átomos, debemos añadir otra característica, el núcleo —la parte pesada en el centro de un átomo que contiene al menos un protón (un protón es una «Caja de Pandora» que abriremos en la siguiente conferencia)—. No les daré las leyes correctas del comportamiento del núcleo en esta conferencia; son demasiado complicadas. Pero, para el caso en que el núcleo está en reposo, podemos aproximar su comportamiento por el de una partícula con una amplitud para desplazarse de un punto a otro del espacio-tiempo, de acuerdo con la fórmula para E(A a B), pero con un valor de n mucho más elevado. Puesto que el núcleo es muy pesado en comparación con el electrón, podemos considerarlo aquí, de forma aproximada, como permaneciendo básicamente en el mismo lugar al avanzar en el tiempo.

El átomo más sencillo, llamado hidrógeno, consta de un protón y un electrón. Intercambiando fotones el protón mantiene al electrón en sus proximidades, bailando a su alrededor (ver Fig. 65)^[20]. Átomos con más de un protón y sus correspondiente número de electrones también difunden la luz (los átomos del aire difunden la luz del Sol y hacen el cielo azul), ¡pero los diagramas para estos átomos supondrían tal cantidad de líneas rectas y onduladas que serían un completo lío!

Ahora me gustaría mostrarles un diagrama de un electrón en un átomo de hidrógeno difundiendo la luz (ver Fig. 66). Mientras que el electrón y el núcleo intercambian fotones, un fotón, que procede del exterior del átomo, incide sobre éste, golpea al electrón y es absorbido; luego, se emite un nuevo fotón. (Como siempre, existen otras posibilidades a considerar, tal como que el nuevo fotón sea emitido antes de que el viejo se vea absorbido). La amplitud total para todos los caminos por los que un electrón puede difundir un fotón se pueden resumir en una única flecha, con una cierta cantidad de reducción y giro (más adelante llamaremos a esta flecha «S»). Esta cantidad depende del núcleo y de la distribución de los electrones en los átomos, y es diferente para cada material.

Ahora consideremos de nuevo la reflexión parcial de la luz por una lámina de cristal. ¿Cómo tiene lugar? Les hablé de la luz siendo reflejada por la superficie frontal y posterior. Esta idea de las superficies es una simplificación que realicé a fin de mantener inicialmente las cosas a un nivel sencillo. La luz no se ve afectada en realidad por las superficies. Un fotón incidente es difundido por los electrones de los átomos de cristal, y es un nuevo fotón el que vuelve al detector. Es interesante que en lugar de sumar todos los miles de millones de flechas diminutas que representan la amplitud para que todos los electrones dentro del cristal difundan un fotón incidente, solamente sumemos dos flechas —una para la reflexión por la «superficie frontal» y otra para la «superficie posterior»— y obtenemos el mismo resultado. Veamos por qué.

Para discutir la reflexión por una lámina desde nuestro nuevo punto de vista, debemos de tener en cuenta la dimensión del tiempo. Anteriormente, cuando hablamos de luz de una fuente monocromática, utilizábamos un cronógrafo imaginario que cronometraba el fotón en su movimiento —la manecilla de este cronógrafo determinaba el ángulo de la amplitud de un camino dado—. En la fórmula de P(A a B) (la amplitud para que un fotón vaya de un punto a otro) no se menciona giro alguno. ¿Qué ocurrió con el cronógrafo? ¿Qué ocurrió con el giro?

En la primera conferencia dije sencillamente que la fuente luminosa era monocromática. Para analizar de modo correcto la reflexión parcial de una lámina, necesitamos saber algo sobre las fuentes monocromáticas de la luz. La amplitud de emisión de un fotón por una fuente varía, en general, con el tiempo: al transcurrir éste, cambia el ángulo de amplitud de emisión de un fotón por la fuente. Una fuente de luz blanca —muchos colores mezclados— emite fotones caóticamente: el ángulo de la amplitud cambia de forma abrupta e irregular, sin continuidad. Pero cuando construimos una fuente monocromática, estamos haciendo un dispositivo cuidadosamente diseñado para que se pueda calcular fácilmente la amplitud de emisión de un fotón cada cierto tiempo: cambia su ángulo a velocidad constante, como una manecilla de cronógrafo. (En realidad, esta flecha gira a la misma velocidad que el cronógrafo imaginario que utilizamos antes, pero en sentido opuesto —ver Fig. 67—).

La velocidad de giro depende del color de la luz: la amplitud para una fuente de luz azul gira casi dos veces más deprisa que para una luz roja, igual que antes. Por tanto, el contador de tiempo que utilizamos para el «cronógrafo imaginario» era la fuente monocromática: en realidad, el ángulo de la amplitud para un camino dado depende del tiempo en que se ha emitido el fotón por la fuente.

Una vez emitido el fotón, no hay giros de la flecha mientras va de un punto a otro del espacio-tiempo. Aunque la fórmula P(A a B) dice que hay una amplitud para la luz que va de un sitio a otro a velocidad distinta de c, la distancia entre la fuente y el detector en nuestro experimento es relativamente grande (comparada con un átomo), luego la única contribución a la longitud de P(A a B) que cuenta es la que procede de la de la velocidad c.

Para comentar nuestro nuevo cálculo de la reflexión parcial, empecemos por definir completamente el suceso: el detector en A hace un click en un tiempo dado, T. A continuación dividamos la lámina de cristal en un número de secciones muy delgadas —digamos, seis (ver Fig. 68a)—. Del análisis que realizamos en la segunda conferencia en el que encontramos que casi toda la luz es reflejada por el centro del espejo, sabemos que aunque cada electrón difunde la luz en todas las direcciones, cuando se suman todas las flechas de cada sección, el único sitio en donde no se cancelan es aquel donde la luz va directa a la zona central de la sección y difunde en una de las dos direcciones —directamente de vuelta al detector o hacia abajo a través del cristal—. La flecha final del suceso vendrá determinada entonces por la suma de seis flechas representando la difusión de la luz por los seis puntos medios —X₁ a X₆— distribuidos verticalmente a través del cristal.

De acuerdo, calculemos la flecha para cada uno de estos caminos por los que puede ir la luz —vía los seis puntos, X₁ a X ₆—. Hay cuatro pasos involucrados en cada camino (lo que significa cuatro flechas a multiplicar):

• PASO N.° 1: La fuente emite un fotón en un determinado momento.
• PASO N.° 2: El fotón va desde la fuente a uno de los puntos del cristal.
• PASO N.° 3: El fotón es difundido por un electrón en ese punto.
• PASO N.° 4: Un nuevo fotón emprende el camino hacia el detector.

Diremos que las amplitudes de los pasos 2 y 4 (el fotón va hacia o viene de un punto del cristal) no incluyen reducciones o giros, porque podemos suponer que nada de luz se pierde o se dispersa entre la fuente y el cristal o entre el cristal y el detector. Para el paso 3 (un electrón difunde un fotón) la amplitud de difusión es una constante —una reducción y un giro de un cierto valor, S— y es la misma en todas partes del cristal. (Esta cantidad es, como mencioné antes, diferente para cada material. Para el cristal, el giro de S el 90°). Por tanto, de las cuatro flechas a multiplicar, sólo la flecha del paso 1 —la amplitud para que un fotón sea emitido por la fuente cada determinado tiempo— es diferente para cada alternativa.

El instante en el que tendría que haberse emitido un fotón para llegar al detector A en el instante T (ver Fig. 68b) no es el mismo para los seis caminos distintos. Un fotón difundido por X₂ debería haberse emitido ligeramente antes que un fotón difundido por X₁, porque su camino es más largo. Por tanto la flecha en T₂ está ligeramente más girada que la flecha en T₁, porque la amplitud para que una fuente monocromática emita un fotón en un tiempo determinado gira en el sentido de las agujas del reloj al avanzar del tiempo. Lo mismo ocurre con cada flecha hasta T₀: las seis flechas tienen la misma longitud, pero están giradas con ángulos distintos —es decir, señalan en distintas direcciones— porque representan un fotón emitido por la fuente en tiempos distintos.

Después de reducir el tamaño de la flecha en T₁ por las cantidades prescritas en los pasos 2, 3 y 4 —y girarla los 90° prescritos en el paso 3— acabamos con la flecha 1 (ver Fig. 68c). Lo mismo ocurre con las flechas 2 y 6. Por consiguiente, las flechas 1 a 6 tienen todas la misma longitud (acortada) y están giradas entre sí la misma cantidad que las flechas T₁ a T₆.

A continuación, sumamos las flechas 1 a 6. Al conectar las flechas ordenadamente del 1 al 6, obtenemos algo parecido a un arco, o parte de un círculo. La flecha final es la cuerda de este arco. La longitud de la flecha final aumenta con el espesor del cristal —un cristal más grueso significa más secciones, más flechas y por tanto más parte de un círculo— hasta que se alcanza un semicírculo (y la flecha final es el diámetro). Por tanto, la longitud de la flecha final decrece al continuar aumentando el espesor del cristal y el círculo llega a completarse para comenzar un nuevo ciclo. El cuadrado de esta longitud es la probabilidad del suceso, y varía a lo largo del ciclo desde cero al 16%.

Existe un truco matemático que se puede utilizar para conseguir la misma solución (ver Fig. 68d): Si dibujamos una flecha desde el centro del «círculo» a la cola de la flecha 1 y a la cabeza de la flecha 6, obtenemos dos radios. Si la flecha-radio del centro a la flecha 1 se gira 180° («se resta»), entonces puede combinarse con la otra flecha-radio ¡y darnos la misma flecha final! Esto es lo que hacía en la primera conferencia: estos dos radios son las dos flechas que dije representaban la reflexión por la «superficie frontal» y la «superficie posterior». Cada una tiene la famosa longitud de 0,2^[21]

Por consiguiente, podemos conseguir la respuesta correcta para la probabilidad de reflexión parcial imaginando (falsamente) que toda la reflexión proviene sólo de las superficies frontal y posterior. En este sencillo análisis intuitivo, las flechas de la «superficie frontal» y la «superficie posterior» son construcciones matemáticas que nos dan la respuesta correcta, mientras que el análisis que acabo de hacer —con el dibujo del espacio-tiempo y las flechas formando parte de un círculo— es una representación más aproximada de lo que realmente está ocurriendo: la reflexión parcial es la difusión de la luz por los electrones del interior del cristal.

Y ahora, ¿qué ocurre con la luz que atraviesa la lámina del cristal? Primero, existe una amplitud de que el fotón vaya, derecho a través del cristal, sin golpear a ningún electrón (ver Fig. 69a). Esta es la flecha más importante en términos de longitud. Pero hay otros seis caminos por los que un fotón puede alcanzar el detector colocado debajo del cristal: un fotón puede incidir en X₁ y difundir el nuevo fotón hacia B; un fotón puede incidir en X₂ y difundir el nuevo fotón hacia B, y así sucesivamente. Estas seis flechas tienen todas la misma longitud que las flechas que forman el «círculo» en el ejemplo anterior: su longitud está basada en la misma amplitud S, que la de que un electrón del cristal difunda un fotón. Pero esta vez, las seis flechas señalan en la misma dirección, porque la longitud de los seis caminos que implican una difusión es la misma. La dirección de estas flechas secundarias forma ángulo recto con la flecha principal para el caso de sustancias transparentes como el cristal. Cuando estas flechas secundarias se suman a la flecha principal, resulta una flecha final de la misma longitud que la principal, pero girada hacia una dirección ligeramente distinta. Cuanto más grueso es el cristal, menos flechas secundarias existen, y más girada se encuentra la flecha final. Así es como funciona en realidad una lente focalizadora: se puede conseguir que la flecha final para cada camino señale en la misma dirección insertando un espesor extra de cristal en los caminos más cortos.

El mismo efecto tendría lugar si los fotones viajasen más despacio a través del cristal que a través del aire: existiría un giro extra de la flecha final. Esta es la razón por la que dije antes que la luz parece ir más despacio a través del cristal (o del agua) que a través del aire. En realidad, la «lentitud» de la luz se debe al giro extra causado por los átomos del cristal (o del agua) difundiendo la luz. El grado de giro extra de la flecha final cuando la luz atraviesa una sustancia determinada se denomina su «índice de refracción»^[22].

Para sustancias que absorben la luz, las flechas secundarias forman ángulos agudos con las flechas principales (ver Fig. 69b). Esto ocasiona que la flecha final sea más corta que la flecha principal, indicando que la probabilidad de que un fotón pase a través de un cristal parcialmente opaco es menor que para un cristal transparente.

Así que todos los fenómenos y los números arbitrarios mencionados en las dos primeras conferencias —tales como la reflexión parcial de la luz con una amplitud de 0,2, la «lentitud» de la luz en el agua y el cristal, y demás—, se explican con más detalle gracias a tres acciones básicas. Tres acciones que, de hecho, explican también casi todo lo demás.

Es difícil creer que casi toda la aparente extensa variedad de la Naturaleza resulte de la monotonía de combinar repetidamente estas tres acciones básicas. Pero lo es. Esbozaré un poco cómo surge esta variedad.

Podemos empezar con los fotones (ver Fig. 70). ¿Cuál es la probabilidad de que dos fotones, en los puntos 1 y 2 del espacio-tiempo, vayan a dos detectores en los puntos 3 y 4? Existen dos caminos principales por los que este suceso puede tener lugar y cada uno depende de dos cosas que ocurren concomitantemente: los fotones pueden ir directamente —P(1 a 3) × P(2 a 4)— o pueden «cruzarse» —P(1 a 4) × P(2 a 3)—. Las amplitudes resultantes para estas dos probabilidades se suman, y existe interferencia (como vimos en la segunda conferencia) haciendo que la flecha final varíe en longitud, dependiendo de la situación relativa de los puntos en el espacio-tiempo.

¿Qué ocurre si hacemos que 3 y 4 sean el mismo punto del espacio-tiempo (ver Fig. 71)? Digamos que ambos fotones acaban en el punto 3 y vemos cómo afecta esto a la probabilidad del suceso. Ahora tenemos P(1 a 3) × P(2 a 3) y P(2 a 3) × P(1 a 3), lo que da dos flechas idénticas. Cuando se suman, su longitud es el doble de cualquiera de ellas, y produce una flecha final cuyo cuadrado es cuatro veces el cuadrado de una sola flecha. Como las dos flechas son idénticas, siempre están «alineadas». En otras palabras, la interferencia no fluctúa de acuerdo con la separación relativa entre los puntos 1 y 2; siempre es positiva. Si no hubiésemos pensado en la interferencia siempre positiva de los dos fotones, hubiésemos pensado que deberíamos haber obtenido, como promedio, la probabilidad cuatro veces mayor. Cuando se ven involucrados varios fotones, la más esperada probabilidad aumenta todavía más.

Esto tiene como resultado un número de efectos prácticos. Podemos decir que los fotones tienden a tener la misma condición o «estado» (la forma en que varía la amplitud de encontrar uno en el espacio). La posibilidad de que un átomo emita un fotón se ve reforzada si ya están presentes algunos fotones (en un estado en que el átomo los pueda emitir). Este fenómeno de «emisión estimulada» fue descubierto por Einstein cuando presentó la teoría cuántica proponiendo el modelo fotónico de la luz. Los láseres funcionan sobre la base de este fenómeno.

Si hacemos la misma comparación con nuestros falsos electrones de espín cero, ocurriría lo mismo. Pero, en el mundo real, en donde los electrones se hayan polarizados, ocurre algo muy diferente: las dos flechas, E(1 a 3) × E(2 a 4) y E(1 a 4) × E(2 a 3) se restan —una de ellas se gira 180° antes de sumarse—. Cuando los puntos 3 y 4 son los mismos, las dos flechas tienen la misma longitud y dirección y en consecuencia se cancelan cuando se restan (ver Fig. 72). Esto significa que a los electrones, a diferencia de los fotones, no les gusta ir al mismo sitio; se evitan entre sí como la plaga, no puede haber dos electrones con la misma polarización en el mismo punto del espacio-tiempo —es el denominado «principio de exclusión».

Este principio de exclusión resulta ser el origen de la gran variedad de propiedades químicas de los átomos. Un protón intercambiando fotones con un electrón girando a su alrededor se denomina un átomo de hidrógeno. Dos protones en el mismo núcleo intercambiando fotones con dos electrones (polarizados en sentidos opuestos) se denomina un átomo de helio. Ya ven, los químicos tienen una forma complicada de contar: en lugar de decir, «uno, dos, tres, cuatro, cinco protones» dicen «hidrógeno, helio, litio, berilio, boro».

Sólo existen dos estados de polarización disponibles para los electrones, luego en un átomo con tres protones en el núcleo intercambiando fotones con tres electrones —una condición que se denomina un átomo de litio— el tercer electrón se encuentra más alejado del núcleo que los otros dos (que han usado el espacio disponible más cercano), e intercambia menos fotones. Esta es la causa de que el electrón pueda desprenderse con facilidad de su núcleo bajo la influencia de los fotones de otros átomos. Un gran número de átomos de este tipo, próximos entre sí, pierden con facilidad su tercer electrón individual para formar un mar de electrones circulando de átomo en átomo. Este mar de electrones reacciona ante cualquier pequeña fuerza eléctrica (fotones), generando una corriente de electrones —estoy describiendo al metal litio conduciendo electricidad—. Los átomos de hidrógeno y helio no ceden sus electrones a otros átomos. Son «aislantes».

Todos los átomos —más de un centenar de tipos diferentes— están constituidos por un cierto número de protones intercambiando fotones con un número igual de electrones. Las formas en que se agrupan son complicadas y ofrecen una enorme variedad de propiedades: algunos son metales, otros aislantes, algunos son gases, otros cristales; forman cosas blandas, cosas duras, cosas coloreadas, y cosas transparentes, una increíble cornucopia de variedad y excitación que procede del principio de exclusión y de la repetición una y otra vez y otra vez más de las tres acciones tan sencillas P(A a B), E(A a B), y j. (Si los electrones del mundo no estuvieran polarizados, todos los átomos tendrían propiedades muy similares: los electrones se agruparían, próximos al núcleo de sus átomos y no serían atraídos con facilidad por otros átomos para producir reacciones químicas).

Se podrían preguntar Vds. cómo acciones tan sencillas pueden producir un mundo tan complejo. Se debe a que los fenómenos que vemos en el mundo son el resultado de un enorme entretejido, de un tremendo número de intercambios e interferencias de fotones. El conocer las tres acciones fundamentales es sólo un pequeño inicio hacia el análisis de cualquier situación real, donde existen tal multitud de intercambios fotónicos que es imposible calcularlos —se tiene que adquirir experiencia para conocer cuáles son las posibilidades más importantes—. Entonces inventamos ideas tales como «índice de refracción» o «compresibilidad» o «valencia» que nos ayudan a calcular de manera aproximada cuando existe una enorme cantidad de detalles ocurriendo por debajo. Es algo análogo a saber las reglas del ajedrez —que son sencillas y fundamentales— comparado con ser capaz de jugar bien al ajedrez, lo que implica el comprender el carácter de cada posición y la naturaleza de varias situaciones —lo que es mucho más avanzado y difícil.

Las ramas de la física que tratan de cuestiones tales como el porqué el hierro (con 26 protones) es magnético mientras que el cobre (con 29) no lo es, o el porqué un gas es transparente y el otro no, se denominan «física del estado sólido» o «física de los fluidos» o «física honesta». La rama de física que encontró estas tres sencillas acciones (la parte más fácil) se denomina «física fundamental» —¡robamos el nombre para que así los otros físicos se sintiesen incómodos!—. Los problemas más interesantes de la actualidad —y ciertamente los más prácticos— se encuentran obviamente en la física del estado sólido. Pero alguien dijo que no hay nada tan práctico como una buena teoría. ¡Y la teoría de la electrodinámica cuántica es definitivamente una buena teoría!

Finalmente, me gustaría volver a ese número 1,00115965221, el número que en la primera conferencia les dije que había sido medido y calculado tan cuidadosamente. El número representa la respuesta de un electrón a un campo magnético externo —algo denominado el «momento magnético»—. Cuando Dirac elaboró por primera vez las reglas para calcular este número, utilizó la fórmula E(A a B) y obtuvo una respuesta muy sencilla que consideraremos en nuestras unidades como 1. El diagrama de esta primera aproximación del momento magnético de un electrón es muy sencillo —un electrón va de un lugar a otro del espacio-tiempo y se acopla con un fotón de un imán (ver Fig. 73).

Al cabo de varios años se descubrió que este valor no era exactamente 1, sino ligeramente superior —algo como 1,00116—. Esta corrección fue calculada por vez primera, en 1948, por Schwinger como j × j dividido por 2π, y se debía a un camino alternativo por el que el electrón podía ir de un sitio a otro: en lugar de ir directamente de un punto a otro, el electrón viajaba durante un tiempo y de repente emitía un fotón; luego (¡horror!) absorbía su propio fotón (ver Fig. 74). Quizá haya algo de «inmoral» en esto, ¡pero el electrón lo hace! Para determinar la flecha de esta alternativa, tenemos que construir una flecha para cada punto del espacio-tiempo en donde se pueda emitir el fotón y para cada punto en donde pueda ser absorbido. Así que habrá dos extras E(A a B), un P(A a B) y dos extras j todos multiplicándose entre sí. Los estudiantes aprenden a hacer este sencillo cálculo en su curso elemental de electrodinámica cuántica, durante su segundo año de carrera.

Pero esperen: los experimentos han medido el comportamiento de un electrón con tanta precisión que tenemos que considerar todavía otras posibilidades en nuestros cálculos —todos los caminos por los que el electrón puede ir de un sitio a otro con cuatro acoplamientos extras (ver Fig. 75)—. Hay tres caminos por los que el electrón puede emitir y absorber dos fotones. También hay una nueva e interesante posibilidad (mostrada a la derecha de la Fig. 75): se emite un fotón; forma un par positrón-electrón, y —de nuevo, si Vds. suprimen sus objeciones «morales»— el electrón y el positrón se aniquilan, creando un nuevo fotón que es absorbido finalmente por el electrón. ¡Esta posibilidad también tiene que considerarse!

La determinación del siguiente término supuso dos años de trabajo a dos grupos «independientes» de físicos y luego otro año el descubrir que había un error —los experimentos habían medido un valor ligeramente diferente— y durante un tiempo pareció que, por vez primera, la teoría no concordaba con los experimentos, pero no: existía un error de cálculo. ¿Cómo pudieron cometer dos grupos el mismo error? Resultó que hacia el final de sus cálculos los dos grupos compararon notas y limaron las diferencias; es decir, no eran realmente independientes.

El término con seis j extras supone todavía más caminos posibles por los que puede ocurrir el suceso; les dibujaré ahora algunos de ellos (ver Fig. 76). Llevó veinte años el que apareciese este refinamiento de la precisión en el valor teórico del momento magnético del electrón. Mientras tanto, los experimentadores llevaron a cabo experimentos más detallados y añadieron algunos dígitos más a su número —y la teoría todavía concordaba.

Por tanto, para hacer nuestros cálculos construimos estos diagramas, escribimos lo que representan matemáticamente y sumamos las amplitudes —un proceso lineal, de «libro de cocina»—. En consecuencia puede ser realizado por las computadoras. Ahora que tenemos super-extra calculadoras, hemos empezado a calcular el término con ocho j extras. En la actualidad, el número teórico es 1,00115965246; experimentalmente es 1,00115965221, más o menos 4 en el último decimal. Parte de la incertidumbre del valor teórico (del orden de 4 en el último decimal) se debe al redondeo de los números por el computador; la mayor parte (alrededor de 20) se debe al hecho de que el valor de j no se conoce exactamente. El término con ocho j extras implica del orden de diez mil diagramas con quinientos términos cada uno —un cálculo fantástico— y se está haciendo en la actualidad.

Estoy seguro de que en unos cuantos años más los valores teórico y experimental del momento magnético de un electrón habrán sido calculados con más dígitos. Naturalmente, no estoy seguro de si todavía coincidirán los dos valores. Esto nunca se puede decir mientras no se hagan los cálculos y experimentos.

Y así hemos cerrado el círculo y retornado al número que escogí al principio de estas conferencias para «intimidarles». Espero que comprendan ahora mucho mejor el significado de este número: representa el grado extraordinario al que hemos llegado comprobando que la extraña teoría de la electrodinámica cuántica es realmente correcta.

A lo largo de estas conferencias me ha encantado demostrarles que el precio de lograr una teoría tan precisa ha sido la erosión de nuestro sentido común. Debemos aceptar unos comportamientos un tanto peculiares: la amplificación y supresión de probabilidades, la luz reflejándose en todas las partes de un espejo, la luz viajando por caminos distintos al de la línea recta, los fotones viajando más deprisa o más despacio que la velocidad convencional de la luz, los electrones retrocediendo en el tiempo, los fotones desintegrándose de repente en pares electrón-positrón, etc. Debemos hacerlo para apreciar lo que ocurre realmente en la Naturaleza, subyaciendo a todos los fenómenos que vemos en el mundo.

Con la excepción del detalle técnico de la polarización, les he descrito el marco que nos permite entender todos estos fenómenos. Dibujábamos amplitud para cada camino en que podía tener lugar un suceso y las sumábamos cuando, en circunstancias normales esperábamos que se sumasen las probabilidades; multiplicábamos amplitudes cuando esperábamos que se multiplicasen las probabilidades. Pensar todo en términos de amplitudes puede causar dificultades, inicialmente, dada su abstracción, pero al cabo de un tiempo, uno se acostumbra a este extraño lenguaje. Detrás de tantos fenómenos que observamos cada día sólo hay tres acciones básicas: una se describe por el sencillo número de acoplamiento, j; las otras dos por las funciones —P(A a B) y E(A a B)— ambas íntimamente relacionadas. Esto es todo, y de aquí surgen todas las demás leyes de la física.

Sin embargo, antes de que termine esta conferencia, me gustaría hacer algunos comentarios adicionales. Se puede entender el carácter y el espíritu de la electrodinámica cuántica sin incluir el detalle técnico de la polarización. Pero estoy seguro de que todos Vds. se sentirán incómodos a menos que diga algo acerca de lo que he estado dejando a un lado. Ocurre que los fotones vienen en cuatro variedades diferentes, denominadas polarizaciones, que están relacionadas geométricamente con las direcciones del espacio y el tiempo. Así, hay fotones polarizados en las direcciones X, Y, Z y T. (Quizá hayan oído algo como que la luz tiene sólo dos estados de polarización —por ejemplo, un fotón yendo en la dirección X o Y—. Bien, lo han adivinado: en situaciones en las que el fotón recorre una gran distancia y parece ir a la velocidad de la luz, las amplitudes de los términos Z y T se cancelan. Pero para fotones virtuales yendo entre un protón y un electrón en un átomo, es la componente T la que resulta más importante).

De manera análoga, un electrón puede estar en una de las cuatro condiciones que también, pero de manera más sutil, se hayan relacionadas con la geometría. Podemos denotar esas condiciones por 1, 2, 3 y 4. Calcular la amplitud de un electrón yendo del punto A al B en el espacio-tiempo, se vuelve de alguna manera más complicado porque ahora nos podemos hacer preguntas como «¿cuál es la amplitud de que un electrón liberado en la condición 2 en el punto A llegue al punto B en la condición 3?». Las dieciséis combinaciones posibles —provenientes de las cuatro condiciones diferentes en las que puede acabar en B— están relacionadas, de manera matemáticamente sencilla, con la fórmula E(A a B) de la que les he hablado.

Para un fotón no se necesita semejante modificación. Así, un fotón polarizado en la dirección X en A sigue polarizado en la dirección X en B, llegando con la amplitud P(A a B).

La polarización produce gran número de distintos acoplamientos posibles. Podríamos preguntar, por ejemplo, «¿cuál es la amplitud para que un electrón en la condición 2 absorba un fotón polarizado en la dirección X y en consecuencia se convierta en un electrón en la condición 3?». No todas las condiciones posibles de electrones polarizados y fotones se acoplan, pero las que lo hacen tienen la misma amplitud j aunque, en ocasiones, con un giro adicional de la flecha con un valor múltiplo de 90°.

Todas estas posibilidades para los distintos tipos de polarización y la naturaleza de los acoplamientos, se pueden deducir de manera muy elegante y bella a partir de los principios de la electrodinámica cuántica y de dos suposiciones más: 1) el resultado de un experimento no se ve afectado si el aparato con el que se está realizando se gira en alguna dirección y 2) tampoco existen diferencias si el aparato se encuentra en una nave espacial moviéndose a una velocidad arbitraria. (Este es el principio de la relatividad).

Este elegante análisis general muestra que cada partícula debe estar en alguna de las clases posibles de polarización que denominamos espín 0, espín 1/2, espín 1, espín 3/2, espín 2 y así sucesivamente. Las distintas clases se comportan de manera diferente. Una partícula de espín 0 es la más sencilla —sólo tiene una componente— y no se ve efectivamente polarizada, (Los falsos electrones y fotones que hemos estado considerando en estas conferencias son partículas de espín 0. Hasta ahora, no se han encontrado partículas fundamentales de espín 0). Un electrón real es un ejemplo de partícula de espín 1/2 y un fotón real es un ejemplo de partícula de espín 1. Tanto las partículas de espín 1/2 como de espín 1 tienen cuatro componentes. Los otros tipos tendrán más componentes; así, las partículas de espín 2 tendrán 10 componentes.

He dicho que la relación entre relatividad y polarización es sencilla y elegante, ¡pero no estoy seguro de que pueda explicarla de manera sencilla y elegante! (Necesitaría al menos una conferencia adicional para poder hacerlo). Aunque los detalles de la polarización no son esenciales para comprender el espíritu y carácter de la electrodinámica cuántica, naturalmente lo son para el cálculo correcto de cualquier proceso real, y a menudo tienen efectos muy importantes. He estado centrando estas conferencias en interacciones relativamente sencillas, a distancias muy pequeñas, entre electrones y fotones, en las que solo se ven implicadas unas pocas partículas. Pero me gustaría hacer una o dos observaciones sobre cómo tienen lugar estas interacciones en el universo, en donde se intercambia un número muy grande de fotones. A tan gran escala, el cálculo de las flechas se vuelve muy complicado.

Existen, sin embargo, algunas situaciones que no son tan difíciles de analizar. Hay circunstancias, por ejemplo, en donde la amplitud de emisión de un fotón por una fuente es independiente de si se ha emitido otro fotón. Esto puede ocurrir cuando la fuente es muy pesada (el núcleo de un átomo), o cuando se mueve del mismo modo un número muy grande de electrones, por ejemplo de un lado a otro en la antena de una estación de radiodifusión, o alrededor de los enrollamientos de un electroimán. Bajo estas condiciones se emiten un gran número de fotones, todos del mismo tipo. La amplitud de absorción de un fotón por un electrón, en tales circunstancias, es independiente de que él o cualquier otro electrón haya absorbido otros fotones previamente. En consecuencia, el comportamiento total puede darse mediante la amplitud de absorción de un fotón por un electrón, que depende sólo de la posición del electrón en el espacio y el tiempo. Los físicos utilizan palabras comunes para describir esta circunstancia. Dicen que el electrón se está moviendo en un campo externo. Para los físicos la palabra «campo» quiere decir «una cantidad que depende de la posición en el espacio y en el tiempo». La temperatura del aire nos provee con un buen ejemplo: varía dependiendo de dónde y cuándo se haya hecho la medida. Cuando se tiene en cuenta la polarización, existen más componentes del campo. (Existen cuatro componentes —correspondientes a la amplitud de absorción de cada uno de los distintos tipos de polarización (X, Y, Z, T) en que pueda estar el fotón— que se denominan de manera técnica, potencial electromagnético escalar y vectorial. A partir de sus combinaciones, la física clásica ha derivado componentes más convenientes denominadas campo eléctrico y magnético).

En una situación en donde el campo eléctrico y magnético varíen con suficiente lentitud, la amplitud de que un electrón viaje una distancia muy larga depende del camino que escoja. Como vimos con anterioridad en el caso de la luz, los caminos más importantes son aquéllos en que los ángulos de la amplitud de los caminos próximos son casi los mismos. El resultado es que la partícula no viaja necesariamente en línea recta.

Esto nos retrotrae a la física clásica, en donde se supone que existen campos y que los electrones se mueven a través de ellos de manera tal que hacen mínima una determinada cantidad. (Los físicos denominan a esta cantidad «acción» y formulan esta regla como «el principio de mínima acción»). Este es un ejemplo de cómo las reglas de la electrodinámica cuántica producen fenómenos a gran escala. Podríamos extendernos en muchas direcciones, pero tenemos que limitar de algún modo la panorámica de estas conferencias. Sólo quiero recordarles que los efectos que vemos a gran escala y los extraños fenómenos que vemos a pequeña escala están ambos producidos por la interacción de electrones y fotones y todos se describen, en última instancia, por la teoría de la electrodinámica cuántica.