Appendix

Vraag

Bewijs de volgende bewering:

“Een driehoek met zijden die geschreven kunnen worden in de vorm n² + 1, n² – 1 en 2n (met n > 1) is rechthoekig.”

Toon met een tegenvoorbeeld aan dat het omgekeerde onjuist is.

Antwoord

Eerst moeten we bepalen wat de langste zijde is van een driehoek met zijden die geschreven kunnen worden in de vorm n² + 1, n² – 1 en 2n (met n > 1)

n² + 1 – 2n = (n – 1)²

en als n > 1 dan (n – 1)² > 0

dus n² + 1 – 2n > 0

dus n² + 1 > 2n

Evenzo (n² + 1) – n² – 1) = 2

dus n² + 1 > n² – 1

Dit betekent dat n² + 1 de lange zijde is van een driehoek met zijden die geschreven kunnen worden in de vorm n² + 1, n² – 1 en 2n (met n > 1).

Dit kan ook worden aangetoond met het volgende diagram (maar dit bewijst niets):

Volgens de stelling van Pythagoras is de driehoek rechthoekig als de som van de kwadraten van de twee korte zijden gelijk is aan het kwadraat van de hypotenusa. Om te bewijzen dat de driehoek rechthoekig is moeten we dus aantonen dat dit het geval is.

De som van de kwadraten van de twee korte zijden is (n² -1)² + (2n)²

n² – l)² + (2n)² = n⁴ – 2n² + 1 + in² = n⁴ + 2n² + l

Het kwadraat van de hypotenusa is (n² + l)²

(n² + l)² = n’ + 2n² + 1

Dus is de som van de kwadraten van de twee korte zijden gelijk aan het kwadraat van de hypotenusa en is de driehoek rechthoekig.

En het omgekeerde van ‘Een driehoek met zijden die geschreven kunnen worden in de vorm n² + 1, n² – 1 en 2n (met n > 1)’ is ‘Een driehoek die rechthoekig is heeft zijden die geschreven kunnen worden in de vorm n² + 1, n² – 1 en 2n (met n > 1).’

En een tegenvoorbeeld betekent een driehoek vinden die rechthoekig is maar zijden heeft die niet geschreven kunnen worden in de vorm n² + 1, n² – 1 en 2n (met n > 1).

Dus: stel AB is de hypotenusa van de rechthoekige driehoek ABC en stel AB = 65 en stel BC = 60

Dan CA = /(AB² – BC²)

= v^² – 60²) = ^(4225 – 3600) = ^625 = 25

Stel AB = n² + 1 = 65

dan n = ^(65 – 1) = V%4 = 8

dus n² – 1 = 64 – 1 = 63 4 BC = 60 en n² – 1 = 63 4 CA = 25

en 2M = 16 # BC = 60 en In = 16 4 CA = 25

Dus is de driehoek ABC rechthoekig maar heeft hij geen zijden die geschreven kunnen worden in de vorm n² + 1, n² – 1 en 2M (met n > 1).

QED

EOF