Глава 26
ОПТИКА. ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ВРЕМЕНИ
§ 1. Свет
§ 2. Отражение и преломление
§ 3. Принцип наименьшего времени Ферма
§ 4. Применения принципа Ферма
§ 5. Более точная формулировка принципа Ферма
§ 6, Квантовый механизм
§ 1. Свет
Эта глава — первая из посвященных электромагнитному излучению. Свет, с помощью которого мы видим, составляет только небольшую часть широкого спектра явлений одной природы, причем разные части спектра характеризуются разными значениями определенной физической величины. Эту величину называют «длиной волны». По мере того, как она пробегает значения в пределах спектра видимого света, цвет световых лучей меняется от красного до фиолетового. Систематическое изучение спектра от длинных волн к коротким лучше всего начать с так называемых радиоволн. В технике радиоволны получают в широком диапазоне длин волн и даже более длинные, чем те, которые используются в обычном радиовещании. В радиовещании применяются волны длиной около 500 м, за ними идут так называемые короткие волны, далее радиолокационный диапазон, миллиметровый диапазон и т. д. На самом деле между разными диапазонами нет никаких границ, природа их не создала. Числа, которые соответствуют разным диапазонам, и, конечно, сами названия диапазонов весьма условны.
Далее, пройдя долгий путь через миллиметровый диапазон, мы придем к инфракрасным волнам, а оттуда к спектру видимого света. Спустившись за его границы, мы попадем в ультрафиолетовую область. За ультрафиолетовой областью начинаются рентгеновские лучи, но границу между ними точно определить мы не можем, она где-то около 10-8 м, или 10-2 мкм. Это область мягких рентгеновских лучей, за нею идет обычное рентгеновское излучение, затем жесткое излучение, потом g-излучение и так ко все меньшим значениям величины, которую мы назвали длиной волны.
В пределах обширного диапазона длин волн имеется не менее трех областей, где возможны весьма интересные приближения. Существует, например, область, где длина волны мала по сравнению с размерами приборов, с помощью которых изучают такие волны; более того, энергия фотонов, если говорить на языке квантовой механики, меньше порога чувствительности приборов. В этой области первое грубое приближение дает метод, называемый геометрической оптикой. С другой стороны, когда длина волны становится порядка размеров прибора (такие условия проще создать для радиоволн, чем для видимого света), а энергия фотонов по-прежнему ничтожна, применяется другое очень полезное приближение, в котором учтены волновые свойства света, но снова пренебрегается эффектами квантовой механики. Это приближение основано на классической теории электромагнитного излучения; оно будет обсуждаться в одной из последующих глав. Наконец, для еще более коротких длин волн, когда энергия фотонов велика по сравнению с чувствительностью приборов и от волнового характера излучения можно отвлечься, снова возникает простая картина. Такую фотонную картину мы рассмотрим только в общих чертах. Полную теорию, описывающую все на основе единой модели, вы узнаете гораздо позже.
В этой главе мы ограничимся той областью, для которой эффективна геометрическая оптика и, как будет видно в дальнейшем, длина волны и фотонный характер света роли не играют. Мы даже не зададим вопроса, а что такое свет, и только опишем его поведение в масштабе длин и времен, много больших, чем некоторые характерные величины. Из сказанного ясно, что речь пойдет об очень грубом приближении, потом нам придется «отучаться» от изложенных здесь методов. Но отучимся мы легко, потому что почти сразу перейдем к более точному анализу.
Геометрическая оптика, хотя и является приближением, представляет огромный интерес с технической и исторической точек зрения. На истории этого вопроса мы намеренно остановимся подробнее, чтобы дать представление о развитии физической теории или физической идеи вообще.
Начнем с того, что свет знаком каждому и известен с незапамятных времен. Возникает первая проблема: каков механизм видения света? Теорий было много, но в конце концов, они свелись к одной: существует нечто, попадающее в глаз при отражении от предметов. Эта идея существует уже давно и столь привычна, что теперь даже трудно себе представить другие идеи, предложенные, однако, весьма умными людьми, например, что нечто выходит из глаза и чувствует окружающие предметы. Были и другие важные наблюдения: свет распространяется из одной точки в другую по прямой линии, если ничто ему не препятствует и лучи света не взаимодействуют друг с другом. Иными словами, свет распространяется в комнате во всевозможных направлениях, но тот луч, который перпендикулярен направлению нашего взгляда, не воздействует на лучи, идущие к нам от какого-либо предмета. В свое время это был сильнейший аргумент против корпускулярной теории света и его использовал Гюйгенс. Но если представить себе свет в виде пучка летящих стрел, то как могли бы тогда другие стрелы легко пронизывать его? На самом деле ценность таких схоластических доказательств весьма сомнительна. Всегда можно сказать, что свет состоит именно из таких стрел, которые свободно проходят друг через друга!
§ 2. Отражение и преломление
Все сказанное дает представление об основной идее геометрической оптики. Теперь перейдем к ее количественному описанию. До сих пор мы разбирали случай, когда свет распространяется между двумя точками по прямой линии. Посмотрим теперь, что происходит, когда свет на своем пути наталкивается на какой-то объект (фиг. 26.1). Простейший объект — это зеркало, и в этом случае мы знаем такой закон: свет, попадая на зеркало, не проходит через него, а отражается и снова уходит по прямой линии, причем направление прямой меняется при изменении наклона зеркала. Еще в древности люди были заняты вопросом: каково соотношение между этими двумя углами? Это очень простое соотношение, и найдено оно было давным-давно. Падающий на зеркало луч после отражения движется по такому пути, что углы между каждым лучом и зеркалом равны. По ряду соображений углы удобно отсчитывать от нормали к поверхности зеркала. Тогда так называемый закон отражения гласит:
qi=qr. (26.1)
В отличие от простого закона отражения более сложный закон возникает при переходе света из одной среды в другую, например из воздуха в воду; здесь тоже свет движется не по прямой. Траектория луча в воде образует некоторый угол с траекторией в воздухе.
Фиг. 26.2
Когда луч падает почти вертикально, угол отклонения qi- невелик; если же луч направить под большим углом, отклонение становится значительным (фиг. 26.2). Возникает вопрос: каково соотношение между двумя углами? В древности эта проблема долго ставила людей в тупик, но ответ тогда так и не был найден! Тем не менее именно по этому вопросу можно найти очень редкую в древнегреческой физике сводку экспериментальных данных!
Клавдий Птолемей составил таблицу углов отклонения света в воде для целого ряда углов падения из воздуха. В табл. 26.1 приведены углы в воздухе в градусах и соответствующие углы для воды. (Принято считать, что древние греки никогда не ставили опытов. Но, не зная закона, такую таблицу можно составить только на основании эксперимента. Надо отметить, однако, что данные таблицы слишком хорошо ложатся на параболу, поэтому они не могли быть результатом независимых измерений; это лишь ряд чисел, интерполированных по немногим измеренным точкам.)
Таблица 26.1 · ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТА ПО ПТОЛЕМЕЮ
Угол в воздухе, град Угол в воде, град
10 8,5
20 15,5
30 22,5
40 28
50 35
60 40,5
70 45
80 50
Это был очень важный шаг в становлении физического закона: сначала мы наблюдаем эффект, затем проводим измерения и сводим результаты в таблицу, после чего пытаемся найти закон, по которому одни величины сопоставляются с другими. Приведенная таблица была составлена еще в 140 г. до нашей эры, и вплоть до 1621 г. никто не смог найти такого закона, который связал бы эти два угла!
Фиг. 26.3. При переходе из одной среда в другую луч света преломляется.
Закон был установлен голландским математиком Виллебрордом Снеллом и читается так: пусть qi;. есть угол в воздухе и qr,. есть угол в воде, тогда синус
qi, равен синусу qr, умноженному на некоторую константу
sin qi = пsinqr. (26.2)
Для воды число n равно примерно 1,33. Равенство (26.2) называется законом Снелла; он позволяет предсказать отклонение света при переходе из воздуха в воду. В табл. 26.2 указаны углы в воде и воздухе, полученные с помощью закона Снелла. Обратите внимание на удивительное согласие с таблицей Птолемея.
Таблица 26.2 · ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТА ПО ЗАКОНУ СНЕЛЛА
Угол в воздухе, град Угол в воде, град
10 7,5
20 15
30 22
40 29
50 35
60 40
70 48
80 49,5
§ 3. Принцип наименьшего времени Ферма
По мере развития науки нам хочется получить нечто большее, чем просто формулу. Сначала мы наблюдаем явления, затем с помощью измерений получаем числа и, наконец, находим закон, связывающий эти числа. Но истинное величие науки состоит в том, что мы можем найти такой способ рассуждения, при котором закон становится очевидным,
Впервые общий принцип, наглядно объясняющий закон поведения света, был предложен Ферма примерно в 1650 г. и получил название принципа наименьшего времени, или принципа Ферма. Вот его идея: свет выбирает из всех возможных путей, соединяющих две точки, тот путь, который требует наименьшего времени для его прохождения.
Покажем сначала, что это верно для случая с зеркалом, что этот простой принцип объясняет и прямолинейность распространения света, и закон отражения света от зеркала. Мы явно делаем успехи!
Попытаемся решить следующую задачу. На фиг. 26.3 изображены две точки А и В и плоское зеркало ММ'. Каким путем можно за кратчайшее время попасть из точки А в точку В? Ответ: по прямой, проведенной из А в В!
Фиг. 26.3. Иллюстрация принципа наименьшего времени.
Но если мы добавим дополнительное условие, что свет должен попасть на зеркало, отразиться от него и вернуться снова в точку В опять-таки за кратчайшее время, то ответить не так уж просто. Один путь — как можно скорее добраться до зеркала, а оттуда в точку B, т. е. по пути ADB. Путь DB, конечно, длинен. Если сдвинуться чуть-чуть вправо в точку Е, то первый отрезок пути немного увеличится, но зато сильно уменьшится второй, и время прохождения, поэтому станет меньше. Как найти точку C, для которой время прохождения наименьшее? Воспользуемся для этого хитрым геометрическим приемом.
По другую сторону зеркала ММ', на таком же расстоянии от него, что и точка B, построим искусственную точку B'. Затем проведем линию ЕВ'. Поскольку угол BFM прямой и BF—FB', то ЕВ равно ЕВ'. Следовательно, сумма длин двух отрезков АЕ+ЕВ, пропорциональная времени их прохождения (если свет проходит с постоянной скоростью), равна сумме длин АЕ+ЕВ'. Теперь нужно выяснить, когда сумма длин будет наименьшей. Ответ: когда точка С будет лежать на прямой, соединяющей А и В'! Другими словами, нужно идти к мнимой точке В' (мнимому изображению точки В) и тогда мы найдем точку С. Далее, если АСВ'— прямая линия, угол BCF равен углу B'CF и, следовательно, углу АСМ. Таким образом, утверждение о равенстве углов падения и отражения равносильно утверждению, что свет при отражении от зеркала в точку В выбирает путь, требующий наименьшего времени. Еще Герон Александрийский высказал утверждение, что свет при отражении идет из одной точки в другую по кратчайшему пути, так что идея принципа, как видите, не нова. Именно это вдохновило Ферма, и он попробовал применить этот принцип к явлению преломления. Но свет, преломляясь, очевидным образом идет не по кратчайшему пути, и тогда Ферма предложил другой принцип — свет выбирает путь, время прохождения по которому наименьшее.
Прежде чем перейти к вопросу о преломлении света, сделаем еще одно замечание об отражении от зеркала. Если поместить источник света в точку В и направить луч на зеркало, свет, отражаясь от зеркала, пройдет из В в А так, как будто бы источник находится в В', а зеркала нет вообще. Наш глаз видит только тот свет, который действительно входит в него; и хотя источник расположен в точке В, зеркало направляет свет в глаз точно так, как будто источник находится в В', и система глаза — мозг интерпретирует именно так это явление. Поэтому иллюзия, что источник или предмет находится за зеркалом, вызывается только тем фактом, что свет попадает в глаз физически именно так, как если бы предмет действительно был позади зеркала (если не принимать во внимание пыль на зеркале и то, что нам известно, что зеркало реально существует, и другие сведения, которые учитывает наш мозг).
Покажем теперь, что из принципа наименьшего времени вытекает закон Снелла для преломления. Мы должны, конечно, что-то предположить относительно скорости света в воде. Будем считать, что скорость света в воде меньше скорости света в воздухе, и отношение второй скорости к первой обозначим через n.
Наша задача по-прежнему состоит в том, чтобы на фиг. 26.4 попасть из точки А в В за наименьшее время. Чтобы убедиться, что путь по прямой здесь не самый быстрый, представим себе следующую ситуацию: хорошенькая девушка падает из лодки в воду в точке В и кричит, просит спасти. Линия X — это берег. Вы находитесь на суше в точке А и видите, что произошло, вы умеете плавать и умеете бегать. Но бегаете вы быстрее, чем плаваете. Что вам делать? Бежать по прямой к берегу? (Конечно!) Но, немного поразмыслив, вы поймете, что выгоднее пробежать несколько дольше по берегу, чтобы уменьшить ваш путь в воде, потому что в воде вы будете двигаться гораздо медленнее. (Рассуждая таким образом, лучше всего было бы заранее тщательно вычислить путь!) Во всяком случае, давайте попытаемся показать, что окончательное решение задачи — это путь АСВ, который занимает из всех возможных наименьшее время. Если этот путь кратчайший по времени, то любой другой окажется длиннее. Поэтому если отложить на графике зависимость времени от положения точки X, получится кривая, похожая на изображенную на фиг. 26.5, где точка С соответствует наименьшему времени.
Фиг. 26.4. Иллюстрация принципа Ферма для случая преломления.
Фиг. 26.5 Наименьшее время получается при выборе точки С.
Соседние точки приводят примерно к такому же времени прохождения.
Это означает, что для точек X вблизи С в первом приближении время прохождения практически одинаковое, так как в точке С наклон кривой равен нулю. Итак, наш способ найти искомый путь сводится к требованию, чтобы при небольшом изменении положения точки время прохождения не менялось. (Конечно, возникнут бесконечно малые изменения времени второго порядка, и они должны быть положительными при смещении в обе стороны от точки С.) Возьмем близкую точку X, вычислим время прохождения на пути АХВ и сравним его со старым путем АСЕ. Сделать это очень просто. Конечно, нужно еще, чтобы разность времен стремилась к нулю для малых расстояний ХС. Обратимся сначала к пути по суше. Если мы опустим перпендикуляр ЕХ, то легко увидим, что наш путь стал короче на длину ЕС. Можно сказать, что это расстояние мы выиграли. С другой стороны, опустив перпендикуляр CF, мы увидим, что в воде приходится проплыть дополнительное расстояние XF. В этом мы проиграли. С точки зрения экономии времени выигрывается время на отрезке ЕС, но теряется на отрезке XF. Эти два интервала времени должны быть равны, так как в первом приближении полное время прохождения не меняется. Предположив, что скорость в воде равна скорости в воздухе, умноженной на 1/n получим
ЕС=nXF. (26.3)
Поэтому мы видим, что если нам удалось правильно выбрать точку С (XCsinEXC =nXCsinXCF) или мы сократили на длину общей гипотенузы ХС и заметили, что
EXC=ECN=qi и XCF=BCN'=qr,
то мы получим
sinqi=nsinqr. (26.4)
Отсюда видно, что при отношении скоростей, равном n, свет должен двигаться из одной точки в другую по такому пути, чтобы отношение синусов qit- и qr было равно отношению скоростей в двух средах.
§ 4. Применения принципа Ферма
Рассмотрим теперь некоторые интересные следствия принципа наименьшего времени. Первое из них — принцип обратимости. Мы уже нашли путь из A в В, требующий наименьшего времени; пойдем теперь в обратном направлении (считая, что скорость света не зависит от направления). Наименьшему времени отвечает та же траектория, и, следовательно, если свет распространяется по некоторому пути в одном направлении, он будет двигаться по этому пути и в обратном направлении.
Другой интересный пример! На пути света под некоторым углом поставлена четырехгранная стеклянная призма с параллельными гранями. Свет проходит из точки А в В и, встретив на своем пути призму (фиг. 26.6), отклоняется, причем длительность пути в призме уменьшается за счет изменения наклона траектории, а путь в воздухе немного удлиняется. Участки траектории вне призмы оказываются параллельными друг другу, потому что углы входа и выхода из призмы одинаковы.
Третье интересное явление состоит в том, что когда мы смотрим на заходящее солнце, то оно на самом деле находится уже ниже линии горизонта! Нам кажется, что солнце еще над горизонтом, а оно фактически уже зашло (фиг. 26.7). Дело здесь в следующем. Земная атмосфера вверху разрежена, а в нижних слоях более плотная. Свет распространяется в воздухе медленнее, чем в вакууме, и поэтому солнечные лучи достигнут какой-то точки за горизонтом быстрее, если будут двигаться не по прямой линии, а по траектории с более крутым наклоном в плотных слоях атмосферы, сокращая таким образом свой путь в этих слоях.
Еще пример того же рода — мираж, который часто наблюдают путешественники на раскаленных солнцем дорогах. Они видят на дороге «воду», а когда подъезжают туда, то кругом оказывается все сухо, как в пустыне! Сущность явления в следующем. То, что мы видим в этом случае, это «отраженный» дорогой свет. На фиг. 26.8 показано, как падающий на дорогу луч света попадает к нам в глаз. Почему? Воздух сильно раскален над самой дорогой, а в верхних слоях холоднее. Горячий воздух, расширяясь, становится более разреженным, а потому и скорость света в нем больше, чем в холодном.
Фиг. 26.6. Луч света, выходящий из прозрачной пластины, параллелен падающему лучу.
Фиг. 26.7. У горизонта Солнце кажется на 1/2 градуса выше, чем на самом деле.
Другими словами, свет быстрее проходит в теплых слоях, чем в холодных. Поэтому свет проходит не по прямой, а идет по траектории с наименьшим временем, заворачивая для этого в теплые слои воздуха, чтобы сократить время. Таким образом, свет идет по кривой.
И еще один пример. Представим себе такую ситуацию, когда весь свет, испускаемый в точке Р, собирается обратно в другую точку Р' (фиг. 26.9). Это означает, конечно, что свет может попасть из точки Р в Р' по прямой линии. Это правильно. Но как устроить так, чтобы свет, идущий от Р к Q, тоже попал в Р'? Мы хотим собрать весь свет снова в одной точке, которую называют фокусом. Как это сделать? Поскольку свет всегда выбирает путь с наименьшим временем, то наверняка он не пойдет по другим предложенным нами путям. Единственный способ сделать целый ряд близлежащих траекторий приемлемыми для света — это устроить так, чтобы для всех время прохождения было точно одинаковым! В противном случае свет пойдет по траектории, требующей минимального времени. Поэтому задача построения фокусирующей системы сводится просто к созданию устройства, в котором свет тратит на всех путях одинаковое время!
Такое устройство создать просто. Возьмем кусок стекла, в котором свет движется медленнее, чем в воздухе (фиг. 26.10). Проследим путь луча света, проходящего в воздухе по линии PQP'. Этот путь длиннее, чем прямо из Р в Р', и наверняка занимает больше времени. Но если взять кусок стекла нужной толщины (позже мы вычислим, какой именно), то путь в нем скомпенсирует добавочное время, затрачиваемое при отклонении луча на траектории PQP'. При этих условиях можно устроить так, чтобы время, затрачиваемое светом на пути по прямой, совпадало со временем, затрачиваемым на пути PQP'. Точно так же, если взять частично отклоненный луч PRR'P' (более короткий, чем PQP'), то придется скомпенсировать уже не так много времени, как для прямолинейной траектории, но некоторую долю времени все же скомпенсировать придется.
Фиг. 26.8. Мираж.
Фиг, 26.9. Оптический «черный ящик».
В результате мы приходим к форме куска стекла, изображенной на фиг. 26.10. При такой форме весь свет из точки Р попадет в Р'. Всё это нам известно уже давно, и называется такое устройство собирательной линзой. В следующей главе мы вычислим, какой должна быть форма линзы, чтобы получить идеальную фокусировку.
Наконец, последний пример. Предположим, что нам нужно так поставить зеркало, чтобы свет из точки Р всегда приходил в Р' (фиг. 26.11). На любом пути свет должен отразиться от зеркала, и время для всех путей должно быть одинаковым. В данном случае свет проходит только в воздухе, так что время прохождения пропорционально длине пути. Поэтому требование равенства времен сводится к требованию равенства полных длин путей. Следовательно, сумма расстояний r1 и r2 должна оставаться постоянной. Эллипс обладает как раз тем свойством, что сумма расстояний любой точки на его кривой от двух заданных точек постоянна; поэтому свет, отразившись от зеркала, имеющего такую форму, наверняка попадет из одного фокуса в другой.
Этот принцип фокусировки служит для наблюдения света звезд. При постройке большого 200-дюймового телескопа в обсерватории Паломар использовалась следующая идея. Вообразите себе звезду, удаленную от нас на миллиарды километров; мы хотим собрать весь испускаемый ею свет в фокус. Конечно, мы не можем начертить всю траекторию лучей до звезды, тем не менее мы должны проверить, насколько времена на различных траекториях равны. Мы, конечно, знаем, что если множество различных лучей достигло плоскости КК', перпендикулярной направлению лучей, то времена для всех этих лучей будут равны (фиг. 26.12). Далее лучи должны отразиться от зеркала и за равные промежутки времени попасть в фокус Р'.
Фиг. 26 10. Фокусирующая оптическая система.
Фиг. 26.11. Эллиптическое зеркало.
Это означает, что мы должны найти такую кривую, для которой сумма расстояний ХХ'-\-Х'Р' будет постоянна, независимо от выбора точки X. Легче всего это сделать, продолжив отрезок XX' до плоскости LL'. Потребуем теперь, чтобы выполнялись соотношения А'А"=А'Р',В'В"=В'Р', С'С"=С'Р' и т. д.; в этом случае мы получаем нужную нам кривую, потому что сумма длин А 'А+А 'Р' =АА'+А 'А'' будет постоянной для всех точек кривой. Значит, наша кривая есть геометрическое место всех точек, равноудаленных от линии и некоторой заданной точки. Такая кривая называется параболой; вот зеркало телескопа и было изготовлено именно в форме параболы.
Приведенные примеры в общих чертах иллюстрируют принцип устройства оптических систем. Точные кривые можно рассчитать, используя правило равенства времен на всех путях, ведущих в точку фокуса, и требуя, чтобы время прохождения на всех соседних путях было большим.
В следующей главе мы еще вернемся к фокусирующим оптическим системам, а теперь обсудим дальнейшее развитие теории. Когда предлагается новый физический принцип, такой, как принцип наименьшего времени, то нашей первой естественной реакцией могли бы быть слова: «Все это очень хорошо, восхитительно, но вопрос заключается в том, улучшает ли это вообще наше понимание физики?». На это можно ответить: «Да. Посмотрите сколько новых фактов мы теперь поняли!» А кто-то возразит: «Ну, в зеркалах я и так разбираюсь. Мне нужна такая кривая, чтобы каждая касательная к ней плоскость образовывала равные углы с двумя лучами света. Я могу рассчитать и линзу, потому что каждый падающий на нее луч отклоняется на угол, даваемый законом Снелла». Здесь очевидным образом содержание принципа наименьшего действия совпадает с законом равенства углов при отражении и пропорциональности синусов углов при преломлении. Тогда, может быть, это философский вопрос, а может быть, вопрос просто в том, какой путь красивее? Можно привести аргументы в пользу обеих точек зрения.
Однако критерий важности всякого принципа состоит в том, что он предсказывает нечто новое.
Легко показать, что принцип Ферма предсказывает ряд новых фактов. Прежде всего предположим, что имеются три среды — стекло, вода и воздух и мы наблюдаем явление преломления и измеряем показатель n для перехода из одной среды в другую.
Фиг. 26.12. Параболическое зеркало.
Обозначим через n12 показатель преломления для перехода из воздуха (1) в воду (2), а через n13— для перехода из воздуха (1) в стекло (3). Измерив преломление в системе вода— стекло, найдем еще один показатель преломления и назовем его п23 .Здесь заранее нет оснований считать, что n12 , n13 и n23 связаны между собой. Если же исходить из принципа наименьшего времени, то такую связь можно установить. Показатель n12 есть отношение двух величин—скорости света в воздухе к скорости света в воде; показатель n13 есть отношение скорости в воздухе к скорости в стекле, а n23 есть отношение скорости в воде к скорости в стекле. Поэтому, сокращая скорость света в воздухе, получаем
(26.5)
Другими словами, мы предсказываем, что показатель преломления для перехода из одного материала в другой можно получить из показателей преломления каждого материала по отношению к некоторой среде, скажем воздуху или вакууму. Таким образом, измерив скорость света во всех средах, мы образуем одно число для каждой среды — показатель преломления для перехода из вакуума в среду — и называем его ni (например, ni для воздуха есть отношение скорости в воздухе к скорости в вакууме и т. д.), после чего легко написать нужную формулу. Показатель преломления для любых двух материалов i и j равен
(26.6)
Используя только закон Снелла, подобное соотношение предсказать невозможно. Но связь эта существует. Соотношение (26.5) известно давно и послужило сильным аргументом в пользу принципа наименьшего времени.
Еще одно предсказание принципа наименьшего времени состоит в том, что скорость света в воде при измерении должна оказаться меньше скорости света в воздухе. Это уже предсказание совсем другого рода. Оно гораздо глубже, потому что носит теоретический характер и никак не связано с наблюдениями, из которых Ферма вывел принцип наименьшего времени (до сих пор мы имели дело только с углами). Как оказалось, скорость света в воде действительно меньше скорости в воздухе, и ровно настолько, чтобы получился правильный показатель преломления.
§ 5, Более точная формулировка принципа Ферма
До сих пор мы фактически пользовались неправильной формулировкой принципа наименьшего времени. Здесь мы сформулируем его более точно. Мы неправильно называли его принципом наименьшего времени и для удобства по ходу дела применяли неправильную его трактовку. Но теперь мы выясним точное содержание принципа. Пусть имеется зеркало. Мы его показали на
фиг. 26.3. Откуда свет знает, что он должен двигаться к зеркалу? Очевидно, путь, требующий наименьшего времени,— это линия АВ, Кое-кто поэтому может сказать: «Иногда этот путь требует как раз наибольшего времени». Так это неправильно! Путь по кривой наверняка займет еще больше времени! Точная формулировка принципа следующая: луч, проходящий по траектории, обладает тем свойством, что любое малое изменение пути (скажем, на 1%), расположения точки падения луча на зеркало, или формы кривой, или какие-либо иные изменения, не приводит в первом порядке к изменению времени прохождения; изменение времени происходит только во втором порядке. Другими словами, согласно этому принципу, свет выбирает один путь из множества близлежащих, требующих почти одинакового времени для прохождения.
С принципом наименьшего времени связана еще одна трудность, которую многие, не любящие такого рода теории, никак не могут переварить. Теория Снелла помогает легко «понять» поведение света. Свет проходит, видит перед собой поверхность и отклоняется, потому что на поверхности с ним что-то происходит. Легко понять идею причинности, проявляющуюся в том, что свет идет из одной точки в другую, а затем в следующую. Но принцип наименьшего времени есть философский принцип, который совсем иначе объясняет причину явлений в природе. Вместо причинной обусловленности, когда из одного нашего действия вытекает другое и т. д., этот принцип говорит следующее: в данной ситуации свет выбирает путь с наименьшим, или экстремальным временем. Но как удается свету выбирать свой
Фиг. 26.13, Прохождение радиоволн сквозь узкую щель.
путь? Вынюхивает он что ли соседние пути и сравнивает их потом друг с другом? В некотором смысле так и происходит. Эту способность света нельзя понять в рамках геометрической оптики, поскольку она связана с понятием длины волны; длина волны, грубо говоря, есть тот отрезок впереди лежащего пути, который свет может «почувствовать» и сравнить с соседними путями. Этот факт трудно продемонстрировать на опыте со светом, так как длина волны света чрезвычайно мала. Но радиоволны с длиной волны, скажем, 3 см, «видят» намного дальше. Предположим, имеется источник радиоволн, детектор и экран со щелью, как показано на фиг. 26.13; при этих условиях лучи будут проходить из S в D, поскольку это прямолинейная траектория, и даже если сузить щель, лучи все равно пройдут. Но если теперь отодвинуть детектор в точку D', то при широкой щели волны не пойдут из S в D', потому что они сравнят близлежащие пути и скажут: «Нет, друг мой, все эти пути требуют другого времени». С другой стороны, если оставить только узенькую щелку и таким образом помешать волнам выбирать путь, то окажутся годными уже несколько путей и волны пойдут по ним! Если щель узкая, в точку D' попадет больше излучения, чем через широкую щель! Такой же опыт возможен со светом, но в большом масштабе его проделать трудно. Этот эффект, однако, можно наблюдать в следующих простых условиях. Найдите маленький и яркий источник света, например уличный фонарь, где-нибудь в конце улицы или отражение солнца от колеса автомобиля. Поставьте перед глазами два пальца, оставив для света узенькую щель, и постепенно сближайте пальцы, пока щель полностью не исчезнет. Вы увидите, что свет, который вначале казался крохотной точкой, начнет расплываться и даже вытянется в длинную линию. Происходит это потому, что между пальцами оставлена лишь очень маленькая щель и свет не идет, как обычно, по прямой, а расходится под некоторым углом и в глаз попадает с разных направлений. Если вы будете достаточно внимательны, то заметите еще боковые максимумы и своеобразную кайму по краям.
Кроме того, само изображение будет окрашено. Все это будет в свое время объяснено, а сейчас этот опыт (а его очень легко проделать) просто демонстрирует, что свет не всегда распространяется по прямой.
§ 6. Квантовый механизм
В заключение дадим очень грубую картину того, что происходит на самом деле, как протекает весь процесс распространения света с квантовомеханической точки зрения, которую сейчас считают самой правильной (разумеется, наше описание будет носить лишь качественный характер). Исследуя свет на пути из А в В (см. фиг. 26.3), можно обнаружить, что он вовсе не представляет собой волны. Лучи света, оказывается, состоят из фотонов, которые можно реально зарегистрировать с помощью фотонного счетчика; они заставляют его щелкать. Яркость света пропорциональна среднему числу фотонов, пролетающему в 1 сек, а нас интересует вероятность попадания фотона из А в В при отражении от зеркала. Правило вычисления этой вероятности весьма необычно. Выберем какой-нибудь путь и найдем время на этом пути; затем образуем комплексное число или нарисуем маленький комплексный вектор rеiq, где угол q пропорционален времени. Число оборотов вектора в секунду — это частота света. Возьмем теперь другой путь, и пусть он занимает другое время; тогда соответствующий ему вектор повернется на угол, отличный от первого (вспомним, что угол всегда пропорционален времени). Переберем все возможные пути и сложим векторы для каждого из них, тогда квадрат длины суммарного вектора определит вероятность прохождения фотона из начальной точки в конечную!
Покажем теперь, что отсюда следует принцип наименьшего времени для зеркала. Возьмем все возможные пути ADB, АЕВ, АСВ и т. д., изображенные на фиг. 26.3. Путь ADB вносит небольшой вклад, а соседний путь АЕВ занимает уже другое время, и его угол q поэтому другой. Пусть точка С соответствует пути с наименьшим временем, тогда при небольшом изменении пути время не меняется. Точнее, сначала время заметно менялось, но с приближением к точке С оно меняется все меньше и меньше (фиг. 26.14). Таким образом, векторы, которые мы складываем, проходят вблизи С почти под одним и тем же углом, а затем времена начинают постепенно расти, векторы поворачиваются и т. д. В результате получается тугой клубок векторов. Полная вероятность есть расстояние от одного конца до другого, возведенное в квадрат. Почти весь вклад в эту суммарную вероятность вносит область, где векторы идут в одном направлении (с одной и той же фазой). Вклады от путей с разными временами взаимно сокращаются, потому что векторы направлены в разные стороны. Вот почему, если закрыть края зеркала, оно будет отражать почти точно так же, как и раньше, поскольку в приведенной выше процедуре это соответствует отбрасыванию части векторов внутри спиральных концов диаграммы, а для света это мало что изменит. Таково соответствие между современной теорией фотонов с ее понятием вероятности прохождения, зависящей от суммирования векторов, и принципом наименьшего времени.
*Его можно вывести, если дополнительно предположить, что при добавлении слоя одной среды к поверхности другой угол преломления на выходе из последней среды не меняется.
Глава 27
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
§ 1 Введение
§ 2. Фокусное расстояние для сферической поверхности
§3. Фокусное расстояние линзы
§ 4. Увеличение
§ 5. Сложные линзы
§ 6. Аберрация
§ 7. Разрешающая способность
§ 1. Введение
В этой главе мы рассмотрим некоторые применения изложенных ранее принципов к устройству простейших оптических систем, используя приближение геометрической оптики. При конструировании многих оптических приборов это приближение оказывается особенно полезным. Геометрическая оптика и очень проста, и очень сложна. Я хочу этим сказать, что уже поверхностное изучение геометрической оптики в школе позволяет с помощью очень простых правил составлять грубые схемы приборов; если же мы хотим при этом учитывать искажения в линзах и прочие тонкости, то задача становится слишком сложной даже для студентов вашего курса! Если кому-нибудь действительно понадобится точно спроектировать линзу, учитывая аберрацию, то лучше всего обратиться к специальным руководствам или просто проследить путь лучей через разные поверхности (как это сделать — сказано в книгах) и, пользуясь законом преломления, определить направление вышедших из линзы пучков и выяснить, насколько хорошее изображение они создают. Считалось, что это слишком длинная процедура, но сейчас, когда мы вооружены вычислительными машинами, этот способ вполне хорош. Сформулировав задачу математически, легко подсчитать пути всех лучей. Словом, дело это простое и не требует новых принципов. Кроме того, законы и элементарной и специальной оптики фактически неприменимы в других областях, поэтому нам не было бы необходимости чересчур подробно изучать предмет, если бы не одно важное исключение.
Фиг. 27.1. Треугольник, высота, которого h меньше основания d, a гипотенуза s больше основания.
Оказалось, что наиболее современная и абстрактная теория геометрической оптики, разработанная Гамильтоном, имеет весьма важные приложения в механике, причем в механике она имеет даже большее значение, чем в оптике, поэтому пусть ею занимается курс аналитической механики. А пока, понимая, что геометрическая оптика интересна только сама по себе, мы перейдем к изучению элементарных свойств оптических систем на основе принципов, изложенных в предыдущей главе.
Для дальнейшего нам понадобится одна геометрическая формула: пусть дан треугольник, высота которого h мала, а основание d велико; тогда гипотенуза s (фиг. 27.1) больше основания (нам нужно это знать, чтобы вычислить разность времен на двух различных путях света). Насколько гипотенуза больше основания? Мы можем найти разность D =s-d несколькими способами. Например, s2-d2=h2или (s-d) (s+d)=h2. Но s-d=D, a s+d~2s. Таким образом,
(27.1)
Вот и все, что нам нужно знать из геометрии для изучения изображений, получаемых с помощью кривых поверхностей!
§ 2. Фокусное расстояние для сферической поверхности
Рассмотрим сначала простейший пример преломляющей поверхности, разделяющей две среды с разными показателями преломления (фиг. 27.2). Случай произвольных показателей
Фиг. 27.2. Фокусировка на преломляющей поверхности.
пусть разберет читатель самостоятельно; нам важно рассказать об идее, задача же достаточно проста и ее можно решить в любом частном случае. Итак, пусть слева скорость света равна 1, а справа 1/n, где n — показатель преломления. Свет в стекле идет медленнее в n раз.
Теперь представим себе точку О на расстоянии s от лицевой поверхности стекла и другую точку О' на расстоянии s' внутри стекла и попытаемся выбрать кривую поверхность так, чтобы каждый луч, вышедший из О и попавший на поверхность в Р, приходил в точку О'. Для этого нужно придать поверхности такую форму, чтобы сумма времени прохождения света на пути от О к Р (т. е. расстояние ОР, деленное на скорость света, равную единице) плюс n-О'Р, т.е. время на пути от Р к О', было постоянной величиной, не зависящей от положения точки Р. Это условие дает уравнение для определения поверхности. В результате получается весьма сложная поверхность четвертого порядка (читатель может вычислить ее для собственного удовольствия с помощью аналитической геометрии). Проще рассмотреть специальный случай s® Ґ, когда кривая получается второго порядка и ее легче определить. Интересно сравнить эту кривую с кривой для фокусирующего зеркала (когда свет приходил из бесконечности), которая, как вы помните, оказалась параболой.
Итак, нужную поверхность сделать нелегко; чтобы сфокусировать свет от одной точке в другую, нужна довольно сложная поверхность. Практически такие сложные поверхности даже не пытаются создать, а пользуются компромиссным решением. Мы не будем собирать все лучи в фокус, а соберем только лучи, достаточно близкие к оси 00'. Раз идеальная форма поверхности столь сложна, возьмем вместо нее сферическую поверхность, которая имеет нужную кривизну у самой оси, и пусть далекие лучи отклоняются от оси, если они того хотят. Сферу изготовить намного проще, чем другие поверхности, поэтому выберем сферу и рассмотрим поведение лучей, падающих на сферическую поверхность. Будем требовать точной фокусировки только для тех лучей, которые проходят вблизи от оси. Иногда эти лучи называют параксиальными, а наша задача — найти условия фокусировки параксиальных лучей. Позже мы обсудим ошибки, связанные с отклонением лучей от оси.
Итак, считая, что Р близко к оси, опустим перпендикуляр PQ длиной h. Если бы наша поверхность была плоскостью, проходящей через Р, то время, затрачиваемое на пути от О к Р, превышало бы время на пути от О к Q, а время на пути от Р к О' превышало бы время от Q к О'. Поверхность стекла должна быть кривой, потому что только в этом случае весь излишек времени компенсируется задержкой при прохождении пути от V к Q! Далее, излишек времени на пути ОР есть h2/2s, а излишек времени на отрезке О'Р есть nh2/2s'. Это лишнее время, которое должно компенсироваться временем на пути VQ, накапливается на пути в среде, а не в вакууме. Другими словами, время на пути VQ в n раз больше соответствующего времени в вакууме, а поэтому лишнее время на этом отрезке есть (n-l)VQ. Ну, а какова длина VQ? Если С есть центр сферы с радиусом R, то с помощью уже знакомой нам формулы выводим, что длина VQ есть h2/2R. В результате мы получаем закон, 
(27.2)
который связывает длины s и s' и определяет радиус кривизны R искомой поверхности:
(27.3)
Если мы хотим сфокусировать свет из точки О в точку О', то эта формула позволяет вычислить требуемый радиус кривизны поверхности.
Интересно, что та же линза с таким же радиусом кривизны R будет фокусировать и на других расстояниях, т. е. она является фокусирующей для любой пары расстояний, для которых сумма обратной величины одного расстояния и обратной величины другого, умноженного на n, есть постоянное число. Таким образом, данная линза (если учитывать только параксиальные лучи) является фокусирующей не только для точек О и О', но и для бесконечного числа пар точек, если эти пары удовлетворяют соотношению 1/s+n/s' = постоянная, характеризующая данную линзу.
Представляет интерес частный случай s®Ґ. Из формулы видно, что при увеличении s другое расстояние s' уменьшается. Другими словами, когда точка О удаляется, точка О' приближается, и наоборот. Когда точка О уходит на бесконечность, точка О' также двигается внутри стекла вплоть до расстояния, называемого фокусным расстоянием f'. Если на линзу падает параллельный пучок лучей, он соберется в линзе на расстоянии f'. Можно задать вопрос и по-другому. (Вспомним правило обратимости: если свет переходит из О в О', он, разумеется, может двигаться и в обратном направлении, из О' в О.) Таким образом, если источник света находится внутри стекла, то может возникнуть вопрос, где лучи соберутся в фокус? В частности, если источник внутри стекла находится на бесконечности (та же задача, что и раньше), то где будет фокус вне линзы? Это расстояние обозначают через f. Можно, конечно, сказать и иначе. Если источник расположен на расстоянии
f, то лучи, проходя через поверхность линзы, выйдут параллельным пучком. Легко определить f и f':
(27.4)
(27.5)
Отметим интересный факт: если мы разделим каждое фокусное расстояние на соответствующий показатель преломления, то получим один и тот же результат! На самом деле, это общая теорема. Она справедлива для любой сложной системы линз, поэтому ее стоит запомнить. Мы не доказали эту теорему в общем виде, а лишь отметили ее применимость для одной поверхности, однако оказывается, что вообще два фокусных расстояния некоторой системы связаны подобным образом. Иногда выражение (27.3) записывают в следующем виде:
(27.6)
Такая форма более удобна, чем (27.3), потому что проще измерить f, чем кривизну и показатель преломления линзы. Если нам не нужно самим конструировать линзу или изучать в подробностях весь процесс, а достаточно достать линзу с полки, то нас будет интересовать только величина f, а не n или R! Любопытная ситуация возникает, когда s становится меньше f. Что же тогда происходит? При s<f обратная величина (Us) больше (1/f) и поэтому s' отрицательна. Наша формула утверждает, что свет фокусируется только при отрицательном значении s',— понимайте как хотите! Но означает это нечто весьма определенное и интересное. Формула эта остается полезной и для отрицательных значений. Что она означает, ясно из фиг. 27.3. Исходящие из точки О лучи преломляются на поверхности, но в фокус не собираются, так как точка О расположена слишком близко к поверхности, и лучи становятся «более чем параллельны». Однако они начинают расходиться так, как будто бы вышли из точки О' вне линзы. Эта точка есть кажущееся изображение, или, как иногда говорят, мнимое изображение.
Фиг. 27.3. Мнимое изображение.
Фиг. 27.4. Плоская поверхность раздела отображает точку О' в точку О.
Изображение О' на фиг. 27.2 называется действительным изображением. Действительное изображение возникает, когда свет действительно проходит через точку. Но если кажется, что свет исходит из некоторой фиктивной точки, не совпадающей с действительным источником, то эта точка и есть мнимое изображение. Следовательно, для отрицательных s' точка О' находится по другую сторону поверхности, и все встает на свои места.
Рассмотрим теперь интересный случай, когда R=Ґ; при этих условиях (1/s)+(n/s')=0. Иными словами, s' =-ns, что означает, что если из плотной среды смотреть на некую точку в разреженной среде, то она будет казаться дальше в n раз. Мы можем прочитать наше уравнение и наоборот: при взгляде на объект, находящийся в плотной среде за плоской поверхностью раздела, нам будет казаться, что он расположен к нам ближе, чем на самом деле (фиг. 27.4). Когда мы смотрим сверху на дно плавательного бассейна, он кажется нам мельче в 3/4 раза, чем он есть на самом деле; эта цифра есть обратная величина показателя преломления воды.
Теперь мы могли бы перейти к сферическому зеркалу. Но если вникнуть в смысл сказанного нами ранее, то вполне можно разобрать этот вопрос самостоятельно. Поэтому пусть читатель сам выведет формулы для сферического зеркала, но для этого полезно принять следующие условия:
1) расстояние до объекта s положительно, если точка О расположена слева от поверхности;
2) расстояние до изображения s' положительно, если точка О' расположена справа от поверхности;
3) радиус кривизны поверхности положителен, если центр находится справа от поверхности.
Например, на фиг. 27.2 s, s' и R положительны; на фиг. 27.3 s и R положительны, a s' отрицательна. Для вогнутой поверхности наша формула (27.3) остается справедливой, если считать R отрицательной величиной.
Пользуясь приведенными условиями, можно вывести соответствующую формулу и для зеркала, положив в (27.3) n=-1 (как если бы среда за зеркалом имела показатель преломления -1), и тогда получится правильный результат!
Мы вывели формулу (27.3) простым и элегантным способом, исходя из принципа наименьшего времени; ту же формулу можно, конечно, получить с помощью закона Снелла, если учесть, что углы малы и заменить синусы самими углами.
§ 3. Фокусное расстояние линзы
Рассмотрим теперь другой случай, имеющий большое практическое значение. Большинство линз, которыми мы пользуемся, имеет не одну, а две поверхности раздела. К чему это приводит? Пусть имеется стеклянная линза, ограниченная поверхностями с разной кривизной (фиг. 27.5). Рассмотрим задачу о фокусироваиии пучка света из точки О в точку О'. Как это сделать? Сначала используем формулу (27.3) для первой поверхности, забыв о второй поверхности. Это позволит нам установить, что испускаемый в точке О свет будет казаться сходящимся или расходящимся (в зависимости от знака фокусного расстояния) из некоторой другой точки, скажем О'. Решим теперь вторую часть задачи. Имеется другая поверхность между стеклом и воздухом, и лучи подходят к ней, сходясь к точке О'. Где они сойдутся на самом деле? Снова воспользуемся той же формулой! Находим, что они сойдутся к точке О". Таким образом можно пройти, если необходимо, через 75 поверхностей, последовательно применяя одну и ту же формулу и переходя от одной поверхности к другой!
Имеются еще более сложные формулы, которые могут нам помочь в тех редких случаях нашей жизни, когда нам почему-то нужно проследить путь света через пять поверхностей. Однако если уж это необходимо, то лучше последовательно перебрать пять поверхностей, чем запоминать кучу формул, ведь может случиться, что нам вообще не придется возиться с поверхностями!
Во всяком случае, принцип расчета таков: при переходе через одну поверхность мы находим новое положение, новую точку фокуса и рассматриваем ее как источник для следующей поверхности и т. д.
Фиг. 27.5. Построение изображения, даваемого двусторонней линзой.
Фиг. 27.6. Тонкая линза с двумя положительными радиусами кривизны.
Часто в системах бывает несколько сортов стекла с разными показателями n1, n2, ...; поэтому для конкретного решения задачи нам нужно обобщить формулу (27.3) на случай двух разных показателей n1 и n2. Нетрудно показать, что обобщенное уравнение (27.3) имеет вид
(27.7)
Особенно прост случай, когда поверхности близки друг к другу и ошибками
из-за конечной толщины можно пренебречь. Рассмотрим линзу, изображенную на фиг. 27.6, и поставим такой вопрос: каким условиям должна удовлетворять линза, чтобы пучок из О фокусировался в О'? Пусть свет проходит точно через край линзы в точке Р. Тогда (пренебрегая временно толщиной линзы Т с показателем преломления n2) излишек времени на пути ОРО' будет равен (n1/i2/2s)+(n1h2/2s'). Чтобы уравнять время на пути ОРО' и время на прямолинейном пути, линза должна обладать в центре такой толщиной Т, чтобы она задерживала свет на нужное время. Поэтому толщина линзы Т должна удовлетворять соотношению:
(27.8)
Можно еще выразить Т через радиусы обеих поверхностей RI и R2. Учитывая условие 3 (приведенное на стр. 27), мы находим для случая R1<R2 (выпуклая линза)
(27.9)
Отсюда получаем окончательно
(27.10)
Отметим, что, как и раньше, когда одна точка находится на бесконечности, другая будет расположена на расстоянии, которое
мы называем фокусным расстоянием f. Величина f определяется равенством
(27.11)
где n=n2/n1
В противоположном случае, когда s стремится к бесконечности, s' оказывается на фокусном расстоянии /'. Для нашей линзы фокусные расстояния совпадают. (Здесь мы встречаемся еще с одним частным случаем общего правила, по которому отношение фокусных расстояний равно отношению показателей преломления тех двух сред, где лучи фокусируются. Для нашей оптической системы оба показателя одинаковы, а поэтому фокусные расстояния равны.)
Забудем на время формулу для фокусного расстояния. Если вы купили линзу с неизвестными радиусами кривизны и каким-то показателем преломления, то фокусное расстояние можно просто измерить, собирая в фокус лучи, идущие от удаленного источника. Зная f, удобнее переписать нашу формулу сразу в терминах фокусного расстояния:
(27.12)
Давайте посмотрим теперь, как работает эта формула, и что из нее получается в разных случаях. Во-первых, если одно из расстояний s и s' бесконечно, другое равно f. Это условие означает, что параллельный пучок света фокусируется на расстоянии / и может использоваться на практике для определения f. Интересно также, что обе точки движутся в одну сторону. Если одна идет направо, то и вторая движется в ту же сторону. И наконец, если s и s' одинаковы, то каждое из них равно 2f.
§ 4. Увеличение
До сих пор мы рассматривали процесс фокусировки только для точек, лежащих на оси. Построим теперь изображение объектов, несколько смещенных в сторону от оси; это поможет нам понять явление увеличения. Если с помощью линзы сфокусировать свет от небольшой нити на экран, то мы увидим изображение той же нити, только несколько большего или меньшего размера по сравнению с настоящей. Отсюда мы заключаем, что свет попадает в фокус от каждой точки нити. Чтобы получше в этом разобраться, рассмотрим линзу, схематически изображенную на фиг. 27.7. Нам известно, следующее:
1) каждый луч, параллельный оси, фокусируется по другую сторону линзы в точке, называемой фокусом и расположенной на расстоянии f от линзы;
2) каждый луч, приходящий из фокуса по одну сторону линзы, выходит с другой стороны параллельно оси.
Фиг. 27.7. Геометрическое построение изображения от тонкой линзы.
С помощью только этих фактов мы докажем формулу (27.12) геометрическим путем. Пусть объект находится на расстоянии x от фокуса и его высота есть у. Мы знаем, что луч PQ отклоняется и пройдет через фокус R по другую сторону линзы. Если свет от точки Р фокусируется линзой, достаточно определить путь еще одного луча, и тогда фокус будет расположен в точке пересечения двух лучей. Нужно только умело выбрать направление второго луча. Вспомним, что параллельный луч проходит через фокус, и наоборот: луч, проходящий через фокус, выходит параллельно оси! Поэтому проведем луч РТ через U. (Правда, фокусируемые лучи могут быть гораздо тоньше, чем начерченные нами, но их труднее изобразить, поэтому оставим нашу прежнюю схему.) Поскольку луч параллелен оси, проведем TS параллельно XW. Пересечение S и есть искомая точка. Отсюда мы получаем нужную высоту и правильное расстояние. Обозначим высоту через y', а расстояние до фокуса через x'. Теперь можно вывести формулу для линзы. Из подобных треугольников PVU и TXU находим
(27.13)
Из треугольников SWR и QXR получаем
(27.14)
Разрешая оба равенства относительно y'Ѕy, находим
(27.15)
Оно гораздо изящнее формулы (27.12). Мы рекомендуем читателю доказать, что при s=x+f и s' =x'+f равенства (27.12) и (27.16) совпадают.
§ 5. Сложные линзы
Опишем кратко без вывода основные свойства системы линз. Как исследуют систему нескольких линз? Очень просто. Начнем с некоторого объекта и определим его изображение, даваемое первой линзой, пользуясь формулами (27.16), (27.12) или любой эквивалентной формулой или, наконец, изобразив все это графически. Итак, мы получим первое изображение. Затем мы будем рассматривать это изображение как источник для следующей линзы и, чтобы найти новое изображение, воспользуемся второй линзой с любой заданной фокусной длиной. Проделаем такую процедуру последовательно для всей системы линз. Вот и все. В принципе здесь нет ничего нового, поэтому мы не будем входить в подробности. Однако очень интересный результат получается, когда свет входит и выходит из системы линз в одну и ту же среду, например в воздух. Любое оптическое устройство — будь то телескоп или микроскоп с произвольным количеством линз и зеркал — обладает следующим интересным свойством. Имеются две плоскости, называемые главными плоскостями системы (часто они расположены поблизости от внешних поверхностей первой и последней линзы), которые обладают следующими свойствами: 1) свет, входящий параллельным пучком с одной стороны, собирается с другой стороны в фокус, отстоящий от второй главной плоскости на фокусное расстояние (как будто вместо системы имеется тонкая линза, совпадающая со второй главной плоскостью); 2) свет, входящий параллельным пучком с другой стороны, собирается в фокус на расстоянии / от первой главной плоскости, как будто там опять-таки находится тонкая линза (фиг. 27.8).
Само собой разумеется, если определить, как и раньше, расстояние х, х' и у, у', то формула (27.16) для тонкой линзы будет применима и в этом общем случае, только фокусные расстояния нужно отсчитывать от главных плоскостей, а не от центра линзы. Для тонкой линзы главные плоскости совпадают. Получается так, как если бы мы взяли тонкую линзу, разрезали её на дольки и разнесли их на некоторое расстояние, а в результате ничего не изменилось. Каждый входящий луч немедленно выскакивает по другую сторону от второй плоскости! Главные плоскости и фокусные расстояния находят либо вычислением, либо опытным путем; этим исчерпывается описание свойств оптической системы.
Фиг. 27.8. Главные плоскости оптической системы.
Весьма интересно, что результат для большой и сложной оптической системы оказался таким простым,
§ 6. Аберрация
Пока вы еще не успели прийти в восхищение от такой великолепной штуки, как линза, я должен успеть сказать об ее серьезных недостатках, которые мы не могли заметить раньше, поскольку ограничились рассмотрением параксиальных лучей. Реальная линза обладает конечной толщиной и, вообще говоря, обнаруживает свойства аберрации. Например, луч, направленный вдоль оси, обязательно пройдет через фокус. Луч, близкий к оси, будет еще проходить через фокус, но более далекие лучи начнут от него отклоняться: близкие ненамного, а крайний луч уже на большое расстояние. В результате вместо точечного изображения получается расплывчатое пятно. Этот эффект называется сферической аберрацией, потому что он возникает в результате использования сферических поверхностей вместо поверхностей правильной формы. Для каждого данного расстояния от объекта до линзы эффект аберрации можно устранить, изменив форму линзы или взяв несколько линз с таким расчетом, чтобы аберрации отдельных линз взаимно уничтожались.
Линзы страдают еще одним недостатком: свет разного цвета имеет разную скорость, т. е. разные показатели преломления в стекле, а поэтому фокусное расстояние для разных цветов разное. Изображение белого пятна получается цветным, так как, когда в фокусе красный цвет, синий оказывается вне фокуса, и наоборот. Это явление называется хроматической аберрацией.
Бывают и другие искажения. Если объект находится не на оси, то добиться четкого фокуса невозможно. Легче всего это проверить, наклонив наведенную на фокус линзу так, чтобы в нее попадали лучи под большим углом к оси. Тогда изображение сильно расплывется и может случиться, что ни одного четко сфокусированного места не останется. Таким образом, линзы страдают рядом искажений, и обычно оптик-конструктор старается их выправить, соединяя по нескольку линз, с тем чтобы скомпенсировать искажения отдельных линз.
До какого предела можно устранить аберрации? Можно ли создать совершенную оптическую систему? Допустим, что мы сумели построить оптическую систему, фокусирующую свет точно в одну точку. Можем ли мы теперь найти требования (с точки зрения принципа Ферма), которым должна удовлетворять наша система? Система всегда имеет отверстие конечных размеров, в которое входит свет. Для совершенной системы время прохождения любого, как угодно удаленного от оптической оси луча одинаково. Но абсолютного совершенства не бывает, поэтому поставим вопрос: каков разумный предел точности совпадения всех времен? Это зависит от того, насколько совершенное изображение мы хотим иметь. Предположим, что мы хотим, чтобы оно было настолько совершенным, насколько это вообще возможно. Тогда с первого взгляда кажется, что и времена прохождения всех лучей нужно уравнять с максимальной точностью. На самом деле это не так; существует некий предел, за которым всякое уточнение бессмысленно, потому что приближение геометрической оптики перестает работать!
Вспомним, что принцип наименьшего времени, в отличие от закона сохранения энергии и импульса, не есть точный принцип, а лишь некоторое приближение. И поэтому интересно установить, какие ошибки допустимы в пределах точности этого приближения. Ответ: не имеет смысла требовать равенства времен прохождения лучей (скажем, в худшем случае луча вдоль оси и наиболее удаленного от оси) с точностью, превышающей период колебания света Свет есть колебательный процесс с определенной частотой, которая связана с длиной волны, и если мы добились, что времена прохождения лучей отличаются на величину, меньшую или порядка периода колебаний, то дальше уравнивать времена бесполезно. .
§ 7. Разрешающая способность
Еще один интересный вопрос, очень важный с технической точки зрения! какова разрешающая способность оптических приборов? Когда мы создаем микроскоп, мы хотим целиком видеть тот объект, который находится в поле нашего зрения. Это означает, например, что, глядя на бактерию, на боках которой имеются два пятнышка, мы хотим различить оба пятнышка на увеличенном изображении. Могут подумать, что для этого нужно только получить достаточное увеличение, ведь всегда можно добавить еще линзы и достичь большего увеличения, а если конструктор ловкий, то он устранит сферические и хроматические аберрации; вот вроде бы и нет причин, почему бы не увеличить желаемое изображение до любых размеров. Но предел возможностей микроскопа связан не с тем, что невозможно добиться увеличения более чем в 2000 раз. Можно построить систему линз, увеличивающую в 10 000 раз, и все же не увидеть те два пятнышка, расположенные так близко одно к другому, и не увидим мы их из-за ограниченности возможностей геометрической оптики и неточности принципа наименьшего времени.
Сравнивая время прохождения равных лучей, можно красивым способом вывести правило, определяющее расстояние между двумя точками, при котором эти точки еще различаются на изображении. Отвлечемся пока от аберраций и пусть все лучи от некоторой точки Р (фиг. 27.9) проходят до изображения Т за одно и то же время (такого быть не может, поскольку система несовершенна, но это уже к данному вопросу не относится).
Фиг. 27.9. Разрешающая способность оптической системы.
Возьмем еще одну близлежащую точку Р' и посмотрим, различаются ли их изображения. Другими словами, сможем ли мы различить оба изображения? Конечно, согласно геометрической оптике, должно быть два изображения, но то, что мы увидим, может оказаться весьма расплывчатым, и нам не удастся разобрать, что точек две. Требование, чтобы вторая точка давала изображение, отличное от первого, сводится к следующему условию: времена прохождения двух крайних лучей P'ST и Р'RТ от точки Р' до изображения первой точки Т должны быть разными. Почему? Потому что при равных временах свет от Р' сфокусировался бы в Т, т. е. изображения совпали бы. Итак времена должны быть разными. Но насколько они должны отличаться, чтобы мы сказали, что они имеют разные фокусы, и обе точки на изображении различимы? Разрешающая способность любого оптического устройства определяется следующим правилом: изображения двух точечных источников могут быть различимы, если только времена прохождения крайних лучей от одного источника к изображению второго отличаются от времени прохождения к собственному изображению более чем на один период. Для этого необходимо, чтобы разность времен прохождения верхнего и нижнего крайних лучей к чужому изображению была больше некоторой величины, примерно равной периоду колебания световой волны:
(27.17)
где v — частота света (число колебаний в секунду, или скорость света, деленная на длину волны). Обозначим расстояние между точками через D, а половину угла, под которым видна линза из точки Р, через q; тогда (27.17) равносильно утверждению, что D больше (l/n)sinq, где n — показатель преломления в точке Р, а l, — длина волны. Отсюда размеры самого малого объекта, который мы можем увидеть, оказываются порядка длины волны света. Для телескопов тоже имеется такая формула; она определяет наименьшую разность углов (угловое расстояние) между двумя звездами, при которой их еще можно отличить друг от друга.
*Предельный угол имеет величину порядка l/D, где D — диаметр линзы. Сможете ли вы показать, как это получается?
Глава 28
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
§ 1. Электромагнетизм
§ 2. Излучение
§ 3. Дипольный излучатель
§ 4. Интерференция
§ 1 Электромагнетизм
Решающие и наиболее поразительные периоды развития физики — это периоды великих обобщений, когда явления, казавшиеся разобщенными, неожиданно становятся всего лишь разными аспектами одного и того же процесса. История физики — это история таких обобщений, и в основе успеха физической науки лежит главным образом наша способность к синтезу.
По-видимому, самым знаменательным моментом в развитии физики XIX столетия следует считать тот день в 1860 г., когда Дж. К. Максвелл сопоставил законы электричества и магнетизма с законами поведения света. В результате были частично объяснены свойства света — этой старой и тонкой субстанции, настолько загадочной и важной, что в свое время при написании главы о сотворении Мира сочли нужным отнести для него отдельный акт творения. Закончив свое исследование, Максвелл мог бы сказать: «Да будет электричество и магнетизм, и станет свет!»
Этот кульминационный момент долго подготавливался постепенным раскрытием законов электричества и магнетизма, о которых мы подробно расскажем в дальнейшем. Вкратце история сводится к следующему. По мере того как постепенно открывались все новые свойства электричества и магнетизма, электрических сил притяжения и отталкивания, а также магнитных сил, было обнаружено, что, хотя эти силы носят довольно сложный характер, все они спадают обратно пропорционально квадрату расстояния. Известно, например, что именно таким образом меняются кулоновские силы между неподвижными зарядами. Отсюда вытекает, что на достаточно больших расстояниях системы зарядов мало влияют друг на друга. Связав между собой открытые до тех пор законы, Максвелл обнаружил, что они несовместны, и, чтобы сделать всю систему совместной, он добавил к уравнениям еще один член. Появление этого члена привело к замечательному предсказанию: часть электрического и магнитного поля спадает медленнее, чем обратный квадрат расстояния, а именно обратно пропорционально самому расстоянию! Отсюда Максвелл вывел, что электрические токи воздействуют на как угодно далекие системы зарядов, и предсказал все основные, хорошо нам теперь знакомые явления — передачу радиоволн, радиолокацию и т. д.
Кажется поистине чудом, что с помощью каких-то электрических воздействий человек, говорящий где-нибудь в Европе, может быть услышан за тысячи миль в Лос-Анджелесе. Почему это стало возможным? Потому, что поля спадают обратно пропорционально не квадрату, а первой степени расстояния. Наконец, было показано, что свет тоже представляет собой электрические и магнитные поля, распространяющиеся на большие расстояния, а генерируется он неправдоподобно быстрым колебанием электронов в атомах. Все эти явления мы будем называть излучением, или, более точно, электромагнитным излучением, потому что бывают и другие типы излучений. Но почти всегда излучение означает электромагнитное излучение.
И тут выступает единство явлений во Вселенной. Движение атомов далекой звезды даже на огромных расстояниях возбуждает электроны нашего глаза, и мы узнаем о звездах. Если бы закона воздействия полей не существовало, мы бы буквально ничего не знали о внешнем мире! А электрические бури в галактике, удаленной от нас на пять миллиардов световых лет (самой далекой из обнаруженных до сих пор), еще способны возбуждать токи в гигантской «чаше» радиотелескопа. Вот почему мы видим и звезды, и галактики.
Об этих замечательных явлениях и пойдет речь в настоящей главе. В самом начале нашего курса лекций мы обрисовали общую картину мира, но теперь мы более подготовлены к тому, чтобы понять ее глубже. Поэтому вернемся снова к общей картине явлений и поговорим о ней более подробно. Начнем мы с описания положения, которое физика занимала в конце XIX столетия. Все, что тогда было известно об основных закономерностях, можно сформулировать так.
Во-первых, была известна сила тяготения (мы ее записывали неоднократно). Сила, действующая на тело с массой m со стороны тела массы М, дается выражением
(28.1)
где er — единичный вектор, направленный от m к М, а r — расстояние между телами.
Во-вторых, к концу XIX века был известен такой закон электричества и магнетизма: сила, действующая на заряд q, характеризуется двумя полями Е и В и скоростью заряда v:
F=q(E+vXB). (28.2)
К этому нужно добавить формулы для Е и В. Для совокупности заряженных частиц поля Е и В представляются как суммы вкладов от каждой частицы в отдельности. Таким образом, определив Е и В для одного заряда и сложив вклады от всех зарядов во Вселенной, мы получим полную величину Е и В! В этом и состоит принцип суперпозиции.
Как теперь получить формулу для электрического и магнитного поля одного заряда? Оказывается, это очень сложно; понадобится затратить много труда и использовать тонкие доказательства. Но не в этом дело. Мы написали законы, собственно, чтобы подчеркнуть красоту природы, показать, что все основные законы можно уместить на одной странице (с обозначениями читатель уже знаком). Точная и вполне строгая формула для поля, создаваемого отдельным зарядом, насколько мы знаем, имеет очень сложный вид (мы отвлекаемся от эффектов квантовой механики). Поэтому мы не будем выводить ее подробно, а запишем сразу, как она выглядит. На самом деле правильнее было бы записать законы электричества и магнетизма с помощью уравнений поля, о которых будет сказано позднее. Но там используются совсем иные понятия и обозначения, поэтому давайте сейчас напишем выражения для поля в уже знакомой нам форме, хотя она и не очень удобна для вычислений.
Электрическое поле Е дается выражением
(28.3)
Что означают отдельные члены в этом выражении? Возьмем первый из них,
Е=-qer’/4pe0r'2. Это уже знакомый нам закон Кулона; здесь q — заряд, создающий поле, er' - единичный вектор, направленный от точки Р, где измеряется поле Е, r — расстояние от Р до q. Но закон Кулона неточен. Открытия, сделанные в XIX веке, показали, что любое воздействие не может распространяться быстрее некоторой фундаментальной скорости с, называемой теперь скоростью света. Поэтому определить положение заряда в настоящий момент времени невозможно. Кроме того, на поле в данный момент времени может влиять только поведение заряда в прошлом. А как давно в прошлом? Задержка во времени, или так называемое время запаздывания, есть время, необходимое для прохождения расстояния от заряда до точки измерения поля Р со скоростью света с. Время запаздывания равно r'/с. Таким образом, первый член в (28.3) представляет собой не обычный, а запаздывающий закон Кулона.
Чтобы учесть запаздывание, мы поставили штрих у r, понимая под r' то расстояние, на которое в начальный момент своего воздействия был удален заряд q от точки Р. Представим на минуту, что заряд несет с собой световые сигналы, которые движутся к точке Р со скоростью c. Тогда, глядя на заряд q, мы увидели бы его не в том месте, где он находится сейчас, а там, где он был некоторое время назад. В нашу формулу входит кажущееся направление er', так называемое запаздывающее направление, и запаздывающее расстояние r'. Это легко понять, но это еще не все. Дело, оказывается, еще гораздо сложнее.
В выражении (28.3) имеется и ряд других членов. Вторым членом природа как бы учитывает запаздывание в первом грубом приближении. Это поправка к запаздывающему кулоновскому члену; она представляет собой произведение скорости изменения кулоновского поля и времени запаздывания. Но и это не все. Есть еще третий член — вторая производная по t единичного вектора, направленного к заряду. Этим исчерпывается формула; мы учли все вклады в электрическое поле от произвольно движущегося заряда.
Магнитное поле выражается следующим образом:
(28.4)
Все предыдущее мы написали, чтобы показать красоту природы и, в некотором смысле, могущество математики. Говоря откровенно, мы даже не пытаемся понять, почему столь значительные по содержанию формулы занимают так мало места, ведь в них содержится и принцип действия генераторов тока, и особенности поведения света — словом, все явления электричества и магнетизма. Конечно, для полноты картины нужно добавить еще кое-что о свойствах использованных материалов (свойствах вещества), которые пока не учтены в (28.3).
Заканчивая краткое описание представлений о мире в XIX веке, следует упомянуть еще об одном фундаментальном обобщении, к которому в большой степени причастен и Максвелл, а именно о единстве явлений механики и теплоты. Мы будем говорить об этом в ближайшем будущем.
В XX столетии обнаружили, что все законы динамики Ньютона неправильны, и чтобы уточнить их, воспользовались квантовой механикой. (Законы Ньютона справедливы для тел достаточно больших размеров.) Совсем недавно законы квантовой механики в совокупности с законами электромагнетизма послужили основой для открытия законов квантовой электродинамики. Кроме того, был открыт ряд новых явлений, и раньше других — явление радиоактивности, открытое Беккерелем в 1898 г. (он похитил его из-под самого носа у XX столетия). Явление радиоактивности послужило началом развития науки о ядрах, новых частицах и о взаимодействиях совсем другого рода — не гравитационных и не электрических. Все эти вопросы еще ждут своего разрешения.
Для уж очень строгих и образованных читателей (скажем, профессоров, которым случится читать эти строки) специально добавим: наше утверждение, что выражение (28.3) содержит все известное из электродинамики, не совсем точно. Существует вопрос, который так и не был разрешен к концу XIX столетия. Если попробовать вычислить поле, создаваемое всеми зарядами, включая и тот заряд, на который в свою очередь действует поле, то возникнут трудности при попытке определить, например, расстояние от заряда до него самого и последующей подстановке этой величины, равной нулю, в знаменатель. Как быть с той частью поля, которая создается зарядом и на него же действует, до сих пор не понятно. Оставим этот вопрос, загадка не разгадана до конца, и мы по возможности будем избегать говорить о ней.
§ 2. Излучение
Перейдем от общей картины мира к явлениям излучения. Прежде всего мы должны выбрать тот член в выражении (28.3), который спадает обратно пропорционально первой (а не второй!) степени расстояния. Оказывается, что этот член имеет столь простой вид, что если принять его в качестве закона поведения электрического поля, создаваемого движущимся зарядом на больших расстояниях, то можно излагать электродинамику и оптику на элементарном уровне. Мы временно примем этот закон без доказательства, а позже изучим его подробнее.
Первый член в правой части (28.3) явно обратно пропорционален второй степени расстояния; легко показать, что и второй член, дающий поправку на запаздывание для первого, меняется таким же образом. Весь интересующий нас эффект заключен в третьем члене, и в общем он не так уж сложен. Этот член говорит нам следующее: посмотрите на заряд и заметьте направление единичного вектора (конец вектора скользит по поверхности единичной сферы). По мере движения заряда единичный вектор крутится, и его ускорение есть именно то, что нам нужно. Вот и все. Итак,
(28.5)
Формула (28.5) выражает закон излучения, потому что единственный член, который она содержит, спадает обратно пропорционально расстоянию и, следовательно, доминирует на больших расстояниях от заряда. (Часть, меняющаяся обратно пропорционально квадрату расстояния, становится настолько малой, что не представляет интереса.)
Продвинемся несколько вперед и выясним смысл формулы (28.5). Пусть заряд движется произвольным образом и мы наблюдаем его на некотором расстоянии. Представим на минуту, что заряд «светится» (хотя именно явление света мы и должны объяснить); итак, пусть заряд есть светящаяся белая точка. Мы видим движение этой точки. Но мы не можем точно определить, как она движется в данный момент, из-за упоминавшегося уже ранее запаздывания. Имеет смысл говорить только о том, как она двигалась в более ранний момент времени. Единичный вектор er’ направлен к кажущемуся положению заряда. Конец вектора er’, естественно, описывает некую кривую, так что ускорение имеет две составляющие. Одна из них — поперечная составляющая, возникающая из-за движения конца вектора вверх и вниз, а другая — радиальная, или продольная, возникающая из-за вращения конца вектора по сфере. Легко показать, что вторая составляющая много меньше первой и изменяется обратно пропорционально квадрату r для очень больших r. В самом деле, если отодвигать источник все дальше и дальше от точки наблюдения, колебания вектора er' будут становиться все слабее (обратно пропорционально расстоянию), а продольная составляющая ускорения будет убывать еще быстрее. Поэтому для практических целей достаточно спроектировать движение заряда на плоскость, находящуюся на единичном расстоянии. В результате мы приходим к следующему правилу: пусть мы наблюдаем движущийся заряд и все, что мы видим, запаздывает во времени, т. е. мы находимся в положении художника, который рисует пейзаж на полотне, стоящем от него на расстоянии единицы длины. Конечно, художник не учитывает тот факт, что скорость света конечна, а изображает мир таким, каким он его видит. Посмотрим, что он нарисует на этой картине. Мы увидим точку (изображение заряда), движущуюся по картине. Ускорение этой точки пропорционально электрическому полю. Вот и все, что нам нужно.
Таким образом, формула (28.5) дает полное и точное описание процесса излучения; в ней содержатся даже все релятивистские эффекты. Однако часто встречается более простая ситуация, когда заряды передвигаются с малой скоростью и на небольшие расстояния. Поскольку заряды движутся медленно, расстояния, которые они проходят с момента излучения, невелики, так что время запаздывания оказывается практически постоянным. В этом случае формула (28.5) упрощается. В самом деле, пусть заряд совершает малые смещения и находится примерно на одном и том же расстоянии от точки наблюдения. Время запаздывания на расстоянии r есть r/с. Тогда наше правило (определяющее поле излучения) будет выражаться так: если заряженное тело сдвигается на малые расстояния и боковое смещение есть x(t), то единичный вектор er' поворачивается на угол x/r, и поскольку r практически постоянно, то составляющая d2er'/dt2 в направлении x равна просто ускорению самой величины x в более ранний момент времени. В результате мы приходим к формуле
(28.6)
Сюда входят только составляющая ах, перпендикулярная лучу зрения. Попробуем понять, почему это так. В самом деле, когда заряд движется прямо к нам или от нас, единичный вектор в направлении заряда не смещается и ускорение равно нулю. Поэтому для нас существенно только боковое движение, т. е. только та часть ускорения, которая проектируется на экран.
§ 3. Дипольный излучатель
Примем формулу (28.6) в качестве основного закона электромагнитного излучения, т. е. будем считать, что электрическое поле, создаваемое нерелятивистски движущимся зарядом на достаточно больших расстояниях r, имеет вид (28.6). Электрическое поле обратно пропорционально r и прямо пропорционально ускорению заряда, спроектированному на «плоскость зрения», причем ускорение берется не в данный момент времени, а в более ранний (время запаздывания равно r/с). Вся оставшаяся часть главы будет посвящена приложению закона (28.6) к всевозможным явлениям распространения света и радиоволн, таким, как отражение, преломление, интерференция, дифракция и рассеяние. Закон (28.6) имеет фундаментальное значение и содержит всю необходимую для нас информацию. Остальная часть формулы (28.3) только декорация и нужна лишь для того, чтобы понять, как и почему возник закон (28.6).
В дальнейшем мы еще вернемся к формуле (28.3), а пока примем ее как нечто данное и отметим, что справедливость ее основывается не только на теоретических выводах. Можно придумать целый ряд опытов, в которых проявлялось бы действие закона (28.3). Для этого необходим ускоряющийся заряд. Строго говоря, заряд должен быть одиночным, но, если взять большое количество зарядов, движущихся одинаково, поле представится суммой вкладов отдельных зарядов. Для примера рассмотрим два отрезка проволоки, присоединенных к генератору, как показано на фиг. 28.1. Суть дела в том, что генератор создает разность потенциалов или поле, которое в один момент времени выталкивает электроны из участка А и втягивает их в участок В, а через ничтожно малый промежуток времени действие поля становится обратным и электроны из В перекачиваются обратно в А!
Фиг. 28.1. Высокочастотный генератор раскачивает электроны в проволоках вверх и вниз.
Так что в этих двух проволочках заряды на участках А и В как бы ускоряются одновременно то вверх, то вниз. Две проволоки и генератор нужны только в этом устройстве. Окончательный же результат таков, что заряды ускоряются вверх и вниз так, как если бы А и В составляли один кусок проволоки. Отрезок проволоки, длина которого очень мала по сравнению с расстоянием, проходимым светом за один период колебаний, называется электрическим диполъным осциллятором.
Таким образом, у нас есть прибор для создания электрического поля; теперь нам нужен прибор для детектирования электрического поля, но для этого можно взять то же самое устройство — пару проволок А и B! Если к такому устройству приложить электрическое поле, возникнет сила, движущая электроны по обеим проволокам либо вверх, либо вниз. Это движение фиксируется с помощью выпрямителя, смонтированного между проволоками А и В, а информация передается по тонкой проволоке в усилитель, где сигнал усиливается и воспроизводится со звуковой частотой путем модуляции радиочастот. Когда детектор воспринимает электрическое поле, из громкоговорителя доносится громкий звук; если поля нет, звука не возникает.
В помещении, где мы детектируем волны, обычно находятся и другие объекты, и электрическое поле тоже раскачивает в них электроны; они колеблются вверх и вниз и в свою очередь воздействуют на детектор. Поэтому для успешного эксперимента расстояние между источником волн и детектором не должно быть большим, чтобы снизить влияние волн, отраженных от стен и от нас самих. Таким образом, опыт может дать результаты, не вполне точно совпадающие с (28.6), но достаточные для грубой проверки нашего закона.
Включим теперь генератор и прислушаемся к звуковому сигналу. Когда детектор D находится в положении, параллельном генератору G в точке 1 (фиг. 28.2), мы услышим громкий сигнал (это характеризует большую величину поля). Ту же величину поля мы найдем и для любого азимутального угла q, получаемого вращением вокруг оси G, потому что в нашем опыте ни одно азимутальное направление не выделено.
Фиг. 28.2. Измерение электрического поля в точках окружности, центр которой совпадает с положением линейного осциллятора.
С другой стороны, когда детектор находится в точке 3, поле оказывается равным нулю. Так и должно быть. Согласно нашей формуле, поле пропорционально ускорению заряда, спроектированному на плоскость, перпендикулярную лучу зрения. Когда детектор находится над генератором в точке 3, заряды движутся к детектору и обратно и, следовательно, поле не должно возникнуть. Итак, опыт подтверждает первое высказанное нами правило, что заряды, движущиеся в направлении D и обратно, никакого действия не оказывают. Во-вторых, из формулы следует, что поле перпендикулярно r и лежит в плоскости, построенной на векторах G и r; поэтому, поместив D в положение 1 и повернув на 90°, мы сигнала не услышим. Это как раз и означает, что электрическое поле направлено по вертикали. Если D смещено на некоторый промежуточный угол, наиболее громкий сигнал получается при ориентации детектора, указанной на рисунке. Дело в том, что, хотя генератор G и расположен вертикально, создаваемое им поле не будет параллельно направлению самого генератора; эффект определяется составляющей ускорения, перпендикулярной лучу зрения. В положении 2 сигнал оказывается слабее, чем в положении 1 именно из-за эффекта проектирования.
§ 4. Интерференция
Возьмем теперь два источника, расположенных рядом, на расстоянии в несколько сантиметров один от другого (фиг. 28.3). Если оба источника присоединены к одному генератору и заряды в них движутся вверх и вниз одинаковым образом, то по принципу суперпозиции действия обоих источников складываются; электрическое поле равно сумме двух слагаемых и оказывается в два раза больше, чем в предыдущем случае.
Фиг. 28.3. Интерференция полей от двух источников.
Здесь появляется интересная возможность. Пусть заряды в S1 и S2 ускоряются вверх и вниз, но в S2 движение зарядов запаздывает и сдвинуто по фазе на 180°. Тогда в один и тот же момент времени поле, создаваемое S1 будет иметь одно направление, а поле, создаваемое S2,— противоположное, и, следовательно, в точке 1 никакого эффекта не возникнет. Относительную фазу колебаний легко создать с помощью трубки, передающей сигнал в S2. При изменении длины трубки меняется и время прохождения сигнала до S2, а следовательно, меняется разность фаз колебаний. Подобрав нужную длину трубки, мы можем добиться такого положения, что сигнал исчезнет, несмотря на движение зарядов в источниках S1 и S2! Излучение каждого источника в отдельности легко установить, выключая один из них; тогда действие второго обнаруживается сразу. Таким образом, если все сделать аккуратно, оба источника в совокупности могут дать нулевой эффект.
Теперь интересно убедиться, что сложение двух полей фактически есть векторное сложение. Мы только что рассмотрели случай движения зарядов вверх и вниз; обратимся теперь к примеру двух непараллельных движений. Прежде всего установим для S1 и S2 одинаковые фазы, т. е. пусть заряды движутся одинаково. Далее повернем S1 на угол 90°, как показано на фиг. 28.4. В точке 1 произойдет сложение двух полей, одного от горизонтального источника, а другого — от вертикального.
Фиг. 28.4. Иллюстрация векторного характера сложения полей.
Полное электрическое поле представится векторной суммой двух сигналов, находящихся в одной и той же фазе; оба сигнала одновременно проходят и через максимум и через нуль. Суммарное поле должно быть равно сигналу R, повернутому на 45°. Максимальный звук будет получен, если повернуть детектор D на 45°, а не в вертикальном направлении. При повороте на прямой угол по отношению к указанному направлению звуковой сигнал, как легко проверить, должен быть равен нулю. И действительно, именно это и наблюдается!
А как быть с запаздыванием? Как показать, что сигнал действительно запаздывает? Конечно, прибегнув к большому числу сложных устройств, можно измерить время прибытия сигнала, но есть другой, очень простой способ. Обратимся снова к фиг. 28.3 и предположим, что S1 и S2 находятся в одной фазе. Оба источника колеблются одинаково и создают в точке 1 равные поля. Но вот мы перешли в точку 2, которая находится ближе к S2,, чем к S1. Тогда, поскольку запаздывание определяется величиной r/c, при разных запаздываниях сигналы будут приходить с разными фазами. Следовательно, должна существовать такая точка, для которой расстояния от D до S1 и S2 различаются на такую величину D, когда сигналы будут погашаться.
В этом случае D должна быть равна расстоянию, проходимому светом за половину периода колебаний генератора. Сдвинемся еще дальше и найдем точку, где разность расстояний соответствует полному периоду колебаний, т.е. сигнал от первой антенны достигает точки 3 с запаздыванием по сравнению с сигналом от второй антенны, и это запаздывание в точности равно одному периоду колебаний. Тогда оба электрических поля снова находятся в одной фазе и сигнал в точке 3 опять становится сильным.
На этом закончим описание экспериментальной проверки важнейших следствий формулы (28.6). Мы, конечно, не касались вопроса об электрических полях, спадающих по закону 1/r, и не учитывали, что магнитное поле сопутствует электрическому при распространении сигнала. Для этого требуется довольно сложная техника вычислений, и вряд ли это что-либо добавит к нашему пониманию вопроса. Во всяком случае, мы установили свойства, наиболее важные для последующих приложений, а к другим свойствам электромагнитных волн мы еще вернемся.
Глава 29
§ 1. Электромагнитные волны
§ 2. Энергия излучения
§ 3. Синусоидальные волны
§ 4. Два дипольных излучателя
§ 5. Математическое описание интерференции
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
§ 1. Электромагнитные волны
В этой главе мы будем обсуждать те же вопросы, что и в предыдущей, но с большими математическими подробностями. Качественно мы уже показали, что поле излучения двух источников имеет максимумы и минимумы, и теперь наша задача — дать математическое, а не просто качественное описание поля.
Мы вполне удовлетворительно разобрали физический смысл формулы (28.6), рассмотрим теперь некоторые ее математические черты. Прежде всего поле заряда, движущегося вверх и вниз с малой амплитудой в направлении 0 от оси движения, перпендикулярно лучу зрения и лежит в плоскости ускорения и луча зрения (фиг. 29.1). Обозначим расстояние через r, тогда в момент времени t величина электрического поля равна
(29.1)
где a(t-r/с) — ускорение в момент времени (t-r/с), или запаздывающее ускорение.
Интересно нарисовать картину распределения поля в разных случаях. Наиболее характерный множитель в формуле (29.1) — это a (t-r/с); чтобы его понять, возьмем простейший случай q = 90° и изобразим поле на графике.
Фиг. 29.1. Напряженность поля Е, создаваемая положительным зарядом с запаздывающим ускорением а'.
Фиг. 29.2. Ускорение некоторого заряда как функция времени.
Раньше мы были заняты вопросом, как ведет себя поле в данной фиксированной точке пространства с течением времени. Теперь посмотрим, как выглядит поле в разных точках пространства в один и тот же момент времени. Иначе говоря, нам нужен «моментальный снимок» поля, из которого будет ясно, каково оно в разных местах. Разумеется, картина распределения поля зависит от ускорения заряда. Зададим характер движения заряда: пусть сначала он покоится, затем внезапно начнет определенным образом ускоряться (как показано на фиг. 29.2) и, наконец, остановится. Затем, чуть позже, измерим поле в разных точках пространства. Мы можем утверждать, что поле будет иметь вид, приведенный на фиг. 29.3. В самом деле, поле в каждой точке определяется ускорением заряда в предыдущий момент времени, причем под словом «предыдущий» понимается r/с секунд назад. Чем дальше точка, тем более ранним моментом времени определяется для нее ускорение. Поэтому кривая на фиг. 29.3 в некотором смысле есть «обращенный» во времени график ускорения; время и расстояние отличаются постоянным множителем c, который часто выбирается равным единице. Этот факт легко заметить и в математической записи a(t-r/с). Ясно, что добавка интервала времени At и вычитание отрезка пути Dr=-cDt дают одну и ту же величину a(t-r/с).
Другими словами, увеличив время на Dt, можно восстановить значение a(t-r/с) добавлением отрезка Dr= сDt, т. е. поле распространяется со временем как волна, уходящая от источника. Вот почему иногда говорят, что свет движется как волна. Можно также сказать, что поле запаздывает во времени, или иначе, что поле распространяется вширь с течением времени.
Фиг. 29.3. Электрическое поле как функция положения точки наблюдения спустя некоторый промежуток времени.
Множителем 1/r пренебрегаем.
Особый интерес представляет случай периодических колебаний заряда q. В опыте, рассмотренном в гл. 28, смещение зарядов x в момент t равнялось некоторой константе х0, амплитуде колебаний, умноженной на coswt. Ускорение в этом случае равно
(29.2)
Отвлечемся пока от угла q и постоянных и посмотрим, как ведет себя Е (29.3) в зависимости от времени или координат.
§ 2. Энергия излучения
Как мы уже говорили, в любой момент времени и в любой точке пространства напряженность поля меняется обратно пропорционально расстоянию r. Следует заметить, что энергия, несомая волной, и любые энергетические характеристики электрического поля пропорциональны квадрату поля. Пусть, например, заряд или осциллятор находится в электрическом поле и под влиянием поля начинает двигаться. Для линейного осциллятора смещение, ускорение и скорость, возникающие под действием поля, прямо пропорциональны величине поля. Поэтому кинетическая энергия заряда пропорциональна квадрату поля. Мы примем, что энергия, которую поле может передать какой-либо системе, пропорциональна квадрату поля.
Отсюда следует, что энергия, получаемая в данном месте от источника поля, уменьшается по мере удаления от источника, точнее, она падает обратно пропорционально квадрату расстояния. Существует очень простая интерпретация этого факта: соберем энергию волны, попадающую в конус с вершиной в источнике, сначала на расстоянии r1 (фиг. 29.4), а затем на расстоянии r2; тогда количество энергии, падающее на единичную площадку, обратно пропорционально квадрату расстояния r, а площадь поверхности внутри конуса растет прямо пропорционально квадрату расстояния r от поверхности до вершины конуса. Таким образом, на каком бы расстоянии от вершины конуса мы ни находились, энергия, проходящая внутри конуса, одна и та же! В частности, если окружить источник со всех сторон поглощающими осцилляторами, то полное количество энергии, поступающее в них от волны, будет постоянным, независимо от расстояния до источника.
Фиг. 29.4. Количество энергии, протекающей внутри конуса OABCD, не зависит от расстояния r, на котором оно измеряется.
Закон спадания поля Е как 1/r эквивалентен утверждению, что имеется поток энергии, который нигде не теряется; при этом энергия распространяется на все большие и большие области пространства. Таким образом, заряд, колеблясь, безвозвратно теряет энергию, уходящую все дальше и дальше. Заряд не может вернуть излученную энергию с тех расстояний, где применимо наше рассмотрение; для достаточно больших расстояний от источника вся излученная энергия уходит прочь. Конечно, энергия не исчезает бесследно и ее можно поглотить с помощью других систем. Потери энергии на излучение мы будем изучать в гл. 32.
Рассмотрим теперь более подробно волны вида (29.3) как функции времени в данном месте и как функции расстояния в данный момент времени. Как и раньше, будем отвлекаться от постоянных множителей и множителя 1/r.
§ 3. Синусоидальные волны.
Зафиксируем вначале r и рассмотрим поле как функцию времени. Получается функция, которая осциллирует с угловой частотой w. Угловую частоту со можно определить как скорость изменения фазы со временем (радианы в секунду). Эта величина нам уже знакома. Период есть время одного колебания, одного полного цикла; он равен 2p/w, так как произведение w и периода есть полный период косинуса.
Введем новую величину, которая очень часто используется в физике. Она возникает в другой ситуации, когда t фиксировано и волна рассматривается как функция расстояния r. Легко увидеть, что как функция r волна (29.3) тоже осциллирует. Если отвлечься от множителя 1/r, то мы видим, что Е тоже осциллирует, когда мы меняем положение. Тогда по аналогии с w введем
так называемое волновое число и обозначим его через k. Оно определяется как скорость изменения фазы с расстоянием (радианы на метр). Время при таком изменении остается фиксированным. Роль периода здесь играет другая величина, ее можно было бы назвать периодом в пространстве, однако ее обычное название — длина волны, а обозначается она буквой l. Длина волны есть расстояние, на котором колебание поля совершает один полный цикл. Легко видеть, что длина волны равна 2p/k, потому что k, умноженное на длину волны, равно полному периоду косинуса. Итак, соотношение kl=2p полностью аналогично
wt0= 2p.
В нашем конкретном случае между частотой и длиной волны имеется определенная связь, однако приведенные выше определения k и w носят совершенно общий характер и применимы также в тех физических условиях, когда никакого соотношения между этими величинами нет. Для рассматриваемой нами волны скорость изменения фазы с расстоянием найти легко. В самом деле, запишем выражение для фазы j=w(t-r/с) и возьмем частную производную по r
(29.4)
Это соотношение можно записать разными способами:
Почему длина волны оказывается равной периоду, умноженному на c? Очень просто. Дело в том, что за время, равное одному периоду, волны, двигаясь со скоростью с, пройдут расстояние ct0 , а, с другой стороны, это расстояние должно быть равно длине волны.
В других физических явлениях, когда приходится иметь дело не со светом, такого простого соотношения между k и w может и не быть. Пусть волна движется вдоль оси x, тогда распространение синусоидальной волны с частотой w и волновым числом k описывается общей формулой вида sin(wt-kx).
Введенное понятие длины волны позволяет уточнить пределы применимости формулы (29.1). Напомним, что поле складывается из нескольких частей: одна из них спадает как 1/r, другая — как 1/r2, а остальные падают с расстоянием еще быстрее. Имеет смысл выяснить: когда часть, спадающая по закону 1/r, наиболее существенна, а остальными можно пренебречь? Естественно ответить: «Когда мы отойдем достаточно далеко от источника, потому что член 1/г2 будет мал по сравнению с членом 1/r». Но что значит «достаточно далеко»? В общих чертах ответ таков: все остальные члены имеют порядок величины l/r по сравнению с первым членом 1/г. Так что когда мы находимся на расстоянии нескольких длин волн от источника, формула (29.1) описывает поле в хорошем приближении. Область, удаленную от источника на расстояние, превышающее несколько длин волн, иногда называют «волновой зоной».
§ 4. Два дипольных излучателя
Рассмотрим теперь результирующее поле, которое возникает при одновременном действии двух осцилляторов. В предыдущей главе уже разбиралось несколько наиболее простых случаев. Мы дадим сначала качественную картину явления, а затем опишем те же эффекты с количественной точки зрения. Возьмем простейший случай, когда осцилляторы и детектор расположены в одной горизонтальной плоскости, а колебания осцилляторов происходят в вертикальном направлении.
На фиг. 29.5,а показан вид обоих осцилляторов сверху; в данном случае расстояние между ними в направлении север — юг равно половине длины волны и колеблются они в одной фазе, т.е. разность фаз осцилляторов равна нулю. Нас интересует интенсивность излучения в разных направлениях. Под интенсивностью мы подразумеваем количество энергии, проходящей мимо нас в 1 сек; оно пропорционально квадрату напряженности поля, усредненному по времени. Так, для определения яркости света нужно взять квадрат напряженности электрического поля, а не саму напряженность. (Напряженность электрического поля характеризуется силой, с которой поле действует на неподвижный заряд, а количество энергии, проходящей через некоторую площадку, пропорционально квадрату напряженности поля и измеряется в ваттах на квадратный метр. Коэффициент пропорциональности будет выведен в следующей главе.)
Фиг. 29.5. Зависимость интенсивности излучения двух диполей, находящихся на расстоянии в половину длины, волны, от направления излучения.
a —диполи в фазе (a=0); 6 — диполи в противофаэе (a=p).
Если мы находимся к западу от системы осцилляторов, к нам от обоих осцилляторов приходят поля, одинаковые по величине и с одной фазой, так что суммарное электрическое поле в два раза больше поля отдельного осциллятора. Следовательно, интенсивность будет в четыре раза больше интенсивности, возникающей от действия только одного осциллятора. (Числа на фиг. 29.5 указывают интенсивность, причем за единицу измерения выбрана интенсивность излучения одного осциллятора, помещенного в начале координат.) Пусть теперь поле измеряется в северном или южном направлении, вдоль линии осцилляторов. Поскольку расстояние между осцилляторами равно половине длины волны, их поля излучения различаются по фазе ровно на полцикла, а следовательно, суммарное поле равно нулю. Для промежуточного угла (равного 30°) интенсивность равна 2, т. е., уменьшаясь, интенсивность последовательно принимает значения 4, 2, 0 и т. д. Нам нужно научиться находить интенсивность для разных углов. По существу, это сводится к задаче о сложении двух колебаний с разными фазами.
Давайте коротко рассмотрим еще несколько интересных случаев. Пусть расстояние между осцилляторами, как и раньше, равно половине длины волны, но колебания одного осциллятора отстают по фазе от колебаний другого на половину периода (см. фиг. 29.5, б). Интенсивность в горизонтальном направлении (западном или восточном) обращается в нуль, потому что один осциллятор «толкает» в одном направлении, а другой — в обратном. В северном направлении сигнал от ближайшего осциллятора приходит на полпериода раньше сигнала от дальнего осциллятора. Но последний запаздывает в своих колебаниях как раз на полпериода, так что оба сигнала приходят одновременно, и интенсивность в северном направлении равна 4. Интенсивность под углом 30°, как будет показано позже, снова равна 2.
Теперь мы подошли к одному интересному свойству, весьма полезному на практике. Заметим, что фазовые соотношения между осцилляторами используются при передаче радиоволн. Допустим, мы хотим направить радиосигнал на Гавайские острова. Используем для этого систему антенн, расположенную так, как показано на фиг. 29.5, а, и установим между ними нулевую разность фаз. Тогда максимальная интенсивность будет идти как раз в нужном направлении, поскольку Гавайские острова лежат на западе от США. На следующий день мы решим передавать сигналы уже в Канаду. А поскольку Канада находится на севере, нам надо только изменить знак одной из антенн, чтобы антенны находились в противофазе, как на фиг. 29.5, б, и передача пойдет на север. Можно придумать разные устройства системы антенн
Фиг. 29.6. Две диполъные антенны, дающие максимум излучения в одном направлении.
Наш способ—один из самых простых; мы можем значительно усложнить систему и, выбрав нужные фазовые соотношения, послать пучок с максимальной интенсивностью в требуемом направлении, даже не сдвинув с места ни одну из антенн! Однако в обеих радиопередачах мы затрачивали много энергии зря, она уходила в прямо противоположном направлении; интересно знать, есть ли способ посылать сигналы только в одном направлении? На первый взгляд кажется, что пара антенн такого типа будет всегда излучать симметрично. На самом деле картина гораздо разнообразнее; рассмотрим для примера случай несимметричного излучения двух антенн.
Пусть расстояние между антеннами равно четверти длины волны и северная антенна отстает от южной по фазе на четверть периода. Что у нас тогда получится (фиг. 29.6)? Как мы дальше покажем, в западном направлении интенсивность равна 2. В южном направлении получится нуль, потому что сигнал от северного источника N приходит на 90° позже сигнала от южного источника S и, кроме того, он отстает по фазе еще на 90°; в результате полная разность фаз есть 180° и суммарный эффект равен нулю. В северном направлении сигнал от источника N приходит на 90° раньше сигнала от S, поскольку источник N на четверть волны ближе. Но разность фаз равна 90° и компенсирует задержку во времени, поэтому оба сигнала приходят с одной фазой, что дает интенсивность, равную 4.
Таким образом, проявив некоторую изобретательность в расположении антенн и выбрав нужные сдвиги фаз, можно направить энергию излучения в одном направлении. Правда, энергия будет
все-таки испускаться в довольно большой интервал углов. А можно ли сфокусировать излучение в более узкий интервал углов? Обратимся снова к передаче волн на Гавайские острова; там радиоволны шли на запад и на восток в широком диапазоне углов и даже на угол 30° интенсивность была всего вдвое меньше максимальной, энергия расходовалась впустую.
Можно ли улучшить это положение? Рассмотрим случай, когда расстояние между источниками равно десяти длинам волн (фиг. 29.7), а разность фаз колебаний равна нулю. Это ближе к ситуации, описанной ранее,
когда мы экспериментировали с интервалами, равными нескольким длинам волн, а не малым
долям длины волны.
Фиг. 29.7. Распределение интенсивности двух диполей, находящихся на расстоянии 10l друг от друга.
Здесь иная картина.
Если расстояние между источниками равно десяти длинам волн (мы выбираем более легкий случай, когда они находятся в фазе), то в западном и восточном направлениях интенсивность максимальна и равна 4. Если же сдвинуться на небольшой угол, разность фаз станет равной 180° и интенсивность обратится в нуль. Более строго: если мы проведем прямые от каждого осциллятора до точки наблюдения и вычислим разность расстояний до осцилляторов D, причем D окажется равным l/2, то оба сигнала будут в противофазе и суммарный эффект равен нулю. Этому направлению отвечает первый нуль на фиг. 29.7 (масштаб на рисунке не выдержан, это, по существу, грубая схема). Это означает, что мы получаем узкий луч в нужном направлении; если же мы чуть сдвигаемся в сторону, интенсивность исчезает. Для практических целей, к сожалению, такие передающие системы имеют существенный недостаток: при некотором угле расстояние D может стать равным l и тогда оба сигнала снова окажутся в фазе! В результате получается картина с чередующимися максимумами и минимумами, точь-в-точь как в гл. 28 для расстояния между осцилляторами, равного 2,5l.
Как избавиться от всех лишних максимумов? Существует довольно интересный способ устранения нежелательных максимумов. Поместим между нашими двумя антеннами целый ряд других (фиг. 29.8). Пусть расстояние между крайними по-прежнему равно 10l, а через каждые 2l поставим по антенне и настроим все антенны на одну фазу. Всего у нас будет, таким образом, шесть антенн, и интенсивность в направлении запад — восток, конечно, сильно возрастет по сравнению с интенсивностью от одной антенны. Поле увеличится в шесть раз, а интенсивность, определяемая квадратом поля,— в тридцать шесть раз. Поблизости от направления запад — восток, как и раньше, возникнет направление с нулевой интенсивностью, а дальше, там, где мы ожидали увидеть высокий максимум, появится всего лишь небольшой «горб». Попробуем разобраться, почему так происходит.
Фиг. 29.8. Устройство из шести дипольных антенн и часть распределения интенсивности его излучения.
Причина появления максимума, казалось бы, по-прежнему существует, поскольку D может равняться длине волны, и осцилляторы 1 и 6, находясь в фазе, взаимно усиливают свои сигналы. Но осцилляторы 3 и 4 оказываются не в фазе с осцилляторами 1 и 6, отличаясь от них по фазе приблизительно на половину длины волны, и вызывают обратный эффект по сравнению с этими осцилляторами. Поэтому интенсивность в данном направлении оказывается малой, хотя и не равной точно нулю. В результате возникает мощный луч в нужном направлении и ряд небольших побочных максимумов. Но в нашем частном примере есть одна добавочная неприятность: поскольку расстояние между соседними диполями равно 2 l, можно найти угол, для которого разность хода s лучей от соседних диполей в точности равна длине волны. Сигналы от соседних осцилляторов будут отличаться на 360°, т. е. снова окажутся в фазе, и в этом направлении мы получим еще один мощный пучок радиоволн! На практике этого эффекта легко избежать, если выбрать расстояние между осцилляторами меньше одной длины волны. Само же возникновение добавочных максимумов при расстоянии между осцилляторами более одной длины волны очень интересно и важно, но не для передачи радиоволн, а для дифракционных решеток.
§ 5. Математическое описание интерференции
Мы рассматривали излучение диполей с качественной точки зрения, теперь рассмотрим количественную картину. Найдем прежде всего суммарное поле от двух источников в самом общем случае, когда разность фаз а и силы осцилляторов a1 и А2 произвольны; для этого необходимо сложить два косинуса с одинаковой частотой, но разными фазами. Разность фаз находится весьма просто: она складывается из разности, возникающей за счет неодинакового удаления точки наблюдения от обоих источников, и внутренней, заданной разности фаз колебаний. Выражаясь математически, нам необходимо сложить две волны: R=a[cos(wt+j1)+А2cos (wt+j2). Как это сделать?
Каждый, вероятно, сумеет провести это сложение, но тем не менее проследим за ходом вычислений. Прежде всего, если мы разбираемся в математике и достаточно ловко управляемся с синусами и косинусами, эту задачу легко решить. Самый простой случай, когда амплитуда a1 равна А2 , и пусть обе они обозначаются через А. В этих условиях (назовем это тригонометрическим методом решения задачи) мы имеем
(29.9)
На уроках тригонометрии вы, вероятно, доказывали равенство
(29.10)
Если это нам известно, то мы немедленно получаем R:
(29.11)
Итак, мы снова получили синусоидальную волну, но с новой фазой и новой амплитудой. Вообще результат сложения двух синусоидальных волн есть синусоидальная волна с новой амплитудой AR , называемой результирующей амплитудой, и новой фазой jR, называемой результирующей фазой. В нашем частном случае результирующая амплитуда равна
(29.12)
а результирующая фаза есть арифметическое среднее обеих фаз. Таким образом, поставленная задача полностью решена. Предположим теперь, что мы забыли формулу сложения косинусов. Тогда можно применить другой метод решения — геометрический. Косинус, зависящий от wt, можно представить в виде горизонтальной проекции некоторого вращающегося вектора. Пусть имеется вектор А1, вращающийся с течением времени; длина его равна a1, a угол с осью абсцисс равен wt+j1. (Мы пока опустим слагаемое wt; как мы увидим, при выводе это не играет роли.) Сделаем моментальный снимок векторов в момент времени t=0, помня, что на самом деле вся схема вращается с угловой скоростью w (фиг. 29.9). Проекция a1 на ось абсцисс в точности равна a1cos (wt+j1). В момент времени t=0 вторая волна представляется вектором А2, длина которого равна a2, а его угол с осью абсцисс равен j2, причем он тоже вращается с течением времени.
Фиг. 29.9. Геометрический способ сложения двух косинусоидальных волн.
Чертеж вращается со скоростью w против часовой стрелки.
Оба вектора вращаются с одинаковой угловой скоростью w, и их относительное расположение неизменно. Вся система вращается жестко, подобно твердому телу.
Горизонтальная проекция А2 равна A2cos(wt + j2). Из векторного анализа известно, что при сложении двух векторов по правилу параллелограмма образуется новый, результирующий вектор АR, причем
x-компонента его есть сумма х-компонент слагающих векторов. Отсюда получаем решение нашей задачи. Легко проверить, что получается правильный ответ в нашем частном случае a1=А2=А. Действительно, из фиг. 29.9 очевидно, что AR лежит посредине между a1 и А2 и составляет угол 1/2 (j2-j1) с каждым из них. Следовательно, AR = 2Аcos1/2 (j2-j1), что совпадает с прежним результатом. Кроме того, в случае А1-А2 фаза AR есть среднее от фаз a1 и А2. Для неравных A1 и А2 задача решается столь же просто. Мы можем назвать это геометрическим решением задачи.
Существует еще один метод решения задачи, его можно было бы назвать аналитическим. Вместо того чтобы рисовать схему, подобную приведенной на фиг. 29.9, напишем выражения, имеющие тот же смысл, что и чертеж, и сопоставим каждому вектору комплексное число. Действительные части этих комплексных чисел отвечают реальным физическим величинам. В нашем конкретном случае волны записываются следующим образом: A1ехр[i(wt+j1)] [действительная часть этого равна A1cos(wt+j1)] и A2ехр[i(wt-+j2)]. Сложим обе волны:
(29.13)
(29.14)
Задача, таким образом, решена, так как мы имеем окончательный результат в виде комплексного числа с модулем AR и фазой jR.
Для иллюстрации аналитического метода найдем амплитуду АR , т. е. «длину» R. «Длина» комплексного числа в квадрате есть само комплексное число, умноженное на сопряженное ему.
Комплексное сопряжение состоит в изменении знака i . Отсюда получаем
(29.15)
(С помощью формул тригонометрии легко установить совпадение получаемого результата с длиной AR на фиг. 29.9.)
Итак, суммарная интенсивность складывается из члена А12, возникающего от действия только первого источника, интенсивности А22, равной интенсивности второго источника, и еще дополнительного члена. Этот дополнительный член мы назовем эффектом интерференции. Он представляет собой разность между истинным результатом сложения и суммой интенсивностей. Интерференционный член может быть как положительным, так и отрицательным. [Интерференция (interference) в английской разговорной речи означает возражение, помеху, но в физике слова часто теряют первоначальный смысл и употребляются совсем в другом значении!] Если интерференционный член положителен, мы будем говорить о конструктивной интерференции (буквальный смысл этого выражения покажется ужасным всем, кроме физиков!). В противном случае мы говорим о деструктивной интерференции.
Посмотрим теперь, как применить нашу общую формулу (29.16) для сложения полей излучения двух осцилляторов к тем частным случаям, которые мы уже качественно обсуждали. Для этого необходимо лишь вычислить разность фаз j1 -j2 двух сигналов, приходящих в данную точку пространства. (Эффект, разумеется, связан с разностью фаз, а не с их абсолютными значениями.) Рассмотрим случай, когда два осциллятора с равными амплитудами и с относительной фазой колебаний а (когда колебания одного имеют фазу нуль, фаза другого равна а) расположены на расстоянии d друг от друга. Будем искать интенсивность под углом q к линии запад — восток. [Заметьте, что этот угол не имеет ничего общего с углом q в формуле (29.1).] Разность расстояний от точки Р до осцилляторов равна dsinq (фиг. 29.10), поэтому разность фаз, возникающая по этой причине, равна числу длин волн, заключенных на отрезке dsinq, умноженному на 2p.
Фиг. 29.10. Два осциллятора, обладающие одинаковой амплитудой и разностью фаз a.
(Более подготовленный читатель, вероятно, умножил бы волновое число k, т. е. скорость изменения фазы с расстоянием, на d sin 0, результат получится тот же самый.) Разность фаз, возникающая из-за разности хода лучей, есть, таким образом, (2pdsinq)/l, но из-за относительного запаздывания осцилляторов возникает дополнительная разность фаз a. Отсюда полная разность фаз двух волн в точке наблюдения равна
(29.17)
Это выражение охватывает все случаи. Теперь остается только подставить его в (29.16) и положить A1=А2; получится формула, с помощью которой можно вывести все результаты для двух антенн одинаковой интенсивности.
Рассмотрим частные случаи. Например, на фиг. 29.5 мы полагали, что интенсивность на угол 30° равна 2. Откуда это получается? Осцилляторы находятся на расстоянии X/2, следовательно, для угла 30° dsinq=l/4, отсюда j2-j1=2pl/4l=p/2 и интерференционный член равен нулю. (Происходит сложение двух векторов, направленных под углом 90" друг к другу.) Сумма векторов есть гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника, она в Ц2 раз больше каждой амплитуды. Следовательно, интенсивность в 2 раза больше интенсивности каждого источника в отдельности. Все остальные примеры исследуются точно таким же способом.
Глава 30
ДИФРАКЦИЯ
§ 1. Результирующее поле n одинаковых осцилляторов
§ 2. Дифракционная решетка
§ 3. Разрешающая способность дифракционной решетки
§ 4. Параболическая антенна
§ 5. Окрашенные пленки; кристаллы
§ 6. Дифракция на непрозрачном экране
§ 7. Поле системы осцилляторов, расположенных на плоскости
§ 1. Результирующее поле n одинаковых осцилляторов
Настоящая глава — непосредственное продолжение предыдущей, хотя название «Интерференция» здесь заменено словом «Дифракция». До сих пор никому не удалось удовлетворительным образом определить разницу между дифракцией и интерференцией. Дело здесь только в привычке, а существенного физического различия между этими явлениями нет. Единственное, что можно сказать по этому поводу,— это следующее: когда источников мало, например два, то результат их совместного действия обычно называют интерференцией, а если источников много, то чаще говорят о дифракции. Поэтому мы не будем утруждать себя вопросом — интерференция это или дифракция, а просто продолжим наше обсуждение с того места, где мы остановились в предыдущей главе.
Обсудим теперь случай, когда имеется n осцилляторов, расположенных на равных расстояниях один от другого и обладающих равными амплитудами, но разными фазами создаваемых ими полей. Разность фаз создается либо из-за выбора определенных фазовых сдвигов колебаний осцилляторов, либо потому, что мы находимся под углом к осцилляторам и возникает разность хода лучей. Независимо от причины возникновения разности фаз необходимо вычислить сумму такого вида:
где j — разность фаз соседних осцилляторов для некоторого направления лучей. В данном частном случае j=a+2pd1/2sinq. Вычислим сумму R. Для этого воспользуемся геометрическим способом сложения. Длина первого слагаемого А, а его фаза равна нулю; длина второго также А, а фаза его равна j. Следующее слагаемое имеет снова длину А и фазу, равную 2j, и т. д. В конце концов получается часть правильного многоугольника с n сторонами (фиг. 30.1).
Фиг. 30.1. Результирующая амплитуда шести аквидистантных источников при разности фаз j между каждыми двумя соседними источниками.
Вершины многоугольника лежат, конечно, на окружности, и чтобы легче было определить результирующую амплитуду, найдем радиус этой окружности. Пусть Q есть ее центр. Тогда угол OQS равен как раз фазе j (поскольку радиус QS образует с А2 такой же угол, как QO с a1). Следовательно, радиус r должен удовлетворять равенству А = 2rsinj/2, откуда мы и находим величину r. Далее, большой угол OQT равен nj; следовательно, AR=2rsinnj/2. Исключая из обоих равенств г, получаем
(30.2)
Таким образом, суммарная интенсивность оказывается равной
(30.3)
Проанализируем это выражение и обсудим вытекающие из него следствия. Прежде всего, положив n =1, получим, как и следовало ожидать, I = I0. Проверим формулу для n=2: с помощью соотношения sinj=2sin j/2cosj/2 сразу находим АR = 2Acosj/2, что совпадает с (29.12).
Мы вынуждены рассматривать сложение полей от многих источников потому, что в этом случае интенсивность в одном направлении получается много больше, чем в соседних, т. е. все побочные максимумы интенсивности оказываются гораздо меньше основного. Чтобы понять этот факт, начертим кривую соответствующую выражению (30.3) для больших n и j, близких к нулю. Прежде всего, когда j точно равно нулю, мы получаем отношение О/О, но фактически для бесконечно малых j отношение синусов равно n2, так как синус можно заменить его аргументом. Таким образом, максимум кривой в n2 раз больше интенсивности одного осциллятора. Этот результат легко понять, поскольку при нулевой разности фаз все n маленьких векторов складываются в один вектор, в n раз больший исходного, а интенсивность увеличивается в n2 раз.
С ростом фазы j отношение двух синусов падает и обращается в нуль в первый раз при nj/2 = p, поскольку sinp=0. Другими словами, значение j=2p/n отвечает первому минимуму кривой (фиг. 30.2). С точки зрения векторов на фиг. 30.1 первый минимум возникает в том случае, когда стрелки векторов возвращаются в исходную точку, при этом полная разность фаз от первого до последнего осциллятора равна 2л.
Перейдем к следующему максимуму и покажем, что он действительно, как мы и ждали, много меньше первого. Для точного определения положения максимума необходимо учитывать, что и числитель, и знаменатель в (30.3) оба меняются с изменением j. Мы не станем этого делать, поскольку при большом n sinj/2 меняется медленнее sinj/2 и условие sinj/2 =1 дает положение максимума с большой точностью. Максимум sin2nj/2 достигается при nj/2=Зp/2 или j= Зp/n. Это означает, что стрелки векторов описывают полторы окружности.
Подставляя j=3p/n, получаем sin23p/2=l в числителе (30.3) (с этой целью и был выбран угол j) и sin23n/2n в знаменателе. Для достаточно большого n можно заменить синус его аргументом: sin Зp/2n =3p/2n. Отсюда интенсивность во втором максимуме оказывается равной I=I0 (4n2/9p2). Но n2I0 — не что иное, как интенсивность в первом максимуме, т. е. интенсивность второго максимума получается равной 4/9p2 от максимальной, что составляет 0,047, или меньше 5%! Остальные максимумы, очевидно, будут еще меньше. Таким образом, возникает очень узкий основной максимум и очень слабые дополнительные максимумы по обе стороны от основного.
Фиг. 30.2. Зависимость интенсивности от фазового угла для большого числа осцилляторов с одинаковыми амплитудами.
Фиг. 30.3. Устройство из n одинаковых осцилляторов, расположенных на линии. Фаза колебания s-го осциллятора равна as=sa.
Можно показать, что площадь под кривой интенсивности, включая все максимумы, равна 2pnI0 и в два раза превышает площадь пунктирного прямоугольника на фиг. 30.2.
Посмотрим теперь, что дает формула (30.3) в приложении к разным случаям. Пусть источники расположены на одной линии, как показано на фиг. 30.3. Всего имеется n источников на расстоянии d друг от друга, и сдвиг фазы между соседними источниками выбран равным а. Тогда для лучей, распространяющихся в заданном направлении Э, отсчитываемом от нормали, вследствие разности хода лучей от двух соседних источников возникает
дополнительный сдвиг фазы 2pd(1/l)sinq. Таким образом,
(30.4)
Рассмотрим сначала случай a=0. Все осцилляторы колеблются с одной фазой; требуется найти интенсивность их излучения как функцию угла В. Подставим с этой целью j=kdsinq в формулу (30.3) и посмотрим, что получится в результате. Прежде всего, при j=0 возникает максимум. Значит, осцилляторы, колеблющиеся с одной фазой, дают мощное излучение в направлении 0 =0. Интересно узнать, где находится первый минимум.
Он возникает при j=2p/n; другими словами, первый минимум кривой интенсивности определяется из соотношения (2pd/l)sinq=2p/n. Сокращая на 2p, получаем
(30.5)
Теперь разберем с физической точки зрения, почему минимум возникает именно в этом месте. В этом выражении nd есть полная длина L нашей системы осцилляторов. Обращаясь к фиг. 30.3, мы видим, что ndsinq=Lsinq=D. Формула (30.5) подсказывает нам, что минимум возникает при D, равном одной длине волны. Но почему минимум получается при D = l? Дело в том, что поля от отдельных осцилляторов равномерно распределены по фазе от 0 до 360°. Стрелки (см. фиг. 30.1) описывают полную окружность; мы складываем равные векторы, имеющие произвольные направления, а в этом случае сумма равна нулю. Вот при таких значениях угла, когда D=l, возникает минимум. Это и есть первый минимум.
Формула (30.3) имеет еще одну важную особенность: при увеличении угла j на число, кратное 2p, значение интенсивности не меняется. Поэтому для j =2p, 4p, 6p и т. д. также возникают резкие и высокие максимумы. Вблизи этих максимумов интенсивность повторяет свой ход (см. фиг. 30.2). Зададимся вопросом, в силу каких геометрических соотношений возникают другие максимумы? Условие появления максимума записывается в виде j==2pm, где m — любое целое число. Отсюда получаем (2pd/l)sinq=2pm. Сокращая на 2p, получаем
dsinq = ml. (30.6)
Это соотношение очень похоже на формулу (30.5). Однако там было ndsinq=l. Разница в том, что здесь нужно взять каждый отдельный источник и выяснить, что для него означает условие ndsinq=ml; угол q здесь таков, что разность хода d =тl. Другими словами, волны, идущие от источников, различаются по фазе на величину, кратную 360°, и, следовательно, все находятся в фазе. Поэтому при сложении волн возникает столь же высокий максимум, как и в рассмотренном ранее случае т =0. Побочные максимумы и весь ход интенсивности здесь такие же, как в случае j =0. Таким образом, наша система посылает пучки лучей в разных направлениях, причем каждый пучок имеет высокий центральный максимум и ряд слабых боковых. Главные (центральные) максимумы в зависимости от величины т называются максимумами нулевого, первого и т. д. порядков; т называют порядком максимума.
Обратите внимание на такой факт: если d меньше l, то формула (30.6) имеет единственное решение при т =0. Поэтому для малого расстояния между источниками возникает один-единственный пучок, сконцентрированный около q=0. (Разумеется, есть еще пучок в обратном направлении.) Чтобы получить максимумы других порядков, расстояние d должно быть больше одной длины волны.
§ 2. Дифракционная решетка
На практике равенство фаз осцилляторов или антенн достигается с помощью проводов и всяких специальных устройств. Возникает вопрос, можно ли и как создать подобную систему для света. Сейчас мы еще не умеем делать маленькие радиостанции оптической частоты в буквальном смысле слова, соединять их крохотными проволочками и устанавливать для всех них одинаковые фазы. Однако есть другой очень простой способ, позволяющий добиться этой цели.
Предположим, у нас имеется большое количество параллельных проводов, отстоящих друг от друга на расстоянии d, и источник радиоволн, расположенный очень далеко, практически на бесконечности. Этот источник создает электрическое поле у каждой из проволочек с одной и той же фазой, (Можно взять и объемную систему проводов, но мы ограничимся плоской системой.) Тогда внешнее электрическое поле будет двигать электроны взад и вперед в каждой проволочке, в результате они становятся новыми излучателями. Такое явление называется рассеянием: свет от некоторого источника вызывает движение электронов в среде, а оно в свою очередь генерирует собственные волны. Поэтому достаточно взять ряд проволок на равном расстоянии друг от друга, подействовать на них радиоволнами от удаленного источника, и получается нужная нам система без всяких специальных контуров и т. п. Если лучи падают по нормали к плоскости проводов, фазы колебаний будут одинаковыми и возникнет та картина, о которой говорилось выше. Так, при расстоянии между проволочками, превышающем длину волны, максимальная интенсивность рассеяния получается в направлении нормали и в других направлениях, определяемых формулой (30.6.).
Точно такое же устройство годится и для света! Только вместо проволок берут стеклянную пластинку и наносят на нее ряд штрихов так, чтобы каждый из них рассеивал свет иначе, чем остальная поверхность пластинки. Если затем направить на пластинку пучок света, то каждый штрих станет источником, а если расстояние между штрихами будет достаточно мало, но не меньше одной длины волны (практически таких малых расстояний все равно невозможно добиться), возникает удивительное явление: лучи идут через пластинку не только по прямой, но и под конечным углом к нормали, зависящим от расстояния между штрихами! Устройства такого типа действительно существуют и широко используются, их называют дифракционными решетками.
Одна из разновидностей дифракционных решеток представляет собой обычную стеклянную пластинку, прозрачную и бесцветную, с нацарапанными на ней штрихами. Число штрихов на 1 мм зачастую достигает нескольких сотен, а расстояние между ними выдерживается с большой точностью. Действие такой решетки можно наблюдать, посылая сквозь нее с помощью проектора узкую вертикальную полоску света (изображение щели) на экран. Помещая решетку на пути света так, чтобы штрихи были расположены вертикально, мы увидим на экране ту же самую полоску света, но по сторонам от нее, кроме того, будут и другие полосы, окрашенные в разные цвета. Разумеется, мы получили не что иное, как уширенное изображение щели; угол 6 в (30.6) зависит от l, и разная окраска света, как мы знаем, соответствует разным частотам и разным длинам волн. Самой большой видимой длиной волны обладает красный свет; в силу условия dsinq=l ему соответствует наибольшее q. И мы действительно обнаруживаем, что на экране красная полоса лежит дальше всех от центра изображения! С другой стороны должна быть такая же полоса; и в самом деле, мы видим на экране вторую полосу. Выражение (30.6) имеет еще одно решение с т =2. На соответствующем ему месте на экране видно какое-то расплывчатое слабое пятно, а дальше в сторону чуть заметен еще целый ряд слабых полосок.
Только что мы сказали, что максимумы всех порядков должны иметь одинаковую интенсивность, а у нас интенсивность получается разная, и, более того, правый и левый максимумы первого порядка отличаются по своей яркости! Причина здесь кроется в том, что решетки изготовляются особым способом, чтобы как раз и получался подобный эффект. Как это делается? Если бы дифракционные решетки имели бесконечно тонкие штрихи, расположенные на строго равном расстоянии друг от друга, то интенсивности максимумов всех порядков были бы одинаковы. Но фактически, хотя мы пока разобрали только простейший случай, мы могли бы также взять систему, состоящую из пар антенн, причем в каждой паре установили бы определенную разность фаз и интенсивности. Тогда можно было бы получить разную интенсивность у максимумов разных порядков. На дифракционную решетку часто наносят не ровные, а пилообразные штрихи. Специально подбирая форму «зубцов», можно увеличить интенсивность спектра данного порядка по отношению к остальным. В практической работе с решетками желательно иметь максимальную яркость в одном из порядков. Мы отложим пока весьма сложное объяснение этих фактов, скажем только, что такие решетки оказываются гораздо более полезными в применениях.
До сих пор мы рассматривали случай, когда фазы всех источников равны. Однако полученная нами формула (30.3) годится также и тогда, когда сдвиг фаз j каждого источника по сравнению с предыдущим постоянен и равен а. Это означает, что антенны должны быть соединены по схеме, обеспечивающей небольшой сдвиг фазы между ними. Можно ли создать подобное устройство для света? Да, и очень просто. Пусть источник света находится на бесконечности и свет падает на решетку под некоторым углом, равным qвх (фиг. 30.4); рассмотрим рассеянный пучок света, выходящий под углом qВЫХ (qвых — это наш старый угол q, а qвх нужен для создания разности фаз у источников).
Фиг. 30.4. Разность хода двух лучей, отраженных соседними линиями решетки, равна
dsinqвых — dsinqвх.
Пучок света от бесконечно удаленного источника падает сначала на первый штрих, затем на второй и т. д., сдвиг фазы света, попадающего на два соседних штриха, есть a = - dsinqВХ/l. Отсюда получаем формулу для дифракции света, падающего на решетку под некоторым углом:
(30.7)
Попытаемся найти направление максимальной интенсивности в этом случае. Условие возникновения максимума по-прежнему состоит в том, что j должно быть числом, кратным 2p. Здесь следует отметить несколько интересных моментов.
Прежде всего, рассмотрим весьма интересный случай, соответствующий m=0; когда d меньше l, тогда m=0 и других решений не возникает. Тогда получаем sinqвх = sinqвых,
т. е. рассеянный луч выходит в том же направлении, что и первоначальный луч, падающий на дифракционную решетку. Но не следует думать, что свет просто «проходит насквозь». Мы ведь говорим о других лучах. Свет, проходящий насквозь, идет от первоначального источника, а мы имеем в виду свет, возникающий при рассеянии. Получается так, что рассеянный пучок света идет в том же направлении, что и первоначальный; более того, оба пучка могут интерферировать друг с другом, о чем мы расскажем в последующих главах.
В нашем случае имеется еще одно возможное решение. При заданном qвх угол qвых может быть равен дополнительному к qвх углу (p-qвх). Таким образом, кроме луча в направлении падающего пучка света, возникает еще один луч. Легко заметить, что его направление подчиняется правилу: угол падения равен углу рассеяния. Этот луч мы назовем отраженным.
Так мы подходим к пониманию основного механизма процесса отражения: падающий свет возбуждает движение атомов отражающего тела, а оно в свою очередь генерирует новую волну, и одно из направлений рассеянной волны (единственное для расстояния между рассеивателями, малого по сравнению с длиной волны) таково, что угол падения луча света равен углу, под которым выходит отраженный луч!
Перейдем теперь к особому случаю, когда d®0. Имеется, скажем, плотное тело конечных размеров. Потребуем еще, чтобы разность фаз между соседними рассеивателями стремилась к нулю. Иначе говоря, будем ставить все новые и новые антенны в промежутках между прежними, так что разности фаз будут становиться все меньше по мере уменьшения расстояния до соседних антенн, но общее число антенн пусть растет так, что полная разность фаз между первой и последней антенной остается постоянной. Посмотрим, как видоизменится формула (30.3), если полная разность фаз nj остается постоянной (пусть nj =Ф), а число n и фаза j стремятся соответственно к бесконечности и нулю. Теперь значение j так мало, что sinj=j, и если учесть также, что n2I0 есть интенсивность в центре максимума Im, то мы получим
(30.8)
На фиг. 30.2 показан ход этой предельной зависимости.
В данном случае дифракционная картина в общих чертах получается такой же, как и для конечного промежутка d>l, те же боковые максимумы, нет только максимумов высших порядков. Когда все рассеиватели находятся в фазе, возникает максимум в направлении qвых =0 и минимум при D =l, в точности как для конечных d и n. Таким образом, оказывается возможным рассмотреть непрерывное распределение рассеивателей или осцилляторов, используя интегралы вместо сумм.
Для примера возьмем длинную линию, составленную из осцилляторов, которые колеблются вдоль нее (фиг. 30.5). Такое устройство дает максимальную интенсивность в направлении, перпендикулярном нити. Кверху и книзу от экваториальной плоскости имеется небольшая интенсивность, но она очень мала. Пользуясь этим результатом, перейдем к более сложному устройству. Предположим, у нас имеется целый набор нитей, каждая из которых излучает в экваториальной плоскости. Если мы находимся в центральной плоскости, перпендикулярной всем проволокам, интенсивность излучения набора длинных линий в разных направлениях определяется так же, как и в случае бесконечно коротких линий,— нужно сложить вклады от всех длинных проволок.
Фиг. 30.5. Распределение интенсивности излучения непрерывной линии осцилляторов имеет высокий центральный максимум и многочисленные слабые боковые максимумы.
Вот почему вместо крошечных решеток — антенн, которые мы рассматривали, можно было бы использовать решетки с длинными и узкими щелями. Каждая из длинных щелей излучает в своем собственном направлении не вверх и не вниз, а только перпендикулярно щели, и, поставив их рядом друг с другом в горизонтальной плоскости, мы получим интерференцию.
Таким образом, можно создать еще более сложные устройства, размещая рассеиватели по линии, в плоскости или в пространстве. Сначала мы располагали рассеиватели на линии, а затем проанализировали случай, когда они заполняют полосу; для получения ответа каждый раз нужно было просуммировать вклады отдельных рассеивателей. Последний принцип справедлив во всех случаях.
§ 3. Разрешающая способность дифракционной решетки
Теперь мы способны понять еще ряд интересных явлений. Например, попробуем использовать решетку для определения длины волны света. На экране изображение щели развертывается в целый спектр линий, поэтому с помощью дифракционной решетки можно разделить свет по составляющим его длинам волн.
Возникает интересный вопрос: предположим, что имеются два источника с несколько разными частотами излучения или несколько разными длинами волн; насколько близкими должны быть эти частоты, чтобы по дифракционной картине нельзя было отделить одну частоту от другой? Красные и синие линии четко различаются. А вот если один луч красный, а другой чуть-чуть покраснее, самую малость. Насколько близки они должны быть? Ответ дается величиной, которая называется разрешающей способностью решетки. Ниже мы используем один из способов ее определения.
Предположим, что удалось найти дифракционный максимум для лучей определенного цвета, расположенный под некоторым углом. Если мы изменим длину волны, то и значение фазы (2pdsinq)/l будет иным и максимум, разумеется, возникнет при каком-то другом угле. Именно поэтому красные и синие полосы на экране разделяются. Насколько должны отличаться углы, чтобы мы смогли различить два разных максимума? Если верхушки максимумов совпадают, мы, конечно, не сможем различить их один от другого. Если же максимумы достаточно далеки друг от друга, то на картине распределения света возникают два горба.
Фиг. 30.6. Иллюстрация критерия Рэлея. Максимум одного распределения совпадает с минимумом другого.
Чтобы заметить, когда начинает вырисовываться двойной горб, лучше всего воспользоваться простым правилом, называемым обычно правилом (или критерием) Рэлея, (фиг. 30.6). По этому правилу первый минимум на дифракционной картине для одной длины волны должен совпадать с максимумом для другой длины волны. Теперь уже нетрудно вычислить разность длин волн, когда один минимум в точности «садится» на максимум другого пучка. Лучше всего для этого воспользоваться геометрическим способом.
Чтобы возник максимум при длине волны l', расстояние D (см. фиг. 30.3) должно быть равно nl', а чтобы возник максимум порядка m, расстояние D должно быть равно mnl'. Другими словами, (2pd/l'), sinq=2pm и ndsinq, равное D, естьl', умноженная на тп, или соответственно mnl'. Если мы хотим, чтобы под тем же углом для другого луча с длиной волны l, появился минимум, расстояние D должно превышать тпl ровно на одну длину волны l, т. е. D=тпl+l =тпl'. Отсюда, полагая l'= l+dl,, получаем
(30.9)
Отношение l/dl, называется разрешающей способностью дифракционной решетки; она равна, как видно из формулы, полному числу линий в решетке, умноженному на порядок максимума луча. Легко убедиться, что эта формула эквивалентна следующему утверждению: разность частот должна быть равна обратной величине разности времен прохождения для самых крайних интерферирующих лучей
sv=1/T
Полезно запомнить именно эту общую формулу, потому что она применима не только для решеток, но и для любых устройств, тогда как вывод формулы (30.9) связан со свойствами дифракционных решеток.
§ 4. Параболическая антенна
Рассмотрим теперь еще один вопрос, связанный с разрешающей способностью. Речь идет об антеннах радиотелескопов, использующихся для определения положения источников радиоволн на небе и их угловых размеров. Если бы мы взяли нашу старую антенну и с ее помощью приняли сигналы, то, конечно, не могли бы сказать, откуда они пришли. А знать, где находится источник, очень важно. Можно, конечно, покрыть всю Австралию проводами-диполями, расположенными на равном расстоянии друг от друга. Затем подсоединить все диполи к одному приемнику так, чтобы уравнять запаздывание сигналов в соединительных проводах. Тогда сигналы от всех диполей придут к приемнику с одной фазой. Что в результате получится? Если источник расположен достаточно далеко и прямо над нашей системой, то сигналы от всех антенн придут к приемнику в фазе.
Но предположим, что источник расположен под небольшим углом 9 к вертикали. Тогда сигналы, принятые различными антеннами, будут немного сдвинуты по фазе. В приемнике все эти сигналы с разными фазами складываются, и мы ничего не получим, если только угол 6 достаточно велик. Но как велик должен быть этот угол? Ответ: мы получим нуль, если угол D/L=0 (см. фиг. 30.3) соответствует сдвигу фаз в 360°, т. е. если D равно длине волны l.
Этот результат легко понять, если учесть, что векторы, соответствующие сигналам от разных антенн, образуют замкнутый многоугольник и их сумма тогда обращается в нуль. Наименьший угол, который антенное устройство длиной L еще может разрешить, есть Q=l/L. Заметим, что кривая чувствительности антенны при приеме имеет точно такой же вид, как и распределение интенсивности, даваемое антеннами-передатчиками. Здесь проявляется так называемый принцип обратимости. Согласно этому принципу, для любых антенных устройств, при любых углах и т. п. справедливо правило: относительная чувствительность в разных направлениях совпадает с относительной интенсивностью для тех же направлений, если заменить приемник передатчиком.
Бывают антенные устройства и другого типа. Вместо того чтобы выстраивать целую систему диполей с кучей соединительных проводов между ними, можно расположить их по кривой, а приемник поставить в такую точку, где он мог бы фиксировать отраженные сигналы. Кривая выбирается с таким хитрым расчетом, чтобы все лучи от далекого источника после рассеяния доходили к приемнику за одно и то же время (см. фиг. 26.12). Значит, кривая должна быть параболой; тогда если источник находится на ее оси, то в фокусе возникает большая интенсивность рассеянного излучения. Легко найти разрешающую способность такого устройства. Расположение антенн по параболе здесь несущественно. Параболическая форма выбрана просто для удобства, она позволяет собирать все сигналы за одинаковое время и притом без проводов. Минимальный угол разрешения такого устройства по-прежнему равен q =l/L, где L — расстояние между крайними антеннами. Этот угол не зависит от промежутка между соседними антеннами, они могут быть размещены очень близко одна от другой, фактически вместо системы антенн можно даже взять сплошной кусок металла. В принципе это то же самое, что и зеркало телескопа. Итак, мы нашли разрешающую способность телескопа! (Иногда разрешающую способность пишут в виде q=1,22 l/L, где L — диаметр телескопа. Множитель 1,22 появляется по следующей причине: при выводе формулы q =l/L интенсивность всех диполей считалась одинаковой независимо от их положения, но, поскольку телескопы обычно делают круглыми, а не квадратными, интенсивность сигналов от краев меньше, чем от середины; в отличие от случая квадратного сечения края дают относительно малый вклад. Следовательно, эффективный диаметр короче истинного, что и учитывается множителем 1,22. На самом же деле такая точность в формуле для разрешающей способности кажется слишком педантичной.)
§ 5, Окрашенные пленки; кристаллы
Выше были рассмотрены некоторые эффекты, возникающие при интерференции нескольких волн. Но можно привести ряд других примеров, основной механизм которых слишком сложен, чтобы говорить о нем в данный момент (мы обсудим его впоследствии), а пока разберем возникающие в этих примерах интерференционные явления.
Например, когда свет падает на поверхность среды с показателем преломления n по нормали к поверхности, то часть света отражается. Причину отражения сейчас нам было бы трудно понять; мы поговорим о ней позже. Сейчас же предположим, что факт отражения света при входе и выходе света из преломляющей среды нам уже известен. Тогда при отражении света от тонкой пленки возникнет совокупность двух волн, отраженных от передней и задней поверхностей пленки; при достаточно малой толщине пленки эти волны будут интерферировать, усиливая или ослабляя друг друга в зависимости от знака разности фаз. Например, может случиться, что красный свет будет отражаться с усилением, а синий свет, который имеет другую длину волны,—с ослаблением, так что отраженный луч будет иметь яркую красную окраску.
Если мы изменим толщину пленки и будем наблюдать отражение, скажем, в тех местах, где пленка потолще, то сможем увидеть обратную картину, т. е. красные волны будут ослабляться, а синие нет, и пленка будет казаться синей, или зеленой, или желтой, в общем любого цвета. Таким образом, мы видим тонкую пленку окрашенной, а если будем смотреть на нее под другим углом, то расцветка будет иной, так как время прохождения света через пленку меняется с изменением угла зрения. Так становится понятной причина возникновения сложной цветовой гаммы на пленках нефти, мыльных пузырях и во многих других подобных случаях. Сущность явления всюду одна — сложение волн с разными фазами.
Отметим еще одно важное применение дифракции. Возьмем дифракционную решетку и спроектируем ее изображение на экран. Для монохроматического света в определенных местах экрана возникнут максимумы — основные и более высоких порядков. По расположению максимумов и длине волны можно найти расстояние между линиями решетки. А по отношению интенсивностей различных максимумов можно найти форму штрихов решетки и различить пиловидную, прямолинейную и разные другие формы, даже не глядя на решетку. Этот принцип служит для определения положения атомов в кристалле. Единственная сложность состоит в том, что кристалл трехмерен; он представляет собой периодическую трехмерную решетку, составленную из атомов. Мы не можем использовать здесь видимый свет, потому что длина волны источника должна быть меньше расстояния между атомами, иначе никакого эффекта не будет; следовательно, нужно взять излучение с очень малыми длинами волн, т. е. рентгеновские лучи. Итак, освещая кристалл рентгеновскими лучами и найдя интенсивности максимумов разного порядка, можно определить расположение атомов в кристалле, даже не имея возможности увидеть все это собственными глазами! Именно таким путем было найдено расположение атомов в разных веществах. В гл. 1 мы привели несколько схем, показывающих размещение атомов в кристалле соли и ряде других веществ. Мы еще вернемся к этому вопросу в дальнейшем и обсудим его подробно, а пока не будем заниматься этой интереснейшей проблемой.
§ 6. Дифракция на непрозрачном экране
Рассмотрим сейчас весьма интересное явление. Пусть имеется непрозрачный лист с отверстиями, и по одну сторону от него расположен источник света. Нас интересует, какое изображение возникнет на экране по другую сторону листа. Каждый скажет, что свет пройдет через отверстия и создаст на экране какое-то изображение. Оказывается, что это изображение можно получить с хорошей степенью точности, если предположить, что источники света равномерно распределены по ширине отверстий, а фазы источников точно такие, как если бы непрозрачного листа вовсе не было. Источников в отверстиях на самом деле, конечно, нет; во всяком случае, это как раз то место, где их наверняка не может быть. Тем не менее правильная дифракционная картина получается, если считать, что источники расположены именно в отверстиях; факт довольно странный. Позже мы объясним, почему такое предположение правильно, а пока примем его на веру.
В теории дифракции есть один род дифракционных явлений, который стоит кратко обсудить. Речь идет о дифракции на непрозрачных экранах. Обычно в элементарных курсах о них говорят гораздо позже, так как для их объяснения нужно использовать довольно сложные формулы суммирования малых векторов. В остальном эти явления не отличаются от уже рассмотренных нами. Все интерференционные явления по существу одинаковы; в них не входят сколько-нибудь сложные понятия, только условия возникновения могут быть более сложными, и тогда векторы поля труднее складывать, вот и все.
Предположим, что свет приходит из бесконечности, попадает на предмет и отбрасывает от него тень. На фиг. 30.7 изображен экран, на который свет отбрасывает тень от предмета АВ, причем источник света удален на расстояние, много большее длины волны. Казалось бы, вне тени интенсивность света максимальна, а внутри должна быть полная темнота. На самом же деле, если откладывать интенсивность как функцию расстояния до края тени, интенсивность будет сначала расти, а затем начнет спадать, колеблясь самым прихотливым образом вблизи края тени (фиг. 30.8). Посмотрим, отчего это происходит. Для объяснения воспользуемся недоказанной нами теоремой, что вместо истинной картины опыта можно ввести эффективные источники, равномерно распределенные вне объекта картины опыта можно ввести эффективные источники, равномерно распределенные вне объекта.
Фиг. 30.7. Далекий источник отбрасывает тень от непрозрачного предмета на экран.
Представим себе эти эффективные источники в виде большого количества близко расположенных антенн и найдем интенсивность в некоторой точке Р. Это очень похоже на то, чем мы занимались до сих пор. Но не вполне, поскольку наш экран теперь находится не на бесконечности. В данном случае нас интересует интенсивность интерферирующих лучей на конечном расстоянии, а не на бесконечности. Интенсивность в некоторой точке дается суммой вкладов от каждой антенны. Сначала возьмем антенну в точке D, прямо напротив Р. Если слегка изменить угол, скажем, подняться на высоту h, лучу потребуется больше времени, чтобы попасть в точку Р (амплитуда тоже изменится, так как расстояние до источника увеличилось, но разница эта очень мала, поскольку расстояние все равно велико, и гораздо менее важна, чем изменение фазы излучения). Далее, разность EP-DP равна h2/2s, т. е. разность фаз пропорциональна квадрату удаления от точки D, тогда как раньше у нас s было бесконечно и разность фаз была линейно связана с /г. Когда фазы зависят от h линейно, каждый вектор повернут относительно предыдущего на постоянный угол. Теперь же мы должны построить кривую, складывая бесконечно малые векторы при условии, что образуемый ими угол с осью абсцисс растет с увеличением длины кривой не линейным, а квадратичным образом. Явный вид кривой находится с помощью довольно сложных математических методов, но мы всегда можем построить эту кривую, просто откладывая векторы под требуемым углом. В конечном счете мы получаем замечательную кривую (называемую спиралью Корню), изображенную на фиг. 30.8. Как ею пользоваться? Р. Пусть требуется определить интенсивность, скажем, в точке
Сложим волны с разными фазами от точки D вверх до бесконечности и вниз от D до точки Вр. Таким образом, нужно отложить ряд стрелок под постоянно растущим углом, начиная с точки Вр на фиг. 30.8.
Фиг. 30.9, Ход интенсивности вблизи края тени. Геометрический край menu находится в точке х0 .
Весь вклад от области над Вр дается спиральной кривой. Если бы суммирование заканчивалось в некоторой точке, то полная амплитуда представилась бы вектором от Вр до этой точки; в нашем случае суммирование ведется до бесконечности, так что искомая амплитуда есть вектор Врx. Точка на кривой, соответствующая точке Вр на предмете, зависит от положения точки Р, потому что точка D кривой (точка перегиба) всегда относится к выбранной точке Р. Следовательно, в зависимости от положения Р над В начальная точка, откуда проводится вектор, попадает в разные места нижней спирали, и результирующий вектор ВрҐ имеет многочисленные максимумы и минимумы (фиг. 30.9).
Но если мы находимся в точке Q, по другую сторону от Р, то нам понадобится только верхний конец спиральной кривой. Другими словами, начальной точкой результирующего вектора будет не D, a BQ, и, следовательно, книзу от Р интенсивность должна непрерывно падать при удалении Q в область тени.
Есть одна величина, которую можно легко вычислить сразу и таким образом убедиться, что мы здесь что-то понимаем,— это интенсивность в точке, лежащей прямо против края. Эта интенсивность равна 1/4 от интенсивности падающего света. Причина: для точки, лежащей против края предмета (когда Вр совпадает с D на фиг. 30.8), получается половина кривой в отличие от целой кривой, которая была бы получена, если бы точки лежали достаточно далеко в освещенной области. Если точка R расположена достаточно высоко, результирующий вектор проводится от центра одной спирали до центра другой, а для точки на краю тени амплитуда равна половине этого вектора; следовательно, отношение интенсивностей получается равным 1/4.
В этой главе мы вычисляли интенсивность в разных направлениях при различном расположении источников. В заключение выведем формулу, которая нам понадобится в следующей главе, посвященной показателю преломления. До сих пор мы обходились только относительными интенсивностями, а на этот раз мы получим формулу для полной величины поля при условиях, о которых будет рассказано ниже.
§ 7. Поле системы осцилляторов, расположенных на плоскости
Предположим, что имеется некоторая плоскость, которую заполняют осцилляторы, причем все они колеблются в плоскости одновременно, с одной амплитудой и фазой. Чему равно поле на конечном, но достаточно большом расстоянии от плоскости? (Мы не можем выбрать точку наблюдения очень близко от плоскости, потому что у нас нет точных формул для поля вблизи источников.) Пусть плоскость зарядов совпадает с плоскостью XY и нас интересует поле в точке Р, лежащей на оси z, достаточно далеко от плоскости (фиг. 30.10). Предположим, что число зарядов на единичной площадке равно n, а величина каждого заряда д. Все заряды совершают одинаковые гармонические колебания в одном и том же направлении, с той же амплитудой и фазой. Смещение заряда из его среднего положения описывается функцией x0coswt. Вводя комплексную амплитуду, действительная часть которой дает реальное движение, будем описывать колебание заряда функцией x0eiwt.
Чтобы найти поле, создаваемое всеми зарядами в точке Р, нужно вычислить сначала поле отдельного заряда q, а затем сложить поля всех зарядов. Как известно, поле излучения пропорционально ускорению заряда, т. е.. — w2x0еiwt (и одинаково для всех зарядов). Электрическое поле в точке Р, создаваемое зарядом в точке Q, пропорционально ускорению заряда q, нужно только помнить, что поле в точке Р в момент времени t определяется ускорением заряда в более ранний момент времени t' =t-r/c, где r/c — время, за которое волна проходит расстояние от Q до Р. Поэтому поле в точке Р пропорционально
(30.10)
Фиг. 30.10. Поле излучения осциллирующих зарядов, заполняющих плоскость.
Подставляя это значение ускорения в формулу для поля, создаваемого зарядом на большом расстоянии, получаем
Однако эта формула не совсем правильна, поскольку нужно брать не все ускорение целиком, а его компоненту, перпендикулярную линии QP. Мы предположим, однако, что точка Р находится от плоскости намного дальше, чем точка Q от оси z (расстояние r на фиг. 30.10), так что для эффектов, которые мы хотим учесть, косинус можно заменить единицей (косинус и так довольно близок к единице).
Полное поле в точке Р получается суммированием вкладов от всех зарядов в плоскости. Разумеется, мы должны взять векторную сумму полей. Но поскольку направление поля примерно одинаково для всех зарядов, в рамках сделанного приближения достаточно сложить величины всех полей. Кроме того, в нашем приближении поле в точке Р зависит только от r, следовательно, все заряды с одинаковым r создают равные поля. Поэтому, прежде всего, сложим поля всех зарядов в кольце шириной dr и радиусом r. Интегрируя затем по всем r, получаем полное поле всех зарядов.
Число зарядов в кольце равно произведению площади кольца, 2nrdr, на h — плотность зарядов на единицу площади. Отсюда
Интеграл берется в пределах r=0 и r=Ґ. Время t, конечно, зафиксировано, так что единственными меняющимися величинами являются r и r. Отвлечемся пока от постоянных множителей, включая и eiwt, и вычислим интеграл
(30.13)
Для этого учтем соотношение между r и r:
(30.14)
При дифференцировании формулы (30.14) z нужно считать независимым от r, тогда
2rdr = 2rdr,
что очень кстати, поскольку при замене в интеграле rdr на rdr знаменатель r сокращается. Интеграл приобретает более простой вид
(30.15)
. Экспонента интегрируется очень просто. Нужно поставить в знаменатель коэффициент при r в показателе экспоненты и взять саму экспоненту в точках, соответствующих пределам. Но пределы по r отличаются от пределов по р. Когда r=0, нижний предел r=z, т. е. пределы по r равны z и бесконечности. Интеграл (30.15) равен
(30.16)
Вместо (r/с)Ґ мы здесь написали Ґ, поскольку и то и другое означает просто сколь угодно большую величину!
А вот е-iҐ— величина загадочная. Ее действительная часть, равная cos (-Ґ), с математической точки зрения величина совершенно неопределенная. [Хотя можно допустить, что она находится где-то [а может быть и всюду (?)—между +1 и -1!]Но в физической ситуации эта величина может означать нечто вполне разумное и обычно оказывается равной нулю. Чтобы убедиться, что это так в нашем случае, вернемся к первоначальному интегралу (30.15)
Выражение (30.15) можно понимать как сумму большого числа маленьких комплексных чисел, модуль которых ar, a угол в комплексной плоскости q=-wr/с. Попробуем оценить эту сумму графически. На фиг. 30.11 отложены первые пять членов суммы. Каждый отрезок кривой имеет длину Dr и расположен под углом Dq =-w(Dr/с) к предыдущему отрезку. Сумма первых пяти слагаемых обозначена стрелкой из начальной точки к концу пятого отрезка. Продолжая прибавлять отрезки, мы опишем многоугольник, вернемся примерно к начальной точке и начнем описывать новый многоугольник. Чем большее число отрезков мы будем прибавлять, тем большее число раз мы обернемся, двигаясь почти по окружности с радиусом с/w. Теперь понятно, почему интеграл дает при вычислении неопределенный ответ!
Здесь мы должны обратиться к физическому смыслу нашего примера. В любой реальной ситуации плоскость зарядов не может быть бесконечной, а должна где-то оборваться. Если плоскость резко обрывается и ее граница имеет точно форму окружности, то наш интеграл будет равен некоторому значению на этой окружности (см. фиг. 30.11). Если же плотность зарядов
Фиг. 30.11. Вычисление интеграла
графическим способом.
постепенно уменьшается по мере удаления от центра (или обращается в нуль вне некоторой границы неправильной формы, так что для достаточно больших r вклад всего кольца шириной dr равен нулю), то коэффициент ню в точном интеграле убывает, стремясь к нулю. Поскольку длина добавляемых отрезков в этом случае уменьшается, а угол Dq остается тем же самым, график кривой, соответствующей интегралу, будет иметь вид спирали. Спираль оканчивается в центре первоначальной окружности, как изображено на фиг. 30.12. Физически правильное значение интеграла дается величиной А, которой на схеме соответствует расстояние от начальной точки до центра окружности, равное как нетрудно убедиться.
(30.17)
Точно такой же результат мы получили бы из (30.16), положив e-iҐ=0.
(Есть еще одна причина, почему вклад в интеграл от больших значений r стремится к нулю,— это опущенный нами множитель, учитывающий проекцию ускорения на плоскость, перпендикулярную линии PQ.)
Нас, конечно, интересует именно случай, имеющий физический смысл, поэтому мы положим е-iҐ равным нулю. Возвращаясь к формуле (30.12) для поля и вводя все опущенные ранее множители, мы получаем
(30.18)
(помня, что l/i =-i).
Интересно отметить, что iwx0eiwt в точности равно скорости зарядов, так что выражения для поля можно переписать в виде
Этот результат немного странен, потому что запаздывание отвечает расстоянию z, которое есть кратчайшее расстояние от Р до плоскости. Но таков ответ, и, к счастью, формула довольно проста. [Добавим кстати, что, хотя формулы (30.18) и (30.19) были получены только для достаточно большого расстояния от плоскости, обе они оказываются правильными для любых z,
даже для z<l.]
*В нашем случае T=D/с=mnl,/с, где с — скорость света. Частота v=c/l, так что dv=cdl/l2.
*Прежде всего потому, что сам критерий Рэлея приближенный. Он только указывает область углов, где трудно разобрать, сколько звезд на изображении — одна или две. А в действительности, если точно измерить распределение интенсивности, можно различить два источника при углах q, даже меньших l/L.
Глава 31
КАК ВОЗНИКАЕТ ПОКАЗАТЕЛЬ ПРЕЛОМЛЕНИЯ
§ 1. Показатель преломления
§ 2. Поле, излучаемое средой
§ 3. Дисперсия
§ 4. Поглощение
§ 5. Энергия световой волны
§ 6. Дифракция света на непрозрачном экране
§ 1. Показатель преломления
Мы уже говорили, что свет в воде движется медленнее, чем в воздухе, а в воздухе чуть медленнее, чем в вакууме. Этот факт учитывается введением показателя преломления п. Попробуем теперь понять, как возникает уменьшение скорости света. В частности, особенно важно проследить связь этого факта с некоторыми физическими предположениями или законами, которые были ранее высказаны и сводятся к следующему:
а) полное электрическое поле при любых физических условиях может быть представлено в виде суммы полей от всех зарядов во Вселенной;
б) поле излучения каждого отдельного заряда определяется его ускорением; ускорение берется с учетом запаздывания, возникающего из-за конечной скорости распространения, всегда равной c. Но вы, наверное, приведете сразу в качестве примера кусок стекла и воскликнете: «Ерунда, это положение здесь не годится. Нужно говорить, что запаздывание отвечает скорости c/n». Однако это неправильно; попробуем разобраться, почему это неправильно. Наблюдателю кажется, что свет или любая другая электрическая волна распространяется сквозь вещество с показателем преломления n со скоростью с/n. И это с некоторой точностью так и есть. Но на самом деле поле создается движением всех зарядов, включая и заряды, движущиеся в среде, а все составные части поля, все его слагаемые распространяются с максимальной скоростью c. Задача наша состоит в том, чтобы понять, как возникает кажущаяся меньшая скорость.
Фиг. 31.1. Прохождение электрических волн сквозь слой прозрачного вещества.
Попробуем понять это явление на очень простом примере. Пусть источник (назовем его «внешним источником») помещен на большом расстоянии от тонкой прозрачной пластинки, скажем стеклянной. Нас интересует поле по другую сторону пластинки и достаточно далеко от нее. Все это схематично представлено на фиг. 31.1; точки S и Р здесь предполагаются удаленными на большое расстояние от плоскости. Согласно сформулированным нами принципам, электрическое поле вдали от пластинки представляется (векторной) суммой полей внешнего источника (в точке S) и полей всех зарядов в стеклянной пластинке, причем каждое поле берется с запаздыванием при скорости с. Напомним, что поле каждого заряда не меняется от присутствия других зарядов. Это наши основные принципы. Таким образом, поле в точке Р
может быть записано в виде
(31.1)
(31.2)
где Es — поле внешнего источника; оно совпадало бы с искомым полем в точке Р, если бы не было пластинки. Мы ожидаем, что в присутствии любых движущихся зарядов поле в точке Р будет отлично от Er
Откуда берутся движущиеся заряды в стекле? Известно, что любой предмет состоит из атомов, содержащих электроны. Электрическое поле внешнего источника действует на эти атомы и раскачивает электроны взад и вперед. Электроны в свою очередь создают поле; их можно рассматривать как новые излучатели. Новые излучатели связаны с источником S, поскольку именно поле источника заставляет их колебаться. Полное поле содержит вклад не только от источника S, но и дополнительные вклады от излучения всех движущихся зарядов. Это значит, что поле в присутствии стекла изменяется, причем таким образом, что внутри стекла его скорость распространения кажется иной. Именно эту идею мы используем при количественном рассмотрении.
Однако точный расчет очень сложен, потому что наше утверждение, что заряды испытывают только действие источника, не совсем правильно. Каждый данный заряд «чувствует» не только источник, но, подобно любому объекту во Вселенной, он чувствует и все остальные движущиеся заряды, в частности и заряды, колеблющиеся в стекле. Поэтому полное поле, действующее на данный заряд, представляет собой совокупность полей от всех остальных зарядов, движение которых в свою очередь зависит от движения данного заряда! Вы видите, что вывод точной формулы требует решения сложной системы уравнений. Эта система очень сложна, и вы будете изучать ее значительно позднее.
А сейчас обратимся к совсем простому примеру, чтобы отчетливо понять проявление всех физических принципов. Предположим, что действие всех остальных атомов на данный атом мало по сравнению с действием источника. Иными словами, мы изучаем такую среду, в которой полное поле мало меняется из-за движения находящихся в ней зарядов. Такая ситуация характерна для материалов с показателем преломления, очень близким к единице, например для разреженных сред. Наши формулы будут справедливы для всех материалов с показателем преломления, близким к единице. Таким путем мы сможем избежать трудностей, связанных с решением полной системы уравнений.
Вы могли по ходу дела заметить, что движение зарядов в пластинке вызывает еще один эффект. Это движение создает волну, распространяющуюся назад в направлении источника S. Такая обратно движущаяся волна есть не что иное, как луч света, отраженный прозрачным материалом. Приходит он не только с поверхности. Отраженное излучение генерируется во всех точках внутри материала, но суммарный эффект эквивалентен отражению с поверхности. Учет отражения лежит за границами применимости настоящего приближения, в котором показатель преломления считается настолько близким к единице, что отраженным излучением можно пренебречь.
· · ·
Прежде чем перейти к изучению показателя преломления, следует подчеркнуть, что в основе явления преломления лежит тот факт, что кажущаяся скорость распространения волны различна в разных материалах. Отклонение луча света есть следствие изменения эффективной скорости в разных материалах.
Фиг. 31.2. Связь между преломлением и изменением скорости.
Чтобы пояснить этот факт, мы отметили на фиг. 31.2 ряд последовательных максимумов в амплитуде волны, падающей из вакуума на стекло. Стрелка, перпендикулярная указанным максимумам, отмечает направление распространения волны. Всюду в волне колебания происходят с одной и той же частотой. (Мы видели, что вынужденные колебания имеют ту же частоту, что и колебания источника.) Отсюда следует, что расстояния между максимумами волн по обе стороны поверхности совпадают вдоль самой поверхности, поскольку волны здесь должны быть согласованы и заряд на поверхности колеблется с одной частотой. Наименьшее расстояние между гребнями волн есть длина волны, равная скорости, деленной на частоту. В вакууме длина волны равна l0=2pс/w, а в стекле l=2pv/w или 2pс/wn, где v=c/n— скорость волны. Как видно из фиг. 31.2, единственный способ «сшить» волны на границе состоит в изменении направления движения волны в материале. Простое геометрическое рассуждение показывает, что условие «сшивания» сводится к равенству l0/sin q0=l/sinq, или sinq0/sinq=n, а это и есть закон Снелла. Пусть сейчас вас больше не волнует само отклонение света; нужно только выяснить, почему же в самом деле, эффективная скорость света в материале с показателем преломления n равна с/n?
· · ·
Вернемся снова к фиг. 31.1. Из сказанного ясно, что нужно вычислить поле в точке Р от осциллирующих зарядов стеклянной пластинки. Обозначим эту часть поля, которая представляется вторым членом в равенстве (31.2), через Еа. Добавляя к ней поле источника Es, получаем полное поле в точке Р.
Стоящая перед нами здесь задача, пожалуй, самая сложная из тех, которыми мы будем заниматься в этом году, но сложность ее заключается только в большом количестве складываемых членов; каждый член сам по себе очень прост. В отличие от других случаев, когда мы обычно говорили: «Забудь вывод и смотри только на результат!», теперь для нас вывод гораздо важнее результата. Другими словами, нужно понять всю физическую «кухню», с помощью которой вычисляется показатель преломления.
Чтобы понять, с чем мы имеем дело, найдем, каким должно быть «поправочное поле» Еа, чтобы полное поле в точке Р выглядело как поле источника, замедлившееся при прохождении через стеклянную пластинку. Если бы пластинка никак не влияла на поле, волна распространялась бы направо (по оси
2) по закону
(31.3)
или, используя экспоненциальную запись,
(31.4)
А что произошло бы, если бы волна проходила через пластинку с меньшей скоростью? Пусть толщина пластинки есть Dz. Если бы пластинки не было, то волна прошла бы расстояние Dz за время Dz/c. А поскольку кажущаяся скорость распространения есть c/n, то потребуется время nDz/c, т. е. больше на некоторое добавочное время, равное Dt=(n-l) Dz/c. За пластинкой волна снова движется со скоростью с. Учтем добавочное время на прохождение через пластинку, заменив t в уравнении (31.4) на (t-Dt), т. е. [t-(n-1)Dz/c]. Таким образом, если поставить пластинку, то формула для волны должна приобрести
(31.5)
Эту формулу можно переписать еще и по-другому:
(31.6)
откуда заключаем, что поле за пластинкой получается умножением поля, которое было бы при отсутствии пластинки (т. е. Es), на ехр[-iw(n-1)Dz/c]. Как мы знаем, умножение осциллирующей функции типа eiwt на еiq означает изменение фазы колебаний на угол q, возникающее из-за задержки при прохождении пластинки. Фаза запаздывает на величину w(n-1)Dz/c (именно запаздывает, поскольку в экспоненте стоит знак минус).
Мы говорили раньше, что пластинка добавляет поле Еа к первоначальному полю ES=E0ехр[iw(t-z/c)], а вместо этого нашли, что действие пластинки сводится к умножению поля на фактор, сдвигающий фазу колебаний. Однако здесь нет противоречия, поскольку тот же результат можно получить, прибавив подходящее комплексное число. Это число особенно просто найти для малых Dz, так как ех при малых x с большой точностью равно (1+x).
Фиг. 31.3. Построение вектора поля прошедшей через материал волны при некоторых значениях t и z.
Тогда можно записать
(31.7)
Подставляя это равенство в (31 6), получаем
(31.8)
Первый член в этом выражении есть просто поле источника, а второй следует приравнять Еа — полю, создаваемому осциллирующими зарядами пластинки справа от нее. Поле Еа выражено здесь через показатель преломления n; оно, разумеется, зависит от напряженности поля источника.
· · ·
Смысл сделанных преобразований легче всего понять с помощью диаграммы комплексных чисел (см. фиг. 31.3). Отложим сперва Es (z и t выбраны на рисунке такими, что Es лежит на действительной оси, но это не обязательно). Задержка при прохождении пластинки приводит к запаздыванию фазы Es, т. е. поворачивает Es на отрицательный угол. Это все равно, что добавить малый вектор Еа, направленный почти под прямым углом к Es. Именно такой смысл имеет множитель (-i) во втором члене (31.8). Он означает, что при действительном Es величина Еа отрицательная и мнимая, а в общем случае Es и Ёа образуют прямой угол.
§ 2. Поле, излучаемое средой
Мы должны теперь выяснить, имеет ли поле осциллирующих зарядов в пластинке тот же вид, что и поле Еа во втором члене (31.8). Если это так, то тем самым мы найдем и показатель преломления n [поскольку n — единственный фактор в (31.8), не выражающийся через фундаментальные величины]. Вернемся теперь к вычислению поля Еа , создаваемого зарядами пластинки. (Для удобства мы выписали в табл. 31.1 обозначения, которыми мы уже пользовались, и те, которые нам понадобятся в дальнейшем.)
Таблица 31.1 ● обозначения которыми мы пользуемся
ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ _______
Es поле, создаваемое источником
Еа поле, создаваемое зарядами пластинки
Dz толщина пластинки
z расстояние по нормали к пластинке
n показатель преломления
w частота (угловая) излучения
N число зарядов в единице объема пластинки
h число зарядов на единицу площади пластинки
qе заряд электрона
m масса электрона
w0 резонансная частота электрона, связанного в атоме
Если источник S (на фиг. 31.1) находится слева на достаточно большом расстоянии, то поле Es имеет одинаковую фазу по всей длине пластинки, и вблизи пластинки его можно записать в виде
(31.9)
На самой пластинке в точке z=0 мы имеем
(31.10)
Это электрическое поле воздействует на каждый электрон в атоме, и они под действием электрической силы qE будут колебаться вверх и вниз (если e0 направлено вертикально). Чтобы найти характер движения электронов, представим атомы в виде маленьких осцилляторов, т. е. пусть электроны упруго соединены с атомом; это значит, что смещение электронов из нормального положения под действием силы пропорционально величине силы.
Если вы слышали о модели атома, в которой электроны вращаются по орбите вокруг ядра, то эта модель атома вам покажется просто смешной. Но это лишь упрощенная модель. Точная теория атома, основанная на квантовой механике, утверждает, что в процессах с участием света электроны ведут себя так, как будто они закреплены на пружинах. Итак, предположим, «что на электроны действует линейная возвращающая сила, и поэтому они ведут себя как осцилляторы с массой m и резонансной частотой w0. Мы уже занимались изучением таких осцилляторов и знаем уравнение движения, которому они подчиняются:
(31.11)
(здесь F — внешняя сила).
В нашем случае внешняя сила создается электрическим полем волны источника, поэтому можно написать
(31.12)
где qe — заряд электрона, а в качестве ES мы взяли значение ЕS = Е0еiwt из уравнения (31.10). Уравнение движения электрона приобретает вид
(31.13)
Решение этого уравнения, найденное нами раньше, выглядит следующим образом:
(31.15)
откуда
(31.16)
Мы нашли то, что хотели,— движение электронов в пластинке. Оно одинаково для всех электронов, и только среднее положение («нуль» движения) у каждого электрона свое.
Теперь мы в состоянии определить поле Еа , создаваемое атомами в точке Р, поскольку поле заряженной плоскости было найдено еще раньше (в конце гл. 30). Обращаясь к уравнению (30.19), мы видим, что поле Еа в точке Р есть скорость заряда, запаздывающая по времени на величину z/c, умноженная на отрицательную константу. Дифференцируя х из (31.16), получаем скорость и, введя запаздывание [или же просто подставляя х0 из (31.15) в (30.18)], приходим к формуле
(31.17)
Как и следовало ожидать, вынужденное колебание электронов привело к новой волне, распространяющейся вправо (на это указывает множитель ехр[iw(t-z/c)]); амплитуда волны пропорциональна числу атомов на единице площади пластинки (множитель h), а также амплитуде поля источника (Е0). Кроме того, возникают и другие величины, зависящие от свойств атомов (qe , m , w0).
Самый важный момент, однако, заключается в том, что формула (31.17) для Еa очень похожа на выражение Еа в (31.8), полученное нами с помощью введения запаздывания в среде с показателем преломления n. Оба выражения совпадают, если положить
(31.18)
Заметьте, что обе стороны этого равенства пропорциональны Dz, поскольку h — число атомов на единицу площади — равно NDz, где N — число атомов на единицу объема пластинки. Подставляя NDz вместо hи сокращая на Dz, получаем наш основной результат — формулу для показателя преломления, выраженную через константы, зависящие от свойств атомов, и частоту света:
(31.19)
Эта формула «объясняет» показатель преломления, к чему мы и стремились.
§ 3. Дисперсия
Полученный нами результат очень интересен. Он дает не только показатель преломления, выраженный через атомные постоянные, но указывает, как меняется показатель преломления с частотой света w. С помощью простого утверждения «свет движется с меньшей скоростью в прозрачной среде» мы никогда бы не смогли прийти к этому важному свойству. Нужно, конечно, еще знать число атомов в единице объема и собственную частоту атомов w0. Мы еще не умеем определять эти величины, поскольку они разные для разных материалов, а общую теорию по данному вопросу мы сейчас изложить не можем. Общая теория свойств различных веществ — их собственных частот и
т. п.— формулируется на основе квантовой механики. Кроме того, свойства различных материалов и величина показателя преломления сильно меняются от материала к материалу, и поэтому вряд ли можно надеяться, что вообще удастся получить общую формулу, пригодную для всех веществ.
Тем не менее попробуем применить нашу формулу к разным средам. Прежде всего, для большинства газов (например, для воздуха, большей части бесцветных газов, водорода, гелия и т. д.) собственные частоты колебаний электронов соответствуют ультрафиолетовому свету. Эти частоты много больше частот видимого света, т. е. w0 много больше w, и в первом приближении можно пренебречь w2 по сравнению с w02. Тогда показатель преломления получается почти постоянным. Итак, для газов показатель преломления можно считать константой. Этот вывод справедлив также и для большинства других прозрачных сред, например для стекла. Взглянув более внимательно на наше выражение, можно заметить, что при увеличении со знаменатель уменьшается, а, следовательно, показатель преломления растет. Таким образом, n медленно увеличивается с ростом частоты. Для синего света показатель преломления больше, чем для красного. Именно поэтому синие лучи сильнее отклоняются призмой, чем красные.
Сам факт зависимости показателя преломления от частоты называется дисперсией, так как именно из-за дисперсии свет «диспергирует», раскладывается призмой в спектр. Формула, выражающая показатель преломления как функцию частоты, называется формулой дисперсии. Итак, мы нашли дисперсионную формулу. (За последние несколько лет «дисперсионные формулы» стали использоваться в теории элементарных частиц.)
Наша дисперсионная формула предсказывает ряд новых интересных эффектов. Если частота w0 лежит в области видимого света или если измерять показатель преломления вещества, например стекла, для ультрафиолетовых лучей (где w близко к w0), то знаменатель стремится к нулю, а показатель преломления становится очень большим. Пусть, далее, w больше w0. Такой случай возникает, например, если облучать вещества типа стекла рентгеновскими лучами. Кроме того, многие вещества, непрозрачные для обычного света (скажем, уголь), прозрачны для рентгеновских лучей, поэтому можно говорить о показателе преломления этих веществ для рентгеновских лучей. Собственные частоты атомов углерода гораздо меньше частоты рентгеновских лучей. Показатель преломления в этом случае дается нашей дисперсионной формулой, если положить w0=0 (т. е. мы пренебрегаем w02 по сравнению с w2).
Аналогичный результат получается при облучении газа свободных электронов радиоволнами (или светом). В верхних слоях атмосферы ультрафиолетовое излучение Солнца выбивает электроны из атомов, в результате чего образуется газ свободных электронов. Для свободных электронов w0=0 (упругой возвращающей силы нет). Полагая в нашей дисперсионной формуле w0=0, получаем разумную формулу для показателя преломления радиоволн в стратосфере, где N теперь означает плотность свободных электронов (число на единицу объема) в стратосфере. Но, как видно из формулы, при облучении вещества рентгеновскими лучами или электронного газа радиоволнами член (ш02-ш2) становится отрицательным, откуда следует, что n меньше единицы. Это значит, что эффективная скорость электромагнитных волн в веществе больше c! Может ли так быть?
Может. Хотя мы и говорили, что сигналы не могут распространяться быстрее скорости света, тем не менее показатель преломления при некоторой частоте может быть как больше, так и меньше единицы. Это просто означает, что сдвиг фазы за счет рассеяния света либо положителен, либо отрицателен. Кроме того, можно показать, что скорость сигнала определяется показателем преломления не при одном значении частоты, а при многих частотах. Показатель преломления указывает на скорость движения гребня волны. Но гребень волны не составляет еще сигнала. Чистая волна без всяких модуляций, т. е. состоящая из бесконечно повторяющихся правильных осцилляции, не имеет «начала», и ее нельзя использовать для посылки сигналов времени. Чтобы послать сигнал, волну нужно видоизменить, сделать на ней отметку, т. е. сделать ее кое-где потолще или потоньше. Тогда волна будет содержать не одну частоту, а целый ряд частот, и можно показать, что скорость распространения сигнала зависит не от одного значения показателя преломления, а от характера изменения показателя с частотой. Мы пока отложим этот вопрос. В гл. 48 (вып. 4) мы вычислим скорость распространения сигналов в стекле и убедимся, что она не превышает скорости света, хотя гребни волны (понятия чисто математические) движутся быстрее скорости света.
Несколько слов по поводу механизма этого явления. Главная трудность здесь связана с тем фактом, что вынужденное движение зарядов противоположно по знаку направлению поля. Действительно, в выражении (31.16) для смещения заряда х множитель (w0-w2) отрицателен для малых w0 и смещение имеет обратный знак по отношению к внешнему полю. Получается, что, когда поле действует с некоторой силой в одном направлении, заряд движется в противоположном направлении.
Как случилось, что заряд стал двигаться в сторону, противоположную силе? В самом деле, при включении поля заряд движется не противоположно силе. Сразу после включения поля возникает переходный режим, затем колебания устанавливаются и только после этого колебания заряды направлены противоположно внешнему полю. Одновременно результирующее поле начинает опережать по фазе поле источника. Когда мы говорим, что «фазовая скорость», или скорость гребней волны, больше с, то мы имеем в виду именно опережение по фазе.
На фиг. 31.4 показан примерный вид волн, возникающих при резком включении волны источника (т. е. при посылке сигнала).
Фиг. 31.4. Волновые «сигналы».
Фиг. 31.5. Показатель преломления как функция частоты.
Из рисунка видно, что для волны, проходящей в среде с опережением по фазе, сигнал (т. е. начало волны) не опережает по времени сигнал источника.
Обратимся теперь снова к дисперсионной формуле. Следует помнить, что полученный нами результат несколько упрощает истинную картину явления. Чтобы быть точными, в формулу необходимо внести некоторые поправки. Прежде всего, в нашу модель атомного осциллятора следует ввести затухание (иначе осциллятор, раз начав, будет колебаться до бесконечности, что неправдоподобно). Движение затухающего осциллятора мы уже изучали в одной из прошлых глав [см. уравнение (23.8)]. Учет затухания приводит к тому, что в формулах (31.16), а поэтому и
в (31.19), вместо (w02-w2) появляется (w02-w2+igw)' где g — коэффициент затухания.
Вторая поправка к нашей формуле возникает потому, что каждый атом обычно имеет несколько резонансных частот. Тогда вместо одного вида осцилляторов, нужно учесть действие нескольких осцилляторов с разными резонансными частотами, колебания которых происходят независимо друг от друга, и сложить вклады от всех осцилляторов.
Пусть в единице объема содержится Nk электронов с собственной частотой (wk и коэффициентом затухания gk. Наша дисперсионная формула примет в результате вид
(31.20)
Это окончательное выражение для показателя преломления справедливо для большого числа веществ. Примерный ход показателя преломления с частотой, даваемый формулой (31.20), приведен на фиг. 31.5.
Вы видите, что всюду, за исключением области, где w очень близко к одной из резонансных частот, наклон кривой положителен. Такая зависимость носит название «нормальной» дисперсии (потому что этот случай встречается наиболее часто). Вблизи резонансных частот кривая имеет отрицательный наклон, и в этом случае говорят об «аномальной» дисперсии (имея в виду «ненормальную» дисперсию), потому что она была наблюдена задолго до того, как узнали об электронах, и казалась в то время необычной, С нашей точки зрения, оба наклона вполне «нормальны»!
§ 4 Поглощение
Вы уже, наверное, заметили нечто странное в последней форме (31.20) нашей дисперсионной формулы. Из-за члена ig, учитывающего затухание, показатель преломления стал комплексной величиной! Что это означает? Выразим n через действительную и мнимую части:
(31.21)
причем n' и n" вещественны. (Перед in" стоит знак минус, а само n", как легко убедиться, положительно.)
Смысл комплексного показателя преломления легче всего понять, вернувшись к уравнению (31.6) для волны, проходящей сквозь пластинку с показателем преломления n. Подставив сюда комплексное n и произведя перегруппировку членов, получаем
Множители, обозначенные буквой В, имеют прежний вид и, как и раньше, описывают волну, фаза которой после прохождения пластинки запаздывает на угол w (n'-1)Dz/c. Множитель А (экспонента с действительным показателем) представляет нечто новое. Показатель экспоненты отрицателен, следовательно, А вещественно и меньше единицы. Множитель А уменьшает амплитуду поля; с ростом Dz величина А, а следовательно, и вся амплитуда падает. При прохождении через среду электромагнитная волна затухает. Среда «поглощает» часть волны. Волна выходит из среды, потеряв часть своей энергии. Этому не следует удивляться, потому что введенное нами затухание осцилляторов обусловлено силой трения и непременно приводит к потере энергии. Мы видим, что мнимая часть комплексного показателя преломления n" описывает поглощение (или «ослабление») электромагнитной волны. Иногда n" называют еще «коэффициентом поглощения».
Заметим также, что появление мнимой части n отклоняет стрелку, изображающую Еа на фиг. 31.3, к началу координат.
Отсюда ясно, почему поле ослабевает при прохождении через среду.
Обычно (как, например, у стекла) поглощение света очень мало. Именно так и получается по нашей формуле (31.20), потому что мнимая часть знаменателя igkw много меньше действительной части (w2k-w2). Однако когда частота w близка к wk, резонансный член (w2k-w2) оказывается мал по сравнению с igkw и показатель преломления становится почти чисто мнимым. Поглощение в этом случае определяет основной эффект. Именно поглощение дает в солнечном спектре темные линии. Свет, излучаемый поверхностью Солнца, проходит сквозь солнечную атмосферу (а также через атмосферу Земли), и частоты, равные резонансным частотам атомов в атмосфере Солнца, сильно поглощаются.
Наблюдение подобных спектральных линий солнечного света позволяет установить резонансные частоты атомов, а следовательно, и химический состав солнечной атмосферы. Точно так же по спектру звезд узнают состав звездного вещества. С помощью этих методов обнаружили, что химические элементы на Солнце и звездах не отличаются от земных.
§ 5. Энергия световой волны
Как мы видели, мнимая часть показателя преломления характеризует поглощение. Попробуем теперь вычислить энергию, переносимую световой волной. Мы высказали соображения в пользу того, что энергия световой волны пропорциональна Е2, среднему по времени от квадрата электрического поля волны. Ослабление электрического поля за счет поглощения волны должно приводить к потере энергии, переходящей в какое-то трение электронов и в конечном счете, как нетрудно догадаться, в тепло.
Взяв часть световой волны, падающую на единичную площадку, например на квадратный сантиметр поверхности нашей пластинки на фиг. 31.1, можно записать энергетический баланс в следующей форме (мы предполагаем, что энергия сохраняется!):
Падающая энергия в 1 сек = Выходящая энергия в 1 сек+Работа, совершаемая в 1 сек. (31.23)
Вместо первого члена можно написать аЕ2s, где а — коэффициент пропорциональности, связывающий среднее значение Е2 с энергией, переносимой волной. Во втором члене необходимо включить поле излучения атомов среды, т. е. мы должны записать
а (Еs+Ea)2 или (раскладывая квадрат суммы) a (E2s+2EsEa +-Е2а).
Все наши вычисления проводились в предположении, что
толщина слоя материала мала и показатель преломления его
незначительно отличается от единицы, тогда Еа оказывается много меньше Es (это было сделано с единственной целью — упростить вычисления). В рамках нашего приближения член
Е2а следует опустить, пренебрегая им по сравнению с EsEa . Вы можете на это возразить: «Тогда нужно отбросить и EsEa, потому что этот член много меньше El». Действительно, EsEa
много меньше Е2s, но если мы выбросим этот член, то получим приближение, в котором эффекты среды не учитываются совсем! Правильность наших вычислений в рамках сделанного приближения проверяется тем, что мы всюду оставляли члены, пропорциональные —NDz (плотности атомов в среде), но выбрасывали члены порядка (NDz)2 и более высоких степеней по NDz. Наше приближение можно было бы назвать «приближением малой плотности».
Заметим, кстати, что наше уравнение баланса энергии не содержит энергии отраженной волны. Но так и должно быть, потому что амплитуда отраженной волны пропорциональна NDz, а энергия пропорциональна (NDz)2.
Чтобы найти последний член в (31.23), нужно вычислить работу, совершаемую падающей волной над электронами за 1 сек. Работа, как известно, равна силе, умноженной на расстояние; отсюда работа в единицу времени (называемая также мощностью) дается произведением силы на скорость. Точнее, она равна F·v, но в нашем случае сила и скорость имеют одинаковое направление, поэтому произведение векторов сводится к обычному (с точностью до знака). Итак, работа, совершаемая в 1 сек над каждым атомом, равна qeEsv. Поскольку на единичную площадку приходится NDz атомов, последний член в уравнении (31.23) оказывается равным NDzqeEsv. Уравнение баланса энергии принимает вид
(31.24)
Члены aE2S сокращаются, и мы получаем
(31.25)
Возвращаясь к уравнению (30.19), находим Еа для больших z:
(31.26)
(напомним, что h=NDz). Подставляя (31.26) в левую часть равенства (31.25), получаем
Ho Es (в точке z) равно Es (в точке атома) с запаздыванием на z/c. Поскольку среднее значение не зависит от времени, оно не изменится, если временной аргумент запаздывает на z/c, т. е. оно равно Es (в точке атома)·v, но точно такое же среднее значение стоит и в правой части (31.25). Обе части (31.25) будут равны, если выполняется соотношение
(31.27)
Таким образом, если справедлив закон сохранения энергии, то количество энергии электрической волны, приходящееся на единичную площадку в единицу времени (то, что мы называем интенсивностью), должно быть равно e0сЕ2. Обозначив интенсивность через S, получим
(31.28)
где черта означает среднее по времени. Из нашей теории показателя преломления получился замечательный результат!
§ 6. Дифракция света на непрозрачном экране
Теперь наступил удобный момент, чтобы применить методы настоящей главы к решению задачи другого рода. В гл. 30 мы говорили, что распределение интенсивности света — дифракционную картину, возникающую при прохождении света через отверстия в непрозрачном экране,— можно найти, равномерно распределив источники (осцилляторы) по площади отверстий. Другими словами, дифрагированная волна выглядит так, как будто источником служит дырка в экране. Мы должны выяснить причину этого явления, ведь на самом деле именно в дырке нет источников, нет никаких зарядов, движущихся с ускорением.
Ответим сначала на вопрос: что такое непрозрачный экран? Пусть между источником S и наблюдателем Р находится совершенно непрозрачный экран, как показано на фиг. 31.6, а. Раз экран «непрозрачный», поле в точке Р отсутствует. Почему? Согласно общим принципам, поле в точке Р равно полю Es , взятому с некоторым запаздыванием, плюс поле всех остальных зарядов. Но, как было показано, поле Es приводит заряды экрана в движение, а они в свою очередь создают новое поле, и, если экран непрозрачный, это поле зарядов должно в точности погасить поле Es с задней стенки экрана. Тут вы можете возразить: «Каким чудом они в точности погасятся! А что, если погашение неполное?» Если бы поля гасились не полностью (напомним, что экран имеет некоторую толщину), поле в экране вблизи от задней стенки было бы отлично от нуля.
Фиг. 31.6. Дифракция на непрозрачном экране.
Но тогда оно приводило бы в движение другие электроны экрана, создавая тем самым новое поле, стремящееся скомпенсировать первоначальное поле. Если экран толстый, в нем имеется достаточно много возможностей, чтобы свести остаточное поле к нулю. Пользуясь нашей терминологией, можно сказать, что непрозрачный экран обладает большим и чисто мнимым показателем преломления и поэтому волна в нем экспоненциально затухает. Вам, наверное, известно, что тонкие слои большинства непрозрачных материалов, даже золота, прозрачны.
Посмотрим теперь, какая возникнет картина, если взять такой непрозрачный экран с отверстием, какой изображен на фиг. 31.6, б. Каким будет поле в точке P? Поле в точке Р слагается из двух частей — поля источника S и поля экрана, т. е. поля от движения зарядов в экране. Движение зарядов в экране, по-видимому, очень сложное, но создаваемое ими поле находится довольно просто.
Возьмем тот же самый экран, но закроем отверстия крышками, как показано на фиг. 31.6, в. Пусть крышки сделаны из того же материала, что и экран. Заметьте, что крышки поставлены в тех местах, где на фиг. 31.6, б показаны отверстия. Давайте вычислим теперь поле в точке Р. Поле в точке Р в случае, показанном на фиг. 31.6, в, разумеется, равно нулю, но, с другой стороны, оно также равно полю источника плюс поле электронов экрана и крышек. Мы можем написать следующее равенство:
Штрихи относятся к случаю, когда отверстия закрыты крышками; значение Es в обоих случаях, конечно, одно и то же. Вычитая одно равенство из другого, получаем
Если отверстия не слишком малы (например, шириной во много длин волн), то присутствие крышек не должно повлиять на поле у экрана, исключая, быть может, узкую область вблизи краев отверстий. Пренебрегая этим малым эффектом, можно написать
Eстенки=E'стенки и, следовательно,
Мы приходим к выводу, что поле в точке Р при открытых отверстиях (случай б) равно (с точностью до знака) полю, создаваемому той частью сплошного экрана, которая находится на месте отверстий! (Знак нас не интересует, поскольку обычно имеют дело с интенсивностью, пропорциональной квадрату поля.) Этот результат не только справедлив (в приближении не очень малых отверстий), но и важен; кроме всего прочего, он подтверждает справедливость обычной теории дифракции:
Поле E'крышки вычисляется при условии, что движение зарядов всюду в экране создает именно такое поле, которое гасит поле Es на задней поверхности экрана. Определив движение зарядов, мы складываем поля излучения зарядов в крышках и находим поле в точке Р.
Напомним еще раз, что наша теория дифракции приближенная и справедлива в случае не слишком малых отверстий. Если размер отверстий мал, член E'крышки также мал и разность E'стенки-Eстенки (которую мы считали равной нулю) может быть сравнима и даже много больше ё'крышки. Поэтому наше приближение оказывается негодным.
* Такая же формула получается и с помощью квантовой механики, однако интерпретация ее в этом случае иная. В квантовой механике даже одноэлектронный атом, например водород, имеет несколько резонансных частот. Поэтому вместо числа электронов Nk с частотой wk появляется множитель Nfk где N — число атомов в единице объема, а число fk (называемое силой осциллятора) указывает, с каким весом входит данная резонансная частота wk.
Глава 32
РАДИАЦИОННОЕ ЗАТУХАНИЕ. РАССЕЯНИЕ СВЕТА
§ 1. Радиационное сопротивление
§ 2. Интенсивность излучения
§ 3. Радиационное затухание
§ 4, Независимые источники
§ 5. Рассеяние света
§ 1. Радиационное сопротивление
В предыдущей главе мы показали, что система осциллирующих зарядов излучает энергию, и нашли формулу для энергии излучения. Количество энергии, проходящее в 1 сек через квадратный метр поверхности площадки, перпендикулярной направлению излучения, определяется средней величиной квадрата электрического поля системы, умноженной на e0c:
Р = e0с<E2>. (32.1)
Каждый заряд, колеблясь, излучает энергию; излучает, например, и антенна, в которой внешний источник вызывает движение зарядов. При излучении энергия уходит в пространство, и в силу закона сохранения энергии по проводам, присоединенным к антенне, должна подаваться некоторая мощность. Это означает, что антенна, присоединенная к цепи источника тока, играет роль сопротивления, т. е. такого элемента цепи, где происходит «потеря» энергии (на самом деле энергия не теряется, а излучается, но по отношению к данному контуру энергия уходит безвозвратно). В обычном сопротивлении «теряемая» энергия переходит в тепло; в данном случае энергия уходит в пространство. С точки зрения теории электрических цепей неважно, куда уходит энергия, результат один и тот же — происходит «утечка» энергии из цепи. Поэтому, если антенна сделана даже из чистейшей меди, все равно для генератора она представляет собой сопротивление. Желательно, чтобы антенны излучали максимально возможное количество энергии, поэтому стараются уменьшить их емкость и индуктивность; самые лучшие антенны имеют очень малую емкость и индуктивность. Сопротивление, которое имеют антенны в цепи, называют радиационным сопротивлением.
Пусть через антенну проходит ток I, тогда средняя мощность, теряемая в антенне, равна квадрату тока, умноженному на сопротивление. Излучаемая антенной мощность также пропорциональна квадрату тока, потому что напряженность поля пропорциональна току, а излучаемая энергия пропорциональна квадрату поля. Коэффициент пропорциональности, связывающий излучаемую мощность и <I2>, и есть радиационное сопротивление.
Интересно узнать, из-за чего возникает радиационное сопротивление. Возьмем простой пример: пусть ток по антенне течет попеременно вверх и вниз. Если сообщить заряженному телу ускоренное движение вверх и вниз, то оно начнет излучать (незаряженное тело при этом энергию не излучает). Раз антенна излучает энергию, мы должны совершать над ней работу. Но одно дело показать с помощью закона сохранения энергии, что энергия теряется, и совсем другое — ответить на вопрос: против какой силы мы совершаем работу? Это очень интересный и трудный вопрос, на который применительно к электронам так и не удалось дать полного и удовлетворительного ответа. Однако в случае антенн ответ был найден. Вот что происходит в антеннах: поля, создаваемые движущимися электронами в одной части антенны, воздействуют на электроны в другой части. Можно вычислить действующие силы и найти производимую ими работу, а отсюда получить формулу для радиационного сопротивления. Было бы неправильно утверждать: «Мы можем вычислить», потому что мы еще не изучили законы электричества на малых расстояниях и знаем, каково электрическое поле только на больших расстояниях. Хотя мы привели формулу (28.3), мы еще не можем ею воспользоваться для вычисления поля внутри волновой зоны, потому что эта формула для нас слитком сложна. Правда, с помощью закона сохранения энергии мы можем получить результат и не зная вида поля на малых расстояниях. (Обращая ход рассуждений, можно найти взаимодействие на малых расстояниях, если известен вид поля на больших расстояниях и если затем воспользоваться законом сохранения энергии; мы, однако, не будем сейчас заниматься этим вопросом.)
Пусть теперь имеется один-единственный электрон; к чему приложена возникающая в нем сила сопротивления? Старая классическая теория представляла электрон в виде маленького шарика, различные части которого взаимодействуют друг с другом. В результате запаздывания при распространении взаимодействия внутри этого шарика сила оказывается несколько смещенной по фазе относительно скорости движения. Мы знаем, что, когда электрон покоится, «действие равно противодействию». Поэтому внутренние силы уравновешиваются и результирующая сила равна нулю. Но в ускоренном электроне сила, действующая на переднюю половинку со стороны задней, из-за запаздывания не равна силе, действующей в обратном направлении. Запаздывание взаимодействия во времени нарушает баланс сил, и в результате вся система как бы «наступает сама себе на шнурки». Такое объяснение возникновения радиационного сопротивления у движущегося электрона встретилось со многими трудностями и, прежде всего потому, что по современным представлениям электрон вовсе не «маленький шарик»; проблема так и осталась нерешенной по сей день. Тем не менее, даже не зная механизма действия сил, мы можем точно вычислить силу сопротивления излучения, т. е. затраты энергии на ускорение заряда.
§ 2. Интенсивность излучения
Вычислим теперь полную энергию, излучаемую зарядом при ускорении. Для общности возьмем случай произвольного ускорения, считая, однако, движение нерелятивистским. Когда ускорение направлено, скажем, по вертикали, электрическое поле излучения равно произведению заряда на проекцию запаздывающего ускорения, деленному на расстояние. Таким образом, нам известно электрическое поле в любой точке, а отсюда мы знаем энергию e0cE2, проходящую через единичную площадку за 1 сек.
Величина e0c часто встречается в формулах распространения радиоволн. Обратную ей величину можно назвать импедансом вакуума (или сопротивлением вакуума); она равна 1/e0с =377 ом. Отсюда мощность (в ваттах на квадратный метр) есть средний квадрат поля, деленный на 377.
С помощью формулы (29.1) для электрического поля мы получаем
(32.2)
где S — мощность на 1 м2, излучаемая под углом q. Как уже отмечалось, S обратно пропорционально расстоянию. Интегрируя, получаем отсюда полную мощность, излучаемую во всех направлениях. Для этого сначала умножим S на площадь полоски сферы, тогда мы получим поток энергии в интервале угла dq (фиг. 32.1). Площадь полоски вычисляется следующим образом: если радиус равен r, то толщина полоски равна rdq, а длина 2prsinq, поскольку радиус кольцевой полоски есть rsinq. Таким образом, площадь полоски равна
(32.3)
Фиг. 32.1. Площадь кольца на сфере, равная 2nrsinQrdQ.
Умножая поток [мощность на 1 м2, согласно формуле (32.2)] на площадь полоски, найдем энергию, излучаемую в интервале углов q и q+dq; далее нужно проинтегрировать по всем углам q от 0 до 180°:
(32.4)
Необходимо сделать несколько замечаний по поводу этого выражения. Прежде всего, поскольку а' есть вектор, то а'2 в формуле (32.5) означает а'·а', т. е. квадрат длины вектора. Во-вторых, в формулу (32.2) для потока входит ускорение, взятое с учетом запаздывания, т. е. ускорение в тот момент времени, когда была излучена энергия, проходящая сейчас через поверхность сферы. Может возникнуть мысль, что энергия действительно была излучена точно в указанный момент времени. Но это не совсем правильно. Момент излучения нельзя определить точно. Можно вычислить результат только такого движения, например колебания и т. п., где ускорение в конце концов исчезает. Следовательно, мы можем найти только полный поток энергии за весь период колебаний, пропорциональный среднему за период квадрату ускорения. Поэтому а'2 в (32.5) должно означать среднее по времени от квадрата ускорения. Для такого движения, когда ускорение в начале и в конце обращается в нуль, полная излученная энергия равна интегралу по времени от выражения (32.5).
Посмотрим, что дает формула (32.5) для осциллирующей системы, для которой ускорение а' имеет вид w2x0еiwt. Среднее за период от квадрата ускорения равно (при возведении
в квадрат надо помнить, что на самом деле вместо экспоненты должна входить ее действительная часть — косинус, а среднее от cos2wt дает l/2):
(32.6)
Эти формулы были получены сравнительно недавно — в начале XX века. Это замечательные формулы, они имели огромное историческое значение, и о них стоило бы почитать в старых книгах по физике. Правда, там использовалась другая система единиц, а не система СИ. Однако в конечных результатах, относящихся к электронам, эти осложнения можно исключить с помощью следующего правила соответствия: величина q2e/4pe0, где qе — заряд электрона (в кулонах), раньше записывалась как е2. Легко убедиться, что в системе СИ значение е численно равно 1,5188·10-14, поскольку мы знаем, что
qe= 1,60206·10-19 и 1/4pe0= 8,98748·109. В дальнейшем мы будем часто пользоваться удобным обозначением
(32.7)
Если это численное значение e подставить в старые формулы, то все остальные величины в них можно считать определенными в системе СИ. Например, формула (32.5) прежде имела вид Р = 2/3е2а2/с3. А потенциальная энергия протона и электрона на расстоянии r есть q2e/4pe0r или е2/r, где е=1,5188-10-14 ед. СИ.
§ 3. Радиационное затухание
Заряд, закрепленный на пружине с собственной частотой w0 (или электрон в атоме), даже в абсолютно пустом пространстве не сможет колебаться бесконечно долго, поскольку, колеблясь, он теряет энергию на излучение. Никаких сил сопротивления в обычном смысле этого слова, никакой вязкости здесь нет. Но колебания не будут происходить «вечно», вследствие излучения они будут медленно замирать. А насколько медленно? Определим для осциллятора величину Q, вызванную так называемым радиационным сопротивлением или радиационным затуханием. Для любой колеблющейся системы величина Q равна энергии системы в данный момент времени, деленной на потери энергии, отнесенные к 1 рад:
Если Q задано, то легко получить закон спадания энергии колебаний: dW/dt = (-w/Q)W, откуда следует W =W0e-wt/Q; здесь W0 — начальная энергия (при t = 0).
Чтобы найти Q для излучающего осциллятора, вернемся к формуле (32.8) и подставим вместо dW/dt выражение (32.6).
А что нужно взять в качестве энергии W осциллятора? Кинетическая энергия осциллятора равна 1/2mv2, а средняя кинетическая энергия равна mш2x20/4. Но мы помним, что полная энергия осциллятора равна средней кинетической плюс средняя потенциальная, причем обе они для осциллятора равны; поэтому полная энергия равна
(32.9)
Какую частоту следует подставить в наши формулы? Мы возьмем собственную частоту w0, потому что практически это и есть частота излучения атома, а вместо m подставим me . После ряда сокращений эта формула приводится к виду
(32.10)
(Для большей ясности и из соображений близости к исторически принятой форме мы ввели величину е2 = q2e/4pe0 и записали 2p/l вместо w0/с.) Поскольку величина Q безразмерна, множитель е2/mес2, зависящий только от массы и заряда электрона и выражающий его внутренние свойства, обязан иметь размерность длины. Он был назван классическим радиусом электрона, потому что в старых моделях электрона радиационное сопротивление пытались объяснить действием одной части электрона на другие его части, для чего размеры электрона приходилось выбирать порядка e2/mec2. Но эта величина потеряла свой прежний смысл, и никто теперь не считает, что электрон имеет такой
радиус. Численное значение классического радиуса электрона следующее:
(32.11)
Вычислим теперь значение Q для атома, излучающего видимый свет, например для атома натрия. Длина волны излучения натрия равна примерно 6000 Е и находится в желтой части спектра; эта величина довольно типична. Отсюда
(32.12)
т. е. для атомов Q порядка 108. Это значит, что атомный осциллятор колеблется 108 рад, или примерно 107 периодов, прежде чем его энергия уменьшится в 1/е раз. Частота колебаний света v = с/l при длине волны 6000 Е составляет 1015 гц, а, следовательно, время жизни, т. е. время, за которое энергия уменьшится в Не раз, есть величина порядка 10-8сек.
Примерно за такое же время высвечиваются свободные атомы в обычных условиях. Проведенная оценка справедлива только для атомов в пустом пространстве, не подверженных никаким внешним воздействиям. Если электрон находится в твердом теле, он сталкивается с другими атомами и электронами, и тогда возникает добавочное сопротивление и затухание будет другим.
Величина эффективного сопротивления у, определяющая сопротивление осциллятора, может быть найдена из соотношения 1/Q=g/wo; вспомним, что именно y определяет ширину резонансной кривой (см. фиг. 23.2) . Итак, мы вычислили ширины спектральных линий для свободно излучающих атомов! Из равенства l=2pc/w получаем
§ 4. Независимые источники
Прежде чем перейти ко второй теме этой главы — рассеянию света, обсудим частный случай явления интерференции, который мы до сих пор не рассматривали. Речь пойдет о таком случае, когда интерференция не возникает. Пусть имеются два источника S1 и S2 с амплитудами поля a1 и A2 . Излучение регистрируется в некоторой точке, в которую оба луча приходят с фазами j1 и j2 (фазы зависят от истинного момента излучения и времени запаздывания, являющегося функцией точки наблюдения).
Наблюдаемая интенсивность излучения получается сложением двух комплексных векторов с модулями a1 и A2 и фазами j1 и j2 (как в гл. 30) и возведением в квадрат; таким образом, энергия пропорциональна
Если бы не было перекрестного члена 2A1A2cos(j1-j2), полная энергия в данном направлении была бы равна сумме энергий A12+A22; излучаемых по отдельности каждым источником, что соответствует нашим обычным представлениям. Иначе говоря, интенсивность света, падающего на предмет от двух источников, совпала бы с суммой интенсивностей обоих источников. С другой стороны, если оставить перекрестный член, суммы интенсивностей не получится, потому что возникнет интерференция. В тех случаях, когда перекрестный член роли не играет, интерференция, казалось бы, отсутствует. Фактически же она возникает всегда, но подчас ее не удается наблюдать.
Приведем несколько примеров. Пусть два источника находятся друг от друга на расстоянии 7 000 000 000 длин волн, что, в общем, вполне осуществимо. Тогда в некотором фиксированном направлении разность фаз принимает вполне определенное значение. Но если сдвинуться от этого направления хоть на волосок, скажем на несколько длин волн (совсем пустячное расстояние: зрачок нашего глаза настолько велик, что действие лучей можно усреднять на расстояниях, много больших длины волны), то разность фаз станет другой и значение косинуса резко изменится. При вычислении средней интенсивности в маленькой области пространства косинус в точках этой области будет все время колебаться — плюс, минус, плюс, минус — и при усреднении даст нуль.
Итак, усреднение по области, в которой фаза быстро меняется от точки к точке, обращает интерференционный член в нуль.
Другой пример. Предположим, что два источника колеблются и излучают радиоволны независимо друг от друга, т. е. они представляют собой не один осциллятор, питающийся от двух проводов (благодаря чему разность фаз остается постоянной), а именно два независимых источника. И пусть источники не настроены точно на одну и ту же частоту (равенства частот очень трудно достигнуть, если не соединять источники в одной цепи). Именно при этих условиях мы и будем называть источники независимыми. Естественно, что из-за сдвига по частоте фазы источников будут различаться, даже если вначале они и совпадали: одна из фаз начнет опережать другую и очень скоро источники окажутся в противофазе, а при дальнейшем опережении фазы снова сравняются и т. д. Разность фаз источников будет, таким образом, дрейфовать со временем, но при измерениях в течение больших промежутков времени приборы не смогут уследить за ними, так как подъемы и спады интенсивности, похожие на «биения» звука, происходят слишком быстро. Мы должны усреднить по промежутку времени наблюдения, но при этом интерференционный член снова выпадает.
Другими словами, при усреднении по разности фаз интерференционный член обращается в нуль!
Имеется много книг по физике, в которых утверждается, что два различных источника света никогда не интерферируют. Это утверждение не отражает физического закона, а просто характеризует ту чувствительность экспериментальной техники, которая существовала к моменту написания книги. В источнике же света происходит следующее: сначала излучает один атом, затем другой и т. д. Как мы показали выше, атомы излучают последовательность волн за время около 10-8 сек; через 10-8 сек какой-то атом высвечивается, его место занимает другой, затем третий и т. д. Поэтому фаза может оставаться постоянной примерно только в течение 10-8 сек. При усреднении за промежутки времени, много большие 10-8 сек, интерференционный член от двух источников выпадает, так как фазы источников за это время много раз изменятся. Световые ячейки Керра позволяют регистрировать свет с очень большой скоростью, и с их помощью удалось показать, что интерференционный член меняется за время порядка 10-8 сек. Но большинство приборов не может регистрировать свет в столь малые интервалы времени и, естественно, не обнаруживает интерференции. Для глаза время усреднения — порядка 1/10 сек, поэтому увидеть интерференцию обычных источников совершенно невозможно.
Недавно удалось создать источники света, в которых атомы излучают одновременно, и поэтому можно обойти эффект усреднения. Принцип устройства подобных источников весьма сложен, его можно понять, только зная законы квантовой механики. Называются эти источники лазерами. Частота интерференции испущенного лазером света, т. е. время, в течение которого фаза остается постоянной, много больше 10-8 сек. Оно может быть равно сотой, десятой доле секунды и даже целой секунде; с помощью обычных световых ячеек можно определить частоту интерференции между двумя лазерами. Легко также заметить биения при сложении света от двух лазеров. Вне всякого сомнения, скоро станет возможно получать столь медленные биения, что, направив на стенку свет от двух лазеров, можно будет увидеть их невооруженным глазом в виде периодических ослаблений и увеличений яркости пятна!
Еще один пример погашения интерференции представляет собой сложение света не двух, а многих источников. В этом случае A2R равно квадрату суммы большого числа амплитуд (комплексных чисел), т. е. сумме квадратов плюс перекрестные члены от каждой пары. При определенных условиях перекрестные члены могут погаситься и интерференция исчезнет. Например, когда источники распределены в пространстве случайным образом, тогда разность фаз A2 и А3 хотя и постоянна, но значительно отличается от разности фаз A1 и А2 и т. д. В результате получается много косинусов — одни из них положительны, другие отрицательны, а в сумме они почти целиком сокращаются.
Вот почему во многих случаях мы не замечаем эффекта интерференции, а полная интенсивность оказывается равной сумме интенсивностей всех источников.
§ 5. Рассеяние света
Приведенные выше примеры помогут нам понять одно явление, которое возникает в воздухе в результате неупорядоченного расположения атомов. В главе о показателе преломления мы говорили, что падающий свет вызывает излучение атомов. Электрическое поле падающего пучка раскачивает электроны вверх и вниз, и они, двигаясь с ускорением, начинают излучать. Это рассеянное излучение образует пучок света, движущийся в том же направлении, что и падающий луч, но отличающийся от него по фазе, благодаря чему и возникает показатель преломления.
Но что можно сказать об интенсивности рассеянного света в других направлениях? Если атомы очень правильно чередуются, образуя красивый геометрический узор, интенсивность во всех остальных направлениях равна нулю, потому что результат сложения множества векторов с меняющимися фазами сводится к нулю. Но если расположение атомов беспорядочное, интенсивность в любом направлении, как мы уже говорили, равна сумме интенсивностей от каждого атома в отдельности. Более того, атомы газа постоянно движутся, и разность фаз двух атомов, принимающая определенное значение в некоторый момент времени, в следующий момент уже изменится, поэтому при усреднении по времени исчезает каждый перекрестный член в отдельности. Следовательно, для определения интенсивности света, рассеянного газом, можно взять рассеяние на одном атоме и умножить интенсивность на число атомов.
Как уже отмечалось, голубой цвет неба объясняется именно рассеянием света в воздухе. Солнечный свет проходит сквозь воздух, и, когда мы смотрим в сторону от Солнца, например, перпендикулярно падающему лучу, мы видим свет голубой окраски; попробуем теперь подсчитать интенсивность рассеянного света и понять, почему он голубой.
Падающий луч света с напряженностью электрического поля Е = Е0еivt в точке расположения атома, как известно, заставляет электрон колебаться вверх и вниз (фиг. 32.2). С помощью уравнения (23.8) находим амплитуду колебаний
(32.15)
В принципе можно учесть затухание и ввести сумму по частотам, считая, что атом действует как совокупность осцилляторов с разными частотами. Однако для простоты ограничимся случаем одного осциллятора и пренебрежем затуханием. Тогда выражение для амплитуды принимает вид, которым мы уже пользовались при вычислении показателя преломления:
(32.16)
Из этой формулы для 
и равенства (32.2) легко получить интенсивность рассеяния в заданном направлении.
Однако, чтобы сэкономить время, вычислим сначала полную интенсивность рассеяния во всех направлениях. Полную энергию, рассеиваемую атомом за 1 сек во всех направлениях, можно получить из формулы (32.7). После перегруппировки членов выражение для энергии принимает вид
(32.17)
Фиг. 32.2. Луч, падающий на атом, заставляет заряды (электроны) атома колебаться. Движущиеся электроны в свою очередь излучают во все стороны.
Мы приводим результат в такой форме потому, что она удобна для запоминания: прежде всего, рассеиваемая энергия пропорциональна квадрату падающего поля. Что это означает? Очевидно, квадрат поля пропорционален энергии падающего пучка, проходящей за 1 сек. (В самом деле, энергия, падающая на 1 м2 за 1 сек, равна произведению e0с и среднего квадрата электрического поля <E2>; если максимальное значение Е есть Е0 то <E2> = 1/2E02.) Другими словами, рассеиваемая энергия пропорциональна плотности падающей энергии; чем сильнее солнечный свет, тем ярче кажется небо.
А какая доля падающего света рассеивается электроном? Вообразим мишень с площадью а, помещенную на пути луча (не настоящую мишень, сделанную из какого-то вещества, потому что она приведет к дифракции света и т. п., а воображаемую мишень, нарисованную в пространстве). Количество энергии, проходящее через поверхность 0, пропорционально падающей интенсивности и площади мишени:
(32.18)
А теперь давайте условимся: полное количество энергии, рассеиваемое атомом, мы приравняем энергии падающего пучка, проходящей через некоторую площадь; указав величину площади, мы тем самым определяем рассеиваемую энергию. В такой форме ответ не зависит от интенсивности падающего пучка; он выражает отношение рассеиваемой энергии к энергии, падающей на 1 м2. Другими словами,
Смысл этой площади заключается в том, что, если бы вся попадающая на нее энергия отбрасывалась в сторону, она рассеивала бы столько энергии, сколько рассеивает атом.
Эта площадь называется эффективным сечением рассеяния. Понятие эффективного сечения используется всегда, когда эффект пропорционален интенсивности падающего пучка. В таких случаях количественный выход эффекта задается площадью эффективной области, выхватывающей из пучка такую часть, чтобы она равнялась выходу. Это ни в коем случае не означает, что наш осциллятор на самом деле занимает подобную площадь. Если бы свободный электрон просто качался взад и вперед, ему бы не соответствовала никакая площадь. Это лишь способ выражения результата через определенную величину; мы указываем площадь, на которую должен упасть пучок, чтобы получилась известная энергия рассеяния. Итак, в нашем случае
(32.19)
(s — рассеяние).
Рассмотрим несколько примеров. Прежде всего, когда собственная частота очень мала или электрон вообще свободен, что соответствует w0= 0, частота w выпадает и сечение s становится константой. В этом пределе сечение носит название томпсоновского сечения рассеяния. Оно равно площади квадратика со стороной около 10-15 м, т. е. площади 10-30 м2, а это очень мало!
С другой стороны, при рассеянии света в воздухе собственные частоты осцилляторов, как мы уже говорили, больше частот обычного света. Отсюда следует, что величиной w2 в знаменателе можно пренебречь и сечение оказывается пропорциональным четвертой степени частоты. Значит, свет с частотой, в два раза большей, рассеивается в шестнадцать раз интенсивнее, а это уже вполне ощутимая разница. Таким образом, голубой свет, частота которого примерно вдвое выше частоты света у красного конца спектра, рассеивается значительно интенсивнее, чем красный свет. И, взглянув на небо, мы видим только изумительную синеву!
Стоит сказать еще несколько слов по поводу полученных результатов. Ответьте, во-первых, почему мы видим облака? Откуда они берутся? Всем известно, что возникают они за счет конденсации водяных паров. Но водяные пары, конечно, находились в атмосфере еще до конденсации. Почему же мы их не видели? А вот после конденсации их прекрасно видно. Не были видны — и вдруг появились. Как видите, тайна происхождения облаков — это совсем не детский вопрос, вроде «Папа, откуда взялась вода?», и ее нужно объяснить.
Мы только что говорили, что каждый атом рассеивает свет, и, естественно, водяной пар тоже должен рассеивать свет. Загадка состоит в том, почему вода, конденсированная в облаках, рассеивает свет сильнее в такое огромное число раз?
Давайте посмотрим, что получится, если вместо одного атома взять скопление атомов, скажем два атома, расположенных очень близко друг к другу по сравнению с длиной волны. Вспомним, что размеры атомов порядка 1 Е, а длина волны света порядка 5000 Е, так что несколько атомов вполне могут образовать сгусток, где расстояние между ними будет много меньше длины волны. Под действием электрического поля оба атома будут колебаться совместно, как целое. Рассеиваемое электрическое поле окажется равным сумме двух полей с одинаковой фазой, т. е. удвоенной амплитуде одного атома, а энергия увеличится в четыре, а не в два раза по сравнению с энергией излучения от отдельного атома! Таким образом, сгустки атомов излучают или рассеивают больше энергии, чем столько же атомов по отдельности. Наше старое утверждение, что фазы двух атомов никак не связаны, основывалось на предположении о большой разности фаз двух атомов, что справедливо только когда расстояние между ними порядка нескольких длин волн или, когда они движутся. Если же атомы находятся совсем рядом, они излучают обязательно с одной фазой, и возникает усиливающая интерференция, что приводит к увеличению рассеяния.
Пусть в сгустке, крошечной капельке воды, содержится N атомов; тогда под действием электрического поля они будут двигаться, как и раньше, все вместе (влияние атомов друг на друга для нас несущественно, мы хотим только выяснить суть дела). Амплитуда рассеяния каждого атома одна и та же; следовательно, поле рассеянной волны оказывается в N раз больше.
Интенсивность рассеиваемого света увеличивается в N2 раз. Если бы атомы находились далеко друг от друга, мы получили бы увеличение в N раз по сравнению со случаем отдельного атома, а здесь возникает N2 раз! Иначе говоря, рассеяние капельками воды (по N молекул в каждой) в N раз больше рассеяния тех же атомов по отдельности. Таким образом, чем больше вода конденсируется, тем больше рассеяние. Может ли рассеяние расти до бесконечности? Нет, конечно! На каком же этапе наши рассуждения станут неверными? Ответ: когда водяная капля увеличится настолько, что размеры ее окажутся порядка длины волны, колебания атомов будут происходить с разными фазами, потому что расстояние между ними станет слишком большим. Таким образом, с увеличением размера капель рассеяние растет до тех пор, пока капли не станут порядка длины волны, а затем с ростом капель рассеяние увеличивается гораздо медленнее. Кроме того, голубой свет в рассеянной волне начинает исчезать, потому что для коротких волн предел роста рассеяния наступает раньше (у менее крупных капель), чем для длинных волн. Хотя каждый атом рассеивает короткие волны сильнее, чем длинные, капли с размерами больше длины волны интенсивнее рассеивают свет вблизи красного конца спектра, и с ростом капель цвет рассеянного излучения меняется с голубого на красный (становится более красным).
Это явление можно наглядно продемонстрировать. Нужно взять очень маленькие частички вещества, которые затем постепенно будут расти. Для этого воспользуемся раствором гипосульфита натрия в серной кислоте, в котором осаждаются крохотные зернышки серы. Когда сера начинает осаждаться, зернышки еще очень малы и рассеянный свет имеет синеватый оттенок. С ростом числа и величины частиц в осадке свет сначала становится более интенсивным, а затем приобретает беловатый оттенок. Кроме того, проходящие лучи теряют синюю составляющую. Именно поэтому закат бывает красным; солнечные лучи, прошедшие к нам через толщу атмосферы, успели рассеять голубой свет и приобрели оранжевую окраску.
Наконец, при рассеянии возникает еще одно важное явление, которое, по существу, относится к поляризации — теме следующей главы. Однако оно так интересно, что имеет смысл сказать о нем сейчас. Оказывается, что электрическое поле рассеянного света колеблется преимущественно в одном определенном направлении. Пусть электрическое поле в падающей волне колеблется в каком-то направлении, тогда осциллятор будет совершать свои вынужденные колебания в том же направлении. Если теперь мы будем смотреть под прямым углом к падающему лучу, то увидим поляризованный свет, т. е. свет, в котором электрическое поле колеблется только в одном направлении. Вообще говоря, атомы могут осциллировать в любом направлении, лежащем в плоскости, перпендикулярной падающему лучу, но, когда они движутся прямо к нам или от нас, мы их не видим. Таким образом, хотя электрическое поле в падающем луче осциллирует во всевозможных направлениях (в этом случае говорят о неполяризованном свете), свет, рассеивающийся под углом 90°, содержит колебания только в одном направлении (фиг. 32.3)!
Фиг. 32.3. Возникновение поляризации у рассеянного луча, направленного под прямым углом к падающему лучу.
Есть такое вещество, называемое поляроидом, через которое проходит только волна с электрическим полем, параллельным некоторой оси. С помощью поляроида можно заметить поляризацию и, в частности, показать, что свет, рассеянный нашим раствором гипосульфита, действительно сильно поляризован.
*Выпуск 2